Жесткость сечения при растяжении и сжатии формула
Внутренние усилия при растяжении-сжатии.
Осевое (центральное) растяжение или сжатие прямого бруса вызывается внешними силами, вектор равнодействующей которых совпадает с осью бруса. При растяжении или сжатии в поперечных сечениях бруса возникают только продольные силы N. Продольная сила N в некотором сечении равна алгебраической сумме проекции на ось стержня всех внешних сил, действующих по одну сторону от рассматриваемого сечения. По правилу знаков продольной силы N принято считать, что от растягивающих внешних нагрузок возникают положительные продольные силы N, а от сжимающих — продольные силы N отрицательны (рис. 5).
Чтобы выявить участки стержня или его сечения, где продольная сила имеет наибольшее значение, строят эпюру продольных сил, применяя метод сечений, подробно рассмотренный в статье:
Анализ внутренних силовых факторов в статистически определимых системах
Ещё настоятельно рекомендую взглянуть на статью:
Расчёт статистически определимого бруса
Если разберёте теорию в данной статье и задачи по ссылкам, то станете гуру в теме «Растяжение-сжатие» =)
Напряжения при растяжении-сжатии.
Определенная методом сечений продольная сила N, является равнодействующей внутренних усилий распределенных по поперечному сечению стержня (рис. 2, б). Исходя из определения напряжений, согласно выражению (1), можно записать для продольной силы:
где σ — нормальное напряжение в произвольной точке поперечного сечения стержня.
Чтобы определить нормальные напряжения в любой точке бруса необходимо знать закон их распределения по поперечному сечению бруса. Экспериментальные исследования показывают: если нанести на поверхность стержня ряд взаимно перпендикулярных линий, то после приложения внешней растягивающей нагрузки поперечные линии не искривляются и остаются параллельными друг другу (рис.6, а). Об этом явлении говорит гипотеза плоских сечений (гипотеза Бернулли): сечения, плоские до деформации, остаются плоскими и после деформации.
Так как все продольные волокна стержня деформируются одинаково, то и напряжения в поперечном сечении одинаковы, а эпюра напряжений σ по высоте поперечного сечения стержня выглядит, как показано на рис.6, б. Видно, что напряжения равномерно распределены по поперечному сечению стержня, т.е. во всех точках сечения σ = const. Выражение для определения величины напряжения имеет вид:
Таким образом, нормальные напряжения, возникающие в поперечных сечениях растянутого или сжатого бруса, равны отношению продольной силы к площади его поперечного сечения. Нормальные напряжения принято считать положительными при растяжении и отрицательными при сжатии.
Деформации при растяжении-сжатии.
Рассмотрим деформации, возникающие при растяжении (сжатии) стержня (рис.6, а). Под действием силы F брус удлиняется на некоторую величину Δl называемую абсолютным удлинением, или абсолютной продольной деформацией, которая численно равна разности длины бруса после деформации l1 и его длины до деформации l
Отношение абсолютной продольной деформации бруса Δl к его первоначальной длине l называют относительным удлинением, или относительной продольной деформацией:
При растяжении продольная деформация положительна, а при сжатии – отрицательна. Для большинства конструкционных материалов на стадии упругой деформации выполняется закон Гука (4), устанавливающий линейную зависимость между напряжениями и деформациями:
где модуль продольной упругости Е, называемый еще модулем упругости первого рода является коэффициентом пропорциональности, между напряжениями и деформациями. Он характеризует жесткость материала при растяжении или сжатии (табл. 1).
Таблица 1
Модуль продольной упругости для различных материалов
Абсолютная поперечная деформация бруса равна разности размеров поперечного сечения после и до деформации:
Соответственно, относительную поперечную деформацию определяют по формуле:
При растяжении размеры поперечного сечения бруса уменьшаются, и ε’ имеет отрицательное значение. Опытом установлено, что в пределах действия закона Гука при растяжении бруса поперечная деформация прямо пропорциональна продольной. Отношение поперечной деформации ε’ к продольной деформации ε называется коэффициентом поперечной деформации, или коэффициентом Пуассона μ:
Экспериментально установлено, что на упругой стадии нагружения любого материала значение μ = const и для различных материалов значения коэффициента Пуассона находятся в пределах от 0 до 0,5 (табл. 2).
