Прямой брус работающий на растяжение и сжатие
Внутренние усилия при растяжении-сжатии.
Осевое (центральное) растяжение или сжатие прямого бруса вызывается внешними силами, вектор равнодействующей которых совпадает с осью бруса. При растяжении или сжатии в поперечных сечениях бруса возникают только продольные силы N. Продольная сила N в некотором сечении равна алгебраической сумме проекции на ось стержня всех внешних сил, действующих по одну сторону от рассматриваемого сечения. По правилу знаков продольной силы N принято считать, что от растягивающих внешних нагрузок возникают положительные продольные силы N, а от сжимающих — продольные силы N отрицательны (рис. 5).
Чтобы выявить участки стержня или его сечения, где продольная сила имеет наибольшее значение, строят эпюру продольных сил, применяя метод сечений, подробно рассмотренный в статье:
Анализ внутренних силовых факторов в статистически определимых системах
Ещё настоятельно рекомендую взглянуть на статью:
Расчёт статистически определимого бруса
Если разберёте теорию в данной статье и задачи по ссылкам, то станете гуру в теме «Растяжение-сжатие» =)
Напряжения при растяжении-сжатии.
Определенная методом сечений продольная сила N, является равнодействующей внутренних усилий распределенных по поперечному сечению стержня (рис. 2, б). Исходя из определения напряжений, согласно выражению (1), можно записать для продольной силы:
где σ — нормальное напряжение в произвольной точке поперечного сечения стержня.
Чтобы определить нормальные напряжения в любой точке бруса необходимо знать закон их распределения по поперечному сечению бруса. Экспериментальные исследования показывают: если нанести на поверхность стержня ряд взаимно перпендикулярных линий, то после приложения внешней растягивающей нагрузки поперечные линии не искривляются и остаются параллельными друг другу (рис.6, а). Об этом явлении говорит гипотеза плоских сечений (гипотеза Бернулли): сечения, плоские до деформации, остаются плоскими и после деформации.
Так как все продольные волокна стержня деформируются одинаково, то и напряжения в поперечном сечении одинаковы, а эпюра напряжений σ по высоте поперечного сечения стержня выглядит, как показано на рис.6, б. Видно, что напряжения равномерно распределены по поперечному сечению стержня, т.е. во всех точках сечения σ = const. Выражение для определения величины напряжения имеет вид:
Таким образом, нормальные напряжения, возникающие в поперечных сечениях растянутого или сжатого бруса, равны отношению продольной силы к площади его поперечного сечения. Нормальные напряжения принято считать положительными при растяжении и отрицательными при сжатии.
Деформации при растяжении-сжатии.
Рассмотрим деформации, возникающие при растяжении (сжатии) стержня (рис.6, а). Под действием силы F брус удлиняется на некоторую величину Δl называемую абсолютным удлинением, или абсолютной продольной деформацией, которая численно равна разности длины бруса после деформации l1 и его длины до деформации l
Отношение абсолютной продольной деформации бруса Δl к его первоначальной длине l называют относительным удлинением, или относительной продольной деформацией:
При растяжении продольная деформация положительна, а при сжатии – отрицательна. Для большинства конструкционных материалов на стадии упругой деформации выполняется закон Гука (4), устанавливающий линейную зависимость между напряжениями и деформациями:
где модуль продольной упругости Е, называемый еще модулем упругости первого рода является коэффициентом пропорциональности, между напряжениями и деформациями. Он характеризует жесткость материала при растяжении или сжатии (табл. 1).
Таблица 1
Модуль продольной упругости для различных материалов
Абсолютная поперечная деформация бруса равна разности размеров поперечного сечения после и до деформации:
Соответственно, относительную поперечную деформацию определяют по формуле:
При растяжении размеры поперечного сечения бруса уменьшаются, и ε’ имеет отрицательное значение. Опытом установлено, что в пределах действия закона Гука при растяжении бруса поперечная деформация прямо пропорциональна продольной. Отношение поперечной деформации ε’ к продольной деформации ε называется коэффициентом поперечной деформации, или коэффициентом Пуассона μ:
Экспериментально установлено, что на упругой стадии нагружения любого материала значение μ = const и для различных материалов значения коэффициента Пуассона находятся в пределах от 0 до 0,5 (табл. 2).
