Сопротивление материалов изгиб растяжение сжатие
Сложное сопротивление – одновременное действие на брус нескольких простых видов деформаций: растяжения-сжатия, сдвига, кручения и изгиба. Например, совместное действие растяжения и кручения.
Косой изгиб.
Косой изгиб – это изгиб, при котором плоскость действия изгибающего момента не совпадает ни с одной из главных плоскостей инерции сечения бруса.
В общем случае при косом изгибе в поперечных сечениях возникают четыре внутренних силовых фактора: поперечные силы Qx, Qy и изгибающие моменты Mx , My. Таким образом, косой изгиб можно рассматривать как сочетание двух плоских поперечных изгибов во взаимно перпендикулярных плоскостях. Влиянием поперечных сил на прочность и жесткость бруса обычно пренебрегают.
Нейтральная линия при косом изгибе всегда проходит через центр тяжести сечения.
Условие прочности при косом изгибе:
где ymax, xmax — координаты точки сечения, наиболее удаленной от нейтральной оси.
Для сечений, имеющих две оси симметрии, максимальные напряжения будут в угловых точках, а условие прочности:
где Wx , Wy – осевые моменты сопротивления сечения относительно соответствующих осей.
Если материал бруса не одинаково работает на растяжение и на сжатие, то проверку его прочности выполняют по допускаемым и растягивающим и сжимающим напряжениям.
Прогибы при косом изгибе определяют, используя принцип независимости действия сил, геометрическим суммированием прогибов вдоль направления главных осей:
Изгиб с растяжением (сжатием).
При таком виде сложного сопротивления внутренние силовые факторы приводятся к одновременному действию продольной силы N и изгибающего момента M.
Рассмотрим случай центрального растяжения бруса в сочетании с косым изгибом. На консольный брус действует сила F, составляющая некоторый угол с продольной осью бруса и не лежащая ни в одной из главных плоскостей сечения. Сила приложена в центре тяжести торцевого сечения бруса:
К расчёту на прочность бруса при изгибе с растяжением:
a — нагружение бруса; б — внутренние силовые факторы в поперечном сечении;
Разложим силу F на три составляющие. Тогда внутренние силовые факторы приобретут следующий вид:
Напряжение в произвольно выбранной точке Д, имеющей координаты (хд, уд), пренебрегая действием поперечных сил, будут определяться по формуле:
где А — площадь поперечного сечения.
Если сечение имеет две оси симметрии (двутавр, прямоугольник, круг), наибольшее напряжение определяют по формуле:
Условие прочночти имеет вид:
Также как и в случае косого изгиба, если материал бруса не одинаково работает на растяжение и на сжатие, то проверку прочности проводят по допускаемым растягивающим и сжимающим напряжениям.
Внецентренное растяжение или сжатие.
При таком виде сложного сопротивления продольная сила приложена не в центре тяжести поперечного сечения бруса.
К расчёту на прочность бруса при внецентренном растяжении
a — нагружение бруса; б — внутренние силовые факторы в поперечном сечении;
Приведём силу F к центру тяжести:
где уF , xF — координаты точки приложения силы F.
В произвольной точке Д, с координатами (хд, уд), нормальное напряжение определяется по фомуле:
Условие прочности для бруса, изготовленного из материала, одинаково сопротивляющегося растяжению и сжатию, имеет вид:
Для бруса, который неодинаково работает на растяжение и на сжатие проверка прочности по допускаемым растягивающим и сжимающим напряжениям.
Кручение с изгибом.
Сочетание деформаций изгиба и кручения характерно для работы валов машин.
Напряжения в сечениях вала возникают от кручения и от изгиба. При изгибе появляются нормальные и касательные напряжения:
Эпюры напряжений в сечении бруса при кручении с изгибом
Нормальное напряжение достигает максимума на поверхности:
Касательное напряжение от крутящего момента Mz достигает максимума также на поверхности вала:
Из третьей и четвёртой теории прочности:
При кручении с изгибом условие прочности имеет вид:
Источник
В инженерной практике часто имеют место случаи одновременного действия на стержень поперечных и продольных нагрузок, причем последние могут быть приложены внецентренно. Такой случай показан на рис. 11.26. При этом внутренние усилия в заделке равны:
Рис. 11.26
Рис. 11.27
В общем случае растяжения или сжатия с изгибом внутренние усилия определяются раздельно от действия всех составляющих нагрузок. Нормальные напряжения в поперечных сечениях определяются по общей формуле
Приравняв это выражение нулю, получим уравнение нулевой линии
Положив в этом уравнении последовательно у = 0 и z = О, получим формулы для определения отрезков, отсекаемых нулевой линией на осях координат:
Как и во всех рассмотренных выше случаях сложного сопротивления, наибольшие растягивающие и сжимающие напряжения действуют в точках сечения, наиболее удаленных от нулевой линии. Для сечений типа прямоугольника и двутавра это противоположные угловые точки сечения. Значения наибольших и наименьших напряжений в угловых точках можно определить по формулам:
где величины изгибающих моментов Mz и Му надо взять по абсолютной величине.