Таблица 2
Коэффициент Пуассона.
Абсолютное удлинение стержня Δl прямо пропорционально продольной силе N:
Данной формулой можно пользоваться для вычисления абсолютного удлинения участка стержня длиной l при условии, что в пределах этого участка значение продольной силы постоянно. В случае, когда продольная сила N изменяется в пределах участка стержня, Δl определяют интегрированием в пределах этого участка:
Произведение (Е·А) называют жесткостью сечения стержня при растяжении (сжатии).
Механические свойства материалов.
Основными механическими свойствами материалов при их деформации являются прочность, пластичность, хрупкость, упругость и твердость.
Прочность — способность материала сопротивляться воздействию внешних сил, не разрушаясь и без появления остаточных деформаций.
Пластичность – свойство материала выдерживать без разрушения большие остаточные деформации. Неисчезающие после снятия внешних нагрузок деформации называются пластическими.
Хрупкость – свойство материала разрушаться при очень малых остаточных деформациях (например, чугун, бетон, стекло).
Идеальная упругость – свойство материала (тела) полностью восстанавливать свою форму и размеры после устранения причин, вызвавших деформацию.
Твердость – свойство материала сопротивляться проникновению в него других тел.
Рассмотрим диаграмму растяжения стержня из малоуглеродистой стали. Пусть круглый стержень длинной l0 и начальным постоянным поперечным сечением площади A0 статически растягивается с обоих торцов силой F.
Диаграмма сжатия стержня имеет вид (рис. 10, а)
где Δl = l — l0 абсолютное удлинение стержня; ε = Δl / l0 — относительное продольное удлинение стержня; σ = F / A0 — нормальное напряжение; E — модуль Юнга; σп — предел пропорциональности; σуп — предел упругости; σт — предел текучести; σв — предел прочности (временное сопротивление); εост — остаточная деформация после снятия внешних нагрузок. Для материалов, не имеющих ярко выраженную площадку текучести, вводят условный предел текучести σ0,2 — напряжение, при котором достигается 0,2% остаточной деформации. При достижении предела прочности в центре стержня возникает локальное утончение его диаметра («шейка»). Дальнейшее абсолютное удлинение стержня идет в зоне шейки ( зона местной текучести). При достижении напряжением предела текучести σт глянцевая поверхность стержня становится немного матовой – на его поверхности появляются микротрещины (линии Людерса-Чернова), направленные под углом 45° к оси стержня.
Расчеты на прочность и жесткость при растяжении и сжатии.
Опасным сечением при растяжении и сжатии называется поперечное сечение бруса, в котором возникает максимальное нормальное напряжение. Допускаемые напряжения вычисляются по формуле:
где σпред — предельное напряжение (σпред = σт — для пластических материалов и σпред = σв — для хрупких материалов); [n] — коэффициент запаса прочности. Для пластических материалов [n] = [nт] = 1,2 … 2,5; для хрупких материалов [n] = [nв] = 2 … 5, а для древесины [n] = 8 ÷ 12.
Расчеты на прочность при растяжении и сжатии.
Целью расчета любой конструкции является использование полученных результатов для оценки пригодности этой конструкции к эксплуатации при минимальном расходе материала, что находит отражение в методах расчета на прочность и жесткость.
Условие прочности стержня при его растяжении (сжатии):
При проектном расчете определяется площадь опасного сечения стержня:
При определении допускаемой нагрузки рассчитывается допускаемая нормальная сила:
Расчет на жесткость при растяжении и сжатии.
Работоспособность стержня определяется его предельной деформацией [ l ]. Абсолютное удлинение стержня должно удовлетворять условию:
Часто дополнительно делают расчет на жесткость отдельных участков стержня.
Следующая важная статья теории:
Изгиб балки
Источник
Основной задачей расчета конструкции является обеспечение ее безопасной эксплуатации. Важнейшим условием, обеспечивающим безопасную эксплуатацию конструкции, является условие прочности. Существуют различные методы обеспечения прочности конструкций. Мы чаще всего будем пользоваться одним из этих методов – расчетом по допускаемым напряжениям. Согласно этому методу для конструкций, работающих на растяжение-сжатие, условие прочности, составленное для опасного сечения, можно записать в таком виде:
(2.26)
где – максимальное напряжение в конструкции; – характеристика материала, называемая допускаемым напряжением.
