Уравнение нейтральной линии при внецентренном растяжении
Лекция 15. ВНЕЦЕНТРЕННОЕ СЖАТИЕ
Внецентренное сжатие. Построение ядра сечения. Изгиб с кручением. Расчеты на прочность при сложном напряженном состоянии.
Внецентренное сжатие – это вид деформации, при котором продольная
сила в поперечном сечении стержня приложена не в центре тяжести. При
внецентренном сжатии, помимо продольной силы (N), возникают два
изгибающих момента (Mx и My).
Считают, что стержень обладает большой жесткостью на изгиб, чтобы пренебречь прогибом стержня при внецентренном сжатии.
Преобразуем формулу моментов при внецентренном сжатии 
, подставляя значения изгибающих моментов:
Обозначим координаты некоторой точки нейтральной (нулевой) линии
при внецентренном сжатии xN, yN и подставим их в формулу нормальных
напряжений при внецентренном сжатии. Учитывая, что напряжения в точках
нейтральной линии равны нулю, после сокращения на P/F, получим уравнение
нейтральной линии при внецентренном сжатии:
(35)
Нулевая линия при внецентренном сжатии и точка приложения нагрузки
всегда расположены по разные стороны от центра тяжести сечения.
Рис. 43. Внецентренное сжатие
Отрезки, отсекаемые нулевой линией от осей координат, обозначенные
ax и ay, легко найти из уравнения нулевой линии при внецентренном
сжатии. Если сначала принять xN = 0, yN = ay, а затем принять yN = 0,
xN = ax, то найдем точки пересечения нулевой линии при внецентренном
сжатии с главными центральными осями:
Рис. 44. Нейтральная линия при внецентренном растяжении – сжатии
Нейтральная линия при внецентренном сжатии разделит поперечное
сечение на две части. В одной части напряжения будут сжимающими,
в другой – растягивающими. Расчет на прочность, как и в случае косого
изгиба, проводят по нормальным напряжениям, возникающим в опасной точке
поперечного сечения (наиболее удаленной от нулевой линии).
(36)
Ядро сечения – малая область вокруг центра тяжести поперечного
сечения, характерная тем, что любая сжимающая продольная сила,
приложенная внутри ядра, вызывает во всех точках поперечного сечения
сжимающие напряжения.
Примеры ядра сечения для прямоугольного и круглого поперечных сечений стержня.
а б
Рис. 45. Форма ядра сечения для прямоугольника и круга
Изгиб с кручением. Такому нагружению (одновременному действию
крутящих и изгибающих моментов)часто подвержены валы машин и механизмов.
Для расчета бруса необходимо прежде всего установить опасные сечения.
Для этого строятся эпюры изгибающих и крутящих моментов.
Используя принцип независимости действия сил, определим напряжения, возникающие в брусе отдельно для кручения, и для изгиба.
При кручении в поперечных сечениях бруса возникают касательные
напряжения, достигающие наибольшего значения в точках контура сечения 
При изгибе в поперечных сечениях бруса возникают нормальные напряжения,
достигающие наибольшего значения в крайних волокнах бруса 
.
Касательные напряжения значительно меньше напряжений от крутящего
момента, поэтому ими пренебрегают. Опасное сечение бруса будет
у заделки, где действуют максимальные напряжения от изгиба и кручения.
Исследуем напряженное состояние в наиболее опасной точке A
(рис. 46). Так как напряженное состояние двухосное, то для проверки
прочности применяем одну из гипотез.
Рис. 46. Эпюры изгибающих и крутящих моментов
Применяя третью теорию прочности
и учитывая, что 
и 
, получаем:
Для подбора сечения находим требуемый момент сопротивления
Источник
Внецентренное растяжение (сжатие) вызывается силой, параллельной оси бруса, но не совпадающей с ней (рис. 10.6).
Рис. 10.6.
