Нормальное напряжение в поперечном сечении стержня при растяжении
Внутренние усилия при растяжении-сжатии.
Осевое (центральное) растяжение или сжатие прямого бруса вызывается внешними силами, вектор равнодействующей которых совпадает с осью бруса. При растяжении или сжатии в поперечных сечениях бруса возникают только продольные силы N. Продольная сила N в некотором сечении равна алгебраической сумме проекции на ось стержня всех внешних сил, действующих по одну сторону от рассматриваемого сечения. По правилу знаков продольной силы N принято считать, что от растягивающих внешних нагрузок возникают положительные продольные силы N, а от сжимающих — продольные силы N отрицательны (рис. 5).
Чтобы выявить участки стержня или его сечения, где продольная сила имеет наибольшее значение, строят эпюру продольных сил, применяя метод сечений, подробно рассмотренный в статье:
Анализ внутренних силовых факторов в статистически определимых системах
Ещё настоятельно рекомендую взглянуть на статью:
Расчёт статистически определимого бруса
Если разберёте теорию в данной статье и задачи по ссылкам, то станете гуру в теме «Растяжение-сжатие» =)
Напряжения при растяжении-сжатии.
Определенная методом сечений продольная сила N, является равнодействующей внутренних усилий распределенных по поперечному сечению стержня (рис. 2, б). Исходя из определения напряжений, согласно выражению (1), можно записать для продольной силы:
где σ — нормальное напряжение в произвольной точке поперечного сечения стержня.
Чтобы определить нормальные напряжения в любой точке бруса необходимо знать закон их распределения по поперечному сечению бруса. Экспериментальные исследования показывают: если нанести на поверхность стержня ряд взаимно перпендикулярных линий, то после приложения внешней растягивающей нагрузки поперечные линии не искривляются и остаются параллельными друг другу (рис.6, а). Об этом явлении говорит гипотеза плоских сечений (гипотеза Бернулли): сечения, плоские до деформации, остаются плоскими и после деформации.
Так как все продольные волокна стержня деформируются одинаково, то и напряжения в поперечном сечении одинаковы, а эпюра напряжений σ по высоте поперечного сечения стержня выглядит, как показано на рис.6, б. Видно, что напряжения равномерно распределены по поперечному сечению стержня, т.е. во всех точках сечения σ = const. Выражение для определения величины напряжения имеет вид:
Таким образом, нормальные напряжения, возникающие в поперечных сечениях растянутого или сжатого бруса, равны отношению продольной силы к площади его поперечного сечения. Нормальные напряжения принято считать положительными при растяжении и отрицательными при сжатии.
Деформации при растяжении-сжатии.
Рассмотрим деформации, возникающие при растяжении (сжатии) стержня (рис.6, а). Под действием силы F брус удлиняется на некоторую величину Δl называемую абсолютным удлинением, или абсолютной продольной деформацией, которая численно равна разности длины бруса после деформации l1 и его длины до деформации l
Отношение абсолютной продольной деформации бруса Δl к его первоначальной длине l называют относительным удлинением, или относительной продольной деформацией:
При растяжении продольная деформация положительна, а при сжатии – отрицательна. Для большинства конструкционных материалов на стадии упругой деформации выполняется закон Гука (4), устанавливающий линейную зависимость между напряжениями и деформациями:
где модуль продольной упругости Е, называемый еще модулем упругости первого рода является коэффициентом пропорциональности, между напряжениями и деформациями. Он характеризует жесткость материала при растяжении или сжатии (табл. 1).
Таблица 1
Модуль продольной упругости для различных материалов
Абсолютная поперечная деформация бруса равна разности размеров поперечного сечения после и до деформации:
Соответственно, относительную поперечную деформацию определяют по формуле:
При растяжении размеры поперечного сечения бруса уменьшаются, и ε’ имеет отрицательное значение. Опытом установлено, что в пределах действия закона Гука при растяжении бруса поперечная деформация прямо пропорциональна продольной. Отношение поперечной деформации ε’ к продольной деформации ε называется коэффициентом поперечной деформации, или коэффициентом Пуассона μ:
Экспериментально установлено, что на упругой стадии нагружения любого материала значение μ = const и для различных материалов значения коэффициента Пуассона находятся в пределах от 0 до 0,5 (табл. 2).
