Сжатие и растяжение графика гиперболы
Список функций, изученных в 7 и 8 классе
Функция | Формула | График | Раздел справочника |
Прямая пропорциональность | y = kx | Прямая | 7 кл., §37 |
Линейная функция | y = kx+b | Прямая | 7 кл., §38-39 |
Обратная пропорциональность | $ y = frac{k}{x} $ | Гипербола | 8 кл., §6 |
Квадрат числа | $ y=x^2$ | Парабола | 8 кл., §18 |
Квадратный трёхчлен | $ y = ax^2+bc+c$ | Парабола | 8 кл., §28-29 |
Квадратный корень | $ y = sqrt{x}$ | Парабола | 8 кл., §22 |
Растяжение и сжатие графика по оси OX
Сравним графики пар функций, которые в общем виде можно записать так:
$$ y_1 = f(x), y_2 = f(px) $$
где $p gt 1$, произвольный положительный множитель.
Пусть p = 2.
Парабола: $y_1 = f(x) = x^2$ $ y_2 = f(2x) = (2x)^2 = 4x^2 $ $y_2 = y_1 при x_2 = frac{1}{2} x_1$ График сжимается в 2 раза по оси OX | |
Гипербола: $ y_1 = f(x) = frac{4}{x}$ $y_2 = f(2x) = frac{4}{(2x)} = frac{2}{x}$ $ y_2 = y_1 при x_2 = frac{1}{2} x_1 $ График сжимается в 2 раза по оси OX | |
Квадратный корень: $y_1 = f(x) = sqrt{x}$ $y_2 = f(2x) = sqrt{2x}$ $y_2=y_1 при x_2 = frac{1}{2} x_1$ График сжимается в 2 раза по оси OX |
Теперь сравним пары функций с делением на p:
$$ y_1 = f(x), quad y_2 = f left( frac{x}{p} right), quad p gt 1 $$
Пусть p = 2
Парабола: $y_1 = f(x) = x^2$ $ y_2 = f left(frac{x}{2}right) = left(frac{x}{2}right)^2 = frac{x^2}{4} $ $y_2 = y_1 при x_2 = 2x_1$ График растягивается в 2 раза по оси OX | |
Гипербола: $ y_1 = f(x) = frac{4}{x}$ $y_2 = f left(frac{x}{2}right) = frac{4}{x/2} = frac{8}{x}$ $ y_2 = y_1 при x_2 = 2x_1$ График растягивается в 2 раза по оси OX | |
Квадратный корень: $y_1 = f(x) = sqrt{x}$ $y_2 = f left(frac{x}{2}right) = sqrt{frac{x}{2}}$ $y_2=y_1 при x_2 = 2x_1$ График растягивается в 2 раза по оси OX |
При сравнении графиков двух функций
$$ y_1 = f(x), quad y_2 = f(px), quad p gt 1 $$
график второй функции сжимается в p раз по оси OX по сравнению с графиком первой функции.
При сравнении графиков двух функций
$$ y_1 = f(x), quad y_2 = f Biggl(frac{x}{p}Biggr), quad p gt 1 $$
график второй функции растягивается в p раз по оси OX по сравнению с графиком первой функции.
Заметим, что данные утверждения справедливы не только для рассмотренных функций, но и для любых других (синусов, косинусов, логарифмов и т.п.)
Растяжение и сжатие графика по оси OY
Сравним графики пар функций, которые в общем виде можно записать так:
$$ y_1 = f(x), quad y_2 = Af(x) $$
где $A gt 1$, произвольный положительный множитель.
Пусть A = 2.
Парабола: $y_1 = f(x) = x^2$ $ y_2 = 2f(x) = 2x^2 $ $y_2 = 2y_1 при x_2 = x_1$ График растягивается в 2 раза по оси OY | |
Гипербола: $ y_1 = f(x) = frac{4}{x}$ $y_2 = 2f(x) = frac{8}{x}$ $ y_2 = 2y_1 при x_2 = x_1$ График растягивается в 2 раза по оси OY | |
Квадратный корень: $y_1 = f(x) = sqrt{x}$ $y_2 = 2f(x) = 2sqrt{x}$ $y_2 = 2y_1 при x_2 = x_1$ График растягивается в 2 раза по оси OY |
Теперь сравним пары функций с делением на A:
$$ y_1 = f(x), quad y_2 = frac{1}{A} f(x), quad A gt 1 $$
Пусть A = 2
Парабола: $y_1 = f(x) = x^2$ $ y_2 = frac{1}{2}f(x) = frac{x^2}{2}$ $y_2 = frac{1}{2}y_1 при x_2 = x_1$ График сжимается в 2 раза по оси OY | |
Гипербола: $ y_1 = f(x) = frac{4}{x}$ $y_2 = frac{1}{2}f(x) = frac{2}{x}$ $ y_2 = frac{1}{2}y_1 при x_2 = x_1$ График сжимается в 2 раза по оси OY | |
Квадратный корень: $y_1 = f(x) = sqrt{x}$ $y_2 = frac{1}{2}f(x) = frac{sqrt{x}}{2}$ $y_2 = frac{1}{2}y_1 при x_2 = x_1$ График сжимается в 2 раза по оси OY |
При сравнении графиков двух функций
$$ y_1 = f(x), quad y_2 = Af(x), quad A gt 1 $$
график второй функции растягивается в A раз по оси OY по сравнению с графиком первой функции.