Допускаемое напряжение находится по формуле
. (2.27)
где – предельное напряжение, при достижении которого в стержне наступает предельное состояние материала: появляются пластические деформации, если материал стержня – пластичный, или происходит разрушение, если стержень выполнен из хрупкого материала; n – нормируемый коэффициент запаса прочности.
Кроме формулы (2.26), возможен второй вариант условия прочности
, (2.28)
где (2.29)
называется действительным коэффициентом запаса прочности, показывающим во сколько раз надо увеличить максимальное напряжение в стержне, чтобы материал стержня оказался в опасном (предельном) состоянии.
Условие прочности в зависимости от цели поставленной задачи позволяет выполнять расчеты на прочность двух видов: проектный и проверочный. Для спроектированного стержня можно также определять допускаемую нагрузку.
Проектный расчет выполняют с целью определения размеров поперечных сечений элемента конструкции при известных рабочих нагрузках и материале (допускаемых напряжений). Площадь поперечного сечения определяют из выражения
. (2.30)
Форма сечения стержня не влияет на его прочность при растяжении (сжатии). Форму сечения стержня необходимо знать только для определения размеров сечения при известном значении площади.
Зная площадь сечения и его форму, находят размеры сечения.
Проверочный расчет выполняют для спроектированной конструкции с целью проверки ее прочности. При проверочном расчете должны быть известны площадь опасного сечения, нагрузка и материал (допускаемое напряжение). Проверочный расчет выполняют по формуле (2.26).
Определение допускаемой нагрузки для спроектированного элемента конструкции, размеры поперечного сечения которого и материал (допускаемые напряжения) известны. Условие прочности в этом случае записывают в виде
. (2.31)
Зная значение , определяют допускаемую нагрузку .
Так как допускаемые напряжения не имеют точного значения, а выбираются приближенно, то при проверочном расчете максимальные рабочие напряжения могут превышать допускаемые на 5%. По этой же причине можно округлять полученные в расчетах значения площади опасного поперечного сечения или допускаемой нагрузки так, чтобы максимальные напряжения отличались от допускаемых не более чем на 5%. По этой же причине можно округлять полученные в расчетах значения площади опасного поперечного сечения или допускаемой нагрузки та, чтобы максимальные напряжения отличались от допускаемых не более чем на 5%.
При проектировании элементов конструкций стремятся сделать их во всех сечениях равнопрочными.
Рассмотренные три вида расчетов на прочность можно выполнять не только при растяжении или сжатии, а при любом виде деформации (сдвиге, кручении, изгибе).
При проектировании строительных конструкций расчет на прочность стальных элементов, подверженных центральному растяжению или сжатию, следует выполнять по формуле
(2.32)
где – коэффициент условий работы, принимаемый по СНИП (см. табл.2.1) или другим нормам.
Таблица 2.1
| Элементы конструкции | |
| Колонны общественных зданий и опор водонапорных башен Элементы стержневых конструкций покрытий и перекрытий: а) сжатых при расчетах на устойчивость б) растянутых в сварных конструкциях Сплошные составные балки, колонны, несущие статическую нагрузку и выполненные с помощью болтовых соединений, при расчетах на прочность Сечения прокатных и сварных элементов, несущих статическую нагрузку, при расчетах на прочность Сжатые элементы из одиночных уголков, прикрепляемые одной полкой | 0,95 0,95 0,95 1,1 1,1 0,75 |
Примечание: В случаях, не оговоренных в настоящих нормах, в формулах следует
принимать .
Для хрупких строительных материалов условия прочности принимают вид:
при растяжении: , ;
при сжатии: , (2.33)
где и – допускаемые напряжения при растяжении и сжатии; nt и nc – нормативные коэффициенты запаса прочности по отношению к пределу прочности (nt, nc>1).
Для центрально сжатых бетонных элементов формула (2.33) записывается в виде:
(2.34)
где – коэффициент, принимаемый для бетона тяжелого, мелкозернистого и легкого равным 1,00; для ячеистого автоклавного – 0,85; для ячеистого неавтоклавного – 0,75.
В некоторых случаях работоспособность элемента конструкции определяется не только его прочностью, но и жесткостью, т.е. способностью элемента воспринимать нагрузки без недопустимых упругих деформаций. При расчетах на жесткость определяют максимальные перемещения сечений и сопоставляют их с допускаемыми перемещениями.
