Задача на растяжение стержня пример

Задача 4

Расчёты на растяжение – сжатие ступенчатого стержня с зазором

Прямолинейный упругий стержень с площадью поперечного сечения А, 2А, имеющий зазор Δ в недеформированном состоянии, нагружен вдоль оси силой F. Модуль упругости материала
Е = 200 ГПа, предел текучести σТ.

Вычислить значение силы F = F0, при котором зазор закрывается; из расчёта по допускаемым напряжениям найти грузоподъёмность системы [F] и при этом значении силы построить эпюры N, s, u.

Исходные данные

Решение

На расчётной схеме а) рис. 1 изображён стержень в недеформированном состоянии, т. е. при F = 0. Проведём координатную ось z-ов. Вдоль неё стержень имеет три участка, как подписано на рисунке.

При возрастании силы вначале деформируется лишь первый участок. В системе возникает только одна опорная реакция R1 (схема б). Её можно определить из уравнения равновесия, поэтому система статически определимая.

При некотором значении силы F = F0 зазор закрывается, второй и третий участки стержня начинают деформироваться, а именно сжиматься. При указанной нагрузке деформация первого участка, вычисляемая по закону Гука, должна равняться величине зазора, т. е.

Отсюда находим

Напряжение в момент закрытия зазора в сечениях первого участка:

Допускаемое напряжение

Напряжение в момент закрытия зазора значительно меньше допускаемого напряжения, т. е.

Отсюда следует, что грузоподъёмность стержня надо определять при закрытом зазоре. В этом случае уже появляется вторая опорная реакция R2(схема в), в то время как для их определения имеется лишь одно уравнение равновесия. Это означает, что теперь система стала статически неопределимой.

Величина силы, приложенной к стержню, пока неизвестна, она будет найдена позднее из условия прочности. Но составление условия прочности потребует использования формул для напряжений в сечениях, значит, продольных сил, опорных реакций и т. д.

Для определения опорных реакций составим уравнение равновесия:

, . (1)

К нему добавим уравнение деформаций:

Здесь – общее удлинение всего стержня. Для его вычисления отбрасываем правую опору, но её действие заменяем неизвестной опорной реакцией (схема г). Тогда получается, что к стержню приложены две внешние активные силы: F и R2. По принципу независимости действия сил определяем удлинения от каждой из них и результаты суммируем:

Упростим левую часть:

(2)

Уравнения (1), (2) представляют систему уравнений относительно двух неизвестных R1 и R2. Отсюда получим

,

Находим продольные силы в сечениях участков с помощью метода сечений:

(3)

Им соответствуют напряжения в поперечных сечениях:

– растягивающие напряжения, (4)

– сжимающие напряжения, (5)

– сжимающие напряжения. (6)

Грузоподъёмность системы должна быть определена по прочности наиболее напряжённого участка. Между тем, при неизвестном значении силы F определить наибольшее по абсолютному значению напряжение из трёх, вычисляемых формулами (4) – (6), не удаётся. Легко сравниваются только σ2 и σ3. Очевидно, что σ2 = 2σ3. Значит, определение грузоподъёмности придётся производить дважды: по прочности первого участка и прочности второго участка. Окончательное значение грузоподъёмности будет равно меньшему из значений.

Расчёты по прочности первого участка. Условие прочности имеет вид

. (7)

Подставим (4) в (7) и запишем

Отсюда получим грузоподъёмность как наибольшее значение допускаемой силы:

(8)

Расчёты по прочности второго участка. Условие прочности имеет вид

. (9)

Здесь появление знака минус вызвано следующей необходимостью. Напряжение σ2 отрицательное, в то время как допускаемое напряжение [σ] положительное. Их сравнение возможно только при наличии минуса в левой части условия прочности.

Подставляя (5) в (9), имеем

Отсюда

(10)

Окончательно получим значение грузоподъёмности как меньшее из двух результатов: (8) или (10)

[F] = min {[F]1, [F]2} = [F]1 = 93333 Н.

Теперь можно провести вычисления для построения эпюр.

