Задача. Определить напряжение в стальных стержнях, поддерживающих абсолютно жёсткую балку.  Материал — сталь Ст3, α=60°, [σ]=160МПа.

  1. Схему вычерчиваем в масштабе. Нумеруем стержни.

2019-01-02_13-56-14

В шарнирно-неподвижной опоре А возникают реакции и НА. В стержнях 1 и 2 возникают усилия N1 и N2. Применим метод сечений. Замкнутым разрезом вырежем среднюю часть системы. Жесткую балку покажем схематично — линией, усилия N1 и N2 направим от сечения.  

2019-01-02_13-57-54

Составляем уравнения равновесия

2019-01-02_13-58-31

Количество неизвестных превышает количество уравнений статики на 1. Значит, система один раз статически неопределима, и для её решения потребуется одно дополнительное уравнение. Чтобы составить дополнительное уравнение, следует рассмотреть схему деформации системы. Шарнирно-неподвижная опора А остается на месте, а стержни деформируются под действием силы.

Схема деформаций

2019-01-02_13-59-28

По схеме деформаций составим условие совместности деформаций из рассмотрения подобия треугольников АСС1и АВВ1. Из подобия треугольников АВВ1 и АСС1 запишем соотношение:

2019-01-02_14-00-18, где ВВ1=Δ1  (удлинение первого стержня)

Теперь выразим СС1 через деформацию второго стержня. Укрупним фрагмент схемы.

2019-01-02_14-01-20

Из рисунка видно, что СС2 = ССcos (90º-α)= ССsinα.

Но СС2= Δ2 , тогда Δ2= ССsinα, откуда:

2019-01-02_14-02-11

Превратим условие совместности деформации (4) в уравнение совместности деформации с помощью формулы Гука для деформаций. При этом обязательно учитываем характер деформаций (укорочение записываем со знаком «-», удлинение со знаком «+»).

2019-01-02_15-05-29

Тогда уравнение совместности деформаций будет:

2019-01-02_15-06-14

Сокращаем обе части на Е, подставляем числовые значения и выражаем N1 через  N2

2019-01-02_15-06-53

Подставим   соотношение (6) в уравнение (3), откуда найдем:

Читайте также:  Примеры по сопромату растяжение

N1 = 7,12кН (растянут),

N2 =-20,35кН (сжат).

Определим напряжения в стержнях.

2019-01-02_15-07-37

Задача решена.

Расчет бруса с зазором. Для статически неопределимого стального ступенчатого бруса построить эпюры продольных сил, нормальных напряжений, перемещений. Проверить прочность бруса. До нагружения между верхним концом и опорой имел место зазор Δ=0,1 мм. Материал – сталь Ст 3,  модуль продольной упругости Е=2·105 МПа, допускаемое напряжение [σ]=160МПа.

2016-09-04 13-42-56 Скриншот экрана

  1. После нагружения зазор закроется и реакции возникнут и в нижней, и в верхней опоре. Покажем их произвольно, это реакции RA и . Составим уравнение статики.

у=0                RA — F1 + F2 — =0

В уравнении 2 неизвестных, а уравнение одно, значит задача 1 раз статически неопределима, и для ее решения требуется 1 дополнительное уравнение.

Это уравнение совместности деформаций. В данном случае совместность деформаций участков бруса состоит в том, что изменение длины бруса (удлинение) не может превзойти величины зазора, т.е. Δ, это условие совместности деформации.

  1. Теперь разобьем брус на участки и проведем на них сечения – их 4 по количеству характерных участков. Каждое сечение рассматриваем отдельно, двигаясь в одном направлении – от нижней опоры вверх. В каждом сечении выражаем силу N через неизвестную реакцию. Направляем N от сечения.

2016-09-04 13-54-16 Скриншот экрана

Выпишем отдельно значения продольных сил в сечениях:

N1 = —

N2 = 120 —

N3 = 120 —

N4 = 30-

3. Вернемся к составлению условия совместности деформации. Имеем 4 участка, значит

             Δ1+ Δ2+ Δ3+ Δ4= Δ  (величина зазора).

Используя формулу Гука для определения абсолютной деформации  2016-09-04 12-30-57 Скриншот экранасоставим уравнение совместности деформаций, — это именно то дополнительное уравнение, которое необходимо для решения задачи.

2016-09-04 14-02-39 Скриншот экрана

Попробуем упростить уравнение. Помним, что величина зазора Δ=0,1 мм = 0,1·10-3 м

2016-09-04 14-04-59 Скриншот экрана

Е – модуль упругости, Е=2·105МПа=2·108кПа.

