Всф при растяжении и сжатии
Внутренние усилия при растяжении-сжатии.
Осевое (центральное) растяжение или сжатие прямого бруса вызывается внешними силами, вектор равнодействующей которых совпадает с осью бруса. При растяжении или сжатии в поперечных сечениях бруса возникают только продольные силы N. Продольная сила N в некотором сечении равна алгебраической сумме проекции на ось стержня всех внешних сил, действующих по одну сторону от рассматриваемого сечения. По правилу знаков продольной силы N принято считать, что от растягивающих внешних нагрузок возникают положительные продольные силы N, а от сжимающих — продольные силы N отрицательны (рис. 5).
Чтобы выявить участки стержня или его сечения, где продольная сила имеет наибольшее значение, строят эпюру продольных сил, применяя метод сечений, подробно рассмотренный в статье:
Анализ внутренних силовых факторов в статистически определимых системах
Ещё настоятельно рекомендую взглянуть на статью:
Расчёт статистически определимого бруса
Если разберёте теорию в данной статье и задачи по ссылкам, то станете гуру в теме «Растяжение-сжатие» =)
Напряжения при растяжении-сжатии.
Определенная методом сечений продольная сила N, является равнодействующей внутренних усилий распределенных по поперечному сечению стержня (рис. 2, б). Исходя из определения напряжений, согласно выражению (1), можно записать для продольной силы:
где σ — нормальное напряжение в произвольной точке поперечного сечения стержня.
Чтобы определить нормальные напряжения в любой точке бруса необходимо знать закон их распределения по поперечному сечению бруса. Экспериментальные исследования показывают: если нанести на поверхность стержня ряд взаимно перпендикулярных линий, то после приложения внешней растягивающей нагрузки поперечные линии не искривляются и остаются параллельными друг другу (рис.6, а). Об этом явлении говорит гипотеза плоских сечений (гипотеза Бернулли): сечения, плоские до деформации, остаются плоскими и после деформации.
Так как все продольные волокна стержня деформируются одинаково, то и напряжения в поперечном сечении одинаковы, а эпюра напряжений σ по высоте поперечного сечения стержня выглядит, как показано на рис.6, б. Видно, что напряжения равномерно распределены по поперечному сечению стержня, т.е. во всех точках сечения σ = const. Выражение для определения величины напряжения имеет вид:
Таким образом, нормальные напряжения, возникающие в поперечных сечениях растянутого или сжатого бруса, равны отношению продольной силы к площади его поперечного сечения. Нормальные напряжения принято считать положительными при растяжении и отрицательными при сжатии.
Деформации при растяжении-сжатии.
Рассмотрим деформации, возникающие при растяжении (сжатии) стержня (рис.6, а). Под действием силы F брус удлиняется на некоторую величину Δl называемую абсолютным удлинением, или абсолютной продольной деформацией, которая численно равна разности длины бруса после деформации l1 и его длины до деформации l
Отношение абсолютной продольной деформации бруса Δl к его первоначальной длине l называют относительным удлинением, или относительной продольной деформацией:
При растяжении продольная деформация положительна, а при сжатии – отрицательна. Для большинства конструкционных материалов на стадии упругой деформации выполняется закон Гука (4), устанавливающий линейную зависимость между напряжениями и деформациями:
где модуль продольной упругости Е, называемый еще модулем упругости первого рода является коэффициентом пропорциональности, между напряжениями и деформациями. Он характеризует жесткость материала при растяжении или сжатии (табл. 1).
Таблица 1
Модуль продольной упругости для различных материалов
Абсолютная поперечная деформация бруса равна разности размеров поперечного сечения после и до деформации:
Соответственно, относительную поперечную деформацию определяют по формуле:
При растяжении размеры поперечного сечения бруса уменьшаются, и ε’ имеет отрицательное значение. Опытом установлено, что в пределах действия закона Гука при растяжении бруса поперечная деформация прямо пропорциональна продольной. Отношение поперечной деформации ε’ к продольной деформации ε называется коэффициентом поперечной деформации, или коэффициентом Пуассона μ:
Экспериментально установлено, что на упругой стадии нагружения любого материала значение μ = const и для различных материалов значения коэффициента Пуассона находятся в пределах от 0 до 0,5 (табл. 2).
Таблица 2
Коэффициент Пуассона.
