Внецентренное растяжение сжатие это
Расчет напряжений
При внецентренном растяжении (сжатии)
Внецентренным растяжением называется такой вид нагружения бруса, при котором внешние силы действуют вдоль продольной оси бруса, но не совпадают с ней (рис. 8.4). Определение напряжений производится с помощью принципа независимости действия сил. Внецентренное растяжение представляет сочетание осевого растяжения и косого (в частных случаях – плоского) изгиба. Формула для нормальных напряжений может быть получена как алгебраическая сумма нормальных напряжений, возникающих от каждого вида нагружения:
, (8.4)
где ; ;
yF, zF– координаты точки приложения силы F.
Для определения опасных точек сечения необходимо найти положение нейтральной линии (н.л.) как геометрического места точек, в которых напряжения равны нулю.
.
Уравнение н.л. может быть записано как уравнение прямой в отрезках:
,
где и – отрезки, отсекаемые н.л. на осях координат,
, – главные радиусы инерции сечения.
Нейтральная линия разделяет поперечное сечение на зоны с растягивающими и сжимающими напряжениями. Эпюра нормальных напряжений представлена на рис. 8.4.
Если сечение симметрично относительно главных осей, то условие прочности записывается для пластичных материалов, у которых [sc] = [sp] = [s], в виде
. (8.5)
Для хрупких материалов, у которых [sc]¹[sp], условие прочности следует записывать отдельно для опасной точки сечения в растянутой зоне:
и для опасной точки сечения в сжатой зоне:
,
где z1, y1 и z2, y2 – координаты наиболее удаленных от нейтральной линии точек сечения в растянутой 1 и сжатой 2зонах сечения (рис. 8.4).
Свойства нулевой линии
1. Нулевая линия делит все сечение на две зоны – растяжения и сжатия.
2. Нулевая линия прямая, так как координаты х и у в первой степени.
3. Нулевая линия не проходит через начало координат (рис. 8.4).
4. Если точка приложения силы лежит на главной центральной инерции сечения, то соответствующая ей нулевая линия перпендикулярна этой оси и проходит с другой стороны от начала координат (рис. 8.5).
5. Если точка приложения силы движется по лучу, выходящему из начала координат, то соответствующая ему нулевая линия движется за ним (рис. 8.6):
н.л
н.л
°
Рис. 8.5 Рис. 8.6
а) при движении точки приложения силы по лучу, исходящему из начала координат от нуля в бесконечность (yF ®∞, zF ®∞), ау ®0; аz ®0. Предельное состояние этого случая: нулевая линия пройдет через начало координат (изгиб);
б) при движении точки приложения силы (т. К) по лучу, исходящему из начала координат от бесконечности к нулю (yF ® 0 и zF ® 0), ау ®∞; аz ®∞. Предельное состояние этого случая: нулевая линия удаляется в бесконечность, а тело будет испытывать простое растяжение (сжатие).
6. Если точка приложения силы (т. К) движется по прямой, пересекающей координатные оси, то в этом случае нулевая линия будет вращаться вокруг некоторого центра, расположенного в противоположном от точки К квадранте.
8.2.3. Ядро сечения
Некоторые материалы (бетон, кирпичная кладка) могут воспринимать весьма незначительные растягивающие напряжения, а другие (например, грунт) не могут вовсе сопротивляться растяжению. Такие материалы используются для изготовления элементов конструкций, в которых не возникают растягивающие напряжения, и не применяются для изготовления элементов инструкций, испытывающих изгиб, кручение, центральное и внецентренное растяжения.
Из указанных материалов можно изготавливать только центрально сжатые элементы, в которых растягивающие напряжения не возникают, а также внецентренно сжатые элементы, если в них не образуются растягивающие напряжения. Это происходит в том случае, когда точка приложения сжимающей силы расположена внутри или на границе некоторой центральной области поперечного сечения, называемой ядром сечения.
Ядром сечения бруса называется его некоторая центральная область, обладающая тем свойством, что сила, приложенная в любой ее точке, вызывает во всех точках поперечного сечения бруса напряжения одного знака, т.е. нулевая линия не проходит через сечение бруса.
Если точка приложения сжимающей силы расположена за пределами ядра сечения, то в поперечном сечении возникают сжимающие и растягивающие напряжения. В этом случае нулевая линия пересекает поперечное сечение бруса.
Если сила приложена на границе ядра сечения, то нулевая линия касается контура сечения (в точке или по линии); в месте касания нормальные напряжения равны нулю.
При расчете внецентренно сжатых стержней, изготовляемых из материала, плохо воспринимающего растягивающие напряжения, важно знать форму и размеры ядра сечения. Это позволяет, не вычисляя напряжений, установить, возникают ли в поперечном сечении бруса растягивающие напряжения (рис. 8.7).