Напомним, что во всех предыдущих решениях использовался принцип независимости действия сил, позволяющий определять внутренние усилия для недеформированного состояния стержня. Строго говоря, это возможно только при малых деформациях. В противном случае принцип независимости действия сил использовать нельзя.
Рассмотрим, например, консольный стержень в условиях сжатия с изгибом (рис. 11.27). Если стержень обладает значительной гибкостью и прогибы от поперечной нагрузки достаточно велики, то сила Р вызывает дополнительный изгиб, а изгибающий момент в заделке от ее действия равен М = PvB. Для негибких стержней этот момент незначителен и его можно не учитывать. Для гибких стержней необходимо проводить расчет по так называемой деформированной схеме с учетом влияния продольных сил на изгиб. Подобные задачи будут рассмотрены в гл. 13.
Пример 11.7. Для короткого консольного деревянного стержня круглого сечения, находящегося в условиях центрального сжатия и изгиба в плоскости Oxz (рис. 11.28), построим эпюру о в опасном сечении.
Рис. 11.28
Определяем геометрические характеристики сечения:
Строим эпюры внутренних усилий N и Му (рис. 11.28, а). Изгибающий момент Му вызывает растяжение волокон левой половины стержня и имеет наибольшее значение в заделке: Му = — 4 • 1,2 • 0,6 = —2,88 кНм. Изгибающий момент Mz равен нулю. Определяем значения наибольших нормальных напряжений в точках А и В в сечении вблизи заделки:
Напряжения во всех точках сечения стержня являются сжимающими. Эпюры о в опасном сечении от действия N и М и суммарная эпюра с приведены на рис. 11.28, б.
Пример 11.8. Для стального стержня, состоящего из двух неравнобоких уголков L 160x100x10, находящегося в условиях центрального растяжения и изгиба в плоскости Оху (рис. 11.29, а), определим расчетное значение силы Р из условия прочности и построим эпюру о в опасном сечении. Совместная работа уголков обеспечена соединениями, показанными пунктиром. В расчетах примем R= 210 МПа = 21 кН/см2, ус = 0,9.
Рис. 11.29
Определяем геометрические характеристики сечения:
Строим эпюры N w Mz (рис. 11.29, а). Опасным является сечение в середине стержня, где Mz имеет наибольшее значение. В нижних волокнах стержня нормальные напряжения от действия N и Mz имеют одинаковый знак и являются растягивающими. Из условия прочности по наибольшим растягивающим напряжениям в точке А
находим Р 29,4 кН. При действии силы Р = 29,4 кН напряжения в точках А и В равны:
Эпюры о в опасном сечении от действия N w Mzw суммарная эпюра а приведены на рис. 11.29, б.
Пример 11.9. Для стального консольного стержня составного сечения, находящегося в условиях внецентренного растяжения и изгиба (рис. 11.30, а), выполним проверку прочности и построим эпюру а в опасном сечении. В расчетах примем /? = 210 МПа, ус — 0,9.
Построим эпюры N, Mz, Му. Изгибающий момент Mz вызывает растяжение верхних волокон стержня и в заделке равен Mz = —10 • 3,6 — 15 • 1,8 = —63 кНм, а момент М вызывает растяжение волокон левой части сечения (при взгляде от положительного направления оси Ох) и имеет постоянное значение Му = —300 • 0,0625 = —18,75 кНм. Продольная сила является растягивающей и также имеет постоянное значение N = 300 кН.
Наибольшие нормальные напряжения действуют в сечении вблизи заделки (опасное сечение).