При сравнении графиков двух функций
$$ y_1 = f(x), quad y_2 = frac{1}{A} f(x), quad A gt 1 $$
график второй функции сжимается в A раз по оси OY по сравнению с графиком первой функции.
Заметим, что данные утверждения справедливы не только для рассмотренных функций, но и для любых других (синусов, косинусов, логарифмов и т.п.)
Примеры
Пример 1. Постройте в одной координатной плоскости графики функций:
$$ y = sqrt{x}, y = sqrt{3x}, y = sqrt{frac{x}{3}}, y = 3sqrt{x} $$
Сделайте выводы.
По сравнению с графиком $y = sqrt{x}$:
- график функции $y = sqrt{3x}$ сжимается в 3 раза по оси OX(←)
- график функции $y = sqrt{frac{x}{3}}$ растягивается в 3 раза по оси OX(→)
- график функции $y = 3sqrt{x}$ растягивается в 3 раза по оси OY(↑)
Пример 2*. Постройте в одной координатной плоскости графики функций:
$$ y = f(x), y = f(2x), y = f Biggl(frac{x}{2}Biggr), y = 2f(x) $$
где $f(x) = x^2+3x+2$
Сделайте выводы.
Исходная функция $y = f(x) = x^2+3x+2$
Остальные функции
$$ y = f(2x) = (2x)^2+3 cdot (2x)+2 = 4x^2+6x+2 $$
$$ y = fBiggl(frac{x}{2}Biggr) = Biggl(frac{x}{2}Biggr)^2+3 cdot Biggl(frac{x}{2}Biggr) +2 = frac{x^2}{4}+ frac{3}{2} x+2 $$
$$ y = 2f(x) = 2x^2+6x+4 $$
Получаем:
По сравнению с графиком $y = f(x) = x^2+3x+2$:
- график функции y = f(2x) сжимается в 2 раза по оси OX(→)
- график функции $y = f left(frac{x}{2}right)$ растягивается в 2 раза по оси OX(←)
- график функции y = 2f(x) растягивается в 2 раза по оси OY(↑)
Рейтинг пользователей
85
75
Best gift
70
Danil Kornienko
70
FixEye:3
55
CS-N
Источник
ЦЕЛИ: 1) рассмотреть графики функций y=f(x), y=kf(x),
y=f(x)+n, y=f(x-m) и y=f(x-m)+n и их свойства, используя ПК и
программу Advanced Grapher;
2)расширить представления о преобразованиях
графиков более сложных функций;
3)способствовать развитию у учащихся навыков
чтения графиков и построения графиков функций.
I. Новый материал – объяснительная лекция.
Графики функций широко используются в
различных областях инженерных знаний, поэтому
умение строить, “читать”, прогнозировать их
“поведение” имеют огромную роль в практической
деятельности инженерных работников, гидро,
метеорологов и людей других “математических”
специальностей.
Выясним, какая связь существует между
графиками функций y = f(x) и y = kf(x), где k-число, не
равное нулю.
Пусть графиком функции y = f(x), область
определения которой- промежуток[-2;4],является
кривая, изображённая на рис.1а f(x) =
x(x-3)(x+1).
Рассмотрим сначала случай, когда k>1.Построим
график функции y = kf(x), где k=2. Для этого расстояние
каждой точки графика функций y = f(x) от оси X
увеличим в 2раза, т.е.умножим её ординату на 2.
Построение выполним с помощью программы Advanced
Grapher, набрав формулу функции F1 с клавиатуры.
Заметим, что точки с абсциссами 0; 3; -1,
принадлежащие оси Х, останутся на месте, т.к.их
ординаты равны нулю (0*2х = 0).Все остальные точки
графиков у1, и у, имеющие одинаковые
абсциссы, будут лежать соответственно на
перпендикулярах к оси Х, причём каждая точка
графика функции у= 2f(x)
будет находиться от оси Х на расстоянии в 2 раза
большем, чем соответственная точка графика
функции y = f(x). (рис. 1б).
