Жесткость при растяжении и сжатии это
Внутренние усилия при растяжении-сжатии.
Осевое (центральное) растяжение или сжатие прямого бруса вызывается внешними силами, вектор равнодействующей которых совпадает с осью бруса. При растяжении или сжатии в поперечных сечениях бруса возникают только продольные силы N. Продольная сила N в некотором сечении равна алгебраической сумме проекции на ось стержня всех внешних сил, действующих по одну сторону от рассматриваемого сечения. По правилу знаков продольной силы N принято считать, что от растягивающих внешних нагрузок возникают положительные продольные силы N, а от сжимающих — продольные силы N отрицательны (рис. 5).
Чтобы выявить участки стержня или его сечения, где продольная сила имеет наибольшее значение, строят эпюру продольных сил, применяя метод сечений, подробно рассмотренный в статье:
Анализ внутренних силовых факторов в статистически определимых системах
Ещё настоятельно рекомендую взглянуть на статью:
Расчёт статистически определимого бруса
Если разберёте теорию в данной статье и задачи по ссылкам, то станете гуру в теме «Растяжение-сжатие» =)
Напряжения при растяжении-сжатии.
Определенная методом сечений продольная сила N, является равнодействующей внутренних усилий распределенных по поперечному сечению стержня (рис. 2, б). Исходя из определения напряжений, согласно выражению (1), можно записать для продольной силы:
где σ — нормальное напряжение в произвольной точке поперечного сечения стержня.
Чтобы определить нормальные напряжения в любой точке бруса необходимо знать закон их распределения по поперечному сечению бруса. Экспериментальные исследования показывают: если нанести на поверхность стержня ряд взаимно перпендикулярных линий, то после приложения внешней растягивающей нагрузки поперечные линии не искривляются и остаются параллельными друг другу (рис.6, а). Об этом явлении говорит гипотеза плоских сечений (гипотеза Бернулли): сечения, плоские до деформации, остаются плоскими и после деформации.
Так как все продольные волокна стержня деформируются одинаково, то и напряжения в поперечном сечении одинаковы, а эпюра напряжений σ по высоте поперечного сечения стержня выглядит, как показано на рис.6, б. Видно, что напряжения равномерно распределены по поперечному сечению стержня, т.е. во всех точках сечения σ = const. Выражение для определения величины напряжения имеет вид:
Таким образом, нормальные напряжения, возникающие в поперечных сечениях растянутого или сжатого бруса, равны отношению продольной силы к площади его поперечного сечения. Нормальные напряжения принято считать положительными при растяжении и отрицательными при сжатии.
Деформации при растяжении-сжатии.
Рассмотрим деформации, возникающие при растяжении (сжатии) стержня (рис.6, а). Под действием силы F брус удлиняется на некоторую величину Δl называемую абсолютным удлинением, или абсолютной продольной деформацией, которая численно равна разности длины бруса после деформации l1 и его длины до деформации l
Отношение абсолютной продольной деформации бруса Δl к его первоначальной длине l называют относительным удлинением, или относительной продольной деформацией:
При растяжении продольная деформация положительна, а при сжатии – отрицательна. Для большинства конструкционных материалов на стадии упругой деформации выполняется закон Гука (4), устанавливающий линейную зависимость между напряжениями и деформациями:
где модуль продольной упругости Е, называемый еще модулем упругости первого рода является коэффициентом пропорциональности, между напряжениями и деформациями. Он характеризует жесткость материала при растяжении или сжатии (табл. 1).
Таблица 1
Модуль продольной упругости для различных материалов
Абсолютная поперечная деформация бруса равна разности размеров поперечного сечения после и до деформации:
Соответственно, относительную поперечную деформацию определяют по формуле:
При растяжении размеры поперечного сечения бруса уменьшаются, и ε’ имеет отрицательное значение. Опытом установлено, что в пределах действия закона Гука при растяжении бруса поперечная деформация прямо пропорциональна продольной. Отношение поперечной деформации ε’ к продольной деформации ε называется коэффициентом поперечной деформации, или коэффициентом Пуассона μ:
Экспериментально установлено, что на упругой стадии нагружения любого материала значение μ = const и для различных материалов значения коэффициента Пуассона находятся в пределах от 0 до 0,5 (табл. 2).
