Вычислите работу по растяжению пружины

Министерство образования и науки Российской Федерации

Федеральное агенство по образованию

ФГОУ СПО «Чебоксарский электромеханический колледж»

Рабочая тетрадь

Тема: «Применение определенного интеграла»

Выполнила преподаватель

Ситникова М. А.

Чебоксары,2007г

2.Работа переменной силы.

Вычисление работы, затраченной на растяжение или сжатие пружины.

Пример1: Какую работу совершает сила в 10Н при растяжении пружины на 2см?

Решение. По закону Гука сила F , растягивающая пружину, пропорциональна растяжению пружины , т.е. F=kx.

Используя условие , находим , т.е. F=500x.

Согласно формуле, получим

.

Упражнение:

1. Какую работу совершает сила в 8Н при растяжении пружины на 6см?

2. Какую работу совершает сила в 20Н при растяжении пружины на 4см?

Пример 2.Сила в 60Н растягивает пружину на 2см. Первоначальная длина пружины равна 14см. Какую работу нужно совершить, чтобы растянуть ее до 20см?

Решение:

Имеем и, следовательно , F=3000x. Так как пружину требуется растянуть на 0.06м, то

.

Упражнения:

3.Сила в 40Н растягивает пружину на 0.04м. Какую работу надо совершить, чтобы растянуть пружину на 0.02м?

4. Для сжатия пружины на 3см необходимо совершить работу в 16Дж. На какую длину можно сжать пружину, совершив работу в 144Дж?

5. Пружина в спокойном состоянии имеет длину 20см. Сила в 9.8Н растягивает ее на 2см. Определить работу, затраченную на растяжение пружины от 25см до 35см.

1. Нахождение пути, пройденного телом при прямолинейном движении.

, , где V – скорость прямолинейного движения, а – ускорение.

Упражнения: 1) Тело движется прямолинейно со скоростью V(t) м/с. Вычислить путь, пройденный телом за промежуток времени от t=t1 до t=t2:

а) (за 4 секунды)

б) за 3-ю секунду.

2) Скорость прямолинейно движущегося тела равна Вычислить путь от начала движения до остановки.

3) Два тела одновременно начали прямолинейное движение из некоторой точки в одном направлении. Первое тело движется со скоростью

, второе — . На каком расстоянии они окажутся друг от друга через 3с ?

Составьте задачу на нахождение пути, пройденного телом при прямолинейном движении и решите ее.

3. Давление жидкости.

Величина силы Р давления жидкости в ньютонах на

горизонтальную площадку вычисляется по формуле

где — плотность жидкости в , s –

площадь площадки в , h – глубина погружения площадки в м. Рассмотрим задачу определения давления жидкости на

вертикальную площадку.

Пример1: Треугольная пластинка с основанием 0.3 м и высотой 0.6 м погружена вертикально в воду так, что е вершина лежит на поверхности воды, а основание параллельно ей. Вычислить силу давления воды на пластинку.

Решение:

Разобьем пластинку на n тонких полосок. На глубине x выделим одну из них и обозначим через ее ширину. Приняв полоску за прямоугольник, найдем ее площадь :

Из подобия треугольников АВС и КВМ имеем::

откуда КМ=1/2х. Следовательно,

Суммируя элементарные давления на каждую из полосок и неограниченно увеличивая число делений n, найдем значение силы Р давления жидкости на всю пластинку:

Таким образом.

Пример2: Определить силу давления воды на стенку шлюза, длина которого 20м, а высота 5м. (считая шлюз доверху заполненным водой)

Решение:

Упражнения:

1. Вычислить силу давления воды на вертикальную прямоугольную пластинку, основание которой 30м, а высота 10м, причем верхний конец пластинки совпадает с уровнем воды.

2. Вычислить силу давления воды на вертикальную прямоугольную пластинку, основание которой 16м, а высота 24м, причем верхний конец пластинки находится на 10см ниже свободной поверхности воды.

3. Треугольная пластинка с основанием 0.9м и высотой 0.12 м погружена вертикально в воду так, что е вершина лежит на 0.03м ниже поверхности воды, а основание параллельно ей. Вычислить силу давления воды на пластинку.

4. Вычисление работы против сил межмолекулярного притяжения.

— внутреннее давление, обусловленное силами взаимодействия молекул.

