Внутренние усилия действующие при растяжении

Растяжение
(сжатие)
—
простой вид сопротивления, при котором
стержень нагружен силами, параллельными
продольной оси стержня и приложенными
в центр тяжести его сечения.

Рассмотрим
стержень, упруго растянутый центрально
приложенными сосредоточенными силами
P.

Прежде
чем перейти к исследованию внутренних
усилий и напряжений, возникающих в
растянутом стержне, рассмотрим некоторые
гипотезы, связанные с характером
деформирования такого стержня и имеющие
в сопротивлении материалов исключительно
важное значение.

Принцип
Сен-Венана
:
в сечениях,
достаточно удаленных от мест приложения
сил, распределение напряжений и деформаций
мало зависит от способа приложения
нагрузок
.

Принцип
Сен-Венана дает возможность вести расчет
без учета местных (локальных) деформаций,
возникающих вблизи точек приложения
внешних сил и отличающихся от деформаций
основного объема материала, что в
большинстве случаев упрощает решение
задачи.

Гипотеза
плоских сече-ний (гипотеза Я.Бернулли
):
поперечные
сечения стержня плоские и перпендикулярные
его оси до деформации остаются плоскими
и перпендикулярными оси, и после
деформации
.

Мысленно
рассекая стер-жень, определим внутренние
силы в растянутом стержне:

а)
стержень, нагруженный растя-гивающими
силами P
и находя-щийся в равновесии, рассекаем
произвольным сечением;

в)
осевое внутреннее усилие N, возникающее
в сечении стержня, определим, составляя
уравнения равновесия для отсеченной
части:

.
(2.1)

Проецируя
внешнюю силу P,
действующую на отсеченную часть стержня,
на другие оси (z
и y), а также составляя уравнения моментов
относительно координатных осей, легко
убедится, что осевое усилие N является
единственным внутренним усилием,
возникающим в сечении стержня (остальные
тождественно равны нулю).

Таким
образом, при растяжении (сжатии) из шести
внутренних усилий в сечении стержня
возникает только одно — продольная
сила N.

Нормальные
напряжения
,
возникающие в сечении стержня, связаны
с осевым усилием N следующим образом:

Учитывая,
что в соответствии с гипотезой Бернулли
напряжения равномерно распределены по
поперечному сечению (т.е.
=const),
можно записать:

.
(2.3)

Таким
образом, нормальные напряжения при
растяжении (сжатии) определяются как

. (2.4)

2.2 Перемещения и деформации при растяжении (сжатии)

Рассмотрим
стержень, находящийся под действием
растягивающей нагрузки. Выделим (до
деформации) двумя произвольными сечениями
А-А и В-В бесконечно малый участок длинойd
x

на расстоянии x
от свободного конца. Под действием
внешней силы P
сечение А-А переместиться в положение
А 1 -А 1
на расстояние u,
а сечение В-В — в положение В 1 -В 1
на расстояние u+du

(du

— бесконечно малая величина) Следовательно,
абсолютное удлинение отрезка dx
равно разности его размеров до и после
деформации Δdx

= du
.

Относительная
продольная деформация точек сечения
А-А стержня при растяжении

(2.5)

Для
линейно-упругого матери-ала связь между
нормальными напряжениями и относительной
деформацией при растяжении определяется
законом Гука:

,
(2.6)

,
(2.7)

где
Е — модуль нормальной упругости (модуль
Юнга), постоянный коэф­фициент, который
является константой материала (например,
для стали Е
=2∙10 11
Па, для меди Е
=1,2∙10 11
Па, для титана Е
=1,2∙10 11
Па).

Исходя
из этих формул, можно записать выражение
для перемещений точек растягиваемого
стержня в рассматриваемом сечении

(2.9)

При
постоянстве величин N,
F
,
Е
вдоль оси
стержня, абсолютное удлинение можно
найти так:

При
растяжении стержень деформируется не
только в продольном направлении, но и
в поперечном.

Абсолютная
поперечная деформация стержня
опреде-ляется как разность его поперечных
размеров до и после деформации:

;

.