Условие жесткости, ограничивающее изменение длины элемента, имеет следующий общий вид:
,
где — изменение размеров детали;
— допускаемая величина этого изменения.
Учитывая, что при растяжении (сжатии) абсолютное удлинение в общем виде определяется как алгебраическая сумма величин по участкам
, (2.35)
условие жесткости при растяжении (сжатии) запишем следующим образом:
. (2.36)
Так как перемещение, согласно закону Гука, зависит от нагрузки и размеров поперечного сечения, условие жесткости позволяет решать те же три вида задач, что и условие прочности.
Источник
При расчете на растяжение или сжатие одного элемента конструкции можно считать уже определенными сочетание нагрузок (р = 1) и уровень надежности (у„ = 1). Тогда условие прочности (5.20) для случая растяжения (сжатия) можно записать в виде
или
С помощью выражения (5.23) могут быть решены задачи следующих трех типов.
- 1. Расчет на прочность существующей конструкции или ее элемента с определенными размерами и известной нагрузкой. При этом определяют напряжения в расчетном сечении и сравнивают их с расчетным сопротивлением по формуле (5.23). Задачи этого типа называют поверочным расчетом.
- 2. Определение предельной нагрузки на конструкцию или ее элемент. При этом по формуле (5.22) определяют значение предельной продольной силы и по ней — действующую нагрузку. Задачи этого типа называют определением грузоподъемности.
- 3. Определение размеров поперечного сечения элемента конструкции при известном материале и действующей нагрузке:
Задачи этого типа называют подбором сечений.
При расчете по второй группе предельных состояний условие жесткости (5.21) при растяжении (сжатии) с учетом (5.10) в общем случае принимает вид
а в случае действия одной силы на стержень постоянного сечения
где [Д/] — допускаемое изменение длины стержня при действии нормативных нагрузок.
Рассмотрим несколько примеров расчета стержней на прочность и жесткость при растяжении и сжатии.
Пример 5.6
Требуется определить допускаемую нагрузку [ /•’] на кирпичный столб сечением 64 х 64 см (2,5 х 2,5 кирпича) и высотой Н= 2,4 м из условия прочности кладки на сжатие. Расчетное сопротивление кладки Л = 1,15 МПа, плотность у = 17,65 кН/м3, коэффициент условия работы ус = 1,0.
Решение. 1. Площадь поперечного сечения столба Лш = 0,64 • 0,64 = 0,4096 м2.
- 2. Наибольшая сжимающая сила в основании столба N= [Т| + уАН= [Т| + 17,65 • 0,4096 • 2,4 = F + 17,35 кН.
- 3. На основании условия (5.22) имеем N=[F+ 17,35
[F]
Пример 5.7
Требуется определить допускаемую нагрузку [F] на балку (рис. 5.17, а), поддерживаемую стальными тягами 1 и 2 (см. рис. 5.17, а), из условий ограничения вертикального перемещения балки на величину не более чем [Д/] = //2000 = 0,25 см и прочности. Стальные тяги диаметром d = 20 мм изготовлены из стали марки С285. Расчетное сопротивление R,. = 280 МПа (см. прил. 2), модуль упругости Е = 2,06 • 105 МПа = 2,06 • 10® кПа (см. прил. 1). Коэффициент условия работы ус = 1,0, коэффициент надежности по нагрузке уг = 1,1.
Решение. 1. Проведем сечение по тягам 1 и 2 (рис. 5.17, б) и, приведя распределенную нагрузку к равнодействующей Rq = ql= 5q, определим из условий равновесия усилия в тягах, выраженные через значение нагрузки q.
ША = 0; 2,5q- 2,5 — Щ • 5 = 0, N2 = 3,25q.
Lv/B = 0; TV, — 5 — 2,5q • 2,5 = 0, /V, = 4,25q > N2,
JV) > iV2, значит удлинение стержня 1 будет больше удлинения стержня 2.
Рис. 5.17
- 2. Площадь сечения стержней тяги Ant= кг2 = п ? 0,012 = 3,14 • 10-4 м2.
- 3. Жесткость тяги ЕА = 2,06 • 108 • 3,14 • 10″4 = 6,47 • 104 кН.
