Напряженное состояние стали при растяжении
Сложное напряженное состояние характеризуется наличием двух или трех главных нормальных напряжений s1, s2 и s3, действующих одновременно (рис. 2.4). Если при одноосном напряженном состоянии (s1 ¹ 0; s2 = s3 = 0) пластические деформации развиваются при напряжениях, равных пределу текучести, то при сложном напряженном состоянии переход в пластическое состояние зависит от знака и соотношения действующих напряжений.
При однозначном поле напряжений, когда все напряжения либо растягивающие, либо сжимающие, напряжения s2 иs3 сдерживают развитие деформаций в направлении напряжения s1. В этом случае развитие пластических деформаций запаздывает, предел текучести повышается, а протяженность площадки текучести уменьшается, возникает опасность хрупкого разрушения.
Рис. 2.4 — Сложное напряженное состояние
При разнозначных напряжениях (сжатие в одном и растяжение в другом направлении) наблюдается обратная картина. Пластические деформации начинаются раньше, чем главные напряжения достигли предела текучести одноосного нагружения. Сталь становится как бы более пластичной.
То же самое при двухосном напряженном состоянии (рис. 2.5).
1 – σ1σ2 < 0; 2 — σ1σ2 > 0; 3 — σ2 = 0
Рис. 2.5 — Работа стали при плоском напряженном состоянии
Явление текучести можно представить как процесс изменения формы тела без изменения его объема. Удельная энергия изменения формы при сложном напряженном состоянии будет равна соответствующей энергии одноосного напряженного состояния, для которого напряжение перехода стали в пластическую стадию известно и равно пределу текучести σу. Следовательно, условие перехода стали в пластическую стадию при сложном напряженном состоянии:
.
Левую часть этого выражения называют приведенным напряжением. Приведенное напряжение при плоском напряженном состоянии равно:
.
Концентрация напряжений
В местах искажения сечения (у отверстий, выточек, надрезов, утолщений и т. п.) происходит искривление линий силового потока и их сгущение около препятствий (рис. 2.6), что приводит к повышению напряжений в этих местах.
Рис.2.6. Траектория и концентрация напряжений у мест резкого изменения формы элемента
а -около отверстий; б -около трещины; в -в сварном соединении лобовыми швами
Отношение максимального напряжения в местах концентрации к номинальному, равномерно распределенному по ослабленному сечению, называется коэффициентом концентрации. Коэффициент концентрации у круглых отверстий и полукруглых выточек имеет значение 2-3. В местах острых надрезов оно выше и тем больше, чем меньше радиус кривизны надреза и чем гуще собирается в этих местах силовой поток; коэффициент концентрации в этом случае достигает значения 6-9.
Развитие пластических деформаций и разрушение при равномерном распределении напряжений происходят под воздействием касательных напряжений, наибольшее значение которых возникает на плоскостях, наклонных под углом 45° к действующей силе (зона 1). При резком перепаде напряжений (зона 2) общие сдвиговые деформации происходить не могут (из-за задержки соседними, менее напряженными участками), поэтому в этих областях металл разрушается путем отрыва по плоскостям, нормальным к действующей силе.
При статических нагрузках и нормальной температуре концентрация напряжений существенного влияния на несущую способность не оказывает (не учитывая некоторого повышения разрушающей нагрузки). Поэтому при расчетах элементов металлических конструкций при таком виде воздействиях их влияние на прочность не учитывается.
При понижении температуры прочность на разрыв гладких образцов повышается во всем диапазоне отрицательных температур; прочность же образцов с надрезом повышается до некоторой отрицательной температуры, а затем понижается.
При длительном воздействии нагрузки сопротивление разрушению понижается.
Испытаниями установлено, что конструкции из низколегированных, особенно термоупрочненных сталей сопротивляются разрушению лучше, чем малоуглеродистые стали.
13:
Работа стали при изгибе
В изгибаемом элементе нормальные «напряжения распределяются по сечению неравномерно (как известно, в стадии упругой работы — по линейному закону): максимальные напряжения будут в фибровых (крайних) волокнах, по нейтральной оси они равны нулю. Если изгибающий момент будет продолжать увеличиваться, напряжения в крайних волокнах вследствие развития пластических деформаций останутся равными ат, а дополнительный момент будет восприниматься менее напряженными волокнами, расположенными ближе ^нейтральной оси. Наконец, Наступит время, когда напряжения по всему сечению балки будут равными пределу текучести — образуется так называемый шарнир пластичности и балка превратится в статически изменяемую «систему. Несущая способность балки полностью исчерпана.