Рис. 11.30
Определяем геометрические характеристики сечения. Учитывая, что для двутавра 124 Fx = 34,8 см2, J = 3460 см4, Jy = = 198 см4, b = 11,5 см, И = 24 см, находим:
Наибольшие напряжения действуют в противоположных угловых точках опасного сечения. Определяем по формулам (11.17) отрезки, отсекаемые нулевой линией на осях координат. Учитывая, что в первой четверти сечения моменты Mz и Му вызывают сжатие и имеют отрицательный знак, находим:
Отложив у0 и Zq на осях координат, проводим нулевую линию. На прямой, перпендикулярной нулевой линии, строим эпюру о (рис. 11.30, б), которая является разнозначной. Наибольшие растягивающие напряжения возникают в точке Л . Напряжения в точках Л и В равны:
Поскольку оА = 123,7 МПа ycR = 189 МПа, прочность стержня обеспечена. Эпюра с в опасном сечении приведена на рис. 11.30, б.
Источник
Введение.
Формы тел, изучаемых в сопротивлении материалов.
Гипотезы о свойствах материала.
Связи.
Расчётная модель.
Основные принципы.
Силы внешние и внутренние.
Метод сечений, РОЗУ.
Внутренние силовые факторы.
Виды нагружения стержня.
Напряжения.
Зависимости между напряжениями и внутренними силовыми факторами.
Деформации.
Введение
01 — Введение-7.pdf
Adobe Acrobat Document
1.2 MB
Растяжение и сжатие прямого стержня.
Связь внутренних сил с внешними нагрузками.
Перемещения и деформации.
Связь деформаций в продольном и поперечном направлениях, коэффициент Пуассона.
Напряжения в поперечных и наклонных сечениях.
Закон Гука для одноосного напряжённого состояния.
Объёмная деформация.
Потенциальная энергия деформации и работа внешних сил.
Статически неопределимые задачи растяжения (сжатия), их особенности.
Механические характеристики материалов.
Закон разгрузки.
Технические (условные) характеристики.
Схематизация диаграмм.
Расчёт на прочность.
Пластическое деформирование систем.
Расчёт по предельным нагрузкам.
Характеристики пластичности материалов при растяжении.
Влияние различных факторов на механические характеристики материалов.
Растяжение (сжатие)
02.pdf
Adobe Acrobat Document
2.7 MB
Основные понятия кручения.
Гидродинамическая и мембранная аналогии.
Напряжённое состояние «чистый сдвиг». Свойство парности касательных напряжений.
Закон Гука для сдвига.
Удельная потенциальная энергия при чистом сдвиге.
Связь характеристик упругости материала E, G и ν.
Кручение стержня круглого поперечного сечения.
Определение напряжений, углов поворота сечений, энергия деформации и работа внешних моментов.
Кручение стержня прямоугольного поперечного сечения.
Кручение тонкостенных замкнутых и разомкнутых профилей.
Расчёт на прочность.
Кручение
03.pdf
Adobe Acrobat Document
2.3 MB
Перечень геометрических характеристик.
Виды координатных осей.
Изменение моментов инерции при параллельном переносе и повороте осей.
Моменты инерции простейших фигур, пример расчёта составной фигуры.
Плоские фигуры
04.pdf
Adobe Acrobat Document
869.8 KB
Виды изгиба, гипотезы, напряжения.
Прямой чистый изгиб прямого стержня.
Определение напряженй и кривизны оси стержня.
Потенциальная энергия деформации.
Рациональные формы поперечных сечений.
Расчёт на прочность.
Поперечный изгиб. Оценка величины касательных напряжений.
Дифференциальное уравнение оси изогнутого стержня. Метод Коши-Крылова определения перемещений и углов поворота поперечных сечений прямого изогнутого стержня.
Косой изгиб.
Внецентренное растяжение и сжатие.
Изгиб.
05.pdf
Adobe Acrobat Document
1.7 MB
Определение напряжений, перемещений и потенциальной энергии деформации.
Энергетические теоремы: Кастилиано, Лагранжа, Бетти (взаимности перемещений).
Интеграл Мора для определения перемещений. Способ Верещагина.
Пружины.
Общий случай нагружения.
06.pdf
Adobe Acrobat Document
2.8 MB
Введение.
Плоские статически неопределимые конструкции:
— один раз статически неопределимые;
— два раза статически неопределимые;
— n раз статически неопределимые;
— рамы с замкнутым контуром, учёт свойств прямой и косой симметрии;
— многоопорные балки.
Плоско-пространственные рамы.