Таблица 2
Коэффициент Пуассона.
Абсолютное удлинение стержня Δl прямо пропорционально продольной силе N:
Данной формулой можно пользоваться для вычисления абсолютного удлинения участка стержня длиной l при условии, что в пределах этого участка значение продольной силы постоянно. В случае, когда продольная сила N изменяется в пределах участка стержня, Δl определяют интегрированием в пределах этого участка:
Произведение (Е·А) называют жесткостью сечения стержня при растяжении (сжатии).
Механические свойства материалов.
Основными механическими свойствами материалов при их деформации являются прочность, пластичность, хрупкость, упругость и твердость.
Прочность — способность материала сопротивляться воздействию внешних сил, не разрушаясь и без появления остаточных деформаций.
Пластичность – свойство материала выдерживать без разрушения большие остаточные деформации. Неисчезающие после снятия внешних нагрузок деформации называются пластическими.
Хрупкость – свойство материала разрушаться при очень малых остаточных деформациях (например, чугун, бетон, стекло).
Идеальная упругость – свойство материала (тела) полностью восстанавливать свою форму и размеры после устранения причин, вызвавших деформацию.
Твердость – свойство материала сопротивляться проникновению в него других тел.
Рассмотрим диаграмму растяжения стержня из малоуглеродистой стали. Пусть круглый стержень длинной l0 и начальным постоянным поперечным сечением площади A0 статически растягивается с обоих торцов силой F.
Диаграмма сжатия стержня имеет вид (рис. 10, а)
где Δl = l — l0 абсолютное удлинение стержня; ε = Δl / l0 — относительное продольное удлинение стержня; σ = F / A0 — нормальное напряжение; E — модуль Юнга; σп — предел пропорциональности; σуп — предел упругости; σт — предел текучести; σв — предел прочности (временное сопротивление); εост — остаточная деформация после снятия внешних нагрузок. Для материалов, не имеющих ярко выраженную площадку текучести, вводят условный предел текучести σ0,2 — напряжение, при котором достигается 0,2% остаточной деформации. При достижении предела прочности в центре стержня возникает локальное утончение его диаметра («шейка»). Дальнейшее абсолютное удлинение стержня идет в зоне шейки ( зона местной текучести). При достижении напряжением предела текучести σт глянцевая поверхность стержня становится немного матовой – на его поверхности появляются микротрещины (линии Людерса-Чернова), направленные под углом 45° к оси стержня.
Расчеты на прочность и жесткость при растяжении и сжатии.
Опасным сечением при растяжении и сжатии называется поперечное сечение бруса, в котором возникает максимальное нормальное напряжение. Допускаемые напряжения вычисляются по формуле:
где σпред — предельное напряжение (σпред = σт — для пластических материалов и σпред = σв — для хрупких материалов); [n] — коэффициент запаса прочности. Для пластических материалов [n] = [nт] = 1,2 … 2,5; для хрупких материалов [n] = [nв] = 2 … 5, а для древесины [n] = 8 ÷ 12.
Расчеты на прочность при растяжении и сжатии.
Целью расчета любой конструкции является использование полученных результатов для оценки пригодности этой конструкции к эксплуатации при минимальном расходе материала, что находит отражение в методах расчета на прочность и жесткость.
Условие прочности стержня при его растяжении (сжатии):
При проектном расчете определяется площадь опасного сечения стержня:
При определении допускаемой нагрузки рассчитывается допускаемая нормальная сила:
Расчет на жесткость при растяжении и сжатии.
Работоспособность стержня определяется его предельной деформацией [ l ]. Абсолютное удлинение стержня должно удовлетворять условию:
Часто дополнительно делают расчет на жесткость отдельных участков стержня.