Рассмотрим теперь случай, когда О < k < 1,
например k =, и
построим график функции y= kf (x), при k = , используя программу Advanced Grapher.
Опять же заметим, что точки с абсциссами -1; 0 и 3,
принадлежащие оси Х, останутся на месте ( 0* = 0 ), а каждая точка
графика функции y= f (x), будет
находиться от оси Х на расстоянии в 2 раза
меньшем, чем соответственная точка графика
функции y = f(x) (рис.1в).
Делаем вывод о том, что график функции y = f(x) при k
< 1 можно получить из графика функции y = f(x)
растяжением от оси Х исходного графика в k раз, а
при О < k < 1- сжатием к оси Х графика функции y =
f(x) в раз.
И рассмотрим случай, когда k< 0. Ограничимся
значением k = -1, т.е. выясним, как можно построить
график функции y= -f(x),
зная график функции y = f(x).
Задав с клавиатуры формулу графика y = -f(x) и
получив соответствующее изображение на экране (рис. 1г), заметим, что каждой точке
графика y, кроме точек с
абсциссами -1; 0 и 3, соответствует точка графика y =
f(x) с противоположной ординатой.
Соответственно делаем вывод, что график
функции y = -f(x) можно получить с помощью симметрии
относительно оси Х.
Аналогично, графики функций y = kf(x) и y = -kf(x) при
любом k0 симметричны
относительно оси Х.
Иначе говоря, чтобы построить график функции y =
kf(x), где k < 0, можно сначала построить график
функции y = -kf(x), где -k > 0, а затем отобразить его
симметрично относительно оси Х.
Выясним, как связаны между собой графики
функций y = f(x) и y = f(x)+n, где n –произвольное число.
Рассмотрим графики функций y = x, y = x — 4 , y= x-4, y = x+ , y= x- (рис. 2).
Рассматривать будем попарно графики функций у
и у(рис.2а),
у и y(рис.2б),
у и y(рис.2в),
у и y(рис.2г).
Моментальное построение графика каждой из выше
указанных функций даст возможность сделать
вывод, что график функции y = f(x) + n можно получить
из графика функции y = f(x) с помощью сдвига вдоль
оси Y на n единиц вверх, если n>0, или на единиц вниз, если
n<0.
Выясним теперь, как связаны между собой графики
функций y = f(x) и y = f(x-m), где m – произвольное число.
Рассмотрим графики функций y = (x-3), y = (x+2), y = (x), y = (x+).
Получаем рис.3 и делаем вывод, что
график функции y = f(x) можно получить с помощью
сдвига вдоль оси Х на m единиц вправо, если m>0,
или на единиц
влево, если m<0.
Из курса алгебры VII класса известно, что график
функции y = x (парабола)
симметричен относительно ось У. Точку
пересечения параболы с осью симметрии называют
вершиной параболы.
Построим, используя программу Advanced Grapher, в одной
системе координат графики функций y = x, у== x+2, y= (х-3) и y= (х-3) +2 ( рис.4).
Учащимся наглядно видно, что у параболы у== x+2 осью симметрии является ось У, а у
параболы y= (х-3) — прямая х = 3. Графиком же
функции y= (х-3) +2 является парабола с
вершиной в точке (3;2) и осью симметрии её является
прямая х = 3.
Из наглядного наблюдения учащиеся видят, что
при построении графика функции у = (х-3) +2 нужно последовательно
выполнить два параллельных переноса: один в
направлении оси У на 2 единицы вверх, а другой в
направлении оси Х на 3 единицы вправо.
Делаем вывод, что графиком функции вида у = (х-m) +n является парабола с
вершиной в точке А(m;n) .А также обобщаем выше
рассмотренные преобразования графиков и делаем
вывод, что график функции y = f(x-m)+n может быть
получен из графика функции y=f(x) в результате
последовательно выполненных двух параллельных
переносов: сдвига вдоль оси Х на m единиц и сдвига
графика функции у = (х-m)
вдоль оси У на n единиц.
II. Закрепление
.
У: Изобразите на координатной плоскости
заданные точки и определите, используя обороты
“выше на…” и “ниже…”, взаимное расположение
соответствующих точек:
а) А(-1;7) и А1(-1;10) б) В(2;7) и В1(2;5) в) С (0;-6)
и С1(0;-5) г) Д (3;-4) и Д1(3;-7) .
У: Как найти расстояние между точками, имеющими
одинаковые ординаты? Закончите предложение:
“Если точки имеют одинаковые ординаты, то
расстояние между ними равно…”
Обучающая исследовательская работа.
(карточки-распечатки см. Приложение 1)
I вариант.