Раскрытие статической неопределимости методом сил.
07.pdf
Adobe Acrobat Document
1.6 MB
Стержень прямоугольного поперечного сечения.
Стержень произвольного поперечного сечения.
Остаточные напряжения.
Расчёт по предельным нагрузкам при изгибе (пластические шарниры).
Упруго-пластический изгиб.
08.pdf
Adobe Acrobat Document
1.1 MB
Напряжённое состояние в точке тела.
Тензор напряжений.
Главные площадки и главные напряжения и их определение.
Типы напряжённых состояний.
Эллипсоид напряжений.
Круговая диаграмма Мора.
Шаровой тензор и девиатор.
Деформированное состояние в точке тела.
Тензор деформаций.
Главные дефомации.
Обобщённый закон Гука для изотропного материала.
Объёмная деформация.
Удельная потенциальная энергия деформации, её деление на энергию изменения формы и энергию изменения объёма.
Сложное н.с.
09.pdf
Adobe Acrobat Document
2.1 MB
Принципы построения критериев пластичности и разрушения. Основные понятия.
Эквивалентное напряжение.
Теория максимального касательного напряжения.
Энергетическая теория.
Теория прочности Мора.
Пределы применимости теорий прочности.
Понятие о механизме разрушения. Энергетический и силовой подход.
Теория Гриффитса.
Коэффициент интенсивности напряжений.
Критическое значение коэффициента интенсивности напряжений как характеристика трещиностойкости материала.
Компьютерное исследование разрушения материала.
Разрушение.
10.pdf
Adobe Acrobat Document
3.0 MB
Явление усталости.
Механизм усталостного разрушения.
Характеристики циклов переменных напряжений.
Кривые усталости и предел выносливости.
Влияние концентрации напряжений, размера и чистоты обработки детали на её сопротивление усталости.
Диаграмма предельных амплитут.
Расчёт на прочность при одноосном напряжённом состоянии и при кручении.
Вероятностный характер усталостного разрушения.
Накопление усталостных повреждений и влияние нестационарного нагружения на сопротивление усталости.
Закон линейного суммирования повреждений.
Усталостное разрушение.
11.pdf
Adobe Acrobat Document
1.1 MB
Понятие об устойчивых и неустойчивых формах равновесия.
Критическая нагрузка.
Устойчивость продольно сжатых стержней — задача Эйлера.
Сравнение поведения идеальных и реальных стержней при сжатии.
Зависимость критического напряжения от гибкости стержня.
Пределы применимости формулы Эйлера.
Устойчивость сжатых стержней за пределами упругости.
Энергетический метод определения критической нагрузки.
Расчёт продольно сжатых стержней по коэффициенту понижения допускаемого напряжения сжатия.
Устойчивость.
12.pdf
Adobe Acrobat Document
1.7 MB
Особенности задач продольно-поперечного изгиба.
Дифференциально уравнение оси изогнутого стержня, его интегрирование, определение перемещений и напряжений.
Приближённый метод определения прогибов при продольно-поперечном изгибе (формула С.П.Тимошенко).
Сжато-изогнутые балки.
13.pdf
Adobe Acrobat Document
888.7 KB
Геометрия тонкостенной оболочки вращения, меридиональные и окружные сечения.
Безмоментная теория расчёта осесимметрично нагруженных тонкостенных оболочек вращения.
Цилиндрическая, сферическая и коническая оболочки, находящиеся под действием постоянного давления.
Безмоментная теория осесимметричных оболочек.
14.pdf
Adobe Acrobat Document
2.8 MB
Основные соотношения.
Диски постоянной толщины.
Отверстие в центре — концентратор напряжений.
Диск равного сопротивления.
Диски.
15.pdf
Adobe Acrobat Document
761.1 KB
Определение напряжений и радиальных перемещений в толстостенных цилиндрах, нагруженных внутренним и внешним давлениями.
Частные случаи нагружения цилиндров:
— цилиндр под действием внутреннего давления;
— плита под действием внутреннего давления;
— труба под действием внешнего давления;
— вал, нагруженный давлением;
— равномерно растянутая плита с отверстием.
Расчёт составных труб.
Автофретирование.
Расчёт толстостенных цилиндров, нагруженных давлениями (задача Лямэ).
16.pdf
Adobe Acrobat Document
1.5 MB
Note:
Please fill out the fields marked with an asterisk.
Источник