Следующая важная статья теории:
Изгиб балки
Источник
Литература: Степин П. А. § 7–9, § 11–20, Ицкович Г. М. § 2.1–2.5, § 2.9–2.11
Изучение темы необходимо начинать с выяснения вопроса о внутренних силовых факторах, действующих в сечении бруса. Применение метода сечений позволяет найти величину и направление равнодействующей внутренней (продольной) силы упругости в рассматриваемом сечении. Принято считать, что внутренняя растягивающая сила положительна, а сжимающая – отрицательна. Поэтому неизвестную продольную силу N всегда направляют от сечения (рис. 3), предполагая, что в рассматриваемом сечении возникает растяжение. Величина продольной силы N определяется из условия равновесия отсеченной части, а именно: сумма сил, действующих по оси х, равна нулю при условии равновесия бруса.
SFix = F – N = 0, и следовательно N = F.
Если при расчете продольная сила получается положительной, это значит, что она действительно направлена от сечения и является растягивающей. Если N получается отрицательной, то она является сжимающей.
При изучении растяжения и сжатия прямого бруса следует обратить особое внимание на гипотезу плоских сечений, которая справедлива и при других видах нагружения бруса. Сущность ее заключается в том, что плоские сечения, нормальные к оси бруса до деформации, остаются и после деформации плоскими и нормальными к его оси, а отсюда следует, что продольные элементы бруса растягиваются одинаково, силы упругости будут распределяться по сечению бруса равномерно, а поэтому напряжение во всех точках сечения определяется по формуле σ = N / A, где N – внутренняя сила, А – площадь поперечного сечения, которая является геометрической характеристикой прочности и жесткости, форма сечения значения не имеет, все точки сечения равноопасны.
Мерой деформации растяжения является относительное удлинение
ε = Δ l / l, где l – первоначальная длина бруса, Δl = l1 – l – абсолютное удлинение. Величина ε не имеет размерности и часто выражается в процентах.
Особого внимания заслуживает закон Гука, согласно которому в пределах упругой деформации материала между напряжением и деформацией принимается прямо пропорциональная зависимость, которая выражается формулой:
σ = Εε, где σ – напряжение,
Ε – модуль продольной упругости (модуль упругости первого рода или модуль Юнга),
ε – относительное удлинение (или осевое укорочение).
Модуль продольной упругости имеет размерность напряжения МПа или Па (1 МПа = 106 Па) и характеризует жесткость материала, его способность сопротивляться упругому деформированию.
Для участка бруса длиной l, на котором постоянны продольная сила и площадь поперечного сечения, закон Гука можно записать в виде:
.
Это вторая форма закона Гука. Произведение ЕА называют жесткостью сечения. При расчетах на растяжение и сжатие используют основной принцип прочности детали: действующие или расчетные напряжения ни в одной точке детали не должны превышать допускаемые напряжения.
Так как при растяжении (сжатии) во всех точках сечения напряжения одинаковы, то при расчете бруса на прочность определяют положение наиболее напряженного (опасного) поперечного сечения. Если брус имеет постоянное по его длине поперечное сечение, то опасным является сечение, в котором возникает наибольшая продольная сила N. Если значение продольной силы во всех сечениях одинаково, то опасным является сечение с наименьшей площадью. Для определения опасного сечения бруса при изменяющихся по его длине площади поперечного сечения и продольной силе необходимо строить эпюру нормальных напряжений.
Условие прочности бруса при растяжении (сжатии), составленное для опасного сечения, имеет вид:
.
Условие прочности в словесной форме можно записать следующим образом:
Действующее (расчетное) напряжение = | Внутреннее усилие | ≤ Допускаемое напряжение |
| Характеристика поперечного сечения |
Форма сечения бруса не влияет на его прочность при растяжении (сжатии). Форму сечения бруса необходимо знать только для определения размеров сечения при известном сечении площади.
С помощью условия прочности выполняют три вида расчетов: проверочный расчет, проектный расчет и определение допускаемой нагрузки.
Надо знать, что в ряде случаев необходимые для расчета бруса усилия невозможно найти только из уравнений равновесия. Такие задачи называют статически неопределимыми. При решении таких задач уравнения, которых не хватает для определения усилий, составляют из условия деформации бруса или системы.
Вопросы для самопроверки
1. Как нужно нагрузить прямой брус, чтобы он испытывал только растяжение (сжатие)?
2. Чем отличаются внутренние силовые факторы, возникающие при растяжении и сжатии?
3. Что называется продольной силой в сечении бруса? Как ее определить?
