Закон гука для деформации растяжения сжатия стержня

Напряжения и деформации при растяжении и сжатии связаны между собой линейной зависимостью, которая называется законом Гука, по имени английского физика Р. Гука (1653-1703 г.г.), установившего этот закон.
Сформулировать закон Гука можно так: нормальное напряжение прямо пропорционально относительному удлинению или укорочению.

Математически эта зависимость записывается так:

σ = E ε.

Здесь Е – коэффициент пропорциональности, который характеризует жесткость материала бруса, т. е. его способность сопротивляться деформации; его называют модулем продольной упругости, или модулем упругости первого рода.
Модуль упругости, как и напряжение, выражаются в паскалях (Па).

Значения Е для различных материалов устанавливаются экспериментально-опытным путем, и их величину можно найти в соответствующих справочниках.
Так, для стали Е = (1,96.…2,16) х 105 МПа, для меди Е = (1,00…1,30) х 105 МПа и т. д.

Следует оговориться, что закон Гука справедлив лишь в определенных пределах нагружения.
Если в формулу закона Гука подставить полученные ранее значения относительного удлинения и напряжения: ε = Δl / l , σ = N / А, то можно получить следующую зависимость:

Δl = N l / (E А).

Произведение модуля упругости на площадь сечения Е×А, стоящее в знаменателе, называют жесткостью сечения при растяжении и сжатии; оно характеризует одновременно и физико-механические свойства материала бруса и геометрические размеры поперечного сечения этого бруса.

Приведенную выше формулу можно читать так: абсолютное удлинение или укорочение бруса прямо пропорционально продольной силе и длине бруса, и обратно пропорционально жесткости сечения бруса.
Выражение Е А / l называют жесткостью бруса при растяжении и сжатии.

Приведенные выше формулы закона Гука справедливы лишь для брусьев и их участков, имеющих постоянное поперечное сечение, изготовленных из одного материала и при постоянной силе. Для бруса, имеющего несколько участков, отличающихся материалом, размерами сечения, продольной силой, изменение длины всего бруса определяется, как алгебраическая сумма удлинений или укорочений отдельных участков:

Δl = Σ (Δli)

Деформация

Деформация (англ. deformation) — это изменение формы и размеров тела (или части тела) под действием внешних сил, при изменении температуры, влажности, фазовых превращениях и других воздействиях, вызывающих изменение положения частиц тела. При увеличении напряжения деформация может закончиться разрушением. Способность материалов сопротивляться деформации и разрушению под воздейстивем различного вида нагрузок характеризуется механическими свойствами этих материалов.

На появление того или иного вида деформации большое влияние оказывает характер приложенных к телу напряжений. Одни процессы деформации связаны с преобладающим действием касательной составляющей напряжения, другие — с действием его нормальной составляющей.

Виды деформации

По характеру приложенной к телу нагрузки виды деформации подразделяют следующим образом:

• Деформация растяжения;
• Деформация сжатия;
• Деформация сдвига (или среза);
• Деформация при кручении;
• Деформация при изгибе.

К простейшим видам деформации относятся: деформация растяжения, деформация сжатия, деформация сдвига. Выделяют также следующие виды деформации: деформация всестороннего сжатия, кручения, изгиба, которые представляют собой различные комбинации простейших видов деформации (сдвиг, сжатие, растяжение), так как сила приложенная к телу, подвергаемому деформации, обычно не перпендикулярна его поверхности, а направлена под углом, что вызывает как нормальные, так и касательные напряжения. Изучением видов деформации занимаются такие науки, как физика твёрдого тела, материаловедение, кристаллография.

В твёрдых телах, в частности — металлах, выделяют два основных вида деформаций — упругую и пластическую деформацию, физическая сущность которых различна.

Сдвигом называют такой вид деформации, когда в поперечных сечениях возникают только перерезывающие силы. Такое напряженное состояние соответствует действию на стержень двух равных противоположно направленных и бесконечно близко расположенных поперечных сил (рис. 2.13, а, б), вызывающих срез по плоскости, расположенной между силами.