1. Заданы функции y = f(x) и y = f(x) + 2. заполните таблицу значений этих
функций и сделайте вывод о взаимном расположении
точек данных функций и их графиков:
| 1 | 2 | 4 | 6 | 7 |
y=f(x) | 5 | 7 | -5 | ||
y=f(x)+2 | 3 | -11 |
Д: Любая точка графика y = f(x)+2 с абсциссой X находится на 2 единицы
“выше”, чем точка графика y = f(x) с той же самой
абсциссой; а график функции y = f(x)+2 можно получить из графика y = f(x)
параллельным переносом вдоль оси ординат на 2
единицы “вверх”.
II вариант.
1. Заданы функции y = f(x) и y = f(x) – 3. заполните
таблицу значений этих функций и сделайте вывод о
взаимном расположении точек данных функций и их
графиков:
| 1 | 3 | 5 | 9 | |
y=f(x) | 4 | -6 | 5 | ||
y=f(x)-3 | -3 |
Д: Любая точка графика y = f(x)-3 с абсциссой X находится на 3 единицы
“ниже”, чем точка графика y = f(x) с той же самой
абсциссой; а график функции y=f(x)-3 можно получить из графика y = f(x)
параллельным переносом вдоль оси ординат на 3
единицы “вниз”.
У: С помощью какого преобразования можно
получить график функции y = f(x)+a, а0 из графика функции y = f(x).
Д: Обобщённый вывод (записать в тетрадь): График
функции y1= f(x)+a, а0 можно получить из графика функции y = f(x)
параллельным переносом вдоль оси ординат на единиц “вниз”,
если а<0, и на
единиц “вверх”, если а>0.
У: Пусть даны графики функций y = f(x) и y = f(x)+7. Известно, что один из
них проходит через начало координат. Определите
точку пересечения другого графика с осью
ординат.
Д: A (0;7) или А (0;-7).
У: Пусть даны графики функций y = f(x) и y = f(x)+c. Известно, что один из
них проходит через точку А(-11;231) и другой через
точку А (-11;132). Найдите
все возможные значения С.
Д: 99 или -99.
I вариант.
2. Постройте графики функций, используя
известный график y = kx:
a) y = x-4 ; б) у = x+1;
в) у = 2 x-1.
3.
II вариант.
2. Постройте графики функций, используя
известный график y = kx:
а) у = -x+3; б) у = -0,5x+2; в) у = -2x-3.
3.
У: Изобразите на координатной плоскости
заданные точки и определите, используя обороты
“левее на …” и “правее на …” взаимное
расположение следующих точек:
а) А (-1;7) и А (6;7) б) С (8;-6)
и С (14;-6) в) В (2;3) и В (-2;3) г) Д (-13;_4) и Д (-3;-4).
У: Как найти расстояние между точками, имеющими
одинаковые абсциссы? Закончите предложение:
“Если точки имеют одинаковые абсциссы, то
расстояние между ними равно…”
I, II вариант.
4. Заданы функции y=f(x), y=
f(x+2) и y= f(x-3). Заполните
таблицу значений этих функций:
У: Как взаимно расположены точки графиков
функций y = f(x) и y = f(x+2)?
Каким образом можно получить график функции y= f(x+2) из графика функции y =
f(x)?
Д: Любая точка графика y=
f(x+2) с абсциссой х-2
находится на 2 единицы “левее”, чем точка
графика y=f(x) с абсциссой х, а график функции y= f(x+2) можно получить из графика y = f(x),
“сдвинув” его на 2 единицы влево вдоль оси
абсцисс.
У: Как взаимно расположены точки графиков
функций y = f(x) и y= f(x-3)?
Каким образом можно получить график функции y= f(x-3) из графика функции y =
f(x)?
Д: Любая точка графика y= f(x-3) с абсциссой х+3
находится на 3 единицы “правее”, чем точка
графика y = f(x) с абсциссой х, а график функции y= f(x-3) можно получить из графика функции y =
f(x) “сдвинув” его на 3 единицы вправо вдоль оси
абсцисс.
У: Попытайтесь сделать вывод о том как можно
получить график функции y= f(x+а) из графика функции y = f(x)?
Д: График функции y=
f(x+а) можно получить из графика функции y = f(x),
“сдвинув” его на единиц вправо вдоль оси абсцисс, если
а<0, и на
единиц влево вдоль оси абсцисс, если а>0.
У: Пусть даны графики функций y = f(x) и y= f(x+7). Известно, что один из
них проходит через начало координат. Какую точку
пересечения графика с осью абсцисс можно указать
наверняка?
Д: А(-7;0) и А (7;0).
У: Опишите как расположены относительно друг
друга графики функций (задания 5-9 выполнены на
карточках-распечатках, ответы в устной форме):
5. y = f(x-2) и y = f(x+7).
6. y = f(2x) и y = f(2x-4).
7. y = f(2x) и y = f(2x+1).