Из определения следует, что ядро сечения есть некоторая область, которая находится внутри самого сечения.
Для хрупких материалов сжимающую нагрузку следует прикладывать в ядре сечения, чтобы исключить в сечении зоны растяжения (рис. 8.7).
Для построения ядра сечения необходимо последовательно совмещать нулевую линию с контуром поперечного сечения так, чтобы нулевая линия не пе-ресекала сечение, и одновременно рассчитывать соответствующую ей точку
приложения сжимающей силы К с коор-
Рис. 8.7 динатами yF и zF по формулам:
; .
Полученные точки приложения силы с координатами yF, zF необходимо соединить отрезками прямых. Область, ограниченная полученной ломаной линией, и будет являться ядром сечения.
Последовательность построения ядра сечения
1. Определить положение центра тяжести поперечного сечения и главных центральных осей инерции у и z, а также значения квадратов радиусов инерции iy, iz .
2. Показать все возможные положения н.л., касающиеся контура сечения.
3. Для каждого положения н.л. определить отрезки ay и az, отсекаемые ею от главных центральных осей инерции у и z.
4. Для каждого положения н.л. установить координаты центра давления yF, и zF .
5. Полученные центры давлений соединить отрезками прямых, внутри которых будет расположено ядро сечения.
Кручение с изгибом
Вид нагружения, при котором брус подвергается одновременно действию скручивающих и изгибающих моментов, называется изгибом с кручением.
При расчете воспользуемся принципом независимости действия сил. Определим напряжения по отдельности при изгибе и кручении (рис. 8.8).
При изгибе в поперечном сечении возникают нормальные напряжения, достигающие максимального значения в крайних волокнах
.
При кручении в поперечном сечении возникают касательные напряжения, достигающие наибольшего значения в точках сечения у поверхности вала
.
Нормальные и касательные напряжения одновременно достигают наибольшего значения в точках С и В сечения вала (рис. 8.9). Рассмотрим напряженное состояние в точке С (рис. 8.10). Видно, что элементарный параллелепипед, выделенный вокруг точки С, находится при плоском напряженном состоянии.
Поэтому для проверки прочности применим одну из гипотез прочности.
Условие прочности по третьей гипотезе прочности (гипотезе наибольших касательных напряжений)
.
Учитывая, что , , получим условие прочности вала
. (8.6)
Если изгиб вала происходит в двух плоскостях, то условие прочности будет
.
Используя четвертую (энергетическую) гипотезу прочности
,
после подстановки s и t получим
. (8.7)
Вопросы для самопроверки
1. Какой изгиб называется косым?
2. Сочетанием каких видов изгиба является косой изгиб?
3. По каким формулам определяются нормальные напряжения в поперечных сечениях балки при косом изгибе?
4. Как находится положение нейтральной оси при косом изгибе?
5. Как определяются опасные точки в сечении при косом изгибе?
6. Как определяются перемещения точек оси балки при косом изгибе?
7. Какой вид сложного сопротивления называется внецентренным растяжением (или сжатием)?
8. По каким формулам определяются нормальные напряжения в поперечных сечениях стержня при внецентренном растяжении и сжатии? Какой вид имеет эпюра этих напряжений?
9. Как определяется положение нейтральной оси при внецентренном растяжении и сжатии? Запишите соответствующие формулы.
10. Какие напряжения возникают в поперечном сечении бруса при изгибе с кручением?
11. Как находятся опасные сечения бруса круглого сечения при изгибе с кручением?
12. Какие точки круглого поперечного сечения являются опасными при изгибе с кручением?
13. Какое напряженное состояние возникает в этих точках?
Источник
Лекция 15. ВНЕЦЕНТРЕННОЕ СЖАТИЕ
Внецентренное сжатие. Построение ядра сечения. Изгиб с кручением. Расчеты на прочность при сложном напряженном состоянии.
Внецентренное сжатие – это вид деформации, при котором продольная
сила в поперечном сечении стержня приложена не в центре тяжести. При
внецентренном сжатии, помимо продольной силы (N), возникают два
изгибающих момента (Mx и My).
Считают, что стержень обладает большой жесткостью на изгиб, чтобы пренебречь прогибом стержня при внецентренном сжатии.
Преобразуем формулу моментов при внецентренном сжатии , подставляя значения изгибающих моментов:
Обозначим координаты некоторой точки нейтральной (нулевой) линии
при внецентренном сжатии xN, yN и подставим их в формулу нормальных
напряжений при внецентренном сжатии. Учитывая, что напряжения в точках
нейтральной линии равны нулю, после сокращения на P/F, получим уравнение
нейтральной линии при внецентренном сжатии:
(35)
Нулевая линия при внецентренном сжатии и точка приложения нагрузки
всегда расположены по разные стороны от центра тяжести сечения.