- 4. Удлинение тяги 1 согласно формуле (5.9)
А/, = ЛУ, / ЕА- 4,25*7 • 2/6,47 • 104 = 1,314*7 • 10 4 м.
На основании (5.26) можем записать:
А/, = 1,314*7 • 104
откуда допускаемое значение распределенной нагрузки будет 1*7] = 0,0025/1,314 • 10-4 = 19 кН/м, а значение сосредоточенной силы (по условию задачи)
[F] = 0,5*7/ =0,5- 19 -5 = 47,5 кН.
5. Расчетные значения нагрузок:
F = [F] У/ = 47,5 • 1,1 = 52,25 кН;
*7 = [Уу = 19 • 1,1 = 20,9 кН/м.
- 6. Значение продольной силы в тяге 1 при полученном значении нагрузки N{ = 4,25*7 = 4,25 • 20,9 = 88,83 кН.
- 7. Нормальное напряжение в тяге 1
а = Nx/A = 88,83/3,14 • 10 4 = 281,2 • 103 кПа,
т.е. условие прочности (5.23) выполняется, так как а = 281,2 МПа Rlf = 285 МПа.
Пример 5.8
Требуется определить сторону а квадратного сечения деревянного подкоса 1 (рис. 5.18, а). Расчетное сопротивление на сжатие вдоль волокон (сосна) Rc = 14 МПа (прил. 4). Коэффициент условия работы ус = 1,0.
Рис. 5.18
Решение. 1. Удалим стержень 1 и заменим его действие усилием Лг, (рис. 5.18, 6). Плечо до силы ЛГ, из точки С h = 1 • cos45° = 0,7071 м.
Величину усилия найдем из уравнения
- ?Л/ПРАВ = 0; 40-2 +N, 0,7071 = 0, Nx =-113,14 кН (сжатие).
- 2. Требуемая площадь поперечного сечения согласно (5.24)
Аф = а? > ЛГ, / (Rc yc) = 113,4/(14000 ? 1) = 0,0081 м2,
откуда а = ^0,0081 = 0,09 м. Принимаем а = 9 см.
Пример 5.9
Требуется проверить прочность ступенчатого стержня (рис. 5.19, а). Материал — чугун марки СЧ15. Расчетные сопротивления (см. ирил. 4) на сжатие и растяжение соответственно R(. = 160 МПа и R{ = 55 МПа.
Рис. 5.19
Решение. 1. Определим горизонтальную опорную реакцию в точке А.
Хх = 0; -НА + 65 — 40 = 0, НА = 25 кН.
- 2. Назначим расчетные участки бруса. Границами расчетных участков будут места ступенчатого изменения сечения бруса и точки приложения внешних нагрузок. Таким образом, для бруса имеем три расчетных участка (рис. 5.19, б).
- 3. Определяем продольные силы в поперечных сечениях бруса и строим эпюру N.
Участок 1. N = Х.РЛЕВ= 25 кН.
Участок 2. N2= 5>ев = 25 — 65 = -40 кН.
Участок 3. N3= N2 = -40 кН.
Эпюра продольных сил N, построенная по полученным данным, показана на рис. 5.19, в.
4. Площади поперечных сечений стержня по участкам:
А, =А2= л ? 0.0152= 7,07 ? 10-4 м2; А3= л • 0,012 = 3,14 • 12.
5. Определим нормальные напряжения на расчетных участках и построим эпюру напряжений о.
Участок 1.ai=Ni/Al = 25/7,07- 10 4 = 3,536- 10’* кН/м2 = 35,36 МПа.
Участок 2. а, = N2/A2 = -40/7,07 10 4 = -5,658 • 104 кН/м2 = -56,58 МПа.
Участок 3. ст3 = N3/A3= -40/3,14 1 0 4 = -12,739104 кН/м2 = -127,39 МПа.
Эпюра напряжений ст показана на рис. 5.19, г.
6. Как видно из построенной эпюры напряжений, проверке прочности подлежат сечения на первом (на растяжение) и третьем (па сжатие) участках, для которых
су 1 = 35,36 МПа 55 МПа; а3 = 127,39 Mila Rc = 160 Mila.
Таким образом, условия прочности для рассматриваемого стержня выполняются.
Источник