8. y = f(0,5x) и y = f(0,5x-4).
9. y = f() и . y = f(-1).
III . Лабораторно-исследовательская работа.
(все задания выполнены на
карточках-распечатках, ответы см. в приложении
2)
I вариант.
10. Постройте графики функций, используя
программу Advanced Grapher :
а) у = (x-4). б) у = (x+2).
11. Пусть дан график функции y=f(x). Как получить
график функции y = f(x+3)-4?
12. Постройте графики функций, используя
программу Advanced Grapher:
а) у = -4; б) у =
(x+3)-4.
II вариант.
10. Постройте графики функций, используя
программу Advanced Grapher :
а) у = 2(x-1), б) у = -(x+3).
11. Пусть дан график функции y=f(x). Как получить
график функции y = f(x-5)+2?
12. Постройте графики функций, используя
программу Advanced Grapher:
а) у =+2; б) у =(x-5)+2.
III вариант.
10. Постройте графики функций, используя
программу Advanced Grapher :
а) у = -0,5(x-4); б) у = (2x-3).
11. Пусть дан график функции y = f(x). Как получить
график функции y = f(x+1)+3?
12. Постройте графики функций, используя
программу Advanced Grapher:
а) у =+3; б) у =
(x+1)+3.
IV вариант.
10. Постройте графики функций, используя
программу Advanced Grapher :
а) у = 4x+4х+1; б) у = —х-1.
11. Пусть дан график функции y=f(x). Как получить
график функции y = f(x-2)-1?
12. Постройте графики функций, используя
программу Advanced Grapher:
а) у =-1; б) у =
(x-2)-1.
Источник
План урока:
Понятие функции
Растяжение и сжатие графиков функций
Параллельный перенос графиков функций
Гипербола и обратная пропорциональность
Дробно-линейная функция
Понятие функции
Понятие функции в школьной программе впервые встречается в 7 классе, поэтому настоятельно рекомендуем перечитать посвященный этой теме урок. Напомним, что функцией (в учебной литературе может использоваться сокращение ф-ция) называется соответствие между элементами двух множеств или, другими словами, зависимость между двумя величинами. Чаще всего в алгебре рассматриваются числовые ф-ции, которые заданы аналитически, то есть формулой. В качестве примера можно привести запись
у = 5х + 7
Здесь х – это независимая переменная, или аргумент, а у – зависимая величина, или просто функция. Принципиально важно, что каждому значению аргумента соответствует только одно значение зависимой величины. Часто в математике используют запись
y = f (x)
Она читается как «игрек равен эф от икс» и означает, что величина у как-то зависит от х. По сути, она равноценна записи
у = у (х)
Если в скобках стоит конкретное число, то запись означает значение ф-ции при этом значении аргумента.
Так, если
у(x) = 4×2
то
у (5) = 4•52 = 100
у (10) = 4•102 = 400
У каждой ф-ции есть область допустимых значений (используется сокращение ОДЗ), или область определения функции. Это те значения аргумента, при которых ф-ция определена. Здесь возможны два случая. В первом область определения указывается прямо. Например, если рассматривается функция у = х4 при значениях х от 1 до 3, то и областью определения будет всё множество чисел от 1 до 3. Для обозначения области определения используется запись D(y) или D(f). При изучении неравенств мы уже познакомились с такими объектами, как числовые промежутки. Именно с их помощью указывают ОДЗ.
Пример. Постройте график функции у = х, если D(y) = [– 3; 4].
Решение. Ф-ция у = х – это линейная функция, мы уже умеем строить их графики (они представляют собой прямую линию). Выглядеть он будет так:
Однако в условии также есть запись D (y) = [– 3; 4], которая означает, что ф-ция определена только при х от – 3 до 4. С учетом этого условия график несколько преобразится:
Грубо говоря, часть графика, которая не входит в область определения, просто «отрезана».
Значительно чаще область определения явно не указывается. В этом случае предполагается, что ф-ция определена во всех точках числовой прямой, в которых ее вообще возможно вычислить. Например, ф-цию у = 9х3 – 47 можно вычислить при любом значении х, поэтому ее область определения – вся числовая прямая, то есть D(y) = (– ∞; + ∞).
А когда же вычислить функцию невозможно? К этому уроку нам известны две таких ситуации:
- когда в операции деления делителем является ноль, либо ноль является основанием степени с отрицательным показателем;
- когда под знаком корня находится отрицательное выражение.
Например, вычислить ф-цию у = 5/х при х = 0 невозможно, поэтому ее область определения – вся числовая прямая, кроме нуля, то есть
D(y) = (– ∞; 0)⋃(0; + ∞)
Функция
имеет область определения D(y) = [5; + ∞), так как при х< 5 подкоренное выражение становится отрицательным.