Относительная
поперечная деформация

стержня определяется отношением
абсолютной поперечной деформации к
соответствующему первоначальному
размеру.

Относительная
поперечная деформация при растяжении
(сжатии) для изотропных материалов во
всех направлениях одинакова:

(2.11)

.

Между
относительной поперечной и продольной
деформациями прирастяжении (сжатии) в
пределах применимости закона Гука
существует постоянное соотношение,
которое называется коэффициентом
поперечных деформаций (коэффициентом
Пуассона µ
).

Коэффициент
Пуассона равен абсолютной величине
отношения поперечной деформации к
продольной

.
(2.12)

Коэффициент
Пуассона – безразмерная величина.

Так
как продольная и поперечная деформация
для конструкционных материалов имеют
противоположные знаки, можем записать

(2.13)

(2.14)

Рассмотрим стержень, к концам которого приложены растягивающие силы, как показано на рис. 17. Чтобы определить внутренние силы или напряжения, мысленно рассечем стержень плоскостью перпендикулярной оси стержия (не слишком близко к концу), и отбросим одиу часть, например верхнюю. Оставшаяся нижняя часть изображена на том же чертеже справа. Согласно сказанному выше действие верхней части на иияснюю можно заменить нормальными напряжениями равномерно распределенными по сечению .

Сделаем это и составим условие равновесия нижней части стержня тогда получим:

Здесь F — площадь поперечного сечения.

Это основная формула для напряжений при растяжении.

Сделаем замечание, относящееся к знакам. Знак внешней силы устанавливается по отношению к той или иной системе координат; таким образом, он совершенно условен. Нельзя сказать, положительна или отрицательна сила Р на рис. 17, так как на чертеже отсутствует ось координат; выбирая положительное направление оси вверх или вниз, можно приписать силе Р тот или иной знак. Однако, уславливаясь считать растягивающие напряжения положительными, а сжимающие — отрицательными, мы придаем знаку напряжения определенный физический смысл, не зависящий от выбора той или иной системы отнесения. Растягивающие напряжения принято изображать стрелками, выходящими наружу из объема рассматриваемой части тела. Таким образом, правило знаков для напряжений следующее:

Положительное направление нормальных напряжений определяется внешней нормалью к поверхности, ограничивающей рассматриваемую часть тела.

Если на стержень действуют сжимающие силы (рис. 19), в сечении можно нарисовать или сразу сжимающие напряжения, обозначив их , или, что удобнее, положительные напряжения .

Тогда из уравнения равновесия ответ получится с правильным знаком. В данном случае условие равновесия будет

Это основная формула для напряжений при сжатии.

Формулы для напряжений при растяжении и сжатии можно объединить:

Здесь Р — абсолютная величина внешней силы, знак плюс или минус выбирается по смыслу задачи.

При расчете стержневых систем оказывается удобным ввести понятие о внутренней силе, или усилии, в стержне в случае растяжения и в случае сжатия. Тогда в любом случае

Переходя к определению деформаций, заметим, что для части стержня, находящейся в условиях чистого растяжения, справедливо равенство

Под растяжением понимается такой вид нагружения, при котором в поперечных сечениях стержня возникают только нормальные силы, а все прочие внутренние силовые факторы (поперечные силы, крутящий и изгибающий моменты) равны нулю.

Обычным является растяжение стержня силами, приложенными к его концам. Передача усилий к стержню может быть осуществлена различными способами, как это показано на рис. 1.1, а-в. Во всех случаях, однако, система внешних сил образует равнодействующую Р, направленную вдоль оси стержня. Поэтому независимо от условий крепления растянутого стержня расчетная схема в рассматриваемых случаях оказывается единой. Она показана на рис. 1.1, г.

Если воспользоваться методом сечений, то становится очевидным, что во всех поперечных сечениях стержня возникают нормальные силы N, равные силе Р (рис. 1.2):

Сжатие отличается от растяжения формально только знаком силы При растяжении нормальная сила направлена от сечения, а при сжатии — к сечению. Таким образом, при анализе внутренних сил сохраняется единство подхода к вопросам растяжения и сжатия. Вместе с тем между этими двумя типами нагружения могут обнаружиться и качественные различия, например при изучении процессов разрушения материалов или при исследовании поведения длинных и тонких стержней, для которых сжатие сопровождается, как правило, изгибом.

