Жесткость элемента на осевое сжатие растяжение
Внутренние усилия при растяжении-сжатии.
Осевое (центральное) растяжение или сжатие прямого бруса вызывается внешними силами, вектор равнодействующей которых совпадает с осью бруса. При растяжении или сжатии в поперечных сечениях бруса возникают только продольные силы N. Продольная сила N в некотором сечении равна алгебраической сумме проекции на ось стержня всех внешних сил, действующих по одну сторону от рассматриваемого сечения. По правилу знаков продольной силы N принято считать, что от растягивающих внешних нагрузок возникают положительные продольные силы N, а от сжимающих — продольные силы N отрицательны (рис. 5).
Чтобы выявить участки стержня или его сечения, где продольная сила имеет наибольшее значение, строят эпюру продольных сил, применяя метод сечений, подробно рассмотренный в статье:
Анализ внутренних силовых факторов в статистически определимых системах
Ещё настоятельно рекомендую взглянуть на статью:
Расчёт статистически определимого бруса
Если разберёте теорию в данной статье и задачи по ссылкам, то станете гуру в теме «Растяжение-сжатие» =)
Напряжения при растяжении-сжатии.
Определенная методом сечений продольная сила N, является равнодействующей внутренних усилий распределенных по поперечному сечению стержня (рис. 2, б). Исходя из определения напряжений, согласно выражению (1), можно записать для продольной силы:
где σ — нормальное напряжение в произвольной точке поперечного сечения стержня.
Чтобы определить нормальные напряжения в любой точке бруса необходимо знать закон их распределения по поперечному сечению бруса. Экспериментальные исследования показывают: если нанести на поверхность стержня ряд взаимно перпендикулярных линий, то после приложения внешней растягивающей нагрузки поперечные линии не искривляются и остаются параллельными друг другу (рис.6, а). Об этом явлении говорит гипотеза плоских сечений (гипотеза Бернулли): сечения, плоские до деформации, остаются плоскими и после деформации.
Так как все продольные волокна стержня деформируются одинаково, то и напряжения в поперечном сечении одинаковы, а эпюра напряжений σ по высоте поперечного сечения стержня выглядит, как показано на рис.6, б. Видно, что напряжения равномерно распределены по поперечному сечению стержня, т.е. во всех точках сечения σ = const. Выражение для определения величины напряжения имеет вид:
Таким образом, нормальные напряжения, возникающие в поперечных сечениях растянутого или сжатого бруса, равны отношению продольной силы к площади его поперечного сечения. Нормальные напряжения принято считать положительными при растяжении и отрицательными при сжатии.
Деформации при растяжении-сжатии.
Рассмотрим деформации, возникающие при растяжении (сжатии) стержня (рис.6, а). Под действием силы F брус удлиняется на некоторую величину Δl называемую абсолютным удлинением, или абсолютной продольной деформацией, которая численно равна разности длины бруса после деформации l1 и его длины до деформации l
Отношение абсолютной продольной деформации бруса Δl к его первоначальной длине l называют относительным удлинением, или относительной продольной деформацией:
При растяжении продольная деформация положительна, а при сжатии – отрицательна. Для большинства конструкционных материалов на стадии упругой деформации выполняется закон Гука (4), устанавливающий линейную зависимость между напряжениями и деформациями:
где модуль продольной упругости Е, называемый еще модулем упругости первого рода является коэффициентом пропорциональности, между напряжениями и деформациями. Он характеризует жесткость материала при растяжении или сжатии (табл. 1).
Таблица 1
Модуль продольной упругости для различных материалов
Абсолютная поперечная деформация бруса равна разности размеров поперечного сечения после и до деформации:
Соответственно, относительную поперечную деформацию определяют по формуле:
При растяжении размеры поперечного сечения бруса уменьшаются, и ε’ имеет отрицательное значение. Опытом установлено, что в пределах действия закона Гука при растяжении бруса поперечная деформация прямо пропорциональна продольной. Отношение поперечной деформации ε’ к продольной деформации ε называется коэффициентом поперечной деформации, или коэффициентом Пуассона μ:
Экспериментально установлено, что на упругой стадии нагружения любого материала значение μ = const и для различных материалов значения коэффициента Пуассона находятся в пределах от 0 до 0,5 (табл. 2).
