Урок алгебры растяжение и сжатие графиков функции

Список функций, изученных в 7 и 8 классе

Функция	Формула	График	Раздел справочника
Прямая пропорциональность	y = kx	Прямая	7 кл., §37
Линейная функция	y = kx+b	Прямая	7 кл., §38-39
Обратная пропорциональность	$ y = frac{k}{x} $	Гипербола	8 кл., §6
Квадрат числа	$ y=x^2$	Парабола	8 кл., §18
Квадратный трёхчлен	$ y = ax^2+bc+c$	Парабола	8 кл., §28-29
Квадратный корень	$ y = sqrt{x}$	Парабола	8 кл., §22

Растяжение и сжатие графика по оси OX

Сравним графики пар функций, которые в общем виде можно записать так:

$$ y_1 = f(x), y_2 = f(px) $$

где $p gt 1$, произвольный положительный множитель.

Пусть p = 2.

Парабола:

$y_1 = f(x) = x^2$

$ y_2 = f(2x) = (2x)^2 = 4x^2 $

$y_2 = y_1 при x_2 = frac{1}{2} x_1$

График сжимается в 2 раза по оси OX

Гипербола:

$ y_1 = f(x) = frac{4}{x}$

$y_2 = f(2x) = frac{4}{(2x)} = frac{2}{x}$

$ y_2 = y_1 при x_2 = frac{1}{2} x_1 $

График сжимается в 2 раза по оси OX

Гипербола

Квадратный корень:

$y_1 = f(x) = sqrt{x}$

$y_2 = f(2x) = sqrt{2x}$

$y_2=y_1 при x_2 = frac{1}{2} x_1$

График сжимается в 2 раза по оси OX

Квадратный корень

Теперь сравним пары функций с делением на p:

$$ y_1 = f(x), quad y_2 = f left( frac{x}{p} right), quad p gt 1 $$

Пусть p = 2

Парабола:

$y_1 = f(x) = x^2$

$ y_2 = f left(frac{x}{2}right) = left(frac{x}{2}right)^2 = frac{x^2}{4} $

$y_2 = y_1 при x_2 = 2x_1$

График растягивается в 2 раза по оси OX

Гипербола:

$ y_1 = f(x) = frac{4}{x}$

$y_2 = f left(frac{x}{2}right) = frac{4}{x/2} = frac{8}{x}$

$ y_2 = y_1 при x_2 = 2x_1$

График растягивается в 2 раза по оси OX

Гипербола

Квадратный корень:

$y_1 = f(x) = sqrt{x}$

$y_2 = f left(frac{x}{2}right) = sqrt{frac{x}{2}}$

$y_2=y_1 при x_2 = 2x_1$

График растягивается в 2 раза по оси OX

Квадратный корень

При сравнении графиков двух функций

$$ y_1 = f(x), quad y_2 = f(px), quad p gt 1 $$

график второй функции сжимается в p раз по оси OX по сравнению с графиком первой функции.

При сравнении графиков двух функций

$$ y_1 = f(x), quad y_2 = f Biggl(frac{x}{p}Biggr), quad p gt 1 $$

график второй функции растягивается в p раз по оси OX по сравнению с графиком первой функции.

Заметим, что данные утверждения справедливы не только для рассмотренных функций, но и для любых других (синусов, косинусов, логарифмов и т.п.)

Растяжение и сжатие графика по оси OY

Сравним графики пар функций, которые в общем виде можно записать так:

$$ y_1 = f(x), quad y_2 = Af(x) $$

где $A gt 1$, произвольный положительный множитель.

Пусть A = 2.

Парабола:

$y_1 = f(x) = x^2$

$ y_2 = 2f(x) = 2x^2 $

$y_2 = 2y_1 при x_2 = x_1$

График растягивается в 2 раза по оси OY

Гипербола:

$ y_1 = f(x) = frac{4}{x}$

$y_2 = 2f(x) = frac{8}{x}$

$ y_2 = 2y_1 при x_2 = x_1$

График растягивается в 2 раза по оси OY

Гипербола

Квадратный корень:

$y_1 = f(x) = sqrt{x}$

$y_2 = 2f(x) = 2sqrt{x}$

$y_2 = 2y_1 при x_2 = x_1$

График растягивается в 2 раза по оси OY

Квадратный корень

Теперь сравним пары функций с делением на A:

$$ y_1 = f(x), quad y_2 = frac{1}{A} f(x), quad A gt 1 $$

Пусть A = 2

Парабола:

$y_1 = f(x) = x^2$

$ y_2 = frac{1}{2}f(x) = frac{x^2}{2}$

$y_2 = frac{1}{2}y_1 при x_2 = x_1$

График сжимается в 2 раза по оси OY

Гипербола:

$ y_1 = f(x) = frac{4}{x}$

$y_2 = frac{1}{2}f(x) = frac{2}{x}$

$ y_2 = frac{1}{2}y_1 при x_2 = x_1$

График сжимается в 2 раза по оси OY

Гипербола

Квадратный корень:

$y_1 = f(x) = sqrt{x}$

$y_2 = frac{1}{2}f(x) = frac{sqrt{x}}{2}$

$y_2 = frac{1}{2}y_1 при x_2 = x_1$

График сжимается в 2 раза по оси OY

Квадратный корень

При сравнении графиков двух функций

$$ y_1 = f(x), quad y_2 = Af(x), quad A gt 1 $$

график второй функции растягивается в A раз по оси OY по сравнению с графиком первой функции.

При сравнении графиков двух функций

$$ y_1 = f(x), quad y_2 = frac{1}{A} f(x), quad A gt 1 $$

график второй функции сжимается в A раз по оси OY по сравнению с графиком первой функции.

Примеры

Пример 1. Постройте в одной координатной плоскости графики функций:

$$ y = sqrt{x}, y = sqrt{3x}, y = sqrt{frac{x}{3}}, y = 3sqrt{x} $$

Сделайте выводы.

Пример 1.

По сравнению с графиком $y = sqrt{x}$:

график функции $y = sqrt{3x}$ сжимается в 3 раза по оси OX(←)
график функции $y = sqrt{frac{x}{3}}$ растягивается в 3 раза по оси OX(→)
график функции $y = 3sqrt{x}$ растягивается в 3 раза по оси OY(↑)

Пример 2*. Постройте в одной координатной плоскости графики функций:

$$ y = f(x), y = f(2x), y = f Biggl(frac{x}{2}Biggr), y = 2f(x) $$

где $f(x) = x^2+3x+2$

Сделайте выводы.

Исходная функция $y = f(x) = x^2+3x+2$

Остальные функции

$$ y = f(2x) = (2x)^2+3 cdot (2x)+2 = 4x^2+6x+2 $$

$$ y = fBiggl(frac{x}{2}Biggr) = Biggl(frac{x}{2}Biggr)^2+3 cdot Biggl(frac{x}{2}Biggr) +2 = frac{x^2}{4}+ frac{3}{2} x+2 $$

$$ y = 2f(x) = 2x^2+6x+4 $$

Получаем:

Пример 2*.

По сравнению с графиком $y = f(x) = x^2+3x+2$:

график функции y = f(2x) сжимается в 2 раза по оси OX(→)
график функции $y = f left(frac{x}{2}right)$ растягивается в 2 раза по оси OX(←)
график функции y = 2f(x) растягивается в 2 раза по оси OY(↑)

Рейтинг пользователей

70
Алёна Гончарова
50
Виолетта
50
Александра Гронская
40
Саломе
40
Student_vuza

Источник

ЦЕЛИ: 1) рассмотреть графики функций y=f(x), y=kf(x),
y=f(x)+n, y=f(x-m) и y=f(x-m)+n и их свойства, используя ПК и
программу Advanced Grapher;

2)расширить представления о преобразованиях
графиков более сложных функций;

3)способствовать развитию у учащихся навыков
чтения графиков и построения графиков функций.

I. Новый материал – объяснительная лекция.

Графики функций широко используются в
различных областях инженерных знаний, поэтому
умение строить, “читать”, прогнозировать их
“поведение” имеют огромную роль в практической
деятельности инженерных работников, гидро,
метеорологов и людей других “математических”
специальностей.

Выясним, какая связь существует между
графиками функций y = f(x) и y = kf(x), где k-число, не
равное нулю.