Продольные силы по формулам (3)

По этим значениям строим эпюру продольных сил д).

Напряжения в поперечных сечениях находим по формулам (4)–(6):

Этот результат можно было предсказать. Напряжение в сечениях первого участка должно равняться допускаемому напряжению, так как по условию прочности именно первого участка: σ1 = [σ] была найдена сила [F]. Факт совпадения найденного напряжения с допускаемым подтверждает правильность проведённых вычислений:

По этим значениям строим эпюру нормальных напряжений е).

На схеме а) наметим характерные точки B, C, D, G, для которых будем определять перемещения. Точка B закреплена, поэтому

uB= 0.

Перемещение точки С равно удлинению первого участка стержня, т. е.

Перемещение точки D равно сумме деформаций первого и второго участков:

Перемещение uC уже найдено, поэтому можно вычислить

Перемещение точки G равно сумме

Как и следовало ожидать, перемещение точки G равно величине зазора. Такое совпадение также подтверждает правильность выполненных расчётов. По этим значениям строим эпюру перемещений ж).

Исходные данные

расчётные схемы

Задача 5

Растяжение – сжатие упруго-пластической статически

неопределимой стержневой системы

Шарнирно-стержневая система состоит из тяг, материал которых является идеально упруго-пластическим, и абсолютно жёсткого бруса. Требуется:

1. Вычислить силу F = Fт, при достижении которой в одной из тяг начинаются пластические деформации, и соответствующие ей значения продольных сил в тягах N1Т, N2Т и перемещения dBТ точки B;

2. Вычислить предельную нагрузку F = Fпр и соответствующие ей значения продольных сил в тягах N1пр, N2пр и перемещения dВпр= dВ(Fпр–0).

3. Определить допускаемую нагрузку из расчётов по допускаемым напряжениям и разрушающим нагрузкам и сравнить результаты.

4. Построить графики функций: N1(F), N2(F), dB(F); когда сила F возрастает от 0 до F = Fпр+ 0.

5. Изобразить на рисунке деформированное состояние системы.

Примечание: если в расчётной схеме задачи абсолютно жёсткий брус отсутствует, то подчёркнутое в тексте задачи пропускается, в противном случае пишется без подчерка.

Исходные данные

Расчётная схема Решение

На расчётной схеме обозначим номера стальных тяг 1, 2, опорные реакции R1, R2, R3, R4 , точки С, G.

Значение силы FТ найдётся из условия

|si| = sT,

где si – нормальные напряжения в поперечных сечениях тяг, получаемые из «упругой» задачи. Для их определения сначала найдем опорные реакции R1, R2, затем продольные силы N1, N2.

В данной плоской упругой системе возникают 4 опорные реакции, в то время как для их определения имеются лишь 3 уравнения равновесия. Поэтому она является один раз статически неопределимой. Степень статической неопределимости определяется как разница 4 – 3 = 1.

Нет необходимости находить опорные реакции R3 и R4, так как они в дальнейших расчётах не применяются. Поэтому определим лишь R1 и R2. Составим уравнение равновесия. Но из всевозможных уравнений равновесия выберем равенство нулю суммы моментов относительно точки G, так как оно содержит именно те неизвестные опорные реакции R1, R2, которые необходимы в расчётах. Другие уравнения равновесия не составляем, так как они содержат R3, R4. Итак, имеем

å МG = 0, R1a+ R2cosa 2a – F 2a = 0.

Сократим на а и получим

R1+ 2R2cosa = 2F. (1)

К уравнению (1) необходимо добавить второе уравнение, содержащее те же неизвестные R1, R2. Для его составления покажем на рисунке деформированное состояние конструкции (пунктирные линии). Обозначим точки C΄, D. Ввиду малости деформаций перемещения BB΄, CC΄ считаются вертикальными, C΄D^CD, BB΄= Dl1, CD = Dl2. Из подобия треугольников GBB΄ и GCC΄ следует

Þ 2BB’=CC’ , т. е. 2D l1 = (2)

По закону Гука

Dl 1 =, Dl2 = .