Таблица 2
Коэффициент Пуассона.
Абсолютное удлинение стержня Δl прямо пропорционально продольной силе N:
Данной формулой можно пользоваться для вычисления абсолютного удлинения участка стержня длиной l при условии, что в пределах этого участка значение продольной силы постоянно. В случае, когда продольная сила N изменяется в пределах участка стержня, Δl определяют интегрированием в пределах этого участка:
Произведение (Е·А) называют жесткостью сечения стержня при растяжении (сжатии).
Механические свойства материалов.
Основными механическими свойствами материалов при их деформации являются прочность, пластичность, хрупкость, упругость и твердость.
Прочность — способность материала сопротивляться воздействию внешних сил, не разрушаясь и без появления остаточных деформаций.
Пластичность – свойство материала выдерживать без разрушения большие остаточные деформации. Неисчезающие после снятия внешних нагрузок деформации называются пластическими.
Хрупкость – свойство материала разрушаться при очень малых остаточных деформациях (например, чугун, бетон, стекло).
Идеальная упругость – свойство материала (тела) полностью восстанавливать свою форму и размеры после устранения причин, вызвавших деформацию.
Твердость – свойство материала сопротивляться проникновению в него других тел.
Рассмотрим диаграмму растяжения стержня из малоуглеродистой стали. Пусть круглый стержень длинной l0 и начальным постоянным поперечным сечением площади A0 статически растягивается с обоих торцов силой F.
Диаграмма сжатия стержня имеет вид (рис. 10, а)
где Δl = l — l0 абсолютное удлинение стержня; ε = Δl / l0 — относительное продольное удлинение стержня; σ = F / A0 — нормальное напряжение; E — модуль Юнга; σп — предел пропорциональности; σуп — предел упругости; σт — предел текучести; σв — предел прочности (временное сопротивление); εост — остаточная деформация после снятия внешних нагрузок. Для материалов, не имеющих ярко выраженную площадку текучести, вводят условный предел текучести σ0,2 — напряжение, при котором достигается 0,2% остаточной деформации. При достижении предела прочности в центре стержня возникает локальное утончение его диаметра («шейка»). Дальнейшее абсолютное удлинение стержня идет в зоне шейки ( зона местной текучести). При достижении напряжением предела текучести σт глянцевая поверхность стержня становится немного матовой – на его поверхности появляются микротрещины (линии Людерса-Чернова), направленные под углом 45° к оси стержня.
Расчеты на прочность и жесткость при растяжении и сжатии.
Опасным сечением при растяжении и сжатии называется поперечное сечение бруса, в котором возникает максимальное нормальное напряжение. Допускаемые напряжения вычисляются по формуле:
где σпред — предельное напряжение (σпред = σт — для пластических материалов и σпред = σв — для хрупких материалов); [n] — коэффициент запаса прочности. Для пластических материалов [n] = [nт] = 1,2 … 2,5; для хрупких материалов [n] = [nв] = 2 … 5, а для древесины [n] = 8 ÷ 12.
Расчеты на прочность при растяжении и сжатии.
Целью расчета любой конструкции является использование полученных результатов для оценки пригодности этой конструкции к эксплуатации при минимальном расходе материала, что находит отражение в методах расчета на прочность и жесткость.
Условие прочности стержня при его растяжении (сжатии):
При проектном расчете определяется площадь опасного сечения стержня:
При определении допускаемой нагрузки рассчитывается допускаемая нормальная сила:
Расчет на жесткость при растяжении и сжатии.
Работоспособность стержня определяется его предельной деформацией [ l ]. Абсолютное удлинение стержня должно удовлетворять условию:
Часто дополнительно делают расчет на жесткость отдельных участков стержня.
Следующая важная статья теории:
Изгиб балки
Источник
В компьютерной практике достаточно широкий класс конструкций – фермы рассчитываются по шарнирно-стержневой схеме (рис.1).
Рис.1 Расчетная схема фермы
Вместе с тем узлы сопряжения элементов фермы проектируются и выполняются – жесткими (рис.2).