Пусть графиком функции y = f(x), область
определения которой- промежуток[-2;4],является
кривая, изображённая на рис.1а f(x) =
x(x-3)(x+1).

Рассмотрим сначала случай, когда k>1.Построим
график функции y = kf(x), где k=2. Для этого расстояние
каждой точки графика функций y = f(x) от оси X
увеличим в 2раза, т.е.умножим её ординату на 2.
Построение выполним с помощью программы Advanced
Grapher, набрав формулу функции F1 с клавиатуры.
Заметим, что точки с абсциссами 0; 3; -1,
принадлежащие оси Х, останутся на месте, т.к.их
ординаты равны нулю (0*2х = 0).Все остальные точки
графиков у1, и у, имеющие одинаковые
абсциссы, будут лежать соответственно на
перпендикулярах к оси Х, причём каждая точка
графика функции у= 2f(x)
будет находиться от оси Х на расстоянии в 2 раза
большем, чем соответственная точка графика
функции y = f(x). (рис. 1б).

Рассмотрим теперь случай, когда О < k < 1,
например k =, и
построим график функции y= kf (x), при k = , используя программу Advanced Grapher.

Опять же заметим, что точки с абсциссами -1; 0 и 3,
принадлежащие оси Х, останутся на месте ( 0* = 0 ), а каждая точка
графика функции y= f (x), будет
находиться от оси Х на расстоянии в 2 раза
меньшем, чем соответственная точка графика
функции y = f(x) (рис.1в).

Делаем вывод о том, что график функции y = f(x) при k
< 1 можно получить из графика функции y = f(x)
растяжением от оси Х исходного графика в k раз, а
при О < k < 1- сжатием к оси Х графика функции y =
f(x) в раз.

И рассмотрим случай, когда k< 0. Ограничимся
значением k = -1, т.е. выясним, как можно построить
график функции y= -f(x),
зная график функции y = f(x).

Задав с клавиатуры формулу графика y = -f(x) и
получив соответствующее изображение на экране (рис. 1г), заметим, что каждой точке
графика y, кроме точек с
абсциссами -1; 0 и 3, соответствует точка графика y =
f(x) с противоположной ординатой.

Соответственно делаем вывод, что график
функции y = -f(x) можно получить с помощью симметрии
относительно оси Х.

Аналогично, графики функций y = kf(x) и y = -kf(x) при
любом k0 симметричны
относительно оси Х.

Иначе говоря, чтобы построить график функции y =
kf(x), где k < 0, можно сначала построить график
функции y = -kf(x), где -k > 0, а затем отобразить его
симметрично относительно оси Х.

Выясним, как связаны между собой графики
функций y = f(x) и y = f(x)+n, где n –произвольное число.

Рассмотрим графики функций y = x, y = x — 4 , y= x-4, y = x+ , y= x- (рис. 2).

Рассматривать будем попарно графики функций у
и у(рис.2а),
у и y(рис.2б),
у и y(рис.2в),
у и y(рис.2г).

Моментальное построение графика каждой из выше
указанных функций даст возможность сделать
вывод, что график функции y = f(x) + n можно получить
из графика функции y = f(x) с помощью сдвига вдоль
оси Y на n единиц вверх, если n>0, или на единиц вниз, если
n<0.

Выясним теперь, как связаны между собой графики
функций y = f(x) и y = f(x-m), где m – произвольное число.

Рассмотрим графики функций y = (x-3), y = (x+2), y = (x), y = (x+).

Получаем рис.3 и делаем вывод, что
график функции y = f(x) можно получить с помощью
сдвига вдоль оси Х на m единиц вправо, если m>0,
или на единиц
влево, если m<0.

Из курса алгебры VII класса известно, что график
функции y = x (парабола)
симметричен относительно ось У. Точку
пересечения параболы с осью симметрии называют
вершиной параболы.

Построим, используя программу Advanced Grapher, в одной
системе координат графики функций y = x, у== x+2, y= (х-3) и y= (х-3) +2 ( рис.4).

Учащимся наглядно видно, что у параболы у== x+2 осью симметрии является ось У, а у
параболы y= (х-3) — прямая х = 3. Графиком же
функции y= (х-3) +2 является парабола с
вершиной в точке (3;2) и осью симметрии её является
прямая х = 3.