Таблица 2
Коэффициент Пуассона.
Абсолютное удлинение стержня Δl прямо пропорционально продольной силе N:
Данной формулой можно пользоваться для вычисления абсолютного удлинения участка стержня длиной l при условии, что в пределах этого участка значение продольной силы постоянно. В случае, когда продольная сила N изменяется в пределах участка стержня, Δl определяют интегрированием в пределах этого участка:
Произведение (Е·А) называют жесткостью сечения стержня при растяжении (сжатии).
Механические свойства материалов.
Основными механическими свойствами материалов при их деформации являются прочность, пластичность, хрупкость, упругость и твердость.
Прочность — способность материала сопротивляться воздействию внешних сил, не разрушаясь и без появления остаточных деформаций.
Пластичность – свойство материала выдерживать без разрушения большие остаточные деформации. Неисчезающие после снятия внешних нагрузок деформации называются пластическими.
Хрупкость – свойство материала разрушаться при очень малых остаточных деформациях (например, чугун, бетон, стекло).
Идеальная упругость – свойство материала (тела) полностью восстанавливать свою форму и размеры после устранения причин, вызвавших деформацию.
Твердость – свойство материала сопротивляться проникновению в него других тел.
Рассмотрим диаграмму растяжения стержня из малоуглеродистой стали. Пусть круглый стержень длинной l0 и начальным постоянным поперечным сечением площади A0 статически растягивается с обоих торцов силой F.
Диаграмма сжатия стержня имеет вид (рис. 10, а)
где Δl = l — l0 абсолютное удлинение стержня; ε = Δl / l0 — относительное продольное удлинение стержня; σ = F / A0 — нормальное напряжение; E — модуль Юнга; σп — предел пропорциональности; σуп — предел упругости; σт — предел текучести; σв — предел прочности (временное сопротивление); εост — остаточная деформация после снятия внешних нагрузок. Для материалов, не имеющих ярко выраженную площадку текучести, вводят условный предел текучести σ0,2 — напряжение, при котором достигается 0,2% остаточной деформации. При достижении предела прочности в центре стержня возникает локальное утончение его диаметра («шейка»). Дальнейшее абсолютное удлинение стержня идет в зоне шейки ( зона местной текучести). При достижении напряжением предела текучести σт глянцевая поверхность стержня становится немного матовой – на его поверхности появляются микротрещины (линии Людерса-Чернова), направленные под углом 45° к оси стержня.
Расчеты на прочность и жесткость при растяжении и сжатии.
Опасным сечением при растяжении и сжатии называется поперечное сечение бруса, в котором возникает максимальное нормальное напряжение. Допускаемые напряжения вычисляются по формуле:
где σпред — предельное напряжение (σпред = σт — для пластических материалов и σпред = σв — для хрупких материалов); [n] — коэффициент запаса прочности. Для пластических материалов [n] = [nт] = 1,2 … 2,5; для хрупких материалов [n] = [nв] = 2 … 5, а для древесины [n] = 8 ÷ 12.
Расчеты на прочность при растяжении и сжатии.
Целью расчета любой конструкции является использование полученных результатов для оценки пригодности этой конструкции к эксплуатации при минимальном расходе материала, что находит отражение в методах расчета на прочность и жесткость.
Условие прочности стержня при его растяжении (сжатии):
При проектном расчете определяется площадь опасного сечения стержня:
При определении допускаемой нагрузки рассчитывается допускаемая нормальная сила:
Расчет на жесткость при растяжении и сжатии.
Работоспособность стержня определяется его предельной деформацией [ l ]. Абсолютное удлинение стержня должно удовлетворять условию:
Часто дополнительно делают расчет на жесткость отдельных участков стержня.