Рис.2 Узлы сопряжения элементов фермы
Если в докомпьютерный период такой расчет был оправдан тем, что шарнирно-стержневая ферма является статически определимой системой и выполнить ее «ручной» расчет был вполне возможен, а по рамной схеме (жесткие узлы) выполнить расчет в «ручном» режиме было практически невозможно.
В настоящее же время инженеру, вооруженному программным комплексом, практически безразлично по какой схеме выполнить расчет. Так, применяя программный комплекс ЛИРА-САПР, инженеру достаточно указать признак схемы 1 или 3 (плоская или пространственная шарнирно-стержневая схема) или 2 (рамная схема).
Вместе с тем современные опытные инженеры конструируют фермы на основе шарнирно-стержневой схемы, т.е. конструируют узлы жесткими, пренебрегая моментами, возникающими в таких узлах.
Обоснованность таких решений демонстрирует нижеприведенный пример.
Рассмотренная ферма представлена на рис.3. Нижний пояс 40х60, верхний пояс и опорные раскосы 1-6, 5-9 — 40х80, остальные раскосы 40х40, класс бетона В20.
Рис. 3 Расчетная схема фермы
Расчет конструкций выполним по двум схемам:
- схема 1 – шарнирно-стержневая схема.
- схема 2 – схема с жесткими узлами
Рис. 4 Мозаика типов конечных элементов
Рис. 5 Мозаика перемещений по Z, мм
Рис. 6 Эпюры продольных сил N, т
Рис. 7 Эпюры изгибающих моментов M, т*м
Рис. 8 Площадь полной арматуры, см2
В табл.1 приведены сравниваемые характеристики НДС фермы, рассчитанной по шарнирно-стержневой схеме и с жесткими узлами.
Таблица 1 | ||
|---|---|---|
| ||
Характеристики НДС | Схема 1 | Схема 2 |
Вертикальное перемещение узла 2, см | -0.706084 | -0.686788 |
Вертикальное перемещение узла 3, см | -0.999127 | -0.970069 |
Нормальная сила в элементе 1-6, кН | -848.527 | -841.81 |
Нормальная сила в элементе 2-3, кН | 1400 | 1356.85 |
Нормальная сила в элементе 7-8, кН | -1600 | -1557.07 |
Изгибающий момент в сечении 1-6, кН | 22.9 | |
Изгибающий момент в сечении 2-3, кН | 25.9083 | |
Изгибающий момент в сечении 7-8, кН | 87.1475 | |
Теоретический* расход продольной арматуры в, кг | 813.23 | 864.58 |
*Расход арматуры подсчитан на основе подобранной продольной арматуры по прочности по программе АРМ-САПР (конструирующая система ПК ЛИРА-САПР), т.е. не учтен расход конструктивной арматуры | ||
Анализируя результаты расчета, приведенные в табл.1 можно сделать следующие выводы:
- перемещение узлов и нормальные усилия в элементах по двум схемам практически совпадают;
- жесткие узлы практически не увеличивают жесткость;
- изгибные моменты в элементах с жесткими узлами, хотя и незначительны, достаточно весомо увеличивают расход арматуры;
- шарнирно-стержневая схема более целесообразна, так как значительно экономичнее, проще в изготовлении, а по эксплуатационным характеристикам (деформативность) не уступает схеме с жесткими узлами.
Подобные эффекты можно проследить и в других классах конструкций. Рассмотрим упрощенную связевую систему панельного здания (рис.9).
Рис. 9 Расчетная схема панельного здания
Рис.10 Мозаика типов конечных элементов
Исследуем работу диафрагмы на горизонтальные нагрузки:
- первое нагружение – вдоль буквенных осей в уровне каждого этажа приложена по 2т;
- второе нагружение – вдоль цифровых осей в уровне каждого этажа приложено по 2т.
Будем считать, что диски перекрытий воспринимают только мембранную группу усилий. Расчет конструкций выполним по двум схемам:
- схема 1 – диафрагма воспринимают только мембранную группу усилий, т.е. работают как балки-стенки (плоское нагруженное состояние);
- схема 2 – диафрагма воспринимают как мембранную, так и изгибную группу усилий, т.е. работают как плоские оболочки.
Результаты расчета приведены в табл.2.
Таблица 2 | ||||
|---|---|---|---|---|
| ||||
Характеристики НДС | Схема 1 | Схема 2 | ||
Нагрузка 1 | Нагрузка 2 | Нагрузка 1 | Нагрузка 2 | |
Перемещение узла 1 вдоль Х, см | 0.000204 | 0.587916 | 0.000207 | 0.590454 |
Перемещение узла 1 вдоль Y, см | 0.842493 | 0.000730 | 0.844011 | 0.000748 |
Изгибающий момент Mх в Д1, (кН*м)/м | -0.003337 | 0.157863 | ||
Изгибающий момент Mх в Д2, (кН*м)/м | -0.191745 | -0.0048093 | ||
Теоретический* расход продольной арматуры в диафрагмах, кг | 2494.05 | 1250.22 | ||
*Расход арматуры подсчитан на основе подобранной продольной арматуры по прочности по программе АРМ-САПР (конструирующая система ПК ЛИРА-САПР), т.е. не учтен расход конструктивной арматуры | ||||
Анализируя результаты расчета можно отметить, что деформативность конструкции по обеим схемам практически одинакова, т.е. работа диафрагм на изгибающую группу усилий практически не ужесточает конструкцию. Вместе с тем, чтобы воспринять эти моменты необходимо двухслойное армирование, что вызывает повышенный (неоправданный) расход арматуры. Заводы изготовители, как правило, изготавливают диафрагмы с однослойным армированием, предъявляя проектировщику требования рассчитывать конструкции по схеме 1.
Рассмотрим еще один класс конструкций, где можно проследить подобные эффекты. На рис.11 представлена упрощенная балочная клетка. Все балки нагружены равномерно распределенной нагрузкой 4 т/п.м, сечение балок 40х80.
Рис.11 Расчетная схема ростверка
В таб.3 приведены результаты расчета балочной клетки по двум схемам:
- схема 1 – балка воспринимает только изгибную группу усилий и не работает на кручение;
- схема 2 – балка воспринимает изгибные и крутильные моменты.
- Результаты расчета приведены в табл.3.
Рис. 12 Мозаика перемещений по Z, мм
Рис. 13 Мозаика усилий My, т*м
Рис. 13 Мозаика усилий Mx, т*м
Рис. 14 Площадь угловой арматуры AU, см3
Рис. 15 Площадь полной арматуры, см3
Таблица 3 | ||
|---|---|---|
| ||
Характеристики НДС | Схема 1 | Схема 2 |
Вертикальное перемещения в узле 5А, см | -0.201303 | -0.190755 |
Вертикальное перемещения в узле 6, см | -2.74602 | -2.57015 |
Вертикальное перемещения в узле 6А, см | -0.74516 | -0.695491 |
Mx в сечение 5А | 38.1788 | |
My в сечение 5А | 53.4385 | 53.4261 |
Mx в сечение 6 | -9.45763 | |
My в сечение 6 | -48.227 | -55.8109 |
Mх в сечение 6А | -9.4066 | |
My в сечение 6А | 339.718 | 314.657 |
Теоретический* расход продольной арматуры в, кг | 604.56 | 733.52 |
*Расход арматуры подсчитан на основе подобранной продольной арматуры по прочности по программе АРМ-САПР (конструирующая система ПК ЛИРА-САПР), т.е. не учтен расход конструктивной арматуры | ||
Анализируя результаты, приведенные в табл.3, можно сделать следующие выводы:
- деформативность конструкции, рассчитанной по двум схемам (величины вертикальных перемещений) практически одинаковы;
- величины изгибающих моментов также практически одинаковы (отличие 8-15%). Вместе с тем, наличие крутящих моментов (схема 2) требует дополнительного армирования и дополнительных конструктивных мер (замкнутые хомуты, расположение продольной арматуры по периметру сечения и др.).
Таким образом, можем сделать вывод:
в случаях, когда необходимо исключить какую-то группу усилий ПК ЛИРА-САПР позволяет это сделать при помощи уже имеющихся инструментов (назначения шарниров, смены признака схемы или типа конечных элементов и т.д.);
в случаях, когда необходимо изменить значения определённых жесткостных характеристик, можно задать численную жесткость (характеристики для которых необходимо задать самостоятельно). Но для таких элементов не будет выполнен подбор арматура в автоматическом режиме.
а) б)
Рис. 16. Задание жесткостных характеристик: а) для стандартного сечения; б) численное описание КЭ10
Поэтому в ПК ЛИРА-САПР 2019 добавлена возможность задания коэффициентов корректировки жесткостных характеристик для стержней (сечения брус, тавр с полкой сверху и снизу, двутавр, швеллер, коробка, кольцо, балка, крест, уголок, несимметричный тавр с полкой сверху и снизу) и пластин. После выполнения расчета с учетом измененных жесткостей для таких сечений можно выполнить подбор либо проверку армирования.
Эта опция представляет пользователю дополнительные возможности по организации более рационального армирования диафрагм, балок и других элементов, а также учесть рекомендации многих нормативов, например: СП 52-103-2007 в части снижения жесткости для колонн, плит, жесткости балок на кручение в составе ребристых плит.
В диалоговом окне Задание стандартного сечения в зависимости от выбранного варианта на закладке Сечение – Вычислять автоматически по размерам сечения или Редактировать на закладке Жесткость, отсутствует или имеется доступ к полям ввода жесткостных характеристик.
В первом случае значения жесткостных характеристик недоступны для редактирования, а коэффициенты к значениям равны 1.
Во втором случае, доступна пара радио-кнопок, с помощью которой выбирается, что будет редактироваться, Значение или Коэффициент. И, в зависимости от этого выбора, доступны либо поля ввода значений жесткостных характеристик, либо поля ввода коэффициентов (коэффициент показывает во сколько раз заданное пользователем значение жесткостной характеристики отличается от значения, вычисленного автоматически).
Характеристики жесткости, которые можно редактировать для стержневых элементов:
EF – жесткость элемента на осевое сжатие (растяжение);
Ely – жесткость элемента на изгиб вокруг оси Y1;
Elz – жесткость элемента на изгиб вокруг оси Z1;
Glk – жесткость элемента на кручение вокруг оси X1;
GFy – жесткость элемента на сдвиг вдоль оси Y1 (используется при учете сдвига);
GFz – жесткость элемента на сдвиг вдоль оси Z1 (используется при учете сдвига).
а) б)
Рис. 17. Редактирование жесткостных характеристик стержневых элементов во вкладке «Жесткость» при помощи: а) коэффициентов; б) значений
Щелчок кнопки Пересчитать по размерам сечения сбрасывает заданные пользователем значения и возвращает значения, вычисленные автоматически по размерам сечения. Коэффициенты при этом становятся равными 1.
Для жесткостных характеристик пластин задаются коэффициенты к модулю упругости и к модулю сдвига для вычисления мембранной и изгибной жесткости (на вкладке Жесткости при установленной радио-кнопке Коэффициент к жесткости на вкладке Сечение). Жесткостные характеристики будут вычислены автоматически по размерам сечения и параметрам жесткости, заданным на закладке Сечение, с учетом заданных коэффициентов.
Рис. 18. Редактирование жесткостных характеристик пластин
ВЫВОДЫ. Приведённые примеры показывают, что инженер может рассчитать, запроектировать и тем самым организовать работу конструкций по различным схемам. Так, если не поставлена арматура на восприятие изгибающих моментов в фермах и диафрагмах (примеры 1, 2) или на восприятие крутящих моментов (пример 3), то под нагрузкой возникают соответствующие пластические шарниры и конструкция приспособится к восприятию нагрузки. Самым экономичным и естественным образом, если, конечно, инженер создал для этого необходимые предпосылки.
Иногда инженер сознательно идет на организацию работы конструкции по схеме 2. Увеличивая расход материалов, например, придает конструкции большую многосвязность, что может помочь конструкции приспособиться к различным форс-мажорным ситуациям (устойчивость к прогрессирующему обрушению).
За это, как показывают вышеприведенные примеры, необходимо дорого платить. И здесь инженер должен находить приемлемый компромисс. Нахождение такого компромисса во многом и определяет инженерное искусство.
Заметили ошибку? Выделите ее и нажмите Ctrl+Enter, чтобы сообщить нам.
Источник