Из наглядного наблюдения учащиеся видят, что
при построении графика функции у = (х-3) +2 нужно последовательно
выполнить два параллельных переноса: один в
направлении оси У на 2 единицы вверх, а другой в
направлении оси Х на 3 единицы вправо.

Делаем вывод, что графиком функции вида у = (х-m) +n является парабола с
вершиной в точке А(m;n) .А также обобщаем выше
рассмотренные преобразования графиков и делаем
вывод, что график функции y = f(x-m)+n может быть
получен из графика функции y=f(x) в результате
последовательно выполненных двух параллельных
переносов: сдвига вдоль оси Х на m единиц и сдвига
графика функции у = (х-m)
вдоль оси У на n единиц.

II. Закрепление

У: Изобразите на координатной плоскости
заданные точки и определите, используя обороты
“выше на…” и “ниже…”, взаимное расположение
соответствующих точек:

а) А(-1;7) и А1(-1;10) б) В(2;7) и В1(2;5) в) С (0;-6)
и С1(0;-5) г) Д (3;-4) и Д1(3;-7) .

У: Как найти расстояние между точками, имеющими
одинаковые ординаты? Закончите предложение:
“Если точки имеют одинаковые ординаты, то
расстояние между ними равно…”

Обучающая исследовательская работа.
(карточки-распечатки см. Приложение 1)

I вариант.

1. Заданы функции y = f(x) и y = f(x) + 2. заполните таблицу значений этих
функций и сделайте вывод о взаимном расположении
точек данных функций и их графиков:

X	1	2	4	6	7
y=f(x)	5	7	-5
y=f(x)+2				3	-11

Д: Любая точка графика y = f(x)+2 с абсциссой X находится на 2 единицы
“выше”, чем точка графика y = f(x) с той же самой
абсциссой; а график функции y = f(x)+2 можно получить из графика y = f(x)
параллельным переносом вдоль оси ординат на 2
единицы “вверх”.

II вариант.

1. Заданы функции y = f(x) и y = f(x) – 3. заполните
таблицу значений этих функций и сделайте вывод о
взаимном расположении точек данных функций и их
графиков:

X	1	3	5	9
y=f(x)	4	-6	5
y=f(x)-3				-3

Д: Любая точка графика y = f(x)-3 с абсциссой X находится на 3 единицы
“ниже”, чем точка графика y = f(x) с той же самой
абсциссой; а график функции y=f(x)-3 можно получить из графика y = f(x)
параллельным переносом вдоль оси ординат на 3
единицы “вниз”.

У: С помощью какого преобразования можно
получить график функции y = f(x)+a, а0 из графика функции y = f(x).

Д: Обобщённый вывод (записать в тетрадь): График
функции y1= f(x)+a, а0 можно получить из графика функции y = f(x)
параллельным переносом вдоль оси ординат на единиц “вниз”,
если а<0, и на
единиц “вверх”, если а>0.

У: Пусть даны графики функций y = f(x) и y = f(x)+7. Известно, что один из
них проходит через начало координат. Определите
точку пересечения другого графика с осью
ординат.

Читайте также: От растяжений и синяков

Д: A (0;7) или А (0;-7).

У: Пусть даны графики функций y = f(x) и y = f(x)+c. Известно, что один из
них проходит через точку А(-11;231) и другой через
точку А (-11;132). Найдите
все возможные значения С.

Д: 99 или -99.

I вариант.

2. Постройте графики функций, используя
известный график y = kx:

a) y = x-4 ; б) у = x+1;
в) у = 2 x-1.

II вариант.

2. Постройте графики функций, используя
известный график y = kx:

а) у = -x+3; б) у = -0,5x+2; в) у = -2x-3.

У: Изобразите на координатной плоскости
заданные точки и определите, используя обороты
“левее на …” и “правее на …” взаимное
расположение следующих точек:

а) А (-1;7) и А (6;7) б) С (8;-6)
и С (14;-6) в) В (2;3) и В (-2;3) г) Д (-13;_4) и Д (-3;-4).

У: Как найти расстояние между точками, имеющими
одинаковые абсциссы? Закончите предложение:
“Если точки имеют одинаковые абсциссы, то
расстояние между ними равно…”

I, II вариант.