Таблица 2
Коэффициент Пуассона.
Абсолютное удлинение стержня Δl прямо пропорционально продольной силе N:
Данной формулой можно пользоваться для вычисления абсолютного удлинения участка стержня длиной l при условии, что в пределах этого участка значение продольной силы постоянно. В случае, когда продольная сила N изменяется в пределах участка стержня, Δl определяют интегрированием в пределах этого участка:
Произведение (Е·А) называют жесткостью сечения стержня при растяжении (сжатии).
Механические свойства материалов.
Основными механическими свойствами материалов при их деформации являются прочность, пластичность, хрупкость, упругость и твердость.
Прочность — способность материала сопротивляться воздействию внешних сил, не разрушаясь и без появления остаточных деформаций.
Пластичность – свойство материала выдерживать без разрушения большие остаточные деформации. Неисчезающие после снятия внешних нагрузок деформации называются пластическими.
Хрупкость – свойство материала разрушаться при очень малых остаточных деформациях (например, чугун, бетон, стекло).
Идеальная упругость – свойство материала (тела) полностью восстанавливать свою форму и размеры после устранения причин, вызвавших деформацию.
Твердость – свойство материала сопротивляться проникновению в него других тел.
Рассмотрим диаграмму растяжения стержня из малоуглеродистой стали. Пусть круглый стержень длинной l0 и начальным постоянным поперечным сечением площади A0 статически растягивается с обоих торцов силой F.
Диаграмма сжатия стержня имеет вид (рис. 10, а)
где Δl = l — l0 абсолютное удлинение стержня; ε = Δl / l0 — относительное продольное удлинение стержня; σ = F / A0 — нормальное напряжение; E — модуль Юнга; σп — предел пропорциональности; σуп — предел упругости; σт — предел текучести; σв — предел прочности (временное сопротивление); εост — остаточная деформация после снятия внешних нагрузок. Для материалов, не имеющих ярко выраженную площадку текучести, вводят условный предел текучести σ0,2 — напряжение, при котором достигается 0,2% остаточной деформации. При достижении предела прочности в центре стержня возникает локальное утончение его диаметра («шейка»). Дальнейшее абсолютное удлинение стержня идет в зоне шейки ( зона местной текучести). При достижении напряжением предела текучести σт глянцевая поверхность стержня становится немного матовой – на его поверхности появляются микротрещины (линии Людерса-Чернова), направленные под углом 45° к оси стержня.
Расчеты на прочность и жесткость при растяжении и сжатии.
Опасным сечением при растяжении и сжатии называется поперечное сечение бруса, в котором возникает максимальное нормальное напряжение. Допускаемые напряжения вычисляются по формуле:
где σпред — предельное напряжение (σпред = σт — для пластических материалов и σпред = σв — для хрупких материалов); [n] — коэффициент запаса прочности. Для пластических материалов [n] = [nт] = 1,2 … 2,5; для хрупких материалов [n] = [nв] = 2 … 5, а для древесины [n] = 8 ÷ 12.
Расчеты на прочность при растяжении и сжатии.
Целью расчета любой конструкции является использование полученных результатов для оценки пригодности этой конструкции к эксплуатации при минимальном расходе материала, что находит отражение в методах расчета на прочность и жесткость.
Условие прочности стержня при его растяжении (сжатии):
При проектном расчете определяется площадь опасного сечения стержня:
При определении допускаемой нагрузки рассчитывается допускаемая нормальная сила:
Расчет на жесткость при растяжении и сжатии.
Работоспособность стержня определяется его предельной деформацией [ l ]. Абсолютное удлинение стержня должно удовлетворять условию:
Часто дополнительно делают расчет на жесткость отдельных участков стержня.
Следующая важная статья теории:
Изгиб балки
Источник
При расчете на растяжение или сжатие одного элемента конструкции можно считать уже определенными сочетание нагрузок (р = 1) и уровень надежности (у„ = 1). Тогда условие прочности (5.20) для случая растяжения (сжатия) можно записать в виде
или
С помощью выражения (5.23) могут быть решены задачи следующих трех типов.