Рассмотрим напряжения, возникающие в поперечном сечении растянутого стержня. Нормальная сила является равнодействующей внутренних сил в сечении (рис. 1.3). Естественно Предположить, что для однородного стержня внутренние силы распределены по сечению равномерно. Тогда нормальное напряжение для всех точек сечения будет одним и тем же:

где — площадь поперечного сечения.

Понятно, что высказанное предположение о равномерном распределении внутренних сил в поперечном сечении справедливо лишь постольку, поскольку из рассмотрения исключаются особенности конкретно взятого стержня в связи с условиями его закрепления на концах. Здесь руководствуются правилом, которое принято называть принципом Сен-Венана по имени известного французского ученого прошлого века. Принцип Сен-Венана является общим, но применительно к стержням он может быть сформулирован следующим образом: особенности приложения внешних сил к растянутому стержню проявляются, как правило, на расстояниях, не превышающих характерных размеров поперечного сечения стержня. Это значит, что при изучении растянутого стержня достаточно принимать во внимание только равнодействующую внешних сил Р, не интересуясь особенностями приложения нагрузки. Для этого надо исключить из рассмотрения часть стержня, расположенную в зоне приложения внешних сил. На рис. 1.1 это как раз и показано. Отбрасывая части стержня, примыкающие к его концам, получаем единую расчетную схему (см. рис. 1.1, а), независимо от способа приложения внешних сил.

Приведенные рассуждения могут быть отнесены также и к особым участкам стержня, содержащим резкое изменение геометрических форм. Например, для ступенчатого бруса, показанного на рис. 1.4, следует исключить из рассмотрения зону скачкообразного перехода от одного диаметра к другому и зоны, примыкающие к отверстиям. Во всех остальных участках напряжения в поперечных сечениях будут распределены равномерно и их можно определить по формуле (1.1).

Для нагруженного по концам растянутого однородного стержня напряжения остаются постоянными как по сечению, так и по длине, т.е. сохраняются неизменными для всех точек объема, занимаемого телом. Такое напряженное состояние называется однородным. При однородном напряженном состоянии все точки тела находятся в одинаковых условиях.

Понятие однородного напряженного состояния тесно связано с понятием сплошной среды. Ясно, что распределение внутренних сил в реальных условиях не может быть равномерным из-за неоднородности кристаллических зерен металла и молекулярного строения вещества. Поэтому, когда говорят о равномерном распределении внутренних сил по сечению, имеют в виду распределение без микроскопической детализации в пределах площадок, существенно превышающих размеры сечений кристаллических зерен. Сделанная оговорка относится не только к растяжению и сжатию, но и ко всем другим видам нагружения, которые будут рассмотрены в дальнейшем.

При растяжении, однако, не всегда возникает однородное напряженное состояние. Например, у стержня с переменной площадью поперечного сечения (рис. 1.5, а) напряжения меняются по длине и напряженное состояние неоднородно. То же самое имеет место и для стержня, нагруженного собственным весом (рис. 1.5, б).

При растяжении и сжатии в сечении действует только нормаль­ное напряжение.

Напряжения в поперечных сечениях могут рассматриваться как силы, приходящиеся на единицу площади.

Таким образом, направление и знак напряжения
в сечении сов­падают с направлением и знаком силы в сечении
(рис. 20.3).

Исходя из гипотезы плоских сечений, можно предположить, что напряжения при растяжении и сжатии в пределах каждого сечения не меняются. Поэтому напряжение можно рассчитать по форму­ле

где N z
— продольная сила в сечении; А
— площадь поперечного сечения.

Величина напряжения прямо пропорциональна продольной силе и обратно пропорциональна площади поперечного сечения.

Нормальные напряжения действуют при растяжении от сечения (рис. 20.4а
), а при сжатии к сечению (рис. 20.4б
).

