Задачи по сопромату осевое растяжение
Пример решения задачи на растяжение и сжатие
.
Условие задачи на растяжение и сжатие
Стальной стержень (модуль Юнга кН/см2) с размерами см; см, см и площадью поперечного сечения нижнего участка см2, а верхнего – см2 нагружен внешними осевыми силами кН и кН. Построить эпюры продольных сил и нормальных напряжений . Оценить прочность стержня, если предельное напряжение (предел текучести) кН/см2, а допускаемый коэффициент запаса . Найти удлинение стержня .
Расчетная схема для задачи на растяжение и сжатие
рис 3.2
Решение пример задачи на растяжение и сжатие
Определяем значение опорной реакции , возникающей в заделке
Учитывая, что , направим опорную реакцию вниз. Тогда из уравнения равновесия находим:
кН.
Строим эпюру продольных сил
Разбиваем длину стержня на три участка. Границами участков являются сечения, в которых приложены внешние силы и (или) изменяется размер поперечного сечения стержня.
Воспользуемся методом сечений. Делаем по одному сечению в произвольном месте каждого из трех участков стержня.
Cечение 1 – 1. Отбросим (или закроем листком бумаги) верхнюю часть стержня (рис. 3.2, б). Само сечение 1 – 1 мысленно считаем неподвижным. Мы видим, что внешняя сила растягивает рассматриваемую нижнюю часть стержня. Отброшенная нами верхняя часть стержня противодействует этому растяжению. Это противодействие мы заменим внутренней продольной силой , направленной от сечения и соответствующей растяжению. Разрушения стержня не произойдет только в том случае, если возникающая в сечении 1 – 1 внутренняя продольная сила уравновесит внешнюю силу . Поэтому очевидно, что
кН.
Сечение 2 – 2. Внешняя сила растягивает рассматриваемую нами нижнюю часть стержня, а сила ее сжимает (напомним, что 2 – 2 мы мысленно считаем неподвижным). Причем, согласно условию задачи, . Чтобы уравновесить эти две силы, в сечении 2 – 2 должна возникнуть внутренняя сила , противодействующая сжатию, то есть направленная к сечению. Она равна:
кН.
Сечение 3 – 3. Отбросим теперь часть стержня, расположенную ниже этого сечения. Внутренняя продольная сила должна уравновесить внешнюю (реактивную) сжимающую силу . Поэтому она направлена к сечению и равна:
кН.
Легко убедиться в том, что полученный результат не изменится, если мы отбросим не нижнюю, а верхнюю часть стержня. В этом случае продольная сила также противодействует сжатию. Она равна:
кН.
При построении эпюры продольных сил будем пользоваться следующим правилом знаков: внутренняя продольная сила, возникающая в поперечном сечении стержня, считается положительной, если она противодействует растяжению стержня, и отрицательной, если она противодействует его сжатию. Оно вводится для того, чтобы можно было наглядно видеть, какая часть стержня испытывает деформацию растяжения, а какая часть – деформацию сжатия. Это обстоятельство может оказаться крайне важным, в частности для стержней из хрупкого материала, которые имеют разные допускаемые напряжения на растяжение и на сжатие.
Таким образом, мы установили, что в любом сечении нижнего участка стержня внутренняя продольная сила противодействует растяжению и равна кН. В любом сечении среднего и верхнего участков стержня имеет место деформация сжатия, поэтому кН.
Для построения эпюры продольных сил проводим тонкой линией ось, параллельную оси стержня z (рис. 3.2, д). Вычисленные значения продольных сил в выбранном масштабе и с учетом их знака откладываем от этой вертикальной оси. В пределах каждого из участков стержня продольная сила остается постоянной, поэтому мы как бы «заштриховываем» горизонтальными линиями соответствующий участок.
Отметим, что каждая линия «штриховки» (то есть ордината эпюры) в принятом масштабе дает значение продольной силы в соответствующем поперечном сечении стержня.
Полученную эпюру обводим жирной линией.
Анализируя полученную эпюру, мы видим, что в местах приложения внешних сил на эпюре имеет место скачкообразное изменение продольной силы на величину, равную значению соответствующей внешней силы. Причем изменение поперечного размера стержня, как это видно из рис. 3.2, д, никак не сказывается на характере эпюры .
Строим эпюру нормальных напряжений
Нормальное напряжение, возникающее в k–м поперечном сечении стержня при растяжении (сжатии), вычисляется по следующей формуле
,
где и – продольная сила и площадь k–го поперечного сечения стержня соответственно.
В первом поперечном сечении стержня нормальное напряжение равно
кН/см2,
во втором –
кН/см2,
в третьем –
кН/см2.