2016-09-04 14-05-46 Скриншот экрана

Подставляем вместо N их значения, записанные через опорную реакцию .

2016-09-04 14-06-23 Скриншот экрана

4. Вычисляем N и строим эпюру продольных сил.

N1=- RА=-47,5кН

N2=120 — RА=72,5кН

N3=120 — RА=72,5кН

N4=30- RА=-17,5кН.

2016-09-04 14-16-38 Скриншот экрана

5. Определяем нормальные напряжения σ  по формуле 2016-09-04 12-23-20 Скриншот экранаи строим их эпюры

2016-09-04 14-20-31 Скриншот экрана

Строим эпюру нормальных напряжений.

2016-09-04 14-24-46 Скриншот экрана

Проверяем прочность.

σmax= 90,63 МПа < [σ]=160МПа.

Прочность обеспечена.

  1. Вычисляем перемещения, используя формулу Гука для деформаций.

Идем от стены А к зазору.

2016-09-04 14-22-44 Скриншот экрана

Получили величину ω4, равную зазору ,это является проверкой правильности определения перемещений.

Строим эпюру перемещений.

2016-09-04 14-27-36 Скриншот экрана

Задача решена.

Для статически определимого стального ступенчатого бруса построить эпюры продольных сил, нормальных напряжений и перемещений. Проверить прочность бруса. Материал – сталь Ст 3, модуль продольной упругости Е=2·105 МПа, допускаемое напряжение [σ]=160МПа.

2016-09-04 11-49-14 Скриншот экрана

  1. Произвольно направляем реакцию стены RAи определяем её из уравнения равновесия.

у=0                — RA+F3 — F2+ F1 =0

RAF3 — F2+ F1 =60-25+10=45кН.

  1. Определяем продольные силы N методом сечений. Сечение расставляем на характерных участках (между изменениями). Подсказкой может служить размерная нитка – сколько отсечено отрезков, столько будет и участков с сечениями. В нашей задаче их 6.Каждое сечение рассматриваем отдельно с любой стороны на наше усмотрение. Силу N направляем от сечения.

2016-09-04 12-42-47 Скриншот экрана

2016-09-04 12-43-33 Скриншот экрана

Строим эпюру N. Все значения откладываем перпендикулярно от нулевой линии в выбранном нами масштабе.

Положительные значения условимся откладывать вправо от нулевой линии, отрицательные — влево.

2016-09-04 12-22-12 Скриншот экрана

  1. Определяем нормальные напряжения σ в сечениях по формуле 2016-09-04 12-23-20 Скриншот экрана . Внимательно смотрим, по какой площади проходит сечение.

2016-09-04 12-25-22 Скриншот экрана

Строим эпюру σ.

2019-10-03_22-46-50

Проверим прочность по условию прочности 2016-09-04 12-27-29 Скриншот экрана

max|= 75 МПа < [σ]=160МПа.

Прочность обеспечена.

4. Определяем перемещение бруса.

Расчет ведется от стены, в которой перемещение равно нулю ωА= 0.

Формула Гука для определения абсолютной деформации участка2016-09-04 12-30-57 Скриншот экрана

Определяем перемещения:

2016-09-04 12-32-09 Скриншот экрана

Строим эпюру перемещений ω.

2019-10-03_22-47-42

Задача решена.

На стальной стержень  действует продольная сила Р и собственный вес (γ = 78 кН/м3). Найти перемещение сечения 1 –1.

Дано: Е =2·105 МПа, А = 11 см2,  а = 3,0 м, в = 3,0 м,  с= 1,3 м,  Р = 2 кН.

Перемещение сечения 1 –1 будет складываться из перемещения от действия силы Р, от действия собственного веса выше сечения и от действия собственного веса ниже сечения. Перемещение от действия силы Р будет равно удлинению участка стержня длиной в+а ,расположенного выше сечения 1 –1. Нагрузка Р вызывает удлинение только участка а,  так как только на нем имеется продольная сила от этой нагрузки. Согласно закону Гука удлинение от действия силы Р будет равно: 2015-03-27 19-03-39 Скриншот экранаОпределим удлинение от собственного веса стержня ниже сечения 1 –1.

Обозначим его как 2015-03-27 19-07-00 Скриншот экрана. Оно будет вызываться собственным весом участка с и весом стержня на участке а+в

2015-03-27 19-13-42 Скриншот экрана

Определим удлинение от собственного веса стержня выше сечения 1 –1.

Обозначим его как2015-03-27 19-16-22 Скриншот экрана  Оно будет вызываться собственным весом участка а+в2015-03-27 19-20-17 Скриншот экрана

Тогда полное перемещение сечения 1-1:

2015-03-27 19-23-08 Скриншот экранаТ.е, сечение 1-1 опустится на 0,022 мм.

Абсолютно жесткий брус опирается на шарнирно неподвижную опору и прикреплен к двум стержням при помощи шарниров. Требуется: 1) найти усилия и напряжения в стержнях, выразив их через силу Q; 2) Найти допускаемую нагрузку Qдоп, приравняв большее из напряжений в двух стержнях к допускаемому напряжению  2015-03-17 20-35-24 Скриншот экрана ; 3) найти предельную грузоподъемность системы , если предел текучести 2015-03-17 20-36-44 Скриншот экрана    4) сравнить обе величины, полученные при расчете по допускаемым напряжениям и предельным нагрузкам. Размеры:  а=2,1 м, в=3,0 м, с=1,8 м, площадь поперечного сечения А=20 см2

2015-03-16 22-58-57 Скриншот экрана

Данная система один раз статически неопределима. Для раскрытия статической неопределимости необходимо решить совместно уравнение равновесия и уравнение совместности деформаций стержней.

2015-03-17 20-54-18 Скриншот экрана (1) -уравнение равновесия

Составим деформационную схему — см. рис. Тогда из схемы:2015-03-17 20-56-18 Скриншот экрана (2)

По закону Гука имеем:

2015-03-17 20-58-13 Скриншот экрана

Длины стержней:2015-03-17 20-59-20 Скриншот экрана Тогда получим:

2015-03-17 21-00-27 Скриншот экрана Подставим полученное соотношение в уравнение (1):

2015-03-17 21-02-52 Скриншот экрана

Определяем напряжение в стержнях:

2015-03-17 21-03-51 Скриншот экрана

Допускаемая нагрузка:2015-03-17 21-25-00 Скриншот экрана

В предельном состоянии: 2015-03-17 21-25-52 Скриншот экрана Подставим полученные соотношения в уравнение (1):

2015-03-17 21-29-14 Скриншот экрана

При сравнении видим увеличение нагрузки:2015-03-17 21-40-50 Скриншот экрана

Колонна, состоящая из стального стержня и медной трубы, сжимается силой Р. Длина колонны ℓ. Выразить усилия и напряжения, возникающие в стальном стержне и медной трубе.2015-03-16 21-25-06 Скриншот экранаПроведем сечение 1 – 1 и рассмотрим равновесие отсеченной части 2015-03-16 21-26-07 Скриншот экрана

Составим уравнение статики:                NC+ NM — P= 0  , NC+ NM = P                                        (1)

Задача статически неопределима.  Уравнение совместности деформации запишем из условия, что удлинения стального стержня и медной трубы одинаковы:2015-03-16 21-29-26 Скриншот экрана (2)  или2015-03-16 21-31-13 Скриншот экрана  Сократим обе части на длину стержня и выразим усилие в медной трубе через усилие в стальном стержне  :

2015-03-16 21-34-31 Скриншот экрана (3)   Подставим найденное значение в уравнение  (1), получим:

2015-03-16 21-52-13 Скриншот экрана

При совместной работе всегда сильнее напряжен элемент из материала с большим модулем упругости. При  ЕС = 2·105 МПа,   ЕМ = 1·105 МПа:

2015-03-16 21-44-28 Скриншот экрана

Для колонны определить напряжения на всех участках. После приложения силы Р зазор закрывается, Р = 200 кН, Е = 2.105 МПа, А = 25 см2 2015-03-14 15-31-51 Скриншот экранаПосле приложения силы Р возникнут усилия в защемлениях. Обозначим их как C и В.

Составим   уравнение статики:  ∑y = 0;   С + В – Р = 0;   (1)

Дополнительное уравнение совместности деформаций: ∆ℓ1+∆ℓ2=0,3 мм (2);   

Чтобы   найти абсолютную деформацию, необходимо знать продольную силу на участке. На первом участке продольная сила равна С,  на втором разности (С- Р). Подставим эти значения в выражения абсолютных деформаций:     2015-03-14 16-34-54 Скриншот экрана (3)

Подставляем выражение (3) в выражение (2) и находим: С = 150 кН, а из (1)  B = 50 кН .

Тогда напряжения на участках:

2015-03-14 16-39-33 Скриншот экрана

На трех стальных стержнях подвешена жесткая балка; стержень 2 выполнен короче проектного. Определить напряжения в стержнях после сборки системы. Дано:2015-02-22 18-50-28 Скриншот экрана

Схема заданной системы

Схема заданной системы

После завершения сборки в данной системе жесткая балка повернется и займет новое положение.

Решение задач на растяжение и сжатие пример расчета