Размерность (единица измерения) напряжений — Н/м 2 (Па), од­нако это слишком малая единица, и практически напряжения рас­считывают в Н/мм 2 (МПа):

1 МПа = 10 6 Па =1 Н/мм 2 .

При определении напряже­ний брус разбивают на участки нагружений, в пределах которых продольные силы не изменяются, и учитывают места изменений площади поперечных сечений.

Рассчитывают напряжения по сечениям, и расчет оформляют в виде эпюры нормальных напряжений.

Строится и оформляется такая эпюра так же, как и эпюра про­дольных сил.

Рассмотрим брус, нагру­женный внешними силами вдоль оси (рис. 20.5).

Обнаруживаем три уча­стка нагружения и определяем величины продольных сил.

Участок 1: N 1 = 0.
Внут­ренние продольные силы равны нулю.

Участок
2: N 2 =
2F.
Продольная сила на участке положительна.

Участок 3: N 3 = 2F – 3F = — F.
Продольная сила на участке отрицательна.

Брус – ступенчатый.

С учетом изменений величин площади поперечного сечения участков напряжений больше.

Строим эпюры продольных сил и нормальных напряжений.

Масштабы эпюр могут быть разными
и выбираются исходя из удобства построения.

Примеры решения задач

Пример 1.
Ступенчатый брус нагружен вдоль оси двумя силами. Брус за­щемлен с левой стороны (рис. 20.6). Пренебрегая весом бруса, по­строить эпюры продольных сил и нормальных напряжений.

Решение

Определяем участки нагружения, их два.

Определяем продольную силу в сечениях 1 и 2.

Строим эпюру.

Рассчитываем величины нормальных напряжений и строим эпюру нормальных напряжений в собственном произвольном мас­штабе.

1. Определяем продольные силы.

В обоих сечениях продольные силы положительны.

2. Определяем нормальные напряжения

Сопоставляя участки нагружения с границами изменения пло­щади, видим, что образуется 4 участка напряжений.

Нормальные напряжения в сечениях по участкам:

Откладываем значения напряжений вверх от оси, т. к. значения их положительные (растяжение). Масштаб эпюр продольной силы и нормальных напряжений выбирается отдельно в зависимости от порядка цифр и имеющегося на листе места.

Пример 2.
Для заданного бруса (рис. 2.5, а
) построить эпюры продольных сил и нормальных напряжений.

Решение

Заданный брус имеет четыре участка I, II, III, IV (рис. 2.5, а
). Границами участков являются сечения, в которых приложены внешние силы, а для напряжений также и места изменения размеров поперечного сечения.

Пользуясь методом сечений, строим эпюру продольных сил (рис. 2.5, б
).

Для построения эпюры нормальных напряжений определяем их в поперечных сечениях каждого из участков:

Эпюра σ
представлена на рис. 2.5, в.

Пример 3.
Определить количество деревянных стоек сечением 10×10 см, необходимых для поддержания, цистерны, вмещающей V =
40 м 3 воды. Масса цистерны М ц = 7,2-10 3 кг. Допускаемое напряжение [σ] = 13 Н/мм 3 . При расчете считать, что усилия в стойках одинаковы.

Решение

Требуемая площадь поперечного сечения стоек

где (f ст
— площадь поперечного сечения одной стойки; i
— число стоек);

N
— усилие, передающееся на стойки.

где Gц
— сила тяжести цистерны; Gц
= gт
ц = 9,81 * 7,2*10 3 =70,7*10 3 Н; G в
— сила тяжести воды; G в
= уV = 10*40 = 400 кН (у = 10 кН/м 3 — объемная сила тяжести воды). Подставляя числовые значения, получаем

откуда находим требуемое число стоек:

Принимаем i
= 4.

Пример 4.
Для заданной стержневой системы (рис. 2.6, а)
определить из расчета на прочность требуемые площади сечения стержней и подобрать по ГОСТ 8509-72 соответствующий номер угловой равнополочной стали, учитывая, что каждый стержень изготовлен из двух равнополочных уголков.

Для принятых сечений стержней определить расчет­ные напряжения н указать расхождения (в процентах) с допускаемым значением напряжения [σ] = 160 Н/мм 3 .