Строим по вычисленным значениям эпюру (рис. 3.2, е). В пределах каждого из участков стержня напряжения постоянны, то есть эпюра напряжений параллельна оси. Заметим, что в отличие от эпюры N, на эпюре «скачок» имеет место не только в местах приложения внешних сил, но и там, где происходит изменение размеров поперечного сечения стержня.
Оцениваем прочность стержня
Сопоставляем наибольшее (по модулю) нормальное напряжение , которое в нашем примере возникает во втором сечении стержня, с допускаемым напряжением . Напомним, что допускаемое напряжение представляет собой долю от предельного напряжения , то есть от напряжения, при котором начинается разрушение материала. Разрушение стали, как пластичного материала, начинается при появлении значительных остаточных деформаций. Поэтому для стали предельное напряжение равно пределу текучести: . Тогда
кН/см2.
Условие прочности имеет вид . В нашем случае
кН/см2 > кН/см2,
следовательно, прочность стержня на втором участке не обеспечена.
Таким образом, площадь поперечного сечения стержня на втором участке, равную см2, нам необходимо увеличить.
Несложный анализ показывает, что на других участках стержня условие прочности выполняется.
Из условия прочности определяем требуемую площадь поперечного сечения стержня на втором участке:
см2.
Принимаем на втором участке см2.
Вычисляем удлинение всего стержня
При переменных по длине стержня значениях продольной силы и площади поперечного сечения удлинение вычисляется по формуле
,
где E – модуль Юнга, а – длина соответствующего участка стержня.
Тогда
см.
Таким образом, длина стержня уменьшается на мм.
Задача по сопромату на растяжение и сжатие для самостоятельного решения
Условие задачи на растяжение и сжатие
Стальной стержень (модуль Юнга кН/см2) находится под действием внешних осевых сил и (рис. 3.1). Построить эпюры продольных сил и нормальных напряжений . Оценить прочность стержня, если предельное напряжение (предел текучести) кН/см2, а допускаемый коэффициент запаса . Найти удлинение стержня .
Схемы для задачи на растяжение и сжатие
Исходные данные к задаче на растяжение и сжатие
Номер схемы | F, см2 | a, м | b, м | c, м | P, кН |
1 | 2,0 | 1,2 | 1,4 | 1,6 | 11 |
2 | 2,2 | 1,4 | 1,6 | 1,4 | 12 |
3 | 2,4 | 1,8 | 1,6 | 1,2 | 13 |
4 | 2,6 | 1,6 | 2,0 | 1,0 | 14 |
5 | 2,8 | 2,0 | 1,8 | 1,2 | 15 |
6 | 3,0 | 2,2 | 1,6 | 1,4 | 16 |
7 | 3,2 | 2,4 | 1,4 | 1,6 | 17 |
8 | 3,4 | 2,6 | 1,2 | 1,8 | 18 |
9 | 3,6 | 2,8 | 1,0 | 1,4 | 19 |
3,8 | 2,4 | 1,6 | 1,2 | 20 |
Источник
Статья посвящена решению сопромата, в частности основным разделам по которым решаются задачи. Дано краткое описание того, что необходимо делать, находить, определять в этих задачах каждого раздела. Также собраны ссылки на примеры решения задач по основным разделам сопромата:
- Геометрические характеристики
- Растяжение (сжатие)
- Кручение
- Изгиб
На данной страничке собраны ссылки на основные рубрики данного сайта с примерами решения задач по сопромату.
- Стержневые системы
- Пространственные системы (рамы)
- Валы
Классификация по виду деформации:
- Изгиб
- Кручение
- Изгиб с кручением
- Растяжение (сжатие)
Примеры решения задач на геометрические характеристики
При решении задач, связанных с геометрическими характеристиками, для плоских сечений могут определяться такие вещи как центр тяжести, осевой момент инерции, момент сопротивления, радиус инерции и т.д. Причем задачи могут сильно разница по сложности, все зависит от самого поперечного сечения. Например, для плоского сечения, у которого имеется две оси симметрии, можно сразу сказать, где у него находится центр тяжести, соответственно и положение главных центральных осей. Можно сразу определить главные моменты инерции, потом и момент сопротивления, и радиус инерции.
Для сечения, у которого только одна ось симметрии, центр тяжести будет лежать на этой оси, но не лежать на другой оси, одну из координат придется вычислять, затем также определять остальные важные геометрические характеристики.
Но в задачах могут встречаться и совсем не симметричные поперечные сечения. У простых сечений, которых есть хотя бы одна ось симметрии, вертикальная и горизонтальная осевые линии, проходящие через центр тяжести, являются главными центральными осями, то есть осями относительно которых осевой момент максимален и минимален. У сложных поперечных сечений, без осей симметрий, главные центральные оси проходят через центр тяжести, но находятся под некоторым углом к вертикальной или горизонтальной оси. Для решения такой задачи, необходимо сначала определить моменты инерции относительно вертикальной и горизонтальной оси проходящей через центр тяжести, центробежный момент инерции, затем уже можно определить тот самый угол, и численные значения главных центральных моментов инерции.
Примеры решения задач на растяжение (сжатие)
На тему растяжения (сжатия) можно выделить 4 основных типа задач: статически определимый и неопределимый брус, статически определимая и неопределимая стержневая система. Во всех данных типах задач обязательно вычисляется внутреннее усилие – продольная сила, возникающая в нагруженных элементах при центральном растяжении (сжатии).
В статически неопределимых задачах, перед тем как определить продольные силы обязательно раскрывается статическая неопределимость. После определения продольных усилий в решении задачи может:
- Вычисляться площадь / площади поперечных сечений конструкции из условия прочности.
- Вычисляться нормальное напряжение / напряжения. По вычисленным напряжениям делается вывод о прочности конструкции путем сравнения расчетного максимального напряжения с допустимым напряжением.
Часто по условию задачи требуется определить осевое перемещение поперечного сечения, найти удлинение (укорочение) стержня.
В условии задач обычно требуют строить эпюры от описываемых выше величин: продольной силы, нормального напряжения и перемещения.
Примеры решения задач на кручение
Задачи на чистое кручение сильно схожи с задачами растяжение (сжатие). В элементах, работающих на кручение, чаще всего валов, возникает также как и при растяжении один внутренний силовой фактор, только не продольная сила, а крутящий момент. Соответственно вместо нормальных напряжений, уже появляются касательные напряжения, которые распределены в поперечном сечении не равномерно, в отличие от нормальных напряжений, появляющихся при растяжении (сжатии). Как видно из рисунка, максимальные напряжения находятся в наиболее удаленных точках сечения.
Задачи могут быть проектировочными и проверочными. В первых определяются оптимальные размеры детали, удовлетворяющие условию прочности, а во вторых проверяется прочности детали работающей под заданной нагрузкой.
Помимо крутящих моментов, касательных напряжений, в задачах часто требуют определять относительные углы закручивания или углы поворота поперечных сечений.
Задачи на кручение могут быть как статически определимыми, так и неопределимыми. Статическая неопределимость раскрывается точно так же, как и при центральном растяжении. Составляется дополнительное уравнение совместности деформаций к уравнению равновесия, и выражаются реактивные моменты.
Примеры решения задач на изгиб
Задачи на поперечный изгиб очень разнообразны, перейдя по ссылке выше можно посмотреть примеры задач на этот вид деформации. В рамках этого блока будем говорить именно о поперечном изгибе, его еще называют плоским или прямым. О более сложных видах изгиба (изгиб с кручением, косой изгиб) поговорим ниже, в рамках раздела – сложное сопротивление. При поперечном изгибе деталей в их поперечных сечениях появляются два внутренних силовых фактора: поперечная сила и изгибающий момент.
А значит и два типа напряжений: касательные и нормальные. При проведении прочностных расчетов учитываются оба вида напряжений, но особую важность представляют напряжения нормальные, т.к. они, чаще всего, в несколько раз превосходят касательные. Нормальные напряжения можно определить по изгибающему моменту, а касательные определяют с помощью формулы Журавского по поперечной силе.
Расчеты на прочность при поперечном изгибе могут быть проверочными и проектировочными. Также часто производят расчеты на грузоподъемность, то есть вычисляют нагрузку, которую может выдержать конструкция, работающая на изгиб.
При решении задач на изгиб могут производиться расчеты на жесткость. Для этого определяют максимальное перемещение или угол поворота поперечного сечения различными методами: Мора-Верещагина, Мора-Симпсона, методом начальных параметров, методом конечных разностей, методом Кастильяно и д.р. После определения перемещений их сравнивают с допустимыми перемещениями. Также иногда в задачах требуют определить размеры конструкции из условия жесткости.
Источник
Растяжение (сжатие) – это такой вид нагружения стержня, при котором в его поперечном сечении возникает внутренняя продольная сила Ν, действующая вдоль центральной оси z.
Продольная сила Ν – это равнодействующая всех внутренних нормальных сил в сечении. Для вычисления продольной силы применяется метод сечений.
Продольная сила Ν численно равна алгебраической сумме проекций всех сил, действующих по одну сторону от рассматриваемого сечения, на продольную ось бруса.
Правило знаков для продольной силы Ν: при растяжении продольная сила положительна, при сжатии – отрицательна.
График изменения продольных сил по длине стержня называется эпюрой. Эпюра N строится методом сечений на характерных участках бруса. Строится эпюра для использования ее при расчете бруса на прочность. Она дает возможность найти наибольшие значения продольных сил и положение сечений, в которых они возникают.
При растяжении (сжатии) возникают только нормальные напряжения. Согласно гипотезе Я. Бернулли (или гипотеза плоских сечений) в поперечных сечениях, удаленных от места приложения нагрузок, нормальные напряжения распределяются по сечению практически равномерно, а сами сечения, перпендикулярные к оси стержня z, остаются плоскими в процессе нагружения.
Нормальные напряжения в сечении при растяжении (сжатии) вычисляются по формуле
где А – площадь поперечного сечения.
Правило знаков для σ совпадает с правилом знаков для N.
В наклонном сечении, нормаль к которому составляет угол α с осью стержня z,
При растяжении в продольном направлении стержень удлиняется, а его поперечные размеры уменьшаются, при сжатии, напротив, в продольном направлении стержень укорачивается, а его поперечные размеры увеличиваются; Δℓ — абсолютное удлинение или укорочение участка стержня длиной ℓ, Δb – абсолютная поперечная деформация.
Относительное удлинение или укорочение участка стержня длиной ℓ, называемое линейной деформацией, определяется следующим образом
ε=Δℓ/ℓ.
Экспериментально установлено, что в определенной области нагрузок при упругом поведении материала между нормальными напряжениями и линейными деформациями существует линейная зависимость (закон Гука для напряжений)
σ=εЕ,
где Е – модуль продольной упругости или модуль Юнга, это физическая const. Для каждого из материалов величина модуля упругости имеет свое значение:
сталь, Е = 2.105 МПа,
медь, Е = 1.105 МПа,
алюминий, Е = 0,7.105 МПа.
Значение модуля упругости устанавливается экспериментально.
Согласно закону Гука (данную запись называют законом Гука для деформаций)
Δℓ=Νℓ/ЕА
Произведение ЕА – называется жесткостью стержня при растяжении – сжатии.
Перемещение произвольного сечения ступенчатого стержня
w=∑Δℓi
Относительная поперечная деформация:
ε′=Δb/b
где b – поперечный размер стержня.
Эксперименты также показывают, что в упругой стадии деформирования между продольной и поперечной деформациями существует взаимосвязь
μ =│ε′⁄ε│ — const,
где μ — коэффициент Пуассона, берется по модулю ,поскольку у продольной и поперечной деформации разные знаки (при растяжении продольные волокна увеличиваются, а поперечные уменьшаются в размере).
Для твердых материалов имеет значения коэффициент Пуассона
0≤μ ≤0,5
Изменение температуры стержня вызывает его удлинение (при нагревании) или укорочение (при охлаждении)
где — a- коэффициент линейного температурного расширения; Δtº=(tºк-tºн) — изменение температуры между значениями начальным (tºн) и конечным (tºк).
Статически неопределимыми называют системы, имеющие лишние связи – внешние или внутренние.
Для определения внутренних усилий в таких системах недостаточно рассматривать только уравнения равновесия.
В этом случае требуются дополнительные уравнения, число которых равно количеству лишних связей. Дополнительные уравнения составляются на основе анализа картины деформирования системы и использования законов деформирования ее элементов.
Алгоритм решения подобных задач включает следующее:
1) Статическая часть. Составляются уравнения равновесия с включением неизвестных усилий, действующих по направлению лишних связей.
2) Геометрическая часть. Составляются уравнения, описывающие взаимосвязь перемещений характерных точек, удлинений и укорочений отдельных стержней между собой.
3) Физическая связь. Записываются законы деформирования отдельных стержней системы.
Порядок расчета статически неопределимых брусьев
- Задаться направлениями возможных опорных реакций и составить уравнение статики для всей системы в целом.
- Определить степень статической неопределимости и использовать метод сечений с целью выразить неизвестные усилия через неизвестные опорные реакции. При этом неизвестные продольные силы (N) следует предполагать положительными и поэтому направлять «от сечения».
- Сформулировать условие совместности деформаций участков бруса.
- В процессе превращения условия совместности в уравнение совместности деформаций различий в характере деформаций участков не учитывать.
Порядок расчета статически неопределимых шарнирно-стержневых систем
- Задаться направлениями опорных реакций, но уравнений равновесия для всей системы не составлять, а сразу использовать метод сечений и составить уравнения статики для выделенной части системы.
- Определить степень статической неопределимости как разницу между количеством всех неизвестных, оказавшихся в уравнениях статики, и числом самих этих уравнений.
- Рассмотреть (изобразить) любую возможную картину деформаций системы и из ее анализа сформулировать условия совместности деформаций стержней системы (столько, какова степень статической неопределимости).
- В процессе преобразования условий совместности в уравнения совместности деформаций обязательно учитывать различие в характере деформаций стержней (т.е. вводить удлинение со знаком «плюс», а укорочение со знаком «минус») в соответствии с той картиной деформации, которую мы рассматриваем.
Источник