Рис. 2.13. Деформация и напряжения при сдвиге

Срезу предшествует деформация – искажение прямого угла между двумя взаимно-перпендикулярными линиями. При этом на гранях выделенного элемента (рис. 2.13, в) возникают касательные напряжения. Величина смещения граней называется абсолютным сдвигом. Значение абсолютного сдвига зависит от расстояния h между плоскостями действия сил F. Более полно деформацию сдвига характеризует угол , на который изменяются прямые углы элемента – относительный сдвиг:

. (2.27)

Используя ранее рассмотренный метод сечений, легко убедиться, что на боковых гранях выделенного элемента возникают только перерезывающие силыQ=F, являющиеся равнодействующими касательных напряжений:

. (2.28)

Принимая во внимание, что касательные напряжения распределены равномерно по поперечному сечению А, их значение определяется соотношением:

. (2.29)

Экспериментально установлено, что в пределах упругих деформаций величина касательных напряжений пропорциональна относительному сдвигу (закон Гука при сдвиге):

, (2.30)

где G – модуль упругости при сдвиге (модуль упругости второго рода).

Между модулями продольной упругости и сдвига существует взаимосвязь

,

где – коэффициент Пуассона.

Приближенные значения модуля упругости при сдвиге, МПа: сталь – 0,8·105; чугун – 0,45·105; медь – 0,4·104; алюминий – 0,26·105; резина – 4.

2.4.1.1. Расчеты на прочность при сдвиге

Чистый сдвиг в реальных конструкциях реализовать крайне сложно, так как вследствие деформации соединяемых элементов происходит дополнительный изгиб стержня, даже при сравнительно небольшом расстоянии между плоскостями действия сил. Однако в ряде конструкций нормальные напряжения в сечениях малы и ими можно пренебречь. В этом случае условие прочностной надежности детали имеет вид:

, (2.31)

где – допускаемые напряжение на срез, которые обычно назначают в зависимости от величины допускаемого напряжения при растяжении:

– для пластичных материалов при статической нагрузке=(0,5…0,6) ;

– для хрупких – =(0,7 … 1,0) .

2.4.1.2. Расчеты на жесткость при сдвиге

Они сводятся к ограничению упругих деформаций. Решая совместно выражение (2.27)–(2.30), определяют величину абсолютного сдвига:

, (2.32)

где – жесткость при сдвиге.

Кручение

2.4.2.1. Построение эпюр крутящих моментов

2.4.2.2. Деформации при кручении

2.4.2.3. Напряжения при кручении

2.4.2.4. Геометрические характеристики сечений

2.4.2.5. Расчеты на прочность и жесткость при кручении

Кручением называют такой вид деформации, когда в поперечных сечениях возникает единственный силовой фактор – крутящий момент.

Деформация кручения происходит при нагружении бруса парами сил, плоскости действия которых перпендикулярны к его продольной оси.

2.4.2.1. Построение эпюр крутящих моментов

Для определения напряжений и деформаций бруса строят эпюру крутящих моментов, показывающую распределение крутящих моментов по длине бруса. Применив метод сечений и рассмотрев в равновесии любую часть, станет очевидно, что момент внутренних сил упругости (крутящий момент ) должен уравновесить действие внешних (вращающих) моментов на рассматриваемую часть бруса. Принято момент считать положительным, если наблюдатель смотрит на рассматриваемое сечение со стороны внешней нормали и видит вращающий момент Т, направленным против хода движения часовой стрелки. При противоположном направлении моменту приписывается знак минус.

Например, условие равновесия для левой части бруса имеет вид (рис. 2.14):

– в сечении А-А:

; ,

– в сечении Б-Б:

.

Границами участков при построении эпюры являются плоскости действия вращающих моментов .

Рис. 2.14. Расчетная схема бруса (вала) при кручении

2.4.2.2. Деформации при кручении

Если на боковую поверхность стержня круглого поперечного сечения нанести сетку (рис. 2.15, а) из равноотстоящих окружностей и образующих, а к свободным концам приложить пары сил с моментами Т в плоскостях, перпендикулярных к оси стержня, то при малой деформации (рис. 2.15, б) можно обнаружить:

Рис. 2.15. Схема деформации при кручении

· образующие цилиндра превращаются в винтовые линии большого шага;

· квадраты, образованные сеткой, превращаются в ромбы, т.е. происходит сдвиг поперечных сечений;

· сечения, круглые и плоские до деформации, сохраняют свою форму и после деформации;

· расстояние между поперечными сечениями практически не изменяется;

· происходит поворот одного сечения относительно другого на некоторый угол.