Рис. 43. Внецентренное сжатие
Отрезки, отсекаемые нулевой линией от осей координат, обозначенные
ax и ay, легко найти из уравнения нулевой линии при внецентренном
сжатии. Если сначала принять xN = 0, yN = ay, а затем принять yN = 0,
xN = ax, то найдем точки пересечения нулевой линии при внецентренном
сжатии с главными центральными осями:
Рис. 44. Нейтральная линия при внецентренном растяжении – сжатии
Нейтральная линия при внецентренном сжатии разделит поперечное
сечение на две части. В одной части напряжения будут сжимающими,
в другой – растягивающими. Расчет на прочность, как и в случае косого
изгиба, проводят по нормальным напряжениям, возникающим в опасной точке
поперечного сечения (наиболее удаленной от нулевой линии).
(36)
Ядро сечения – малая область вокруг центра тяжести поперечного
сечения, характерная тем, что любая сжимающая продольная сила,
приложенная внутри ядра, вызывает во всех точках поперечного сечения
сжимающие напряжения.
Примеры ядра сечения для прямоугольного и круглого поперечных сечений стержня.
а б
Рис. 45. Форма ядра сечения для прямоугольника и круга
Изгиб с кручением. Такому нагружению (одновременному действию
крутящих и изгибающих моментов)часто подвержены валы машин и механизмов.
Для расчета бруса необходимо прежде всего установить опасные сечения.
Для этого строятся эпюры изгибающих и крутящих моментов.
Используя принцип независимости действия сил, определим напряжения, возникающие в брусе отдельно для кручения, и для изгиба.
При кручении в поперечных сечениях бруса возникают касательные
напряжения, достигающие наибольшего значения в точках контура сечения
При изгибе в поперечных сечениях бруса возникают нормальные напряжения,
достигающие наибольшего значения в крайних волокнах бруса .
Касательные напряжения значительно меньше напряжений от крутящего
момента, поэтому ими пренебрегают. Опасное сечение бруса будет
у заделки, где действуют максимальные напряжения от изгиба и кручения.
Исследуем напряженное состояние в наиболее опасной точке A
(рис. 46). Так как напряженное состояние двухосное, то для проверки
прочности применяем одну из гипотез.
Рис. 46. Эпюры изгибающих и крутящих моментов
Применяя третью теорию прочности
и учитывая, что и , получаем:
Для подбора сечения находим требуемый момент сопротивления
Источник
Внецентренное растяжение-сжатие – такой вид деформации, при котором стержень загружен растягивающими и (или) сжимающими силами, приложенными вне центра тяжести поперечного сечения. При внецентренном растяжении-сжатии стержней (рис. 5.9) в стержне возникают три внутренних усилия: продольная сила ( ) и два изгибающих момента ( и ). Предполагается, что стержень имеет большую жесткость, т. е. его длина не слишком велика по сравнению с размерами поперечного сечения. В этом случае определение усилий производим по недеформированному состоянию, т. е. при определении усилий не учитываем искривление оси стержня в результате изгиба. Используя правило знаков для изгибающих моментов, описанное во вступительной части разд. 5 «Сложное сопротивление», найдем внутренние усилия как сумму усилий от каждой силы. Тогда для стержня, показанного на рис. 5.9, согласно методу сечений получим
;
;
.
Здесь – эксцентриситеты точек приложения сил, т. е. расстояния от сил до осей и (всегда положительны); и – величины сил тоже считаются положительными. Знаки в формулах для и соответствуют правилу знаков для изгибающих моментов. Поясним их. Относительно оси сила вызывает изгиб стержня выпуклостью справа. Вся область сечения, расположенная справа от оси , в том числе и первый (положительный) квадрант, окажется растянутой, поэтому эта сила создает положительный изгибающий момент. Сила вызывает изгиб стержня относительно оси тоже выпуклостью справа, поэтому знак изгибающего момента от силы опять положительный. При изгибе относительно оси передняя и задняя части сечения имеют напряжения разного знака. Сила вызывает изгиб стержня выпуклостью за осью , т. е. задняя часть сечения (а значит, и первый квадрант) окажется растянутой, поэтому от силы имеет знак плюс. Сила вызывает сжатие задней части сечения стержня, первый квадрант окажется сжатым, и знак изгибающего момента от отрицательный[7].