Следующая важная статья теории:
Изгиб балки
Источник
С помощью метода сечений можно найти продольную силу, возникающую в любом сечении нагруженного стержня, через внешние нагрузки, действующие на стержень по одну сторону от рассматриваемого сечения.
Давая возможность найти статический эквивалент всех внутренних сил, возникающих в сечении при растяжении и сжатии, которым и является продольная сила Nv метод сечений, тем не менее, не позволяет выяснить, по какому закону изменяются напряжения по площади сечений стержня.
При растяжении и сжатии будем считать справедливой гипотезу плоских сечений (гипотезу Бернулли), которая заключается в следующем: сечения, плоские и перпендикулярные к оси стержня до деформации, остаются плоскими и перпендикулярными к оси после деформации.
Если на поверхность стержня нанести систему полос, являющихся не чем иным, как линиями пересечения поперечных сечений стержня с его поверхностью (рис. 2.3, а), и приложить к нему растягивающие силы F, то можно видеть, что линии а-а. b-b, с-с, d-d переместятся параллельно самим себе (рис. 2.3, 6), т.е. наружные продольные волокна удлинятся одинаково. Если принять гипотезу Бернулли, то можно заключить, что и внутренние продольные волокна удлинятся одинаково; другими словами, поперечные сечения перемещаются параллельно своим начальным положениям.
Естественно допустить, что для однородного материала равным деформациям соответствуют и равные напряжения. Установив, что все продольные волокна равноудлинились, мы тем самым пришли к выводу, что при растяжении нормальные напряжения а равномерно распределены по всей площади сечения.
ab C1 d
А аАААА
— |_ | “1“ | 1—1- | ||
/ / | S / | f S / | г / / | / ^_ |
аь ci d
б)
abed
abed
а)
Рис. 2.3. Характер удлинения стержня:
а — плоские сечения; б — плоские сечения после приложения
растягивающих сил Г
Возьмем в сечении бесконечно малую площадку площадью с1А. По этой площадке действует бесконечно малая внутренняя сила (рис. 2.4)
(^NZ =0(1 А.
Рис. 2.4. Нормальные напряжения
Просуммировав бесконечно малые силы, действующие в сечении, определим продольную силу, представляющую собой равнодействующую элементарных внутренних сил, и вынося постоянное нормальное напряжение о за знак интеграла, получим
УУ. = | одА = оА. (2.1)
А
Отсюда
о = ^/А, (2.2)
где А — площадь всего поперечного сечения стержня.
Если напряжения остаются постоянными как по сечениям стержня, так и по его длине, то такое напряженное состояние носит название однородного.
Однако следует заметить, что для сечений, находящихся в непосредственной близости к местам приложения внешних сил или закреплений, сделанный нами вывод перестает быть справедливым.
Если провести опыт и понаблюдать за поведением резинового стержня при различных способах приложения внешних сил, то можно заметить, что гипотеза Бернулли около мест приложения нагрузок становится недействительной: сечения при деформации искривляются, возникают большие местные деформации. Но по мере удаления от места приложения внешних сил напряжения быстро выравниваются, и практически в сечениях, находящихся на расстояниях, равных наибольшему размеру поперечного сечения, нормальные напряжения распределяются по площади поперечного сечения равномерно.
Рассмотренное положение носит название принципа Сен-Венана. Согласно этому принципу на некотором сравнительно небольшом расстоянии от места приложения внешних нагрузок распределение напряжений практически не зависит от способа приложения этих сил.
Все изложенное в равной мере относится и к случаю сжатия стержня, который формально отличается от случая растяжения только направлением силы. Фактически эго различие значительно глубже. При сжатии длинного тонкого стержня может произойти так называемая потеря устойчивости, когда сжатие сопровождается изгибом. Это подробно рассматривается при исследовании устойчивости центрально сжатых стержней. Решая задачи на сжатие в данной главе, мы будем предполагать, что устойчивость сжатых стержней обеспечена.
В тех случаях, когда нормальные напряжения в различных сечениях стержня неодинаковы, необходимо отыскать опасное сечение, т.е. сечение, в котором возникают наибольшие нормальные напряжения. Для этого строят диаграмму изменения напряжений подлине стержня, называемую эпюрой нормальных напряжений.