- 1. Расчет на прочность существующей конструкции или ее элемента с определенными размерами и известной нагрузкой. При этом определяют напряжения в расчетном сечении и сравнивают их с расчетным сопротивлением по формуле (5.23). Задачи этого типа называют поверочным расчетом.
- 2. Определение предельной нагрузки на конструкцию или ее элемент. При этом по формуле (5.22) определяют значение предельной продольной силы и по ней — действующую нагрузку. Задачи этого типа называют определением грузоподъемности.
- 3. Определение размеров поперечного сечения элемента конструкции при известном материале и действующей нагрузке:
Задачи этого типа называют подбором сечений.
При расчете по второй группе предельных состояний условие жесткости (5.21) при растяжении (сжатии) с учетом (5.10) в общем случае принимает вид
а в случае действия одной силы на стержень постоянного сечения
где [Д/] — допускаемое изменение длины стержня при действии нормативных нагрузок.
Рассмотрим несколько примеров расчета стержней на прочность и жесткость при растяжении и сжатии.
Пример 5.6
Требуется определить допускаемую нагрузку [ /•’] на кирпичный столб сечением 64 х 64 см (2,5 х 2,5 кирпича) и высотой Н= 2,4 м из условия прочности кладки на сжатие. Расчетное сопротивление кладки Л = 1,15 МПа, плотность у = 17,65 кН/м3, коэффициент условия работы ус = 1,0.
Решение. 1. Площадь поперечного сечения столба Лш = 0,64 • 0,64 = 0,4096 м2.
- 2. Наибольшая сжимающая сила в основании столба N= [Т| + уАН= [Т| + 17,65 • 0,4096 • 2,4 = F + 17,35 кН.
- 3. На основании условия (5.22) имеем N=[F+ 17,35
[F]
Пример 5.7
Требуется определить допускаемую нагрузку [F] на балку (рис. 5.17, а), поддерживаемую стальными тягами 1 и 2 (см. рис. 5.17, а), из условий ограничения вертикального перемещения балки на величину не более чем [Д/] = //2000 = 0,25 см и прочности. Стальные тяги диаметром d = 20 мм изготовлены из стали марки С285. Расчетное сопротивление R,. = 280 МПа (см. прил. 2), модуль упругости Е = 2,06 • 105 МПа = 2,06 • 10® кПа (см. прил. 1). Коэффициент условия работы ус = 1,0, коэффициент надежности по нагрузке уг = 1,1.
Решение. 1. Проведем сечение по тягам 1 и 2 (рис. 5.17, б) и, приведя распределенную нагрузку к равнодействующей Rq = ql= 5q, определим из условий равновесия усилия в тягах, выраженные через значение нагрузки q.
ША = 0; 2,5q- 2,5 — Щ • 5 = 0, N2 = 3,25q.
Lv/B = 0; TV, — 5 — 2,5q • 2,5 = 0, /V, = 4,25q > N2,
JV) > iV2, значит удлинение стержня 1 будет больше удлинения стержня 2.
Рис. 5.17
- 2. Площадь сечения стержней тяги Ant= кг2 = п ? 0,012 = 3,14 • 10-4 м2.
- 3. Жесткость тяги ЕА = 2,06 • 108 • 3,14 • 10″4 = 6,47 • 104 кН.
- 4. Удлинение тяги 1 согласно формуле (5.9)
А/, = ЛУ, / ЕА- 4,25*7 • 2/6,47 • 104 = 1,314*7 • 10 4 м.
На основании (5.26) можем записать:
А/, = 1,314*7 • 104
откуда допускаемое значение распределенной нагрузки будет 1*7] = 0,0025/1,314 • 10-4 = 19 кН/м, а значение сосредоточенной силы (по условию задачи)
[F] = 0,5*7/ =0,5- 19 -5 = 47,5 кН.
5. Расчетные значения нагрузок:
F = [F] У/ = 47,5 • 1,1 = 52,25 кН;
*7 = [Уу = 19 • 1,1 = 20,9 кН/м.