Решение

Здесь требуется подобрать сечения стержней исходя из условий:

где N 1
и N 2
— усилия, возникающие соответственно в стерж­нях 1
и 2
.

1. Усилия N 1
и N 2
во всех поперечных сечениях стерж­ней одинаковы и площади этих сечений постоянны. Таким образом, все сечения каждого стержня равноопасны.

2. Определяем усилия в стержнях из рассмотрения равно­весия узла В,
где приложены заданные силы Р 1
и Р 2
(рис. 2.6, б). Освобождаем эту точку от связей и прикла­дываем их реакции N 1
и N 2 ,
равные усилиям в стерж­нях. Получаем плоскую систему сходящихся сил. Для упрощения уравнений равновесия координатные оси ху
направляем вдоль неизвестных усилий N 1
и N 2
. Состав­ляем уравнения равновесия:

По таблицам ГОСТ 8509-72 подбираем сечения стерж­ней:

для первого стержня угловую равнополочную сталь 36x36x4

для второго стержня угловую равнополочную сталь 28x28x3

Вычислим напряжения в поперечных сечениях стерж­ней при принятых площадях

что больше [σ
] на

такое превышение допустимо;

что меньше [σ
] на

Пример 5.
Определить размеры поперечных сече­ний стержней (рис. 2.7, а),
если допускаемые напря­жения для стали [σ
сх ] = 140 Н/мм 2 , для дерева [σ д
] = 13 Н/мм 2 .

Решение

Рассматри­ваем равновесие шарни­ра А,
так как к этому шарниру приложены за­данная нагрузка и иско­мые усилия в стержнях.

1. Освобождаем шарнир А
от связей и заменяем их действие реакциями N
1 и N
2 . Действующие на шарнир А
нагрузка и ис­комые усилия показаны на рис. 2.7, б
. Получили плоскую систему сходящихся сил, которая находится в равновесии.

2. Выбираем систему координат и составляем уравнения равновесия:

Требуемые площади поперечных сечений стержней

Пример 6.
Однородная балка АВ
поддерживается тремя стальными стержнями1, 2, 3
круглого поперечного сечения d
= 20 мм (рис. 2.8). Сила тя­жести балки Q
= 10 кН. Найти до­пускаемую интенсив­ность [q
] равномерно распределенной на­грузки, если допус­каемое напряжение для материала стерж­ней [σ
] =160 Н/мм 2 .

Решение

1. Определим усилия, возникающие в стержнях. Под действием силы Q
, равномерно распределенной на­грузки q
и усилий N 1 , N 2
и N 3
в стержнях балка нахо­дится в равновесии.

2. Составляем уравнения равновесия:

3. Решая полученные уравнения, находим:

N 3
больше, чем N 1
и N 2
. Следовательно, опасными являются поперечные сечения стержня 3.

4. Условие прочности для стержня 3:

Подставляем значение N 3:

5. Решая относительно ц и подставляя числовые значе­ния, получаем:

Пример 7.
Стальной стержень круглого сечения диаметром d
= 20 мм растягивается силой Р = 65 кН. Проверить прочность стержня, если его предел текучести σ = σ т = 300 Н/мм 2 и требуемый коэффициент запаса [n
] = 1,5.

Решение

Напряжения, возникающие в поперечном сечении стержня,

Расчетный коэффициент запаса

Контрольные вопросы и задания

1. Какие внутренние силовые факторы возникают в сечении бру­са при растяжении и сжатии?
2. Как распределяются по сечению силы упругости при растя­жении и сжатии? (Использовать гипотезу плоских сечений.)
3. Какого характера напряжения возникают в поперечном сече­нии при растяжении и сжатии: нормальные или касательные?
4. Как распределены напряжения по сечению при растяжении и сжатии?
5. Запишите формулу для расчета нормальных напряжений при растяжении и сжатии.
6. Как назначаются знаки продольной силы и нормального на­пряжения?
7. Что показывает эпюра продольной силы?
8. Как изменится величина напряжения, если площадь попереч­ного сечения возрастет в 4 раза?
9. В каких единицах измеряется напряжение?