Также выделяют такое понятие, как область значений функции. Это множество всех значений, которые может принимать ф-ция. Проще всего проиллюстрировать это понятие на графике произвольной ф-ции:
Для обозначения области значений используется запись Е(у) или Е(f). Так, у ф-ции у = х2 при D(y) = [– 2; 2] областью значений будет промежуток [0; 4], то есть Е(у) = [0; 4]. Это видно из графика функции:
Ещё раз напомним, что область определения и область значения функции указываются с помощью числовых промежутков.
Теперь перейдем к тем понятиям, которые не изучались ранее. Первое из них – это нули функции. Так называют те значения аргумента, при которых функция обращается в ноль.
Так, у ф-ции
у = х2 – 9х + 20
есть два нуля, х = 4 и х = 5. Убедиться в этом можно подстановкой:
у(4) = 42 – 9•4 + 20 = 0
у (5) = 52 – 9•5 + 20 = 0
Для нахождения нулей ф-ции у = f(x) надо просто решить уравнение
f(x) = 0
Например, чтобы найти нули приведенной выше функции
у = х2 – 9х + 20
надо решить уравнение
х2 – 9х + 20 = 0
Сделаем это, ведь мы уже умеем решать квадратные уравнения:
D = (– 9)2 – 4•1•20 = 1
На графике нули ф-ции – это те точки, в которых график пересекает ось Ох:
Ещё одно новое понятие – промежутки знакопостоянства. Так называют промежутки числовой прямой, на которых ф-ция либо только положительна, либо только отрицательна. Для наглядности покажем их на графике:
Пусть есть ф-ция у = f(x). Для нахождения промежутков знакопостоянства необходимо решить неравенства f(x)>0 и у = f(x)< 0.
Пример. Найдите промежутки знакопостоянства функции у = 3х – 36
Решение. Решим неравенство 3х – 36 > 0:
3х> 0
3х >36
х > 12
Получаем, что функция положительна на промежутке (12; + ∞).
Аналогично решив неравенство 3х – 36 < 0, получим, что ф-ция отрицательна на промежутке (– ∞; 12).
Пример. Дана функция у = х2 – 5х. Найдите такое значение величины а, для которого выполняется условие у(а) = у(а + 2).
Решение. Очевидно, что у(а) = а2 – 5а. Теперь вычислим у(а + 2):
у(а + 2) = (а + 2)2 – 5(а + 2) = а2 + 4а + 4 – 5а – 10 = а2 – а – 6.
Теперь приравняем значения у(а) и у(а + 2):
а2 – 5а = а2 – а – 6
а2 – 5а – а2 + а = – 6
– 4а = – 6
а = 1,5
Убедимся, что мы нашли требуемое значение а:
у(1,5) = 1,52 – 5•1,5 = 2,25 – 7,5 = – 5,25
у(1,5 + 2) = у(3,5) = 3,52 – 5•3,5 = 12,25 – 17,5 = – 5,25
Ответ: 1,5
Растяжение и сжатие графиков функций
Пусть на координатной плоскости есть точка А с координатами (х0; у0). Куда переместится эта точка, если ее ордината (то есть у0) увеличится, например, в два или в три раза? Она отодвинется от оси Ох. Если же ее ордината уменьшится, то точка приблизится к оси. Наконец, если ордината поменяет знак, то точка, изначально, лежащая выше оси, окажется ниже её. Проиллюстрируем это на картинке:
Пусть есть пара функций у(х) и g = k•у(х), где k– какое-то постоянное число (константа), не равная нулю. Примерами таких пар являются:
- у = х и g = 3х (здесь k = 3);
- у = х2 и g = – 0,7х2 (k = – 0,7)
- y = x2 + 2x + 4 и g = 4(x2 + 2x + 4) = 4х2 + 8х + 16 (k = 4).
Посмотрим, как связаны графики таких функций. На рисунке красным цветом показана функция у(х), а синим g = 2у(x):
При любом значении аргумента выполняется условие g(х) = 2у(х). Это значит, что ордината (координата у) каждой точки графика g(х) вдвое больше, чем ордината соответствующей точки графика у(х). В частности, отрезок АА2 вдвое длиннее отрезка АА1:
АА2 = 2АА1
Аналогично можно записать, что
BB2 = 2BB1
Таким образом, график g(x) выглядит так, будто бы график у(х) «растянули» в 2 раза. Каждая точка «переезжает» на новое место, сдвигаясь по вертикали. Так, если точка А1 имела координаты (– 6; 2), то при растяжении графика функции она получит координаты (– 6; 4), то есть ее координата у увеличится вдвое. Точка B1 имела координаты (2; – 2), а в графике g(х) занимает позицию (2; – 4).