- 6. Значение продольной силы в тяге 1 при полученном значении нагрузки N{ = 4,25*7 = 4,25 • 20,9 = 88,83 кН.
- 7. Нормальное напряжение в тяге 1
а = Nx/A = 88,83/3,14 • 10 4 = 281,2 • 103 кПа,
т.е. условие прочности (5.23) выполняется, так как а = 281,2 МПа Rlf = 285 МПа.
Пример 5.8
Требуется определить сторону а квадратного сечения деревянного подкоса 1 (рис. 5.18, а). Расчетное сопротивление на сжатие вдоль волокон (сосна) Rc = 14 МПа (прил. 4). Коэффициент условия работы ус = 1,0.
Рис. 5.18
Решение. 1. Удалим стержень 1 и заменим его действие усилием Лг, (рис. 5.18, 6). Плечо до силы ЛГ, из точки С h = 1 • cos45° = 0,7071 м.
Величину усилия найдем из уравнения
- ?Л/ПРАВ = 0; 40-2 +N, 0,7071 = 0, Nx =-113,14 кН (сжатие).
- 2. Требуемая площадь поперечного сечения согласно (5.24)
Аф = а? > ЛГ, / (Rc yc) = 113,4/(14000 ? 1) = 0,0081 м2,
откуда а = ^0,0081 = 0,09 м. Принимаем а = 9 см.
Пример 5.9
Требуется проверить прочность ступенчатого стержня (рис. 5.19, а). Материал — чугун марки СЧ15. Расчетные сопротивления (см. ирил. 4) на сжатие и растяжение соответственно R(. = 160 МПа и R{ = 55 МПа.
Рис. 5.19
Решение. 1. Определим горизонтальную опорную реакцию в точке А.
Хх = 0; -НА + 65 — 40 = 0, НА = 25 кН.
- 2. Назначим расчетные участки бруса. Границами расчетных участков будут места ступенчатого изменения сечения бруса и точки приложения внешних нагрузок. Таким образом, для бруса имеем три расчетных участка (рис. 5.19, б).
- 3. Определяем продольные силы в поперечных сечениях бруса и строим эпюру N.
Участок 1. N = Х.РЛЕВ= 25 кН.
Участок 2. N2= 5>ев = 25 — 65 = -40 кН.
Участок 3. N3= N2 = -40 кН.
Эпюра продольных сил N, построенная по полученным данным, показана на рис. 5.19, в.
4. Площади поперечных сечений стержня по участкам:
А, =А2= л ? 0.0152= 7,07 ? 10-4 м2; А3= л • 0,012 = 3,14 • 12.
5. Определим нормальные напряжения на расчетных участках и построим эпюру напряжений о.
Участок 1.ai=Ni/Al = 25/7,07- 10 4 = 3,536- 10’* кН/м2 = 35,36 МПа.
Участок 2. а, = N2/A2 = -40/7,07 10 4 = -5,658 • 104 кН/м2 = -56,58 МПа.
Участок 3. ст3 = N3/A3= -40/3,14 1 0 4 = -12,739104 кН/м2 = -127,39 МПа.
Эпюра напряжений ст показана на рис. 5.19, г.
6. Как видно из построенной эпюры напряжений, проверке прочности подлежат сечения на первом (на растяжение) и третьем (па сжатие) участках, для которых
су 1 = 35,36 МПа 55 МПа; а3 = 127,39 Mila Rc = 160 Mila.
Таким образом, условия прочности для рассматриваемого стержня выполняются.
Источник
Деформации продольные и поперечные. Коэффициент поперечной деформации (коэффициент Пуассона). Закон Гука. Модуль упругости.
При действии растягивающих сил по оси бруса длина его увеличивается, а поперечные размеры уменьшаются. При действии сжимающих усилий происходит обратное явление. На рис. 6 показан брус, растягиваемый двумя силами Р. В результате растяжения брус удлинился на величину Δl, которая называется абсолютным удлинением,и получим абсолютное поперечное сужение Δа.
Отношение величины абсолютного удлинения и укорочения к первоначальной длине или ширине бруса называется относительной деформацией. В данном случае относительная деформация называется продольной деформацией, а — относительной поперечной деформацией. Отношение относительной поперечной деформации к относительной продольной деформации называется коэффициентом Пуассона: (3.1)
Коэффициент Пуассона для каждого материала как упругая константа определяется опытным путем и находится в пределах: ; для стали .
В пределах упругих деформаций установлено, что нормальное напряжение прямо пропорционально относительной продольной деформации. Эта зависимость называется законом Гука:
, (3.2)
где Е — коэффициент пропорциональности, называемый модулем нормальной упругости.
Если мы в формулу закона Гука подставим выражение и , тo получим формулу для определения удлинения или укорочения при растяжении и сжатии:
, (3.3)
где произведение ЕF называется жесткостью при растяжении, сжатии.
Модуль упругости — общее название нескольких физических величин, характеризующих способность твёрдого тела(материала, вещества) упруго деформироваться (то есть не постоянно) при приложении к нему силы. В области упругой деформации модуль упругости тела в общем случае зависит от напряжения и определяется производной (градиентом) зависимости напряжения от деформации, то есть тангенсом угла наклона начального линейного участка диаграммы напряжений-деформаций:
{displaystyle E {stackrel {text{def}}{=}} {frac {dsigma }{dvarepsilon }}}
где:
· E — модуль упругости;
· {displaystyle sigma } — напряжение, вызываемое в образце действующей силой (равно силе, делённой на площадь приложения силы);
· {displaystyle varepsilon } — упругая деформация образца, вызванная напряжением (равна отношению изменения размера образца после деформации к его первоначальному размеру).
Определение осевых перемещений поперечных сечений. Жесткость при растяжении и сжатии.
Растяжениемилисжатиемназывают такой вид деформации бруса (стержня), при котором в его поперечных сечениях возникает только продольная сила N.
Продольной силойв поперечном сечении бруса называется равнодействующая внутренних нормальных сил , возникающих в этом сечении.
При сжатии сравнительно длинного и тонкого бруса прямолинейная форма его равновесия может оказаться неустойчивой.
жесткость сечения бруса при растяжении (сжатии) — Произведение модуля продольной упругости иплощади поперечного сечения. Характеризует жесткость бруса при растяжении (сжатии).
3. Диаграммы растяжения и ее характерные параметры: пределы пропорциональности, упругости, текучести, прочности. Истинная диаграмма растяжения.
Диаграмма растяжения
Диаграмма растяжения показывает зависимость удлинения образца от продольной растягивающей силы.
Ее построение является промежуточным этапом в процессе определения механических характеристик материалов (в основном металлов).
Диаграмму растяжения материалов получают экспериментально, при испытаниях образцов на растяжение.
Для этого образцы стандартных размеров закрепляют в специальных испытательных машинах и растягивают до их полного разрушения (разрыва). При этом специальные приборы фиксируют зависимость абсолютного удлинения образца от прикладываемой к нему продольной растягивающей нагрузки и самописец вычерчивает кривую характерную для данного материала.
Диаграмму ~ условно делят на четыре области:
I – зона упругости. Здесь материал подчиняется закону Гука.
II – зона общей текучести. Здесь происходит существенное удлинение образца без заметного увеличения нагрузки. Кривая АВ называется площадкой текучести.
III – зона упрочнения. Здесь удлинение образца сопровождается возрастанием нагрузки, но неизмеримо более медленным, чем на упругом участке.
Процесс предварительного деформирования называют наклепом.
IV – зона местной текучести (зона разрушения). Здесь начинает появляться место сужения – шейка.
На диаграмме растяжения отмечают характерные напряжения:
– предел пропорциональности – напряжение, до которого выполняется закон Гука;
– предел упругости – наибольшее напряжение, до которого материал не получает остаточной деформации;
– предел текучести – напряжение, при котором происходит рост деформации без заметного увеличения нагрузки.
– предел прочности – отношение максимальной силы, которую способен выдержать образец, к его начальной площади поперечного сечения.
Дата добавления: 2018-10-15; просмотров: 2052 | Нарушение авторских прав | Изречения для студентов
Читайте также:
Рекомендуемый контект:
Поиск на сайте:
© 2015-2020 lektsii.org — Контакты — Последнее добавление
Источник