Эпюру нормальных напряжений а строят после построения эпюры продольных сил, так как величину напряжения в любой точке некоторого сечения при растяжении и сжатии можно найти, лишь зная величину продольной силы, возникающей в данном сечении, и площадь самого поперечного сечения.
Пример 2.1. Для стержня переменного сечения (рис. 2.5) построить эпюру нормальных напряжений.
Разобьем стержень на участки нагружения, начиная от свободного конца. Границами участков будут сечения, в которых приложены внешние нагрузки. Выделим границы участков, проведя через точки приложения внешних сил тонкие линии. Из формулы (2.2) видно, что на значениях напряжений сказывается не только значение продольной силы, но и площади поперечного сечения, поэтому в том месте, где резко меняется площадь сечения, произойдет и резкое изменение напряжения с. Сечения, в которых изменяется площадь сечения, выделим пунктирными линиями.
Рис. 2.5. К расчету нормальных напряжений:
а — расчетная схема; б — эпюра продольных сил; в — эпюра нормальных
напряжений
На участке I нагружения =-/г. На участке II, учитывая силы, действующие на нижнюю часть стержня, получим /V.,, = -Р + ЗР = 2/7. На участке III N^1 =-Р + ЗР-5Р = -ЗР. И наконец, на участке IV (опять-таки учитываем все силы, лежащие ниже любого сечения на этом участке)
Мг1У/=-Р + ЗР-5Р + 2Р = -Р.
Проведем две базовые линии, параллельные оси стержня, одна будет соответствовать линии нулей Nz, а вторая — линии нулей о. В сечениях, выделенных тонкой сплошной линией, будет претерпевать изменение как эпюра так и эпюра а. В сечениях, выделенных пунктирной прямой, будет изменяться только эпюра а.
В выбранном масштабе вычерчивается эпюра N7(см. рис. 2.5). Затем, вычисляя нормальные напряжения о по участкам стержня и откладывая в произвольно выбранном масштабе полученные значения на эпюре, построим эпюру сг (см. рис. 2.5):
а, = Ыг1/А = -?/А ап =^г!А = ~2Р/А °м =Кг/2А = -2Р/2А = //Л;
°iii = = ~3F/2v4;
Gni — ^in/^ — —3 F/A’,
G|V—Nzlw/A — —F/A.
Пример 2.2. Для стержня, указанного на рис. 2.6, а, построить эпюры N. и а.
Рис. 2.6. К расчету нормальных напряжений:
а — расчетная схема; б — эпюра продольных сил; в — эпюра нормальных
напряжений
Разобьем стержень на участки нагружения, проведя тонкие сплошные линии до второй базовой прямой. Найдем продольную силу в пределах каждого участка нагружения. Будем учитывать все силы, лежащие левее каждого сечения, мысленно проведенного в пределах участков нагружения:
N., = -80 кН;
Л^п = -80 + 140 = 60 кН;
/У.,„ = -80 + 140 -220 = -160 кН;
N. 1У = -80 + 140-220 + 160 = 0.
Отложим найденные значения на эпюре N.. Так как в пределах каждого участка нагружения продольная сила постоянна, то эпюра на каждом участке изобразится прямой, параллельной оси стержня. Эпюра N. изображена на рис. 2.6, б.
Вычислим нормальные напряжения для каждого участка: а1 = ^,,//;=-80 103/5 10″4 =-160106 Па = -169 МПа;
ап = = 60•1 °3/5• 10-4 = 120-106 Па = 120 МПа;
аш = 1^т/Р2 = —160•103/8-10_4 = -200-106 Па = -200 МПа;
°1У =^г I ^2 =
Эпюра а изображена на рис. 2.6, в.
Источник
РАСТЯЖЕНИЕ И СЖАТИЕ
Нормальные напряжения в поперечном сечении центрально растянутого (сжатого) стержня
Общие понятия о растяжении (сжатии) введены в и. 1.6. Определение продольных сил при растяжении (сжатии) подробно рассматривалось в п. 3.3. Перейдём к определению напряжений. В сечении т-п центрально растянутого стержня методом сечений (рис. 4.1) находим продольную силу N=F.
Рис. 4.1
Bn. 1.5 установлена зависимость
N = j ctz • dA.
A
Поскольку в соответствии с гипотезой Бернулли поперечные сечения при растяжении (сжатии) остаются плоскими и перемещаются поступательно, волокна, параллельные оси бруса, удлиняются (укорачиваются) одинаково и в них возникают одинаковые нормальные напряжения, то есть в поперечном сечении = o = const. Тогда
получим
В поперечном сечении при центральном растяжении (сжатии)
Нормальное напряжение а принимаем положительным, если оно растягивающее, и отрицательным, если — сжимающее.
Напряжения в наклонных сечениях при растяжении (сжатии). Закон парности касательных напряжений
Рассмотрим центрально растянутый стержень постоянного поперечного сечения (рис. 4.2, а). Найдём напряжения на площадке, наклонённой к поперечному сечению под углом а. Этот угол считаем положительным, если его отсчитываем от поперечного сечения до наклонной площадки (от оси стержня до внешней нормали па к наклонной площадке) против часовой стрелки.
Используем метод сечений. Плоскостью, совмещённой с наклонной площадкой, рассечем стержень на две независимые части. Отбросим одну часть стержня. Заменим действие отброшенной части стержня на оставшуюся полными напряжениями ра на наклонной площадке. Площадь поперечного сечения обозначим А, а наклонного
сечения примем Аа=-. Запишем условие равновесия оставлен-
cosa
ной для рассмотрения части стержня (рис. 4.2, 6) и найдём ра:
Рис. 4.2
Учитывая формулу (4.1), окончательно получим
Разложим полное напряжение ра (4.2) на нормальную ста и касательную та составляющие (рис. 4.2, а):
Правила знаков для aa сохраним те же, что и для а. Касательное напряжение та считаем положительным, если до совмещения с ним внешнюю нормаль па к площадке надо повернуть на 90° по часовой стрелке (на рис. 4.2, а а, аа, та изображены положительными).
На рис. 4.3 изображено наклонное сечение, у которого a а осталось положительным, а напряжение та стало отрицательным. Рассечем стержень двумя параллельными наклонными сечениями (рис. 4.4), на этих наклонных площадках действуют нормальные напряжения aa и касательные напряжения та. Двум видам напряжений соответствуют два вида деформаций: удлинение (укорочение) и сдвиг. Двум видам деформаций соответствуют два вида разрушения: отрыв и срез.
Рис. 4.3
Рис. 4.4
При росте угла а от 0 до 90°, как следует из формулы (4.3), aa убывает от а до 0. При росте угла а от 0 до 45°, как следует из формулы (4.4), та растёт от 0 до —; при дальнейшем росте угла а от 45
до 90°, та убывает от ^ до 0. Таким образом, при а = 45° величина та
достигает максимума, равного Этот факт объясняет появление
линий скольжения — линий Людерса — Д.К. Чернова в стальном образце при растяжении во время площадки текучести и в зоне упрочнения, а также появление трещин в чугунном образце при сжатии (об этом более подробно речь пойдет в следующей главе).
Определим касательные напряжения на двух взаимно перпендикулярных площадках (рис. 4.5, а). Касательные напряжения на площадке, наклонённой под углом а к поперечному сечению, определяем по формуле (4.4).
Найдём касательное напряжение на площадке, перпендикулярной к рассмотренной:
Формула (4.5) и есть закон парности касательных напряжений. Касательные напряжения на двух взаимно перпендикулярных площадках равны по величине и противоположны по знаку. На рис. 4.5, а та > 0, а та+90°
Заметим, что касательные напряжения на двух взаимно перпендикулярных площадках либо расходятся (рис. 4.5, а), либо сходятся (рис. 4.5, б) к вершине прямого угла, образованного этими площадками (другая формулировка закона парности касательных напряжений). На рис. 4.5, б таа+90° > 0.
Источник