Пример1: Некоторый газ количеством вещества 1 кмоль занимает объем . При расширении газа до объема была совершена работа А против сил межмолекулярного притяжения, равная 45,3 кДж. Определить поправку а, входящую в уравнение Ван-дер-Ваальса.

Дано: Определить: а

Решение.

Упражнение: 1. Кислород, массой 100г расширяется от объема 5л до объема 10л. Определить работу межмолекулярных сил притяжения при этом растяжении. Поправку а взять из примера 1.

2. Некоторый газ количеством вещества 0,25 кмоль занимает объем . При расширении газа до объема была совершена работа А против сил межмолекулярного притяжения, равная 1,42 кДж. Определить поправку а, входящую в уравнение Ван-дер-Ваальса.

5. Сила и плотность электрического тока.

где S – площадь поперечного сечения проводника.

Пример: Сила тока в проводнике сопротивлением R=50Ом равномерно растет от за время Определить выделившееся за это время количество теплоты.

Дано:

Определить: Q

Решение: Согласно закону Джоуля – Ленца для бесконечно малого промежутка времени,

По условию задачи сила тока равномерно растет, т.е. I=kt, где к – коэффициент пропорциональности

Тогда (1)

Проинтегрировав (1) и подставив выражение для k, найдем искомое количество теплоты:

Вычисляя получим Q=900 Дж.

Упражнение: 1. Сила тока в проводнике сопротивлением R=120Ом равномерно растет от за время Определить выделившееся за это время количество теплоты.

2. Сила тока в проводнике сопротивлением R=100Ом равномерно убывает от за время Определить выделившееся за это время количество теплоты.

Ответьте на вопросы:

1.Как применяется определенный интеграл для нахождения пути , пройденного телом при прямолинейном движении?

2.С помощью какой формулы можно вычислить работу, затраченную на растяжение пружины?

3.Объясните применение определенного интеграла при нахождении силы давления жидкости на вертикально расположенную пластинку.

4.Приведите примеры физических и технических задач, которые решаются с помощью определенного интеграла.

Министерство образования и науки Российской Федерации

Федеральное агенство по образованию

ФГОУ СПО «Чебоксарский электромеханический колледж»

Рабочая тетрадь

Тема: «Взаимное расположение прямых на плоскости»

Выполнила преподаватель

Ситникова М. А.

Чебоксары,2007г

Взаимное расположение прямых.

Сформулируйте определение параллельных прямых.

Параллельными прямыми называются

Если прямые параллельны, то их нормальные векторы коллинеарны. Сделайте символьную запись по рисунку.

Сформулируйте определение перпендикулярных прямых.

Перпендикулярными прямыми называются

Начертите перпендикулярные прямые с их нормальными векторами. Сделайте символьную запись по рисунку.

По данному образцу опишите три возможных случая взаимного расположения двух прямых на плоскости и сделайте рисунки.

Как найти точку пересечения прямых?

Могут ли прямые на плоскости одновременно не быть параллельными и не пересекаться?

В зависимости от задания прямых различными уравнениями меняется запись условия параллельности и перпендикулярности прямых. Заполните следующие таблицы.

Задание 1. Выяснить, являются ли следующие прямые параллельными или перпендикулярными.

а) 2x-4y+7=0, 6x-12y+8=0;

b) 3x-4y+9=0, 4x+3y-9=0;

c) 4x-5y+9=0, 5x-4y+7=0.

Задание 2. Составить уравнение прямой, проходящей через точку А(-2;-1) и параллельно прямой 5x+3y+10=0.

Задание 3. Составить уравнение прямой, проходящей через точку А(-2;-1) и перпендикулярно прямой

3x-2y+8=0.

Задание 4: Из следующих пар прямых найти параллельные, перпендикулярные, а у остальных найти точку пересечения.

a) 6x-3y+2=0, y=2x+7;

b) ;

c) 5x-y+8=0.

Вычисления угла между прямыми на плоскости.

Что такое угол?

Сформулируйте определение скалярного произведения векторов в векторной и координатной форме.

запишите данную формулу в координатной форме и сделайте чертеж.

В зависимости от формы задания прямых, угол между ними находится различными методами. Исходя из этого заполните следующую таблицу.

Пример1. Найти угол между прямыми 7x-y-2=0 и x-y+3=0.