4. Что называется эпюрами продольных сил и нормальных напряжений? Как они строятся?
5. Определите продольную силу в каждом из поперечных сечений бруса (рис. 5) и постройте эпюры продольных сил.
3 2 1
50 кН 20 кН
3 2 1
Рис. 5
6. Выберите из приведенных на рис. 6 эпюр продольных сил ту, которая соответствует схеме нагружения бруса. Приведите схемы нагружения бруса, которые будут соответствовать остальным эпюрам продольных сил.
20 кН 12 кН 8 кН
а)
20 кН 8 кН
б)
6кН
в)
16 кН 8 кН
4 кН
г)
20 кН 4 кН
8 кН
д)
8 кН 6 кН
4 кН
Рис. 6
7. Что такое продольная и поперечная деформация бруса при растяжении (сжатии)? Напишите формулы для определения величин абсолютного и относительного удлинения или укорочения.
8. Что такое коэффициент Пуассона? Отчего зависит его величина?
9. По какой формуле определяется величина напряжения в поперечном сечении стержня?
10. Как распределяются напряжения по поперечному сечению бруса при растяжении (сжатии)?
11. Какая геометрическая характеристика сечения характеризует его прочность и жесткость при растяжении (сжатии)?
12. Зависит ли возникающее при растяжении (сжатии) напряжение:
– от материала бруса;
– от формы поперечного сечения?
13. Сформулируйте закон Гука и приведите формулу, выражающую этот закон.
14. Как определяется удлинение (укорочение) участка бруса с постоянным поперечным сечением и постоянной силой по всей его длине?
15. Какая величина в формуле закона Гука характеризует жесткость материала?
16. Во сколько раз изменится удлинение бруса, если при прочих равных условиях:
а) увеличить длину бруса в два раза;
б) увеличить диаметр бруса в два раза?
Как отразятся подобные изменения на прочности бруса?
17. Стальной стержень квадратного сечения, у которого модуль продольной упругости Е = 2 · 105 МПа, длина L = 0,6 м, закреплен одним концом и нагружен на другом конце растягивающей силой F = 40 кН. Определите:
а) нормальное напряжение в поперечном сечении;
б) изменение длины стержня.
18. Что называется допустимым напряжением материала? Почему оно должно быть ниже предела пропорциональности данного материала?
19. До какого предельного напряжения, являющегося механической характеристикой пластичного материала, можно нагружать брус, не опасаясь появления пластической деформации?
20. Для какого материала допустимое напряжение определяют по пределу текучести sт, а для какого по пределу прочности sв?
21. Что называется коэффициентом запаса прочности и каковы его численные значения, исходя из свойств материала?
22. Сформулируйте условия прочности и запишите в математической форме это условие при расчете на растяжение и сжатие.
23. Сколько различных видов расчета можно произвести с помощью условия прочности?
24. Напишите формулы, по которым:
а) проверяется действительное напряжение в сечении бруса;
б) подбирается площадь поперечного сечения и определяется величина допустимой нагрузки при заданном значении бруса.
25. При проверке прочности различных элементов конструкции, для материала которых допускаемое напряжение принято 160 МПа, фактические расчетные напряжения оказались равными 110, 155, 160, 167 и 180 МПа. Какие из перечисленных случаев соответствуют:
а) недостаточной прочности;
б) недостаточной жесткости;
в) достаточной прочности и экономичности?
26. Для бруса, показанного на рис. 7, определить диаметр, считая его по всей длине постоянным. Допускаемое напряжение для материала (Ст 3) принять равным 160 МПа.
12 кН 5 кН
Рис. 7
27. Определить допустимое значение нагрузки F по условию прочности стержня СВ, выполненного из стальной полосы 3´8 мм.
Принять [s] = 160 МПа, А D = 0,5м, D В = 0,7м.
Рис. 8
28. Какие системы (конструкции) называются статически определимыми и какие – статически неопределимыми?
29. Каков порядок решения статически неопределимых задач?
30. Что называется напряженным состоянием в точке тела? По каким формулам определяются нормальные и касательные напряжения, возникающие в наклонных площадях в случае плоского напряженного состояния?
ТЕМА 3
Дата: 2019-12-22, просмотров: 80.
Источник