Внецентренное растяжение (сжатие) может быть сведено к осевому растяжению (сжатию) и косому изгибу, если перенести силу P в центр тяжести сечения. Внутренние силовые факторы в произвольном поперечном сечении бруса равны:
, | (10.13) |
где yp, zp — координаты точки приложения силы.
На основании принципа независимости действия сил напряжения в точках поперечного сечения при внецентренном растяжении (сжатии) определяются по формуле:
(10.14) |
или
, | (10.15) |
где — радиусы инерции сечения.
Выражение в скобках в уравнении (10.15) показывает во сколько раз напряжения при внецентренном растяжении (сжатии) больше напряжений центрального растяжения.
Уравнение нейтральной линии определяем из (10.15), приравнивая правую часть (10.15) нулю. После сокращения на P/F получим
. | (10.16) |
Таким образом, нейтральная линия при внецентренном растяжении (сжатии) не проходит через центр тяжести сечения. Нейтральная линия отсекает на осях координат отрезки
. | (10.17) |
Из формулы (10.17) видно, что точка приложения силы и нейтральная линия всегда расположены по разные стороны от центра тяжести сечения, причем положение нейтральной линии определяется координатами точки приложения силы (рис. 10.7).
При приближении точки приложения силы к центру тяжести сечения (a и b по абсолютной величине возрастают) нейтральная линия будет удаляться от центра. При этом в сечении увеличивается доля напряжений одного знака, так как уменьшаются напряжения от изгиба. При удалении точки приложения силы от центра тяжести сечения (a и b по абсолютной величине убывают) нейтральная линия будет приближаться к центру. При этом в сечении увеличивается доля напряжений разного знака, так как возрастают напряжения от изгиба. В пределе при a=b=0 нейтральная линия удаляется в бесконечность. В этом случае будет иметь место центральное растяжение (сжатие) бруса.
Всегда можно найти такое положение точки приложения силы, при котором нейтральная линия будет касаться контура сечения, нигде не пересекая его. В этом случае в сечении напряжения будут только одного знака. Зона вблизи центра тяжести сечения, приложение продольной нагрузки в которой вызывает появление во всех точках сечения напряжений только одного знака, называется ядром сечения. До тех, пока точка приложения силы находится внутри ядра, нейтральная линия не пересекает контур сечения и напряжения во всем сечении будут одного знака. Если точка приложения силы расположена вне ядра, то нейтральная линия пересекает контур сечения, и тогда в сечении будут действовать напряжения разного знака. Указанное обстоятельство необходимо учитывать при расчете элементов конструкций из хрупких материалов, плохо воспринимающих растягивающие нагрузки. В этом случае необходимо прикладывать внешние силы так, чтобы во всем сечении действовали только напряжения сжатия. Для этого точка приложения равнодействующей внешних сил должна находиться внутри ядра сечения.
Рис. 10.7.
Расчет на прочность при внецентренном растяжении (сжатии) производится так же, как и при косом изгибе, — по нормальному напряжению в опасной точке поперечного сечения. Опасной является точка сечения, наиболее удаленная от нейтральной линии. Однако, в тех случаях, когда в этой точке действует напряжение сжатия, а материал элемента конструкции хрупкий, опасной может быть точка, в которой действует наибольшее растягивающее напряжение. Эпюра напряжений строится на оси, перпендикулярной к нейтральной линии сечения и ограничена прямой линией. Условие прочности имеет следующий вид:
, | (10.18) |
где yA,zA — координаты опасной точки, а [σ] — допускаемое напряжение на растяжение и сжатие.
Источник
Расчет напряжений
При внецентренном растяжении (сжатии)
Внецентренным растяжением называется такой вид нагружения бруса, при котором внешние силы действуют вдоль продольной оси бруса, но не совпадают с ней (рис. 8.4). Определение напряжений производится с помощью принципа независимости действия сил. Внецентренное растяжение представляет сочетание осевого растяжения и косого (в частных случаях – плоского) изгиба. Формула для нормальных напряжений может быть получена как алгебраическая сумма нормальных напряжений, возникающих от каждого вида нагружения:
, (8.4)
где ; ;
yF, zF– координаты точки приложения силы F.