4. Заданы функции y=f(x), y=
f(x+2) и y= f(x-3). Заполните
таблицу значений этих функций:

У: Как взаимно расположены точки графиков
функций y = f(x) и y = f(x+2)?

Каким образом можно получить график функции y= f(x+2) из графика функции y =
f(x)?

Д: Любая точка графика y=
f(x+2) с абсциссой х-2
находится на 2 единицы “левее”, чем точка
графика y=f(x) с абсциссой х, а график функции y= f(x+2) можно получить из графика y = f(x),
“сдвинув” его на 2 единицы влево вдоль оси
абсцисс.

У: Как взаимно расположены точки графиков
функций y = f(x) и y= f(x-3)?

Каким образом можно получить график функции y= f(x-3) из графика функции y =
f(x)?

Д: Любая точка графика y= f(x-3) с абсциссой х+3
находится на 3 единицы “правее”, чем точка
графика y = f(x) с абсциссой х, а график функции y= f(x-3) можно получить из графика функции y =
f(x) “сдвинув” его на 3 единицы вправо вдоль оси
абсцисс.

У: Попытайтесь сделать вывод о том как можно
получить график функции y= f(x+а) из графика функции y = f(x)?

Д: График функции y=
f(x+а) можно получить из графика функции y = f(x),
“сдвинув” его на единиц вправо вдоль оси абсцисс, если
а<0, и на
единиц влево вдоль оси абсцисс, если а>0.

У: Пусть даны графики функций y = f(x) и y= f(x+7). Известно, что один из
них проходит через начало координат. Какую точку
пересечения графика с осью абсцисс можно указать
наверняка?

Д: А(-7;0) и А (7;0).

У: Опишите как расположены относительно друг
друга графики функций (задания 5-9 выполнены на
карточках-распечатках, ответы в устной форме):

5. y = f(x-2) и y = f(x+7).

6. y = f(2x) и y = f(2x-4).

7. y = f(2x) и y = f(2x+1).

8. y = f(0,5x) и y = f(0,5x-4).

9. y = f() и . y = f(-1).

III . Лабораторно-исследовательская работа.

(все задания выполнены на
карточках-распечатках, ответы см. в приложении
2)

I вариант.

10. Постройте графики функций, используя
программу Advanced Grapher :

а) у = (x-4). б) у = (x+2).

11. Пусть дан график функции y=f(x). Как получить
график функции y = f(x+3)-4?

12. Постройте графики функций, используя
программу Advanced Grapher:

а) у = -4; б) у =
(x+3)-4.

II вариант.

10. Постройте графики функций, используя
программу Advanced Grapher :

а) у = 2(x-1), б) у = -(x+3).

11. Пусть дан график функции y=f(x). Как получить
график функции y = f(x-5)+2?

12. Постройте графики функций, используя
программу Advanced Grapher:

а) у =+2; б) у =(x-5)+2.

III вариант.

10. Постройте графики функций, используя
программу Advanced Grapher :

а) у = -0,5(x-4); б) у = (2x-3).

11. Пусть дан график функции y = f(x). Как получить
график функции y = f(x+1)+3?

12. Постройте графики функций, используя
программу Advanced Grapher:

а) у =+3; б) у =
(x+1)+3.

IV вариант.

10. Постройте графики функций, используя
программу Advanced Grapher :

а) у = 4x+4х+1; б) у = —х-1.

11. Пусть дан график функции y=f(x). Как получить
график функции y = f(x-2)-1?

12. Постройте графики функций, используя
программу Advanced Grapher:

а) у =-1; б) у =
(x-2)-1.

Источник

Слайд 1

Преобразования графиков. Параллельный перенос, симметрия относительно осей координат и симметрия относительно начала координат, симметрия относительно прямой y = x, растяжение и сжатие вдоль осей координат.

Слайд 2

ЦЕЛИ: Повторить определение функции; основные понятия, связанные с ней; Повторить способы задания функции. Ввести понятие чётной и нечётной функции. Освоить основные способы преобразования графиков.