На основании этих наблюдений теория кручения бруса основана на следующих допущениях:

· поперечные сечения бруса, плоские и нормальные к его оси до деформации, остаются плоскими и нормальными к оси и после деформации;

· равноотстоящие поперечные сечения поворачиваются относительно друг друга на равные углы;

· радиусы поперечных сечений в процессе деформации не искривляются;

· в поперечных сечениях возникают только касательные напряжения. Нормальные напряжения малы. Длину бруса можно считать неизменной;

· материал бруса при деформации подчиняется закону Гука при сдвиге: .

В соответствии с этими гипотезами кручение стержня круглого поперечного сечения представляют как результат сдвигов, вызванных взаимным поворотом сечений.

На стержне круглого поперечного сечения радиусом r, заделанным одним концом и нагруженным вращающим моментом Т на другом конце (рис. 2.16, а), обозначим на боковой поверхности образующую АD, которая под действием момента займет положение АD1. На расстоянии Z от заделки выделим элемент длиной dZ. Левый торец этого элемента в результате кручения повернется на угол , а правый – на угол (). Образующая ВС элемента займет положениеВ1С1, отклонившись от исходного положения на угол . В силу малости этого угла

.

Отношениепредставляет угол закручивания единицы длины стержня и называется относительным углом закручивания. Тогда

. (2.33)

Рис. 2.16. Расчетная схема определения напряжений
при кручении стержня круглого поперечного сечения

2.4.2.3. Напряжения при кручении

Принимая во внимание (2.33), закон Гука при кручении можно описать выражением:

. (2.34)

В силу гипотезы, что радиусы круглых поперечных сечений не искривляются, касательные напряжения сдвига в окрестностях любой точки тела, находящейся на расстоянии от центра (рис. 2.16, б), равны произведению

, (2.35)

т.е. пропорциональны расстоянию ее до оси.

Значение относительного угла закручивания по формуле (2.35) может быть найдено из условия, что элементарная окружная сила () на элементарной площадке размером dA, расположенной на расстоянии от оси бруса, создает относительно оси элементарный момент (рис. 2.16, б):

.

Сумма элементарных моментов, действующих по всему поперечному сечению А, равна крутящему моменту МZ. Считая, что :

.

Интеграл представляет собой чисто геометрическую характеристику и носит название полярного момента инерции сечения.

Таким образом,

, (2.36)

откуда, угол закручивания единицы длины бруса

. (2.37)

Произведение называется жесткостью сечения бруса при кручении.

Полный угол закручивания, рад:

. (2.38)

Если крутящий момент и момент инерции сечения постоянны по длине стержня, то полный угол закручивания

. (2.39)

Решив совместно выражения (2.35) и (2.36), получим уравнение

, (2.40)

из которого следует, что напряжение в точке поперечного сечения прямо пропорционально расстоянию до центра сечения. При . Наибольшие напряжения возникают у наружной поверхности: .

Отношение полярного момента инерции к наибольшему радиусу r называется моментом сопротивления сечения кручению , мм3:

. (2.41)

Условие прочности принимает вид

Закон Гука при сдвиге

Материалы о физике / Основы сопротивления материалов / Закон Гука при сдвиге

Для определения зависимости между нагрузкой и деформацией при сдвиге проводят испытания материала на кручение. При данном испытании строится диаграмма сдвига (график зависимости между касательным напряжением и относительным сдвигом). Более подробное описание испытания на кручение образцов цилиндрической формы приведено в методических указаниях к лабораторным работам

Для пластичных материалов диаграмма сдвига аналогична диаграмме растяжения (рис. 4.5).

Рис. 4.5

При рассмотрении деформации образца в пределах упругости видна линейная зависимость между относительным сдвигом и касательным напряжением.

(4.23)

где — коэффициент пропорциональности, который называется модулем упругости при сдвиге или модулем упругости второго рода.

Зависимость (4.23) выражает закон Гука при сдвиге.

Между величинами модуля продольной упругости и модуля упругости при сдвиге для одного и того же материала существует зависимость

(4.24)

При значении коэффициента Пуассона получим, что

Запишем выражение для перемещения одной грани относительно другой (абсолютного сдвига (рис. 4.1)) при чистом сдвиге. Обозначая площадь грани , равнодействующую сдвигающую силу и расстояние между сдвигаемыми гранями (рис. 4.1), получим

(4.25)

Формула (4.25) выражает закон Гука для абсолютного сдвига.