Для определения опасных точек сечения необходимо найти положение нейтральной линии (н.л.) как геометрического места точек, в которых напряжения равны нулю.
.
Уравнение н.л. может быть записано как уравнение прямой в отрезках:
,
где и – отрезки, отсекаемые н.л. на осях координат,
, – главные радиусы инерции сечения.
Нейтральная линия разделяет поперечное сечение на зоны с растягивающими и сжимающими напряжениями. Эпюра нормальных напряжений представлена на рис. 8.4.
Если сечение симметрично относительно главных осей, то условие прочности записывается для пластичных материалов, у которых [sc] = [sp] = [s], в виде
. (8.5)
Для хрупких материалов, у которых [sc]¹[sp], условие прочности следует записывать отдельно для опасной точки сечения в растянутой зоне:
и для опасной точки сечения в сжатой зоне:
,
где z1, y1 и z2, y2 – координаты наиболее удаленных от нейтральной линии точек сечения в растянутой 1 и сжатой 2зонах сечения (рис. 8.4).
Свойства нулевой линии
1. Нулевая линия делит все сечение на две зоны – растяжения и сжатия.
2. Нулевая линия прямая, так как координаты х и у в первой степени.
3. Нулевая линия не проходит через начало координат (рис. 8.4).
4. Если точка приложения силы лежит на главной центральной инерции сечения, то соответствующая ей нулевая линия перпендикулярна этой оси и проходит с другой стороны от начала координат (рис. 8.5).
5. Если точка приложения силы движется по лучу, выходящему из начала координат, то соответствующая ему нулевая линия движется за ним (рис. 8.6):
н.л
н.л
°
Рис. 8.5 Рис. 8.6
а) при движении точки приложения силы по лучу, исходящему из начала координат от нуля в бесконечность (yF ®∞, zF ®∞), ау ®0; аz ®0. Предельное состояние этого случая: нулевая линия пройдет через начало координат (изгиб);
б) при движении точки приложения силы (т. К) по лучу, исходящему из начала координат от бесконечности к нулю (yF ® 0 и zF ® 0), ау ®∞; аz ®∞. Предельное состояние этого случая: нулевая линия удаляется в бесконечность, а тело будет испытывать простое растяжение (сжатие).
6. Если точка приложения силы (т. К) движется по прямой, пересекающей координатные оси, то в этом случае нулевая линия будет вращаться вокруг некоторого центра, расположенного в противоположном от точки К квадранте.
8.2.3. Ядро сечения
Некоторые материалы (бетон, кирпичная кладка) могут воспринимать весьма незначительные растягивающие напряжения, а другие (например, грунт) не могут вовсе сопротивляться растяжению. Такие материалы используются для изготовления элементов конструкций, в которых не возникают растягивающие напряжения, и не применяются для изготовления элементов инструкций, испытывающих изгиб, кручение, центральное и внецентренное растяжения.
Из указанных материалов можно изготавливать только центрально сжатые элементы, в которых растягивающие напряжения не возникают, а также внецентренно сжатые элементы, если в них не образуются растягивающие напряжения. Это происходит в том случае, когда точка приложения сжимающей силы расположена внутри или на границе некоторой центральной области поперечного сечения, называемой ядром сечения.
Ядром сечения бруса называется его некоторая центральная область, обладающая тем свойством, что сила, приложенная в любой ее точке, вызывает во всех точках поперечного сечения бруса напряжения одного знака, т.е. нулевая линия не проходит через сечение бруса.
Если точка приложения сжимающей силы расположена за пределами ядра сечения, то в поперечном сечении возникают сжимающие и растягивающие напряжения. В этом случае нулевая линия пересекает поперечное сечение бруса.
Если сила приложена на границе ядра сечения, то нулевая линия касается контура сечения (в точке или по линии); в месте касания нормальные напряжения равны нулю.
При расчете внецентренно сжатых стержней, изготовляемых из материала, плохо воспринимающего растягивающие напряжения, важно знать форму и размеры ядра сечения. Это позволяет, не вычисляя напряжений, установить, возникают ли в поперечном сечении бруса растягивающие напряжения (рис. 8.7).
Из определения следует, что ядро сечения есть некоторая область, которая находится внутри самого сечения.
Для хрупких материалов сжимающую нагрузку следует прикладывать в ядре сечения, чтобы исключить в сечении зоны растяжения (рис. 8.7).
Для построения ядра сечения необходимо последовательно совмещать нулевую линию с контуром поперечного сечения так, чтобы нулевая линия не пе-ресекала сечение, и одновременно рассчитывать соответствующую ей точку
приложения сжимающей силы К с коор-
Рис. 8.7 динатами yF и zF по формулам:
; .
Полученные точки приложения силы с координатами yF, zF необходимо соединить отрезками прямых. Область, ограниченная полученной ломаной линией, и будет являться ядром сечения.
Последовательность построения ядра сечения
1. Определить положение центра тяжести поперечного сечения и главных центральных осей инерции у и z, а также значения квадратов радиусов инерции iy, iz .
2. Показать все возможные положения н.л., касающиеся контура сечения.
3. Для каждого положения н.л. определить отрезки ay и az, отсекаемые ею от главных центральных осей инерции у и z.
4. Для каждого положения н.л. установить координаты центра давления yF, и zF .
5. Полученные центры давлений соединить отрезками прямых, внутри которых будет расположено ядро сечения.
Кручение с изгибом
Вид нагружения, при котором брус подвергается одновременно действию скручивающих и изгибающих моментов, называется изгибом с кручением.
При расчете воспользуемся принципом независимости действия сил. Определим напряжения по отдельности при изгибе и кручении (рис. 8.8).
При изгибе в поперечном сечении возникают нормальные напряжения, достигающие максимального значения в крайних волокнах
.
При кручении в поперечном сечении возникают касательные напряжения, достигающие наибольшего значения в точках сечения у поверхности вала
.
Нормальные и касательные напряжения одновременно достигают наибольшего значения в точках С и В сечения вала (рис. 8.9). Рассмотрим напряженное состояние в точке С (рис. 8.10). Видно, что элементарный параллелепипед, выделенный вокруг точки С, находится при плоском напряженном состоянии.
Поэтому для проверки прочности применим одну из гипотез прочности.
Условие прочности по третьей гипотезе прочности (гипотезе наибольших касательных напряжений)
.
Учитывая, что , , получим условие прочности вала
. (8.6)
Если изгиб вала происходит в двух плоскостях, то условие прочности будет
.
Используя четвертую (энергетическую) гипотезу прочности
,
после подстановки s и t получим
. (8.7)
Вопросы для самопроверки
1. Какой изгиб называется косым?
2. Сочетанием каких видов изгиба является косой изгиб?
3. По каким формулам определяются нормальные напряжения в поперечных сечениях балки при косом изгибе?
4. Как находится положение нейтральной оси при косом изгибе?
5. Как определяются опасные точки в сечении при косом изгибе?
6. Как определяются перемещения точек оси балки при косом изгибе?
7. Какой вид сложного сопротивления называется внецентренным растяжением (или сжатием)?
8. По каким формулам определяются нормальные напряжения в поперечных сечениях стержня при внецентренном растяжении и сжатии? Какой вид имеет эпюра этих напряжений?
9. Как определяется положение нейтральной оси при внецентренном растяжении и сжатии? Запишите соответствующие формулы.
10. Какие напряжения возникают в поперечном сечении бруса при изгибе с кручением?
11. Как находятся опасные сечения бруса круглого сечения при изгибе с кручением?
12. Какие точки круглого поперечного сечения являются опасными при изгибе с кручением?
13. Какое напряженное состояние возникает в этих точках?
Источник
Вторым практически
важным случаем сложения деформаций от
изгиба и от продольных сил является так
называемое внецентренное
сжатие или растяжение, вызываемое одними
продольными силами. Этот вид нагружения
довольно распространен в технике, так
как в реальной ситуации почти невозможно
приложить растягивающую нагрузку точно
в центре тяжести.
Внецентренным
растяжением-сжатием
называется случай, когда равнодействующая
сил, приложенных к отброшенной части
стержня, направлена параллельно оси
стержня, но не совпадает с этой осью
(рис.8.10).
Рис.8.1
Внецентренное
растяжение (сжатие) испытывают короткие
стержни. Все сечения являются равноопасными,
поэтому нет необходимости в построении
эпюр внутренних силовых факторов.
Представим, что
после проведения разреза равнодействующая
F
сил действующих на отброшенную часть
и приложенная к оставшейся проходит
через точку с координатами (xF;
yF)
в главных центральных осях поперечного
сечения (рис. 8.11).
Рис.8.11
Приведем силу F
в центр тяжести сечения, т.е. направим
вдоль оси стержня. При этом появятся
две пары сил Mxи Myотносительно
главных центральных осей (рис.8.11c).
Таким образом, в
поперечном сечении стержня при
внецентренном
растяжении и сжатии возникают три
внутренних силовых фактора: нормальная
сила N
= Fи два
изгибающих момента Mx=F∙yF
и My
= F∙xFотносительно
главных центральных осей поперечного
сечения.
Величина нормальных
напряжений вычисляется по формуле
(8.1), которую можно преобразовать к виду
,
или, вынося первое
слагаемое за скобки,
(8.8)
г
де
Мы получили формулу
нормальных напряжений в поперечном
сечении при внецентренном
растяжении или сжатии. Если сила
растягивающая, то перед скобкой ставится
знак плюс, если сила сжимающая, то
ставится – минус.
Т
огда
уравнение нейтральной линии записывается
в виде:
или в
форме уравнения в отрезках:
(8.9)
г
де
Из формул (8.9)
следуют некоторые закономерности,
связывающие положения полюса (т. е. точки
приложения силы) и нейтральной линии,
которые удобно использовать для анализа
решения задачи. Перечислим самые важные
из этих закономерностей:
— нейтральная линия
всегда расположена в квадранте,
противоположном тому, в котором находится
полюс ( рис. 8.12);
— если полюс
находится на одной из главных осей, то
нейтральная линия перпендикулярна этой
оси;
— если полюс
приближается к центру тяжести сечения,
то нейтральная линия удаляется от него.
— если полюс движется
по прямой линии, то нейтральная линия
поворачивается вокруг неподвижной
точки.
Рис.8.12
Для сечений со
сложным контуром знание положения
нулевой линии очень важно. Наибольшие
по величине нормальные напряжения
возникают в точках поперечного сечения
наиболее удаленных от нулевой линии.
Наибольшее
растягивающее нормальное напряжение
возникает в точке
А (рис.8.12)
(8.10)
а наибольшее
сжимающее нормальное напряжение
возникает в точке
В
(8.11)
Таким образом, при
внецентренном
растяжении кроме растягивающих нормальных
напряжений в поперечном сечении могут
возникнуть и сжимающие.
При внецентренном
сжатии – наоборот.
Если материал
стержня одинаково сопротивляется
растяжению и сжатию, то условие прочности
получает такой вид:
.
Хрупкий материал
обладает различными свойствами в
условиях растяжения и сжатия – плохо
сопротивляется растяжению и хорошо
сжатию, условия прочности составляют
для двух точек: где действуют максимальные
растягивающие (т. A)
и максимальные сжимающие (т. B)
напряжения
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
Источник