Рис. 5.9. Внецентренное растяжение- сжатие жесткого стержня
От найденных усилий в стержне возникают только нормальные напряжения, которые определяются по формуле (5.1). Для проверки прочности стержня необходимо найти максимальные напряжения. Определение этих напряжений производится по схеме, описанной ранее, т. е.:
· строим нейтральную линию по уравнению (5.2);
· находим положение опасных точек;
· подставляя в (5.1) координаты опасных точек, вычисляем напряжения в этих точках;
· для проверки прочности сравниваем максимальные напряжения с допускаемыми.
Если в сечении действует только одна сила, растягивающая или сжимающая , то формулу (5.1) можно преобразовать к такому виду:
, (5.9)
где
, – (5.10)
радиусы инерции сечения относительно главных центральных осей; , – координаты точки приложения силы; , – координаты точки, в которой определяются напряжения. Все координаты вычисляются в главной центральной системе осей инерции сечения. Уравнение нейтральной линии в этом случае будет иметь вид
. (5.11)
Используя уравнение нейтральной линии (5.11), найдем отрезки , , отсекаемые нейтральной линией на осях координат (рис. 5.10),
; . (5.12)
Откладываем эти отрезки с учетом знаков вдоль главных центральных осей и строим нейтральную линию (см. рис. 5.10).
Рис. 5.10. Положение нейтральной линии
при внецентренном растяжении (сжатии)
одной силой
Из формул (5.12) следуют некоторые закономерности, связывающие положение полюса (т. е. точки приложения силы) и нейтральной линии, которые удобно использовать для анализа решения задачи. Перечислим самые важные из этих закономерностей:
1) нейтральная линия всегда расположена в квадранте, противоположном тому, в котором находится полюс (см. рис. 5.10);
2) если полюс находится на одной из главных осей, то нейтральная линия перпендикулярна этой оси;
3) если полюс приближается к центру тяжести сечения, то нейтральная линия удаляется от него;
4) если полюс движется по прямой линии, то нейтральная линия поворачивается вокруг неподвижной точки.
Рис. 5.11. Вид эпюры напряжений:
а – для полюса, расположенного на контуре ядра сечения;
б – для полюса, находящегося внутри ядра сечения
Из предпоследней закономерности следует, что если сила приложена достаточно близко к центру тяжести, то нейтральная линия удаляется так далеко, что нигде не пересекает сечение. Это означает, что напряжения во всем сечении будут иметь один знак. Следовательно, существует такая область вокруг центра тяжести, которая обладает следующим свойством: если внутри этой области или на ее контуре приложить силу (растягивающую или сжимающую), то во всем сечении будут возникать напряжения одного знака. Такая область называется ядром сечения. Рис. 5.11 поясняет данное определение ядра сечения. Нейтральная линия касается сечения, если сила приложена на контуре ядра сечения (см. рис. 5.11, а), и нейтральная линия проходит за сечением, если полюс расположен внутри ядра сечения (см. рис. 5.11, б).
Из приведенного определения ядра сечения следует первый способ построения ядра сечения. Согласно этому способу надо обвести контур сечения нейтральными линиями, касающимися контура и нигде не пересекающими сечение. Полюсы, соответствующие этим нейтральным линиям, будут находиться на контуре ядра сечения. На практике обычно более удобным является второй способ построения ядра сечения, который основан на свойстве взаимности нейтральной линии и полюса [2, гл. 7, § 36]. Для построения ядра сечения по второму способу надо поместить полюсы во внешних всех угловых точках сечения, имеющего форму многоугольника, и построить соответствующие им нейтральные линии. Эти нейтральные линии очертят контур ядра сечения. Отметим, что при построении ядра сечения нельзя располагать полюсы во внутренних угловых точках, так как через них нельзя провести касательные, нигде не пересекающие сечение. Рис. 5.12 поясняет разницу между внешними и внутренними угловыми точками многоугольника.
Для определения напряжений и проверки прочности стержня произвольного сечения, а также для построения ядра сечения необходимо научиться находить геометрические характеристики сечений, важнейшими из которых являются моменты инерции. Этому посвящен п. 5.2.1 гл. 5.
Рис. 5.12. Точки 1–5 –внешние,
6, 7 – внутренние угловые
точки
5.2.1. Определение моментов инерции сложных сечений относительно главных центральных осей (задачи № 29, 30, 31)
Рекомендуемая литература
Александров А. В., Потапов В. Д., Державин Б. П. Сопротивление материалов. М.: Высш. шк., 1995. Гл. 4.
Гастев В. А. Краткий курс сопротивления материалов. М.: Физматгиз, 1977. Гл. 15.
Дарков А. В., Шпиро Г. С. Сопротивление материалов. М.: Высш. шк., 1989. Гл. 5.
Источник