Убедимся в этом на примере ф-ций у = х2 и g = 2х2:
- при х = 1 имеем у(1) = 12 = 1; g(х) = 212 = 2
- при х = 2 получаем у(2) = 22 = 4 и g(x) = 222 = 8
- при х = 3 у(3) = 32 = 9 и g(3) = 232 = 18
В общем случае говорят, что график функции g(х) = ky(x) получается растяжением графика у(х) в k раз.
Пример. Функция у(х) задана графически:
Постройте график функции g(х) = 3у(х).
Решение. Каждую точку отодвинем от оси Ох, увеличив координату у точек в 3 раза:
Если коэффициент k находится в пределах 0 < k < 1, то график не растягивается, а наоборот, «сжимается». Точки перемещаются ближе к оси Ох.Для примера посмотрим на график ф-ции у = 0,5х2. Он может быть получен сжатием графика функции у = х2:
При сжатии графика каждая точка параболы приближается к оси Ох, при этом ордината точек уменьшается вдвое. Так, точка А2 с координатами (3; 9) переходит в точку А1 с координатами (3; 4,5).
Отдельно стоит рассмотреть случай, при котором коэффициент k является отрицательным. В этом случае график отображается симметрично относительно оси Ох. Те точки, которые имели изначально положительную ординату и находились выше Ох, в результате получают отрицательную ординату и оказываются ниже оси Ох. Покажем на рисунке графики ф-ций у = х2 и у = – х2 (то есть k =– 1):
Если же, например, коэффициент k = – 2, то надо и растянуть график, и перевернуть его относительно оси Ох. В частности, так выглядит график у = – 2х2:
Параллельный перенос графиков функций
Теперь посмотрим, как передвинется отдельная точка на координатной плоскости, если к ее ординате добавить какое-нибудь число. Если это число положительное, то точка поднимется выше, а если отрицательное, то она опустится:
Это означает, что если к какой-нибудь функции добавить некоторое число, то график функции переместится вверх или вниз. Для примера построим графики функций у = х2 + 2 и у = х2 – 5:
График у = х2 + 2 представляет собой тот же график у = х2, то есть параболу, который подняли на две единицы вверх. График у = х2 – 5 получен за счет сдвига вниз на 5 единиц этой же параболы. Подобное перемещение называют параллельным переносом графика функции.
Параллельный перенос возможен не только в вертикальном, но и в горизонтальном направлении. Для такого перемещения надо изменить абсциссу точки, а не ординату:
Аналогично может сдвинуться не только точка, но и целый график функции. Если вместо аргумента х подставить в ф-цию величину (х +n), то график сместится на n единиц влево.
Проиллюстрируем это с помощью ф-ций у = х2 и g = (х + 3)2. Будем вычислять значения обеих ф-ций в некоторых точках, причем для функции g будем брать значения х, меньше на три единицы:
у(0) = 02 = 0 и g(– 3) = g(– 3 + 3)2 = 02 = 0
у(– 1) = (– 1)2 = 1 и g(– 4) = g(– 4 + 3)2 = (– 1)2 = 1
у(– 2) = (– 2)2 = 4 и g(– 5) = g(– 5 + 3)2 = (– 2)2 = 4
Видно, что одинаковые значения ф-ции принимают тогда, когда аргумент у ф-цииg меньше на 3. Это значит что если сместить точку графика у = х2 на 3 единицы влево, по она попадает на график g = (х + 3)2.
Точка А1 сдвинулась влево на 3 единицы и перешла в точку А2. Аналогично точка В1 отобразилась в точку В2.
Пусть в общем случае есть функции у = у(х) и g(x) = у(х +n), где n – некоторое постоянное число. Значение у(х) в точке х0 обозначается как у0. Теперь найдем значение g(x) в точке (х0 – n):
g(х0–n) = у(х0 –n+n) = y(x0).
Получили, то же самое значение, что и у у(х). Покажем это на рисунке:
Рассмотрим теперь случай, когда график сдвигается вправо. Для этого из аргумента исходной функции надо вычесть какое-то число. На рисунке показаны графики функций у = 2х и у = 2(х – 4):
Каждая точка исходного графика (например, А1) «переехала» на 4 единицы вправо.
Надо понимать, что иногда один график можно получить из другого в несколько переходов. Пусть надо построить график у = – (х – 4)2 + 5. Его можно получить из обычной параболы у = х2 в три шага.