Абсолютное удлинение стержня Δl прямо пропорционально продольной силе N:
Данной формулой можно пользоваться для вычисления абсолютного удлинения участка стержня длиной l при условии, что в пределах этого участка значение продольной силы постоянно. В случае, когда продольная сила N изменяется в пределах участка стержня, Δl определяют интегрированием в пределах этого участка:
Произведение (Е·А) называют жесткостью сечения стержня при растяжении (сжатии).
Механические свойства материалов.
Основными механическими свойствами материалов при их деформации являются прочность, пластичность, хрупкость, упругость и твердость.
Прочность — способность материала сопротивляться воздействию внешних сил, не разрушаясь и без появления остаточных деформаций.
Пластичность – свойство материала выдерживать без разрушения большие остаточные деформации. Неисчезающие после снятия внешних нагрузок деформации называются пластическими.
Хрупкость – свойство материала разрушаться при очень малых остаточных деформациях (например, чугун, бетон, стекло).
Идеальная упругость – свойство материала (тела) полностью восстанавливать свою форму и размеры после устранения причин, вызвавших деформацию.
Твердость – свойство материала сопротивляться проникновению в него других тел.
Рассмотрим диаграмму растяжения стержня из малоуглеродистой стали. Пусть круглый стержень длинной l0 и начальным постоянным поперечным сечением площади A0 статически растягивается с обоих торцов силой F.
Диаграмма сжатия стержня имеет вид (рис. 10, а)
где Δl = l — l0 абсолютное удлинение стержня; ε = Δl / l0 — относительное продольное удлинение стержня; σ = F / A0 — нормальное напряжение; E — модуль Юнга; σп — предел пропорциональности; σуп — предел упругости; σт — предел текучести; σв — предел прочности (временное сопротивление); εост — остаточная деформация после снятия внешних нагрузок. Для материалов, не имеющих ярко выраженную площадку текучести, вводят условный предел текучести σ0,2 — напряжение, при котором достигается 0,2% остаточной деформации. При достижении предела прочности в центре стержня возникает локальное утончение его диаметра («шейка»). Дальнейшее абсолютное удлинение стержня идет в зоне шейки ( зона местной текучести). При достижении напряжением предела текучести σт глянцевая поверхность стержня становится немного матовой – на его поверхности появляются микротрещины (линии Людерса-Чернова), направленные под углом 45° к оси стержня.
Расчеты на прочность и жесткость при растяжении и сжатии.
Опасным сечением при растяжении и сжатии называется поперечное сечение бруса, в котором возникает максимальное нормальное напряжение. Допускаемые напряжения вычисляются по формуле:
где σпред — предельное напряжение (σпред = σт — для пластических материалов и σпред = σв — для хрупких материалов); [n] — коэффициент запаса прочности. Для пластических материалов [n] = [nт] = 1,2 … 2,5; для хрупких материалов [n] = [nв] = 2 … 5, а для древесины [n] = 8 ÷ 12.
Расчеты на прочность при растяжении и сжатии.
Целью расчета любой конструкции является использование полученных результатов для оценки пригодности этой конструкции к эксплуатации при минимальном расходе материала, что находит отражение в методах расчета на прочность и жесткость.
Условие прочности стержня при его растяжении (сжатии):
При проектном расчете определяется площадь опасного сечения стержня:
При определении допускаемой нагрузки рассчитывается допускаемая нормальная сила:
Расчет на жесткость при растяжении и сжатии.
Работоспособность стержня определяется его предельной деформацией [ l ]. Абсолютное удлинение стержня должно удовлетворять условию:
Часто дополнительно делают расчет на жесткость отдельных участков стержня.
Следующая важная статья теории:
Изгиб балки
Источник
Многие элементы машин, сооружений, канаты, тросы, ремни, цепи и т.д., испытывают деформацию растяжения (сжатия).
Элемент конструкции, длина которого гораздо больше его поперечных размеров, называется брусом.
Растяжением или сжатием называют такой вид деформации, при котором в поперечном сечении бруса возникает один ВСФ – продольная сила N.
Продольная сила в любом сечении бруса равна алгебраической сумме проекций на его продольную ось всех внешних сил, действующих на отсеченную часть:
.
Правило знаков для продольных сил: при растяжении продольная сила положительна, при сжатии – отрицательна.
Условие прочности при растяжении (сжатии):
,
где А – площадь поперечного сечения бруса, мм2;
— допускаемое нормальное напряжение, МПа.