Для разрезных прокатных и сварных (постоянного сече- по длине) балок, воспринимающих статическую нагрузку, закрепленных от потери общей устойчивости, а также при условии, что касательные напряжения в месте наибольшего изгибающего момента не превышают 0,3 расчетного сопротивления,нормы допускают развитие пластических деформаций.
В балках при изгибе, как известно, кроме нормальных возникают и касательные напряжения. Значения их изменяются как по длине балки, так и по высоте сечения. Так, для балки с шарнирными опорами при равномерно распределенной нагрузке на опоре изгибающий момент и нормальные напряжения равны нулю, в середине пролета М и а — максимальные. Касательные напряжения, являющиеся функцией поперечной силы, будут максимальными в опорном сечении и равными нулю в середине пролета балки.
Во всех остальных сечениях между опорой и серединой балки одновременно действуют нормальные и касательные напряжения. В этой зоне балки и в первую очередь в балках с измененным по длине сечением необходимо определять их суммарные значения — приведенные напряжения.
14-15:
Источник
Для того чтобы иметь представление о прочности материала, необходимо знать действующие напряжения не только в плоскости поперечного сечения, но и по любому наклонному сечению.
Рассмотрим стержень, который находится под действием растягивающей силы (рис. 29). Полагаем, что в поперечных сечениях стержня, достаточно удалённых от точек приложения сосредоточенных сил, нормальные напряжения распределяются равномерно и определяются по формуле (2.3):
.
В окрестности какой-либо точки S, лежащей в плоскости сечения abb′a′ (рис. 29), выделим бесконечно малый элемент (рис. 30а). Поскольку на грани, перпендикулярной к направлению растягивающей силы, действует нормальное напряжение , а на остальных гранях напряжения отсутствуют, то элемент находится в линейном напряжённом состоянии (главные напряжения, ). Условимся такой элемент изображать в виде плоской фигуры (рис. 30б), хотя в действительности он имеет форму прямоугольного параллелепипеда.
Определим напряжение, возникающее в наклонном сечении a1b1b1′a1′(рис. 30а,б), перпендикулярном к плоскости рисунка. Положение наклонной площадки определяется углом α между направлением главного вектора и внешней нормалью n−n к площадке. Этот угол считают положительным, если его отсчитывают против часовой стрелки от направления . Наклонную площадку обозначают углом, определяющим её положение. Так, для принятого на рис. 6.3б обозначения угла имеем α-площадку (площадка a1b1). На этой площадке будут действовать нормальное, σα и касательное τα напряжения, для определения которых применяют метод сечений. Так как наклонная площадка рассекла элемент на две части, отбросим одну из них (например, верхнюю) и рассмотрим равновесие оставшейся (нижней) части (рис. 30в). Условие равновесия запишем в виде проекций всех сил на нормаль n−n и площадку t−t:
;
где – площадь наклонного сечения.
Учитывая, что , из уравнений равновесия находим:
(6.1)
. (6.2)
Для определения напряжений на площадке, перпендикулярной к площадке a1b1 (рис. 30г), расположенной под углом ( ), заменим в формулах (6.1) и (6.2) угол α на ( ), получим:
; (6.3)
. (6.4)
Для направлений напряжений σ и τ, действующих по наклонным площадкам, принимаем следующее правило знаков: нормальное напряжение положительно, если оно растягивающее; касательное напряжение положительно, если для совпадения с его направлением нормаль к площадке необходимо повернуть по направлению движения часовой стрелки.
Отметим некоторые свойства линейного напряжённого состояния, вытекающие из зависимостей (6.1)–(6.4):
1. Сумма нормальных напряжений, действующих по двум взаимно перпендикулярным площадкам, постоянна и равна главному напряжению, т. е.
. (6.5)
Этим свойством нормальных напряжений обычно пользуются для проверки правильности их вычислений.
2. На двух взаимно перпендикулярных площадках касательные напряжения равны, но противоположны по знаку, т. е.
. (6.6)
Данное свойство является общим для любого напряжённого состояния (закон парности касательных напряжений).
3. Величина нормального напряжения в любом наклонном сечении ( ) меньше и достигает максимума лишь в поперечных сечениях ( ).