Слайд 3

ПЛАН 1.Повторение Определение функции. Способы задания функции 2.Преобразование графиков функции Симметрия относительно оси у, f(x) → f( — x) Симметрия относительно оси х, f(x) → — f(x) Параллельный перенос вдоль оси х, f(x) →f(x -а ) Параллельный перенос вдоль оси у, f(x) → f(x) + b Сжатие и растяжение вдоль оси х, f(x) → f( α x), α >0 Сжатие и растяжение вдоль оси у, f(x) → kf(x),k>0 Построение графика функции у = | f (x) | Построение графика функции у = f( | x | ) Построение графика обратной функции

Слайд 4

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ФУНКЦИИ Числовой функцией называется соответствие, которое каждому числу х из некоторого заданного множества сопоставляет единственное число у. Обозначение: у = f (х), где х –независимая переменная (аргумент функции), у –зависимая переменная (функция). Множество значений х называется областью определения функции.( D ) Множество значений у называется областью значения функции.(Е) D E y x y = f (x)

Слайд 5

Пример№1 у = √х – 2 + 3 При х = 6, у(6) = √6 – 2 + 3 = 5 Найдём область определения. х — 2 ≥ 0, х ≥2 ⇒ D (у) = [ 2; +∞); Так как по определению арифметического корня 0 ≤ √х – 2 ≤ +∞, 0 + 3≤ √х – 2 + 3 ≤ +∞+ 3, или 3 ≤ у ≤ +∞, Е(х) = [ 3; +∞)

Слайд 6

Пример № 2. Найти область определения и область значения функции f (x) = 3 + 1 . х-2 Функция определена при х — 2 ≠ 0, то есть х ≠ 2 ⇒ D (у) = (-∞;2) U (2; +∞); Так как при всех допустимых значениях х дробь 1/(х-2) не обращается в нуль, то функция f (x) принимает все значения, кроме 3. Поэтому Е( f ) = (-∞;3) U (3; +∞);

Слайд 7

Пример №3 . Найти область определения дробно-рациональной функции f (x) = 1 + 3 х + 4 . х-2 (х — 1)(х + 3) Знаменатели дробей обращаются в нуль при х = 2, х = 1, х = -3. Поэтому область определения D ( f ) = (-∞; -3 ) U ( -3; 1 ) U ( 1 ; 2 ) U (2; +∞);

Слайд 8

Пример №4 . Зависимость 2 х – 3 х 2 + 1 Уже не является функцией. При х = 1, пользуясь верхней формулой, найдём у = 2*1 – 3 = -1, а пользуясь нижней формулой, получим у = 1 2 + 1 = 2. Таким образом, одному значению х =1 соответствуют два значения у (у=-1 и у=2). Поэтому эта зависимость (по определению) не является функцией у(х) =

Слайд 9

СПОСОБЫ ЗАДАНИЯ ФУНКЦИИ Аналитический способ : функция задаётся с помощью формулы. Примеры: у = х 2 , у = ax + b Табличный способ : функция задаётся с помощью таблицы. Описательный способ : функция задаётся словесным описанием. Графический способ : функция задаётся с помощью графика.

Слайд 10

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ГРАФИКА ФУНКЦИИ Графиком функции называется множество точек плоскости с координатами (х; f (х)) у х 1 f (х 1 ) х 2 f (х 2 ) х

Слайд 11

Пример №5 . Дана функция у = 2 х – 3 | х | + 4. Принадлежит ли графику этой функции точка с координатами а) (-2; -6); б) (-3; — 10) Решение. а) при х = -2, у = 2· (-2) -3· |-2| + 4 = — 4 — 3 · 3 + 4 =-6 Так как у(-2) = -6, то точка А(-2; -6) принадлежит графику функции. б) при х = -3, у = 2· (-3) -3· |- 3 | + 4 = — 6 — 3 · 3 + 4 =- 11 Так как у(-3) = -11, то точка В(-3; -10) не принадлежит графику функции

Слайд 12

Пример №6 . Дана функция f (х) = — х 2 + 6х – 8. Найдём точки пересечения графика функции с осями координат. Решение. 1) Точка пересечения с осью ординат, при х=0, у(0) = — 0 2 + 6·0 – 8 = — 8. Получаем координаты этой точки А(0; -8) 2) Точка пересечения с осью абсцисс, при у =0, 0 = — х 2 + 6х – 8, х 2 — 6х + 8=0 , D = 36 – 32 =4, x 1 = (6-2)/2=2, x 1 = (6+2)/2=4. Поэтому график функции пересекает ось абсцисс в двух точках: В(2; 0) и С(4;0)

Слайд 13

Симметрия относительно оси у f(x) → f( — x) Графиком ф-и у = f ( — х ) получается преобразованием симметрии графика ф-и у = f ( х ) относительно оси у. у = х 2 = (-х) 2 у=√х у = f ( -х ) у у у х х х у= f (х) у=√-х

Слайд 14

Симметрия относительно оси х f(x) → — f(x) График ф-и у = — f ( х ) получается преобразованием симметрии графика ф-и у = f ( х ) относительно оси х. у = х 2 у= — sinx у= f (х) у = — х2 у = — f ( х ) у= sinx у у у х х х

Слайд 15

Чётность и нечётность Функция наз-ся чётной, если: область определения функции симметрична относительно нуля, для любого х из области определения f (- х) = f (х) График чётной функции симметричен относительно оси у Функция наз-ся нечётной , если: область определения функции симметрична относительно нуля, для любого х из области определения f (- х) = — f (х) График нечётной функции симметричен относительно начала координат х у х у

Слайд 16

Параллельный перенос вдоль оси х, f(x) →f(x -а ) Графиком ф-и у = f ( х- a) получается парал – лельным переносом графика ф-и вдоль оси х на |a| вправо при а > 0 и влево при а

Слайд 17

Параллельный перенос вдоль оси у, f(x) → f(x) + b Графиком ф-и у = f ( х ) + b получается парал – лельным переносом графика ф-и у = f ( х ) вдоль оси y на |b| вверх при b > 0 и вниз при b

Слайд 18

Сжатие и растяжение вдоль оси х, f(x) → f( α x), α >0 График функции у = f ( α x) получается сжатием графика функции у = f (x) вдоль оси х в α раз при α > 1 График функции у = f ( α x) получается растяже- нием графика функции у = f (x) вдоль оси х в 1/ α раз при 0

Слайд 19

Сжатие и растяжение вдоль оси у, f(x) → kf(x),k>0 График функции у = kf (x) получается сжатием графика функции у = f (x) вдоль оси y в 1/k раз при 0 1 у=1/2х 2 у=2 sinx у=1/2 sinx у у у= sinx х х х у= kf(x) у= kf(x) у= f(x) у

Слайд 20

Построение графика функции у= | f(x)| Части графика функции у = (х), лежащие выше оси х и на оси х остаются без изменения, лежащие ниже оси х – симметрично отражаются относительно этой оси (вверх) 1 3 0 1 у у у х х х y=|log 2 x| y=|x 2 -4x+3| y=|sinx| y=log 2 x y=sinx y=x 2 -4x+3

Слайд 21

Построение графика функции у= f(|x|) Часть графика функции у = (х), лежащая левее оси х и на оси у удаляется, а часть, лежащая правее оси у — остаётся без изменения и, кроме того, симметрично отражается относительно оси у (влево). Точка графика, лежащая на оси у, остаётся неизменной. у у y=x 2 -4|x|+3 х х y=x 2 -4x+3 y=sinx y=sin|x|

Слайд 22

Построение графика обратной функции График ф-и у = g( х ), обратной данной для функции у = f ( х ) , можно получить преобразованием симметрии графика ф-и у = f ( х ) относительно прямой у= х. 1 1 0 1 0 1 y=cosx -1 0 1 y=sinx у у у х х х у = 2 х y= log2x y=arcsinx y =arccosx

Слайд 23

Практическая часть: Построить графики функций: 1) y= sin(x-  ); 2) y= sin(x-  /4); 3) y= 2sin(x)-1; 4) y= -cos(x) 5) y= cos(x-  /2); 6) y= cos(x)-1; 7) y= 2cos(x+  /4)+1; 8) y = 2 arccos x

Слайд 24

Контрольные вопросы Дайте определение чётной, нечётной функций. Расскажите о способах задания функции. Что такое область определения? Что такое область значения? Как найти точки пересечения с осями координат? Какие свойства симметрии вы рассмотрели? Как проявляются свойства симметрии на графиках?

Источник