Рекомендуемые страницы:

Воспользуйтесь поиском по сайту:

Иметь представление о продольных и поперечных деформациях и их связи.

Знать закон Гука, зависимости и формулы для расчета напря­жений и перемещений.

Уметь проводить расчеты на прочность и жесткость стати­чески определимых брусьев при растяжении и сжатии.

Деформации при растяжении и сжатии

Рассмотрим деформацию бруса под действием продольной силы F (рис. 21.1).

В сопротивлении материалов принято рассчитывать деформа­ции в относительных единицах:

Между продольной и поперечной деформациями существует за­висимость

где μ— коэффициент поперечной деформации, или коэффициент Пуассона, —характеристика пластичности материала.

Закон Гука

В пределах упругих деформаций деформации прямо пропорци­ональны нагрузке:

где F — действующая нагрузка; к — коэффициент. В современной форме:

Получим зависимость

где Е — модуль упругости, ха­рактеризует жесткость материала.

В пределах упругости нормальные напряжения пропорциональ­ны относительному удлинению.

Значение Е для сталей в пределах (2 – 2,1) • 105МПа. При прочих равных условиях, чем жестче материал, тем меньше он деформируется:

Формулы для расчета перемещений поперечных сечений бруса при растяжении и сжатии

Используем известные формулы.

Относительное удлинение

В результате получим зависимость между нагрузкой, размерами бруса и возникающей деформацией:

где

Δl — абсолютное удлинение, мм;

σ — нормальное напряжение, МПа;

l — начальная длина, мм;

Е — модуль упругости материала, МПа;

N — продольная сила, Н;

А — площадь поперечного сечения, мм2;

Произведение АЕ называют жесткостью сечения.

Выводы

1. Абсолютное удлинение бруса прямо пропорционально вели­чине продольной силы в сечении, длине бруса и обратно пропорцио­нально площади поперечного сечения и модулю упругости.

2. Связь между продольной и поперечной деформациями зави­сит от свойств материала, связь определяется коэффициентом Пуас­сона, называемом коэффициентом поперечной деформации.

Коэффициент Пуассона: у стали μ от 0,25 до 0,3; у пробки μ = 0; у резины μ = 0,5.

3. Поперечные деформации меньше продольных и редко влияют на работоспособность детали; при необходимости поперечная дефор­мация рассчитывается через продольную.

где Δа — поперечное сужение, мм;

ао — начальный поперечный раз­мер, мм.

4. Закон Гука выполняется в зоне упругих деформаций, которая определяется при испытаниях на растяжение по диаграмме растяже­ния (рис. 21.2).

При работе пластические деформации не должны возни­кать, упругие деформации малы по сравнению с геометрическими размерами тела. Основные расче­ты в сопротивлении материалов проводятся в зоне упругих де­формаций, где действует закон Гука.

На диаграмме (рис. 21.2) закон Гука действует от точки 0 до точки 1.

5. Определение деформации бруса под нагрузкой и сравнение ее с допускаемой (не нарушающей работоспособности бруса) называют расчетом на жесткость.

Примеры решения задач

Пример 1. Дана схема нагружения и размеры бруса до деформации (рис. 21.3). Брус защемлен, определить перемещение свободного конца.

Решение

1. Брус ступенчатый, по­этому следует построить эпюры продольных сил и нормальных напряжений.

Делим брус на участки нагружения, определяем продольные силы, строим эпюру продольных сил.

2. Определяем величины нор­мальных напряжений по сечениям с учетом изменений площади поперечного сечения.

Строим эпюру нормальных напряжений.

3. На каждом участке опре­деляем абсолютное удлинение. Результаты алгебраически сумми­руем.

Примечание. Балка за­щемлена, в заделке возникает неизвестная реакция в опоре, поэтому расчет начинаем со сво­бодного конца (справа).

1. Два участка нагружения:

участок 1:

растянут;

участок 2:

2.

Три участка по напряжениям:

Пример 2. Для заданного ступенчатого бруса (рис. 2.9, а) построить эпюры продольных сил и нормаль­ных напряжений по его длине, а также определить пере­мещения свободного конца и сечения С, где приложена сила Р2. Модуль продольной упругости материала Е = 2,1 • 105 Н/’мм3.