Расчетное напряжение зависит от нагрузки и размеров поперечного сечения, допускаемое только от материала детали и условий работы.
Изменение длины бруса (удлинение или укорочение) равно алгебраической сумме удлинений (укорочений) его отдельных участков и вычисляется по формуле Гука:
,
где Ni, li и Аi – соответственно продольная сила, длина и площадь сечения в пределах каждого участка бруса;
Е – модуль продольной упругости материала (для стали Е=2·105 МПа);
АЕ – жесткость сечения.
Тема 2.3. Практические расчеты на срез и смятие.
Детали соединений (болты, штифты, шпонки, заклепки) работают так, что можно учитывать только один внутренний силовой фактор — поперечную силу. Такие детали рассчитываются на сдвиг.
Сдвиг (срез)
Сдвигом называется нагружение, при котором в поперечном сечении бруса возникает только один внутренний силовой фактор — поперечная сила рис. 23.1).
При сдвиге выполняется закон Гука, который в данном случав записывается следующим образом:
где — напряжение;
G — модуль упругости сдвига;
— угол сдвига.
При отсутствии специальных испытаний G можно рассчитать по формуле,
гдеЕ — модуль упругости при растяжении, [G] = МПа.
Расчет деталей на сдвиг носит условный характер. Для упрощения расчетов принимается ряд допущений:
— при расчете на сдвиг изгиб деталей не учитывается, хотя силы, действующие на деталь, образуют пару;
— при расчете считаем, что силы упругости распределены по сечению равномерно;
— если для передачи нагрузки используют несколько деталей, считаем, что внешняя сила распределяется между ними равномерно.
Условие прочности при сдвиге (срезе)
где [ ] — допускаемое напряжение сдвига, обычно его определяют по формуле
При разрушении деталь перерезается поперек. Разрушение детали под действием поперечной силы называют срезом.
Смятие
Довольно часто одновременно со сдвигом происходит смятие боковой поверхности в месте контакта в результате передачи нагрузки одной поверхности к другой. При этом на поверхности возникают сжимающие напряжения, называемые напряжениями смятия, .
Расчет также носит условный характер. Допущения подобны принятым при расчете на сдвиг, однако при расчете боковой цилиндрической поверхности напряжения по поверхности распределены не равномерно, поэтому расчет проводят для наиболее нагруженной точки. Для этого вместо боковой поверхности цилиндра в расчете используют плоскую поверхность, проходящую через диаметр.
Условие прочности при смятии
гдеАсм—расчетная площадь смятия
Асм =
d — диаметр окружности сечения;
— наименьшая высота соединяемых пластин;
F — сила взаимодействия между деталями
[ ]-допускаемое напряжение смятия
[ ] = (0,35 + 0,4)
Тема 2.5. Кручение
Кручение – вид нагружения бруса, при котором в его поперечных сечениях возникает один внутренний силовой фактор – крутящий момент Мкр.
Крутящий момент Мкр в произвольном поперечном сечении бруса равен алгебраической сумме моментов, действующих на отсеченную часть бруса.
Крутящий момент считается положительным, если кручение происходит против часовой стрелки и отрицательны – по часовой стрелке.
При расчете валов на прочность при кручении используется условие прочности:
,
где — полярный момент сопротивления сечения, мм3;
[ ] – допускаемое касательное напряжение.
Крутящий момент определяется по формуле:
,
где Р – мощность на валу, Вт;
ω – угловая скорость вращения вала, рад/с.
Полярный момент сопротивления сечения определяется по формулам:
— для круга
— для кольца
.
При кручении бруса его ось испытывает скручивание на некоторый угол φ, который называется углом закручивания. Его величина определяется по формуле:
,
где l – длина бруса;
G – модуль сдвига, МПа (для стали G=0,8·105МПа);
— полярный момент инерции сечения, мм4.
Полярный момент инерции сечения определяется по формулам:
— для круга
— для кольца
.
Тема 2.6. Изгиб
Многие элементы конструкций (балки, рельсы, оси всех колес и т.д.) испытывают деформацию изгиба.
Изгибом называется деформация от момента внешних сил, действующих в плоскости, проходящей через геометрическую ось балки.
В зависимости от места приложения действующих сил различают прямой и косой изгиб.
Прямой изгиб– внешние силы, действующие на балку, лежат в главной плоскости сечения.