4. Касательное напряжение наибольшее значение имеет в сечении, составляющем угол с направлением . В этом случае
. (6.7)
Оценивая напряжённое состояние стержня при его осевом растяжении или сжатии, можно сделать заключение о том, что стержень разрушается либо по поперечному сечению в результате действия максимальных нормальных напряжений, либо по наклонной (под углом ) плоскости от действия наибольших касательных напряжений.
Источник
Рассмотрим более детально особенности напряженного состояния, возникающего в однородном растянутом стержне.
Рис. 1.18
Определим сначала напряжения в некоторой наклонной площадке, составляющей угол а с плоскостью нормального сечения (рис. 1.18). Полное напряжение на этой площадке, согласно условию однородности напряженного состояния для всех точек площадки, будет одним и тем же. Равнодействующая же внутренних сил в сечении должна быть направлена по оси стержня и равна растягивающей силе т. е.
где — площадь косого сечения, . Таким образом, полное напряжение на наклонной площадке
Раскладывая это напряжение по нормали и по касательной к наклонной площадке (рис. 1.18, б), находим
или
Как видим, для одной и той же точки растянутого стержня значения возникающих в сечении напряжений оказываются различными в зависимости от ориентации секущей площадки. Поэтому, в частности, неточным было бы утверждение, что при растяжении возникают только нормальные напряжения. Это верно только для площадок, нормальных к оси стержня.
Если положить то из выражений (1.10) и (1.11) мы получим напряжения в поперечном сечении стержня, т. е.
При т. е. в продольных сечениях, ста Это значит, что продольные слои растянутого стержня не имеют между собой силового взаимодействия по боковым поверхностям. В этом смысле растяжение стержня можно уподобить растяжению пучка не связанных между собой параллельных нитей.
Касательное напряжение та, обращаясь в нуль в продольных и поперечных сечениях, имеет наибольшее значение на площадках, наклоненных под углом 45° к оси растянутого стержня:
Если из растянутой полосы мы выделим прямоугольник (рис. 1.19, а), то на его гранях АВ и следует приложить напряжения , определяемые выражениями (1.10) и (1.11).
Рис. 1.19
На рис. 1.19, б эти напряжения отмечены сверху штрихом. На гранях и напряжения вычисляют также по формулам (1.10), (1.11), в которых только угол а заменяют углом а Эти напряжения отмечены двумя штрихами. Таким образом, то напряженное состояние, которое показано на рис. 1.19, б, представляет собой обыкновенное растяжение, но изображенное в непривычном для нас ракурсе.
Существенно отметить, что переход от произвольной площадки а к площадке не сказывается на абсолютной величине касательного напряжения та. Действительно,
Следовательно, на двух взаимно перпендикулярных площадках (если отвлечься пока от знаков) касательные напряжения должны быть равными. Это условие является общей особенностью любого напряженного состояния и носит название закона парности касательных напряжений.
Этому закону можно дать наглядное толкование. Если рассмотреть произвольно взятый элемент (см. рис. 1.19, а), то легко заметить, что, независимо от значений нормальных напряжений о и касательные напряжения должны иметь такое значение и такое направление, чтобы моменты их пар взаимно уравновешивались (см. рис. 1.19, б). Для произвольно взятого элемента, имеющего толщину , очевидно, что
Таким образом,
При этом, как видно на рис. 1.19, б, векторы касательных напряжений в двух взаимно перпендикулярных площадках направлены либо оба к общему ребру (ребра А и С), либо от общего ребра
Закон парности касательных напряжений в самом общем виде сложного напряженного состояния будет рассмотрен еще раз в гл. 7.
Теперь обратимся к анализу деформированного состояния растянутого стержня.
Наблюдения показывают, что удлинение стержня в осевом направлении сопровождается уменьшением его поперечных размеров (рис. 1.20). Таким образом, при растяжении возникает не только продольная, но и поперечная деформация стержня:
Рис. 1.20
Экспериментально установлено, что в пределах применимости закона Гука поперечная деформация пропорциональна продольной:
где — безразмерный коэффициент пропорциональности, называемый коэффициентом Пуассона. Коэффициент характеризует свойства материала. Определяют его экспериментальным путем. Для всех металлов числовые значения лежат в пределах . В дальнейшем, в гл. 7, будет показано, что для изотропного материала значение вообще не может превышать 0,5.
Вернемся к рис. 1.19, а. Полоса удлиняется в продольном направлении и сужается в поперечном. Стороны прямоугольника начерченного на поверхности полосы, изменят свою длину, а сам прямоугольник перекосится и превратится в параллелограмм. Углы А и С уменьшатся, а В и — увеличатся. Это изменение прямого угла для заданной ориентации сторон, как нам уже известно, называется угловой деформацией или углом сдвига. Чтобы найти его, мы определим сначала углы, на которые повернутся отрезки АВ и Разность этих углов и даст нам искомый угол сдвига.