Решение. По формуле (2) находим:

Упражнение1. Дан треугольник АВС с вершинами А(1,1), В(4,5), С(7,2).

а) Определить внутренние углы треугольника, сделать чертеж и проверить опытным путем.

б) Найти углы между стороной АС и осью ОХ.

в) Вычислить угол между высотой ВД и осью OY.

Решение.

Чертеж.

Ответ:

Упражнение 2. По данным на рисунке определить внутренние углы трапеции, углы между диагоналями и угол, образованный нижним основанием с осью Ox.

Решение.

Ответ:

Вопросы:

1. Как найти угол между прямыми, если нет задания уравнений?

2. Назовите формулы для определения угла между прямыми, заданными уравнениями

• Каноническими

• Общими

• С угловым коэффициентом

• Параметрическими

• Нормальными

• В отрезках

3. Каким образом можно определить угол между прямой, заданной уравнением и осями координат?

4. Сформулируйте свои замечания и вопросы по данной теме.

Спасибо за работу!

Введение.

Данная рабочая тетрадь является дополнением к основной учебной литературе и предназначена студентам для обобщения и систематизации темы: «Уравнения прямых». Это пособие помогает учащимся повторить пройденный материал и систематизировать полученные знания. А также необходимо для закрепления и отработки техники решения примеров разного уровня сложности.

Необходимо обратить особое внимание на составленные схемы решения, что значительно упрощает решение особенно для слабоуспевающих студентов.

Краткие теоретические сведения позволяют пополнить пробелы, полученные в процессе обучения и усвоения материала. Вопросы направляют на повторение необходимых для решения формулировок.

Индивидуальная работа с тетрадью поможет подготовиться к контрольной работе, а предложенная работа в коллективе развивает

чувство ответственности и стремления к знаниям.

Рабочая тетрадь предназначена для работы на уроке и для выполнения домашних упражнений студентами.

Список используемой литературы.

1. В. Т. Лисичкин, И. Л. Соловейчик «Математика»

Москва «Высшая школа» 1991г.

2. «Геометрия» под редакцией

Г. Н. Яковлева, Москва «Наука» 1978г.

3. И.И.Валуце, Г.Д. Дилигул «Математика для техникумов»

Москва «Наука» 1980г.

4. П. Е. Данко, А. Г. Попов, Т. Я. Кожевникова

«Высшая математика в упражнениях и задачах»

6-е издание, Москва «ОНИКС 21 век»

«Мир и Образование» 2005г.

Автор: преподаватель Ситникова М.А.

Рецензенты:

Кузнецова О.Б. – зам. Директора по НР ЧЭМК

Уравнения прямых.

Заполни таблицу.

Какие уравнения прямых ты еще знаешь?

Запиши их

Упражнение.

В параллелограмме ABCD составить уравнения сторон, диагоналей и высот, определить длины высот и расстояние от точки пересечения диагоналей до сторон параллелограмма. Изобразить в системе координат и проверить опытным путем.

1) A(3;-2), B(3;2), C(8;3), D(8;-1).

2) A(1;-2), B(2;3), C(7;4), D(6;-1).

3) A(1;1), B(3;5), C(9,6), D(7;2).

4) A(-5;-1), B(-2;4), C(2,3), D(-1;-2).

Решение.

Ответ:

Вопросы:

1.Как найти угол между прямыми, если нет задания уравнений?

2.Назовите формулы для определения угла между прямыми, заданными уравнениями

• Каноническими

• Общими

• С угловым коэффициентом

• Параметрическими

• Нормальными

• В отрезках

3.Каким образом можно определить угол между прямой, заданной уравнением и осями координат?

4.Сформулируйте свои замечания и вопросы по данной теме.

Спасибо за работу!

Приложения.

Схемы решения упражнений.

1. Уравнения прямых.

Упражнение.

1. Уравнения сторон и диагоналей составить как уравнения прямых, проходящих через две данные точки.

2. Для составления уравнения высоты AE определить нормальный вектор CD и взять данную точку А (нормальное уравнение).

3. Длину высоты AE находим согласно формулы для нахождения расстояния от точки до прямой на плоскости: — общее уравнение на плоскости (уравнение CD).

4. Аналогично находятся расстояния от точки пересечения диагоналей до сторон. Координаты этой точки находим как у середины отрезка. .