Главная плоскость сечения – плоскость, проходящая через ось балки и одну из главных центральных осей сечения.
Косой изгиб — внешние силы, действующие на балку, не лежат в главной плоскости сечения.
В зависимости от характера ВСФ, возникающих в поперечных сечениях балки, изгиб может быть чистым и поперечным.
Изгиб называется поперечным, если в поперечном сечении балки возникают два ВСФ – изгибающий момент Мх и поперечная сила Qy.
Изгиб называется чистым, если в поперечном сечении балки возникает один ВСФ – изгибающий момент Мх.
Изгибающий момент в произвольном сечении равен алгебраической сумме моментов внешних сил, действующих на отсеченную часть балки:
Поперечная сила Q равна алгебраической сумме проекций внешних сил, действующих на отсеченную часть балки:
.
При определении знаков поперечных сил используют правило «Часовой стрелки»: поперечная сила считается положительной, если «вращение» внешних сил происходит по часовой стрелке; отрицательной – против часовой стрелки.
При определении знаков изгибающих моментов используют правило «Сжатых волокон» (правило «ЧАШИ»): изгибающий момент считается положительным, если сжимаются верхние волокна балки («вода не выливается»); отрицательным, если сжимаются нижние волокна балки («вода выливается»).
Условие прочности при изгибе:рабочее напряжение должно быть меньше или равно допускаемому напряжению, т.е.
где Wх – осевой момент сопротивления (величина, характеризующая способность элементов конструкции сопротивляться деформации изгиба), мм3.
Осевой момент сопротивления определяется по формулам:
— для круга
;
— для кольца
;
— для прямоугольника
.
При прямом поперечном изгибе изгибающий момент обуславливает возникновение нормального напряжения, а поперечная сила – касательного напряжения, которое определяется по формуле:
,
где А – площадь поперечного сечения, мм2.
Раздел 3. ДЕТАЛИ МАШИН
Источник
Напряжение, перемещение, деформации.
ВСФ, определяется с помощью метода сечения.
Классификация сил и нагрузок. Метод сечений.
Допущения и гипотезы в сопротивлении материалов.
Реальный объект и расчетная схема изучаемого объекта.
Структура дисциплин механического цикла
Реальный объект, освобожденный от несущественных особенностей, называется расчетной схемой.
Виды тел:
· Брус
Брусом называется геометрическое тело, два размера которого намного меньше его третьего размера.
Брусья бывают:
· прямолинейные;
· криволинейные;
· с постоянным сечением;
·
с переменным сечением;
·
с комбинированным сечением.
Примеры: балки, оси, валы, стержни, крюки, брусья, звенья цепей и т. д.
· Оболочка
Оболочкой называется геометрическое тело, длина и ширина которого значительно больше её толщины.
Оболочки бывают:
· тонкостенными;
· толстостенными.
По форме различают:
· цилиндрические;
· конические;
· сферические.
Примеры:резервуары для хранения нефтепродуктов и газа, трубопроводы, купола зданий, корпуса машин, самолетов, судов
и т.д.
· Пластина
Пластиной называется оболочка с плоской поверхностью.
Примеры: плоские днища и крышки резервуаров, перекрытия инженерных сооружений, диски турбомашин.
· Массив
Массивом называется геометрическое тело, все три размера которого величины одного порядка.
Примеры: парапеты, фундамент зданий и т.д.
Допущения о свойствах материалов и допущения о деформации.
1. Допущение о сплошности (понятие, предполагающее, что материал полностью заполняет занимаемый им объем);
2. Допущение об однородности (одинаковость свойств материала во всех его точках);
3. Изотропность (одинаковость свойств материала во всех напряжениях: сталь – изотропна, дерево — анизотропно);
4. Допущение об идеальной упругости (полностью восстанавливать форму и размеры после устранения причин, вызывающих эти изменения: силовые воздействия, температурные воздействия).
Деформации бывают:
· упругие (обратимые, т.е. исчезают после удаления причин их вызывающих);
· пластические (необратимые).
Гипотезы:
1. Гипотеза об отсутствии первоначальных внутренних усилий;
2. Принцип отвердевания (неизменность начальных размеров);
3. Гипотеза о линейных деформациях тел (закон Гука);
4. Принцип суперпозиции (независимость действия сил);
5. Гипотеза плоских сечений (плоские поперечные сечения бруса до деформации остаются плоскими и нормальными к оси бруса после деформации);
6. Принцип Сен-Венана.