Начнем с отрезка АВ (рис. 1.21). Построим на нем, как на диагонали, вспомогательный прямоугольник стороны которого и ориентированы по продольной оси стержня. Вследствие продольного удлинения точка В переместится вправо и отрезок АВ повернется на угол
Рис. 1.21
В результате поперечного сужения отрезок АВ получит дополнительный угол поворота
Сумма этих углов дает нам искомый угол поворота отрезка АВ:
или
Изменяя угол а на 90°, найдем положение отрезка АВ:
Угловая деформация (угол сдвига) определяется разностью углов поворота отрезков, и, следовательно,
Сопоставляя это выражение с выражением (1.11), выведенным для напряжения та, замечаем, что угол сдвига между плоскостями АВ и АС независимо от а пропорционален касательному
напряжению, т.е.
Это соотношение в случае изотропного материала является единым для всех типов напряженных состояний и носит название закона Гука для сдвига. Опуская индекс а, напишем последнее выражение в виде
где величина называется модулем сдвига, или модулем упругости второго рода:
Модуль измеряется в тех же единицах, что и модуль Е.
Таким образом, если закон Гука для растяжения постулируется при помощи соотношений (1.4) и (1.12), то для сдвига он вытекает из них как следствие.
Источник
В начале курса при первом знакомстве с понятием «напряжение» было подчеркнуто, что нельзя говорить о напряжении в данной точке тела, не указывая положения площадки, на которой оно возникает. Действительно, через точку можно провести бесчисленное множество различно ориентированных площадок, и, конечно, в общем случае нет никаких оснований предполагать, что возникающие на них напряжения одинаковы.
Совокупность нормальных и касательных напряжений, возникающих на всем бесчисленном множестве площадок, которые можно провести через данную точку, характеризует напряженное состояние в этой точке.
Исследовать напряженное состояние в данной точке — это значит получить зависимости, позволяющие определить напряжения, возникающие в любой проведенной через нее площадке. Для решения этой задачи надо знать напряжения по любым трем взаимно перпендикулярным площадкам, проведенным через исследуемую точку (доказательства этого положения не приводим). Эти площадки и возникающие на них напряжения (они, повторяем, должны быть известны) называют исходными.
При исследовании напряженного состояния в различных точках прямого бруса в любом случае его нагружения исходными являются напряжения, возникающие на площадках, соответствующих поперечному и двум продольным сечениям, проходящим через рассматриваемую точку. При растяжении (сжатии) прямого бруса в поперечных сечениях возникают только нормальные напряжения, определяемые по формуле:
σz=N/A (2.5.1)
Индекс z показывает, что это напряжение возникает на площадке, нормаль к которой параллельна оси z . В продольных сечениях нет ни нормальных, ни касательных напряжений.
Отсутствие нормальных напряжений в продольных сечениях является следствием того, что при растяжении (сжатии) нет взаимного надавливания волокон бруса. В отсутствии касательных напряжений легко убедиться, рассекая брус продольной плоскостью и рассматривая условие равновесия одной из его отсеченных частей,
Для исследования напряженного состояния мысленно вырежем вокруг произвольной точки бруса бесконечно малый параллелепипед (рис. 2.5.3, а). В дальнейшем такие элементарные параллелепипеды будем называть элементами или частицами.
Рисунок 2.5.3
В рассматриваемом случае совершенно безразлично, где именно вырезать эту частицу, так как напряженное состояние всех точек бруса одинаково — однородное напряженное состояние.
Для того чтобы выделенный элемент находился в равновесии, следует приложить к его граням внутренние силы, заменяющие действие отброшенных частей тела (бруса) на оставленную. Обращаем внимание, что здесь мы поступаем в полном соответствии с требованиями метода сечений, но если ранее при определении продольных сил было достаточно рассечь брус плоскостью, совпадающей с интересующим нас поперечным сечением, то новая задача — исследование напряженного состояния — потребовала иного применения этого метода: элемент вырезан шестью сечениями.
Выделенный элемент (модель напряженной точки) изображен отдельно на рис. 2.5.3,6. На его гранях, совпадающих с плоскостями поперечного сечения бруса, возникают нормальные напряжения, остальные четыре грани от напряжений свободны.
Источник