Подставим в (2) и запишем

= или R2 = 2R1cosa. (3)

(1) и (3) образуют систему линейных алгебраических уравнений относительно R1 и R2. Решая, получим

R1 = R2 =

Обозначим

c1 = cos a = cos 20˚ = 0,9397, c2 = 2/(1 + 4 cos2a) = 2/(1 + 4· 0,93972) = 0,4413,

l1 = l / EA = 1 / 200 · 109 · 240 · 10-6 = 2,083 · 10-8 м / Н.

Найдём продольные силы:

N1 = R1 = Fc2, N2 = –R2 = –2Fc1c2 (4)

и перемещение точки B

dB = Dl 1 = = N1l1. (5)

Теперь можно найти формулы для нормальных напряжений в поперечных сечениях тяг:

s1 = N1/A = Fc2/A = 0,4413 F/A, s2 = N2/A = -2Fc1c2/A = — 0,8294 F/A. (6)

Из сравнения видно, что напряжение во второй тяге по абсолютному значению больше, чем в первой, т. е. | s2 | > s1, поэтому пластические деформации при возрастании силы F возникнут раньше во втором стержне. Найдём формулу для определения FТ. С этой целью приравняем большее из напряжений по модулю к пределу текучести материала

| s2 | = sT

или, что то же самое

0,8294 F/A = sT.

Отсюда

F = FТ = sTA / 0,8294 = 250 · 106 · 240 · 10-6 / 0,8294 = 72340 Н = 72,34 кН.

Этому значению нагрузки соответствуют продольные силы в тягах, определяемые формулами (4)

N1Т = 72,34 · 0,4413 = 31,92 кН, N2Т = — 2 · 72,34 · 0,9397 · 0,4413 = –60 кН

и перемещение точки B, вычисляемое формулой (5)

dBТ = N1Тl1 = 31920 · 2,083 ·10-8 = 0,665 · 10-3 м = 0,665 мм.

По значению силы FТ можно найти допускаемое значение:

[F]т = FТ / nТ = 72,34 / 1,6 = 45,21 кН.

Такой метод расчётов называется расчётом по допускаемым напряжениям. Второй и более точный метод расчётов – это расчёт по разрушающим нагрузкам (другое название – расчёт по несущей способности). Предельное состояние или исчерпание несущей способности системы наступит при достижении силой F предельного разрушающего значения, т. е. при F = Fпр, когда в обеих тягах напряжения будут равны пределу текучести sT:

s1 = sT, s2 = –sT.

Тогда продольные силы достигнут предельных значений т. е. оба стержня «потекут»:

N1пр = sT A = 250·106 · 240 · 10-6 = 60000 Н = 60 кН, N2пр = –sT A = –60 кН.

Здесь на рисунке стержни, в которых уже наступила текучесть, заштрихованы.

Найдём предельную нагрузку Fпр. Составим уравнение равновесия:

å МG = 0, N1пр а — N2пр c1 2а – Fпр2а = 0, 60 + 2 · 60 c1 = 2Fпр.

Отсюда

Fпр = 60 (1+2с1) / 2 =+ 2 · 0,9397) = 86,38 кН.

[F]пр = Fпр / nТ = 86,38 / 1,6 = 53,99 кН.

Разница результатов, полученных двумя методами расчётов на прочность, составляет

Перемещение dBпр = dB(Fпр – 0) вычисляется при F = Fпр – 0. Это означает, что вторая тяга уже «течёт», а первая продолжает оставаться в упругой стадии деформирования, хотя находится на «пределе», т. е. накануне текучести, так что N1 = 60 кН. К первой тяге ещё можно применять закон Гука. Следовательно,

dBпр = 60000 · 2,083 ·10-8 = 1,25 · 10-3 м = 1,25 мм.

По результатам вычислений построены графики функций (рис. 3, 4): N1(F), N2(F), dB(F); когда сила F возрастает от 0 до F = Fпр+ 0.

Рис. 3

Рис. 4

Исходные данные

Расчётные схемы