· Внешними силами называют силы, которые выражают действия на тело других тел или внешней среды.
· Внутренними силами называется усилия или моменты, выражающие действия одной части на другую внутри какой-либо изолированной системы.
Внешние нагрузки (ВН) по характеру действия:
· статические;
· динамические (внезапно приложенные, ударные, циклические).
ВН по видам приложения:
·сосредоточенные;
·распределенные: (1) объемные;
(2) поверхностные;
(3) линейные.
ВН по возникновению:
· активные (силы, моменты);
· реактивные (реакции опор).
Опоры и опорные реакции
1)шарнирно-неподвижная опора 2)шарнирно-подвижная опора
3)жесткая заделка
Внутренние силовые факторы (ВСФ), общий случай нагружений
где N – нормальная сила;
Qx,Qy – поперечные силы;
Mz – крутящий момент;
Mx,My – изгибающий момент.
Метод сечения – алгоритм из четырех действий. (Правило РОЗУ)
Р – разрезаем брус сечением, перпендикулярным его оси.
О – отбрасываем ту часть бруса, в которой больше всего неизвестных.
З – заменяем действия отброшенной части соответствующей равнодействующей.
У – уравновешиваем полученную систему (∑Fi=0; ∑Mi=0).
В теоретической механике доказана теорема Пуассона.
Теорема Пуассона:
Всякую систему сил относительно любой точки можно привести к эквивалентной системе, состоящей из главного вектора и главного момента, выходящих из этой точки.
Для того чтобы система находилась в состоянии равнодействия, необходимо и достаточно, чтобы главный вектор и главный момент были равны 0.
Ro=0 ; { Rox=0; Roy=0; Roz=0 }
Mo=0; {Mox=0; Moy=0; Moz=0}
Напряжением называется интенсивность внутренней силы в данной точке поперечного сечения (т.е. внутренняя сила, деленная на единицу площади). Аналог напряжения – давление.
1 Н/м2=1 Па
1 Н/мм2=1 МПа
Полным напряжением в точке называется отношение равнодействия сил к элементу имеющегося поперечного сечения.
где dF – площадь;
где ρ – полярный радиус (кратчайшее расстояние от точки приложения до центра тяжести)
dN/dF = σ
τx- касательное напряжение
τy- касательное напряжение
σ- нормальное напряжение
p= σ + τx + τy
Несложно установить зависимость между внутренними силовыми факторами и напряжением.
Замечание: Направление действия напряжения совпадает с направлением действия, вызывающих их сил.
· Абсолютная линейная деформация
— это разность между конечной и начальной длиной стержня.
· Относительная линейная деформация
— это безразмерная величина, равная отношению абсолютной величины линейной деформации к первоначальной длине стержня.
· Абсолютная угловая деформация (абсолютный сдвиг)
— возникает при смещении двух параллельных плоскостей друг относительно друга под действием поперечных сил.
· Относительная угловая деформация (относительный сдвиг)
отношение абсолютной угловой деформации к расстоянию между сдвигающимися плоскостями:
Деформированное состояние точки тела полностью определяется
6-ю компонентами деформации:
Перемещенияявляются абсолютными величинами, выражаемыми в единицах длины или в радианах.
Деформации — относительные величины, выражаемые в процентах (безразмерные).
Центральное рстяжение-сжатие – такой вид деформации бруса, при котором в его поперечном сечении возникает только один внутренний силовой фактор отличный от 0 – нормальная (продольная) сила N, приложенная в центре тяжести поперечного сечения груза.
Если N действует от сечения, то она вызывает растяжение (увеличение длины) и считается положительной.
Если N действует к сечению, то она вызывает сжатие (укорочение бруса) и считается отрицательной.
N>0 – растяжение
N<0 – сжатие
Брусья, в основном работающие на растяжение-сжатие называются стержнями.
Экспериментально доказано:
При центральном растяжении–сжатии отношение поперечной деформации к продольной величине постоянно для данного материала и её абсолютное значение называется коэффицентом Пуассона.
0 ≤ μ ≤ 0,5 (в зависимости от пластичности)
Пример:
μ пробки=0
μчугуна =0,23÷0,27
μстали =0,29÷0,33
μмеди =0,31÷0,33
μкаучука=0,47
Для большинства материалов с достаточной точностью можно сказать:
Источник