Расчет балки растяжение сжатие

Примечание. Эпюра изгибающего момента построена на растянутом волокне (Диалог «Настройки»).

Исходные данные

Рис. 1. Заданная схема.

Расчёт

1. Определение реакций опор для схемы на рис.2

Составим уравнения статического равновесия.

Решение уравнений статики (1) даёт следующие значения реакций:

XA = 114.75кН;

YA = 46.5кН;

XB = 114.75кН;

YD = 58.5кН.

2. Построение эпюр внутренних силовых факторов для схемы на рис.2

Участок №1 (0 ≤ z1 ≤ 2м)

Nz = YA = 46.5кН.

Qy = XA = 114.75кН.

Mx = XA·z1;

при z1 = 0; Mx = 0.

при z1 = 2м; Mx = -229.50кН·м.

Участок №2 (0 ≤ z2 ≤ 4.5м)

Nz = XA = 114.75кН.

Qy = -q·z2 — YA;

при z2 = 0; Qy = -46.50кН.

при z2 = 4.5м; Qy = -55.50кН.

Mx = -q·z22/2 + XA·2м — YA·z2;

при z2 = 0; Mx = -229.50кН·м.

при z2 = 4.5м; Mx = 0.

Участок №3 (0 ≤ z3 ≤ 4м)

Qy = -YD = -58.50кН.

Mx = YD·z3;

при z3 = 0; Mx = 0.

при z3 = 4м; Mx = -234.0кН·м.

Участок №4 (0 ≤ z4 ≤ 2м)

Nz = -YD = -58.50кН.

Mx = M + YD·4м = -237.0кН·м.

Участок №5 (0 ≤ z5 ≤ 1.5м)

Nz = XB = 114.75кН.

Участок №6 (0 ≤ z6 ≤ 2.5м)

Nz = XB = 114.75кН.

Qy = F = 3кН.

Mx = -F·z6;

при z6 = 0; Mx = 0.

при z6 = 2.5м; Mx = 7.5кН·м.

Участок №7 (0 ≤ z7 ≤ 2м)

Nz = -F = -3кН.

Qy = XB = 114.75кН.

Mx = -F·2.5м — XB·z7;

при z7 = 0; Mx = 7.5кН·м.

при z7 = 2м; Mx = 237кН·м.

3. Подбор сечения исходя из условия прочности по допустимому напряжению

Подбор выполняется в наиболее нагруженном месте, т.е. в опасном сечении. Опасное сечение
располагается в точке, где внутренние силовые факторы дают максимальное напряжение. Для анализа возьмём точку, в
которой значение изгибающего момента — Mx = 229.5кН·м, значение осевой силы — Nz =
114.75кН. Геометрические характеристики сечения определятся исходя из выполнения условия прочности по
допустимому напряжению:

σxmax = |Mx|/Wx + |Nz|/A ≤ [σ],

где, Wx — момент сопротивления сечения, A — площадь поперечного сечения, [σ] = 160МПа —
допустимое напряжение.

Характеристики сечения определятся методом подбора. Согласно формуле определения максимального
напряжения величина напряжения состоит из двух частей: напряжения от изгибающего момента и напряжения от осевой
силы. При доминировании напряжения от изгибающего момента подбор следует начинать с момента сопротивления, при
доминировании напряжения от осевой силы подбор следует начинать с площади сечения. Подбор выполнять по следующим
формулам:

Wx = |Mx|/[σ]; A = |Nz|/[σ].

Получившиеся значения геометрических характеристик сечения округляем до ближайшего большего
справочного значения и получаем следующий прокат:

Двутавр №50; A = 100см2; Jx = 39727см4; Wx =
1589см3.

С учётом результата подбора напряжение в опасном сечении равно:

σxmax = 229.5·103Н·м/1589·10-6м3 +
114.75·103Н/100·10-4м2 = 144.43МПа + 11.475МПа = 155.91МПа ≤ [σ].

Условие обеспечения прочности по допустимому напряжению выполнено.

Теперь для определения перемещения в контрольной точке построим соответствующую единичную
систему, рассчитаем для неё реакции опор и эпюры изгибающего момента. Перемножение эпюр изгибающих моментов
заданной системы и единичной даст искомое перемещение.

4. Определение реакций опор для схемы на рис.6

Составим уравнения статического равновесия.

Решение уравнений статики (2) даёт следующие значения реакций:

XA = 6.75;

YA = 3;

XB = 6.75;

YD = 4.

5. Построение эпюр изгибающего момента для схемы на рис.6

Участок №1 (0 ≤ z1 ≤ 2м)

Mx = -XA·z1;

при z1 = 0; Mx = 0.

при z1 = 2м; Mx = 13.5.

Участок №2 (0 ≤ z2 ≤ 4.5м)

Mx = -XA·2м + YA·z2;

при z2 = 0; Mx = 13.5.

при z2 = 4.5м; Mx = 0.

Участок №3 (0 ≤ z3 ≤ 4м)

Mx = -YD·z3;

при z3 = 0; Mx = 0.

при z3 = 4м; Mx = 16.

Участок №4 (0 ≤ z4 ≤ 2м)

Mx = -YD·4м = 16.

Участок №5 (0 ≤ z5 ≤ 2.5м)

Mx = 1·z5;

при z5 = 0; Mx = 0.

при z5 = 2.5м; Mx = -2.50.

Участок №6 (0 ≤ z6 ≤ 2м)

Mx = 1·2.5м + XB·z6;

при z6 = 0; Mx = -2.50.

при z6 = 2м; Mx = -16.0.

6. Определение перемещения точки C

Перемещение определится как результат перемножения эпюр изгибающих моментов для заданной системы
(рис. 5) и единичной системы построенной для расчёта перемещения (рис. 7):

ΔC = ({[1/(2·1011·4·10-4)]·(2/6)·[0·0 +
4·114750·(-6.75) + 229500·(-13.5)]}1,1 + {[1/(2·1011·4·10-4)]·(4.5/6)·[229500·(-13.5) +
4·119812·(-6.75) + 0·0]}2,2 + {[1/(2·1011·5·10-4)]·(4/6)·[2.34·105·(-16)
+ 4·1.17·105·(-8) + 0·0]}3,3 + {[1/(2·1011·4·10-4)]·(2/6)·[2.37·105·(-16)
+ 4·2.37·105·(-16) + 2.37·105·(-16)]}4,4 +
{[1/(2·1011·5·10-4)]·(2.5/6)·[(-7500)·2.5 +
4·(-3750)·1.25 + 0·0]}6,5 + {[1/(2·1011·4·10-4)]·(2/6)·[(-2.37·105)·16
+ 4·(-122250)·9.25 + (-7500)·2.5]}7,6) = (-0.025819 — 0.059374 —
0.04992 — 0.0948 — 1.5625·10-4 — 0.034725) = -0.26479м.

Длина стержня l=
м.