Решение

1. Заданный брус имеет пять участков /, //, III, IV, V (рис. 2.9, а). Эпюра продольных сил показана на рис. 2.9, б.

2. Вычислим напряжения в поперечных сечениях каж­дого участка:

для первого

для второго

для третьего

для четвертого

для пятого

Эпюра нормальных напряжений построена на рис. 2.9, в.

3. Перейдем к определению перемещений поперечных сечений. Перемещение свободного конца бруса опреде­ляется как алгебраическая сумма удлинений (укорочений) всех его участков:

Подставляя числовые значения, получаем

4. Перемещение сечения С, в котором приложена сила Р2, определяется как алгебраическая сумма удлинений (уко­рочений) участков ///, IV, V:

Подставляя значения из предыдущего расчета, полу­чаем

Таким образом, свободный правый конец бруса пере­мещается вправо, а сечение, где приложена сила Р2, — влево.

5. Вычисленные выше значения перемещений можно полу­чить и другим путем, пользуясь принципом независимости действия сил, т. е. определяя перемещения от действия каждой из сил Р1; Р2; Р3 в отдельности и суммируя ре­зультаты. Рекомендуем учащемуся проделать это само­стоятельно.

Пример 3. Определить, какое напряжение возни­кает в стальном стержне длиной l = 200 мм, если после приложения к нему растягивающих сил его длина стала l1 = 200,2 мм. Е = 2,1*106 Н/мм2.

Решение

Абсолютное удлинение стержня

Продольная деформация стержня

Согласно закону Гука

Пример 4. Стенной кронштейн (рис. 2.10, а) со­стоит из стальной тяги АВ и деревянного подкоса ВС. Площадь поперечного сечения тяги F1 = 1 см2, площадь сечения подкоса F2 = 25 см2. Определить горизонтальное и вертикальное перемещения точки В, если в ней под­вешен груз Q = 20 кН. Модули продольной упругости стали Eст = 2,1*105 Н/мм2, дерева Ед = 1,0*104 Н/мм2.

Решение

1. Для определения продольных усилий в стерж­нях АВ и ВС вырезаем узел В. Предполагая, что стерж­ни АВ и ВС растянуты, направляем возникающие в них усилия N1 и N2 от узла (рис. 2.10, 6). Составляем уравнения равновесия:

откуда

Усилие N2 получилось со знаком минус. Это указы­вает на то, что первоначальное предположение о направ­лении усилия неверно — фактически этот стержень сжат.

2. Вычислим удлинение стальной тяги Δl1и укорочение подкоса Δl2:

где

Тяга АВ удлиняется на Δl1= 2,2 мм; подкос ВС уко­рачивается на Δl1= 7,4 мм.

3. Для определения перемещения точки В мысленно разъединим стержни в этом шарнире и отметим их новые длины. Новое положение точки В определится, если де­формированные стержни АВ1 и В2С свести вместе путем их вращения вокруг точек А и С (рис. 2.10, в). Точки В1 и В2 при этом будут перемещаться по дугам, которые вследствие их малости могут быть заменены отрезками прямых В1В’ и В2В’, соответственно перпендикулярными к АВ1 и СВ2. Пересечение этих перпендикуляров (точка В’) дает новое положение точки (шарнира) В.

4. На рис. 2.10, г диаграмма перемещений точки В изо­бражена в более крупном масштабе.

5. Горизонтальное пере­мещение точки В

Вертикальное

где составляющие отрезки определяются из рис. 2.10, г;

Подставляя числовые значения, окончательно получаем

При вычислении перемещений в формулы подстав­ляются абсолютные значения удлинений (укорочений) стержней.

Контрольные вопросы и задания

1. Стальной стержень длиной 1,5 м вытянулся под нагрузкой на 3 мм. Чему равно относительное удлинение? Чему равно относительное сужение? (μ = 0,25.)

2. Что характеризует коэффициент поперечной деформации?

3. Сформулируйте закон Гука в современной форме при растяжении и сжатии.

4. Что характеризует модуль упругости материала? Какова единица измерения модуля упругости?

5. Запишите формулы для определения удлинения бруса. Что характеризует произведение АЕ и как оно называется?

6. Как определяют абсолютное удлинение ступенчатого бруса, нагруженного несколькими силами?

7. Ответьте на вопросы тестового задания.

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте: