Уравнения прочности при растяжении

Уравнения прочности при растяжении thumbnail

Внутренние усилия при растяжении-сжатии.

Осевое (центральное) растяжение или сжатие прямого бруса вызывается внешними силами, вектор равнодействующей которых совпадает с осью бруса. При растяжении или сжатии в поперечных сечениях бруса возникают только продольные силы N. Продольная сила N в некотором сечении равна алгебраической сумме проекции на ось стержня всех внешних сил, действующих по одну сторону от рассматриваемого сечения. По правилу знаков продольной силы N принято считать, что от растягивающих внешних нагрузок возникают положительные продольные силы N, а от сжимающих — продольные силы N отрицательны (рис. 5).

правило знаков для продольных сил

Чтобы выявить участки стержня или его сечения, где продольная сила имеет наибольшее значение, строят эпюру продольных сил, применяя метод сечений, подробно рассмотренный в статье:
Анализ внутренних силовых факторов в статистически определимых системах
Ещё настоятельно рекомендую взглянуть на статью:
Расчёт статистически определимого бруса
Если разберёте теорию в данной статье и задачи по ссылкам, то станете гуру в теме «Растяжение-сжатие» =)

Напряжения при растяжении-сжатии.

Определенная методом сечений продольная сила N, является равнодействующей внутренних усилий распределенных по поперечному сечению стержня (рис. 2, б). Исходя из определения напряжений, согласно выражению (1), можно записать для продольной силы:

напряжения при растяжении-сжатии

где σ — нормальное напряжение в произвольной точке поперечного сечения стержня.


Чтобы определить нормальные напряжения в любой точке бруса необходимо знать закон их распределения по поперечному сечению бруса. Экспериментальные исследования показывают: если нанести на поверхность стержня ряд взаимно перпендикулярных линий, то после приложения внешней растягивающей нагрузки поперечные линии не искривляются и остаются параллельными друг другу (рис.6, а). Об этом явлении говорит гипотеза плоских сечений (гипотеза Бернулли): сечения, плоские до деформации, остаются плоскими и после деформации.

механизм деформации растяжения

Так как все продольные волокна стержня деформируются одинаково, то и напряжения в поперечном сечении одинаковы, а эпюра напряжений σ по высоте поперечного сечения стержня выглядит, как показано на рис.6, б. Видно, что напряжения равномерно распределены по поперечному сечению стержня, т.е. во всех точках сечения σ = const. Выражение для определения величины напряжения имеет вид:

формула напряжения

Таким образом, нормальные напряжения, возникающие в поперечных сечениях растянутого или сжатого бруса, равны отношению продольной силы к площади его поперечного сечения. Нормальные напряжения принято считать положительными при растяжении и отрицательными при сжатии.

Деформации при растяжении-сжатии.

Рассмотрим деформации, возникающие при растяжении (сжатии) стержня (рис.6, а). Под действием силы F брус удлиняется на некоторую величину Δl называемую абсолютным удлинением, или абсолютной продольной деформацией, которая численно равна разности длины бруса после деформации l1 и его длины до деформации l

абсолютное удлинение

Отношение абсолютной продольной деформации бруса Δl к его первоначальной длине l называют относительным удлинением, или относительной продольной деформацией:

относительное удлинение

При растяжении продольная деформация положительна, а при сжатии – отрицательна. Для большинства конструкционных материалов на стадии упругой деформации выполняется закон Гука (4), устанавливающий линейную зависимость между напряжениями и деформациями:

закон гука

где модуль продольной упругости Е, называемый еще модулем упругости первого рода является коэффициентом пропорциональности, между напряжениями и деформациями. Он характеризует жесткость материала при растяжении или сжатии (табл. 1).

Таблица 1

Модуль продольной упругости для различных материалов

модуль продольной упругости для различных материалов

Абсолютная поперечная деформация бруса равна разности размеров поперечного сечения после и до деформации:

абсолютная поперечная деформация бруса

Соответственно, относительную поперечную деформацию определяют по формуле:

относительная поперечная деформация

При растяжении размеры поперечного сечения бруса уменьшаются, и ε’ имеет отрицательное значение. Опытом установлено, что в пределах действия закона Гука при растяжении бруса поперечная деформация прямо пропорциональна продольной. Отношение поперечной деформации ε’ к продольной деформации ε называется коэффициентом поперечной деформации, или коэффициентом Пуассона μ:

коэффициент пуассона

Экспериментально установлено, что на упругой стадии нагружения любого материала значение μ = const и для различных материалов значения коэффициента Пуассона находятся в пределах от 0 до 0,5 (табл. 2).

Таблица 2

Читайте также:  Пружина растяжения в иваново

Коэффициент Пуассона.

коэффициент пуассона для материалов

Абсолютное удлинение стержня Δl прямо пропорционально продольной силе N:

абсолютное удлинение стержня

Данной формулой можно пользоваться для вычисления абсолютного удлинения участка стержня длиной l при условии, что в пределах этого участка значение продольной силы постоянно. В случае, когда продольная сила N изменяется в пределах участка стержня, Δl определяют интегрированием в пределах этого участка:

Уравнения прочности при растяжении

Произведение (Е·А) называют жесткостью сечения стержня при растяжении (сжатии).

Механические свойства материалов.

Основными механическими свойствами материалов при их деформации являются прочность, пластичность, хрупкость, упругость и твердость.

Прочность — способность материала сопротивляться воздействию внешних сил, не разрушаясь и без появления остаточных деформаций.

Пластичность – свойство материала выдерживать без разрушения большие остаточные деформации. Неисчезающие после снятия внешних нагрузок деформации называются пластическими.

Хрупкость – свойство материала разрушаться при очень малых остаточных деформациях (например, чугун, бетон, стекло).

Идеальная упругость – свойство материала (тела) полностью восстанавливать свою форму и размеры после устранения причин, вызвавших деформацию.

Твердость – свойство материала сопротивляться проникновению в него других тел.

Рассмотрим диаграмму растяжения стержня из малоуглеродистой стали. Пусть круглый стержень длинной l0 и начальным постоянным поперечным сечением площади A0 статически растягивается с обоих торцов силой F.

растягивание стержня до разрушения

Диаграмма сжатия стержня имеет вид (рис. 10, а)

диаграмма растяжения стали

где Δl = l — l0 абсолютное удлинение стержня; ε = Δl / l0 — относительное продольное удлинение стержня; σ = F / A0 — нормальное напряжение; E — модуль Юнга; σп — предел пропорциональности; σуп — предел упругости; σт — предел текучести; σв — предел прочности (временное сопротивление); εост — остаточная деформация после снятия внешних нагрузок. Для материалов, не имеющих ярко выраженную площадку текучести, вводят условный предел текучести σ0,2 — напряжение, при котором достигается 0,2% остаточной деформации. При достижении предела прочности в центре стержня возникает локальное утончение его диаметра («шейка»). Дальнейшее абсолютное удлинение стержня идет в зоне шейки ( зона местной текучести). При достижении напряжением предела текучести σт глянцевая поверхность стержня становится немного матовой – на его поверхности появляются микротрещины (линии Людерса-Чернова), направленные под углом 45° к оси стержня.

примеры разрушения материалов

Расчеты на прочность и жесткость при растяжении и сжатии.

Опасным сечением при растяжении и сжатии называется поперечное сечение бруса, в котором возникает максимальное нормальное напряжение. Допускаемые напряжения вычисляются по формуле:

формула допускаемые напряжения

где σпред — предельное напряжение (σпред = σт — для пластических материалов и σпред = σв — для хрупких материалов); [n] — коэффициент запаса прочности. Для пластических материалов [n] = [nт] = 1,2 … 2,5; для хрупких материалов [n] = [nв] = 2 … 5, а для древесины [n] = 8 ÷ 12.

Расчеты на прочность при растяжении и сжатии.

Целью расчета любой конструкции является использование полученных результатов для оценки пригодности этой конструкции к эксплуатации при минимальном расходе материала, что находит отражение в методах расчета на прочность и жесткость.

Условие прочности стержня при его растяжении (сжатии):

Условие прочности стержня

При проектном расчете определяется площадь опасного сечения стержня:

площадь при проектном расчёте

При определении допускаемой нагрузки рассчитывается допускаемая нормальная сила:

допускаемая нормальная сила

Расчет на жесткость при растяжении и сжатии.

Работоспособность стержня определяется его предельной деформацией [ l ]. Абсолютное удлинение стержня должно удовлетворять условию:

ограничение абсолютного удлинения стержня

Часто дополнительно делают расчет на жесткость отдельных участков стержня.

Следующая важная статья теории:
Изгиб балки

Источник

Сопротивление материалов

Решение задач на растяжение и сжатие



Расчеты на прочность при растяжении и сжатии

В результате проведения механических испытаний устанавливают предельные напряжения, при которых происходит нарушение работы или разрушение деталей конструкции.
Предельным напряжением при статической нагрузке для пластичных материалов является предел текучести, для хрупких — предел прочности.
Для обеспечения прочности деталей необходимо, чтобы возникающие в них в процессе эксплуатации наибольшие напряжения были меньше предельных.

Отношение предельного напряжения к напряжению, возникающему в процессе работы детали, называют коэффициентом запаса прочности и обозначают буквой s:

Читайте также:  Растяжение и сжатие методы решения

s = σпред / σ,

где σ = N / А – реальное напряжение, возникающее в элементе конструкции.

Недостаточный коэффициент запаса прочности может привести к потере работоспособности конструкции, а избыточный (слишком высокий) — к перерасходу материала и утяжелению конструкции. Минимально необходимый коэффициент запаса прочности называют допускаемым, и обозначают [s].
Отношение предельного напряжения к допускаемому запасу прочности называют допускаемым напряжением, и обозначают [σ]:

[σ] = σпред / [s].

Условие прочности в деталях и конструкциях заключается в том, что наибольшее возникающее в ней напряжение (рабочее напряжение) не должно превышать допускаемого:

σmax≤ [σ], или в другом виде: s ≥ [s].

Если допускаемые напряжения при растяжении и сжатии различны, их обозначают [σр] и [σс].

Расчетная формула при растяжении и сжатии имеет вид:

σ = N / А ≤ [σ]

и читается следующим образом: нормальное напряжение в опасном сечении, вычисленное по формуле σ = N /А, не должно превышать допустимое.

На практике расчеты на прочность проводят для решения задач:

— проектный расчет, при котором определяются минимальные размеры опасного сечения;
— проверочный расчет, при котором определяется рабочее напряжение и сравнивается с предельно допустимым;
-определение допускаемой нагрузки при заданных размерах опасного сечения.

***

Растяжение под действием собственного веса

Если ось бруса вертикальна, то его собственный вес вызывает деформацию растяжения или сжатия.
решение задач по сопромату
Рассмотрим брус постоянного сечения весом G, длиной l, закрепленный верхним концом и нагруженный только собственным весом G (рис.1).
Для определения напряжений в поперечном сечении на переменном расстоянии z от нижнего конца применим метод сечений.
Рассмотрим равновесие нижней части бруса и составим уравнение равновесия:

Σ Z = 0;     Nz — Gz = 0,    откуда:

Nz = Gz = γ А z,

где γ — удельный вес материала бруса, А – площадь его поперечного сечения, z — длина части бруса от свободного конца до рассматриваемого сечения.

Напряжения, возникающие в сечениях бруса, нагруженного собственным весом, определяются по формуле:

σz = Nz / А = γ А z / А = γ z,

т. е. для нагруженного собственным весом бруса нормальное напряжение не зависит от площади поперечного сечения. Очевидно, что опасное сечение будет находиться в заделке:

σmax = γ l.

Эпюра распределения напряжений вдоль оси бруса представляет собой треугольник.
Если требуется определить максимальную длину бруса, нагруженного собственным весом, используют расчет по предельному допустимому напряжению в сечении:

lпр = [σ] / γ.

***



Статически неопределимые задачи

Иногда в практике расчета конструкций требуется определить неизвестные силовые факторы (например, реакции связей или внутренние силы), при этом количество неизвестных силовых факторов превышает количество возможных уравнений равновесия для данной конструкции, и расчет произвести рассмотренными ранее способами не представляется возможным.

Задачи на расчет конструкций, в которых внутренние силовые факторы не могут быть определены с помощью одних лишь уравнений равновесия статики, называют статически неопределимыми. Подобные задачи нередко встречаются при расчете конструкций, подверженных температурным деформациям.
Для решения таких задач помимо уравнений равновесия составляют уравнение перемещений или деформаций.

Рассмотрим невесомый стержень постоянного сечения площадью А, длиной l, жестко защемленный по концам (см. рис. 2).
статически неопределимые задачи
При нагревании в стержне возникают температурные напряжения сжатия.
Попробуем определить эти напряжения.

Составим для стержня уравнение равновесия:

Σ Z = 0; RС — RВ = 0,

откуда следует, что реакции RС и RВ равны между собой, а применив метод сечений установим, что продольная сила N в сечениях стержня равна неизвестным реакциям:

N = RС = RВ.

Составим дополнительное уравнение, для чего мысленно отбросим правую заделку и заменим ее реакцией RВ, тогда дополнительное уравнение деформации будет иметь вид:

Δlt = ΔlСВ

т. е. температурное удлинение стержня равно его укорочению под действием реакции RB, так как связи предполагаются абсолютно жесткими.

Читайте также:  Капсикам при растяжении мышцы

Температурное удлинение стержня определяется по формуле: Δlt = αtl, где α — коэффициент линейного расширения стержня.

Укорочение стержня под действием реакции: ΔlСВ = RB l / (EА).

Приравняв правые части равенств, получим:

αtl = RB l / (EА), откуда RB = αtEА.

Температурные напряжения в реальных конструкциях могут достигать значительных величин. Чтобы исключить их отрицательное влияние на прочность конструкций, прибегают к различным методам. Мосты, например, закрепляют лишь на одном конце (на одном берегу), а второй конец оставляют подвижным.
В длинных трубопроводах, подверженных температурным напряжениям, делают компенсирующие карманы, петли и т. д.

***

Материалы раздела «Растяжение и сжатие»:

  • Примеры решения задач по сопромату.
  • Основные понятия о деформации растяжения и сжатия.
  • Деформации при растяжении и сжатии. Потенциальная энергия деформации растяжения.

Срез

Правильные ответы на вопросы Теста № 6

№ вопроса

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Правильный вариант ответа

2

1

1

3

3

2

1

3

2

1

Источник

Основная
задача сопротивления материалов —
обеспечить надежные размеры детали
при действии на нее различных
нагрузок. Такие размеры можно
определить из расчета на прочность.
Прочность стержня при осевом
растяжении обеспечена, если для
каждого его поперечного сечения
выполняется условие
прочности:

Уравнения прочности при растяжении

Уравнения прочности при растяжении
абсолютное значение продольной силы;

Уравнения прочности при растяжении— площадь поперечного сечения;

Уравнения прочности при растяжении
допускаемое напряжение при растяжении
или сжатии для материала стержня.

Уравнения прочности при растяжении,
где
Уравнения прочности при растяжении— коэффициент запаса. Для пластичных
материалов предельным напряжением
является предел текучестиУравнения прочности при растяжении,
а для хрупких материалов — предел
прочностиУравнения прочности при растяжении.

Условие
прочности при растяжении или сжатии
заключается в том, что наибольшее
расчетное напряжение в элементе
конструкции не должно превосходить
допускаемого напряжения.

С
использованием условия прочности
выполняются три вида расчетов:

1.
Проверочный
расчет

(проверка прочности). При заданных
нагрузках и площади поперечного
сечения
Уравнения прочности при растяженииопределяют расчетное напряжение и
сравнивают его с допускаемым
Уравнения прочности при растяжении
.
Превышение расчетного напряжения
по сравнению с допускаемым не должно
превышать 5 %, иначе прочность
рассчитываемой детали считается
недостаточной.

2.
Проектировочный
расчет

(подбор сечения). По известным нагрузкам
и допускаемому напряжению
Уравнения прочности при растяженииопределяют необходимые размеры
поперечного сечения

Уравнения прочности при растяжении.

3.
Определение
допускаемой нагрузки
.
По известным размерам и материалу
детали определяют допускаемую нагрузку

Уравнения прочности при растяжении.

5. Статически неопределимые конструкции.

Статически
неопределимыми

называются такие конструкции, в
элементах которых при помощи только
одних уравнений статики определить
усилия невозможно. Кроме уравнений
статики для расчета таких конструкций
необходимо использовать также
уравнения, содержащие деформации
элементов конструкций. Эти уравнения
называются уравнениями
совместности деформаций
.

В
статически неопределимых конструкциях
число неизвестных, подлежащих
определению, больше, чем число
уравнений статики, которые можно
составить для данной системы. Разность
между числом неизвестных и числом
уравнений статики называется степенью
статической неопределимости.

Последовательность
расчета статически неопределимых
систем рассмотрим на примере:

Задание:
Прямой однородный стержень, имеющий
постоянную площадь поперечного
сечения
Уравнения прочности при растяжении,
закреплен по концам и нагружен
силойУравнения прочности при растяжении(рис. 36). Построить эпюры продольных
силУравнения прочности при растяжении,
нормальных напряженийУравнения прочности при растяжениии продольных перемещений точек —
границ участковУравнения прочности при растяжении.
Модуль продольной упругости материалаУравнения прочности при растяжении.

Уравнения прочности при растяжении

1

Рис. 36.

. Находим степень
статической неопределимости:

Уравнения прочности при растяжении(система
один раз статически неопределима).

2.
Составляем уравнение статики:
Уравнения прочности при растяжении.Уравнения прочности при растяжении.

3. Разбиваем брус
на участки. Границами участков
являются точки приложения сосредоточенных
сил, сечения, в которых изменяется
площадь.

4.
С использованием метода сечений
выражаем продольные силы на участках
через одну опорную реакцию.

1
— й участок:
Уравнения прочности при растяжении.Уравнения прочности при растяжении.Уравнения прочности при растяжении;

2
— й участок:
Уравнения прочности при растяжении.Уравнения прочности при растяжении.Уравнения прочности при растяжении.

5.
Составляем уравнение совместности
деформаций участков бруса. Так как
концы бруса жестко защемлены, то его
общая длина не изменяется, т.е.

Уравнения прочности при растяжении.

6.
Записываем выражения закона Гука,
выражая абсолютные деформации участков
через усилия, возникающие в поперечных
сечениях

Уравнения прочности при растяженииУравнения прочности при растяжении.

7.
Подставляем выражения закона Гука
в уравнение совместности деформаций

Уравнения прочности при растяженииУравнения прочности при растяжении=
0.

Отсюда

Уравнения прочности при растяжении;

Уравнения прочности при растяжении;

Уравнения прочности при растяжении;Уравнения прочности при растяжении.

8.
Определяем продольные силы на
участках и строим эпюру
Уравнения прочности при растяжении.

Уравнения прочности при растяжении(растяжение);

Уравнения прочности при растяжении(сжатие).

9.
Определяем нормальные напряжения и
строим эпюру
Уравнения прочности при растяжении.

Уравнения прочности при растяжении(растяжение);

Уравнения прочности при растяжении(сжатие).

10.
Определяем перемещения точек — границ
участков и строим эпюру
Уравнения прочности при растяжении.
Для этого определяем абсолютные
деформации участков по закону Гука.

Уравнения прочности при растяжении;

Уравнения прочности при растяжении.

Уравнения прочности при растяжении;

Уравнения прочности при растяжении;Уравнения прочности при растяжении.

Источник