Сперва строим график у = (х – 4)2. Вершина параболы, как и все остальные точки, сместится на 4 позиции вправо:
Далее построим график у = – (х – 4)2. Для этого его надо отобразить симметрично относительно оси Ох (ось симметрии параболы не сдвигается, но ее ветви будут направлены вниз, а не вверх):
Последний шаг – это построение графика у = – (х – 4)2 + 5. Его можно получить, подняв предыдущий график на 5 единиц вверх:
Гипербола и обратная пропорциональность
Ранее мы уже строили графики степенных функций. Однако мы рассматривали только случаи, при которых показателем в степени являлось натуральное число. Теперь же изучим функцию у = х– 1. Напомним, что по определению отрицательной степени
Найдем область определения функции у = 1/х. Ясно, что аргумент не может равняться нулю, так как иначе получим деление на ноль:
у(0) = 1:0
При любых других значениях х значение у вычислить можно, а потому областью определения будет промежуток (– ∞; 0)⋃(0;+ ∞).
При положительных значениях аргумента ф-ция также будет положительной:
у(5) = 1:5 = 0,2
у(2) = 1:2 = 0,5
у(10) = 1:10 = 0,1
При отрицательных х величина у будет становиться отрицательной:
у(– 5) = 1:(– 5) = – 0,2
у(– 2) = 1:(– 2) = – 0,5
у(– 10) = 1:(– 10) = – 0,1
Это означает, что график ф-ции будет располагаться в I и III четвертях.
Можно заметить, что чем больше х, тем ближе у к нулю:
у(1) = 1
у(10) = 0,1
у(100) = 0,01
И наоборот, чем ближе х к нулю, тем больше у:
у(0,1) = 1:0,1 = 10
у(0,01) = 100
у (0,001) = 1000
При этом у не может равняться нулю. Действительно, дробь равна нулю только тогда, когда ее числитель равен нулю. Однако варьируя х, мы меняем только знаменатель, а в числителе остается единица. Поэтому областью значений функции у = х– 1 является промежуток (– ∞; 0)⋃(0;+ ∞).
Для построения графика найдем некоторые точки графика и занесем их в таблицу. Мы построим две таблицы – одну для положительных х, другую для отрицательных:
Теперь можно посмотреть и на сам график:
Первое, что бросается в глаза – это то, что график не представляет собой единую, непрерывную линию. Он разбит на две ветви, одна из которых располагается в III четверти, а другая – в I четверти. Такой «разрыв» связан с тем, что ноль не входит в область определения ф-ции.
Также можно заметить симметричность графика. Действительно, одна из ветвей является симметричным отображением второй ветви.
Построенный нами график называется гиперболой.
На координатной плоскости есть две прямые линии, к которым гипербола приближается, но при этом он не касается их. Это оси Ох и Оу. Для наглядности покажем их штриховой линией:
В математике подобные линии называют асимптотами функции. Горизонтальная асимптота прямая соответствует линии х = 0, а вертикальная асимптота линии у = 0.
Зная, как выглядит график у = 1/х, мы можем построить и другие, схожие с ним графики для ф-ций у = k/х, где k– это некоторое число. Их можно получить из гиперболы, используя сжатие и растяжение графиков. Если коэффициент k больше единицы, то график «отдаляется» от осей Ох и Оу:
Все эти линии являются примерами гипербол. Если коэффициент k отрицательный, то графики переворачиваются относительно оси Ох и занимают II и IV четверти:
Все приведенные зависимости вида у = k/х называют обратными пропорциональностями.
Примерами обратной пропорциональности являются ф-ции:
Обратная пропорциональность очень часто встречается в жизни. Так, время, затрачиваемое на поездку на автомобиле, обратно пропорционально средней скорости движения. Количество товара, которое можно купить на одну зарплату, обратно пропорционально стоимости этого товара.
Дробно-линейная функция
Теперь рассмотрим несколько более сложные ф-ции, чьи графики, однако, также представляют собой гиперболу. Пусть есть ф-ция вида
Как будет выглядеть ее график? Для ответа на этот вопрос выполним преобразование:
Здесь мы в числителе и знаменателе добавили и сразу вычли слагаемое 2.Этот прием помог нам выделить целую часть из дроби. В результате мы получили ф-цию, график которой можно получить с помощью двух параллельных переносов графика у = 6/х. Сначала график сместится на две единицы вправо:
На следующем шаге график поднимется на единицу вверх:
Стоит обратить внимание, что при таком передвижении гиперболы передвигаются и асимптоты графика гиперболы:
Функция
представляет собой дробь, являющуюся отношением двух линейных многочленов, х + 3 и х – 2. В математике подобные ф-ции называют дробно-линейными функциями. В качестве примеров дробно-линейных функций можно привести:
Из любой дробно-линейной функции можно выделить целую часть. Покажем это на нескольких примерах:
Во всех этих случаях график дробно-линейной функции можно построить с помощью двух параллельных переносов гиперболы.
Однако есть одно исключение. Иногда при выделении из дроби целой части дробной части не остается вовсе, то есть линейные полиномы можно сразу сократить. Например: