Сила растяжения на сдвиг
Внутренние усилия при растяжении-сжатии.
Осевое (центральное) растяжение или сжатие прямого бруса вызывается внешними силами, вектор равнодействующей которых совпадает с осью бруса. При растяжении или сжатии в поперечных сечениях бруса возникают только продольные силы N. Продольная сила N в некотором сечении равна алгебраической сумме проекции на ось стержня всех внешних сил, действующих по одну сторону от рассматриваемого сечения. По правилу знаков продольной силы N принято считать, что от растягивающих внешних нагрузок возникают положительные продольные силы N, а от сжимающих — продольные силы N отрицательны (рис. 5).
Чтобы выявить участки стержня или его сечения, где продольная сила имеет наибольшее значение, строят эпюру продольных сил, применяя метод сечений, подробно рассмотренный в статье:
Анализ внутренних силовых факторов в статистически определимых системах
Ещё настоятельно рекомендую взглянуть на статью:
Расчёт статистически определимого бруса
Если разберёте теорию в данной статье и задачи по ссылкам, то станете гуру в теме «Растяжение-сжатие» =)
Напряжения при растяжении-сжатии.
Определенная методом сечений продольная сила N, является равнодействующей внутренних усилий распределенных по поперечному сечению стержня (рис. 2, б). Исходя из определения напряжений, согласно выражению (1), можно записать для продольной силы:
где σ — нормальное напряжение в произвольной точке поперечного сечения стержня.
Чтобы определить нормальные напряжения в любой точке бруса необходимо знать закон их распределения по поперечному сечению бруса. Экспериментальные исследования показывают: если нанести на поверхность стержня ряд взаимно перпендикулярных линий, то после приложения внешней растягивающей нагрузки поперечные линии не искривляются и остаются параллельными друг другу (рис.6, а). Об этом явлении говорит гипотеза плоских сечений (гипотеза Бернулли): сечения, плоские до деформации, остаются плоскими и после деформации.
Так как все продольные волокна стержня деформируются одинаково, то и напряжения в поперечном сечении одинаковы, а эпюра напряжений σ по высоте поперечного сечения стержня выглядит, как показано на рис.6, б. Видно, что напряжения равномерно распределены по поперечному сечению стержня, т.е. во всех точках сечения σ = const. Выражение для определения величины напряжения имеет вид:
Таким образом, нормальные напряжения, возникающие в поперечных сечениях растянутого или сжатого бруса, равны отношению продольной силы к площади его поперечного сечения. Нормальные напряжения принято считать положительными при растяжении и отрицательными при сжатии.
Деформации при растяжении-сжатии.
Рассмотрим деформации, возникающие при растяжении (сжатии) стержня (рис.6, а). Под действием силы F брус удлиняется на некоторую величину Δl называемую абсолютным удлинением, или абсолютной продольной деформацией, которая численно равна разности длины бруса после деформации l1 и его длины до деформации l
Отношение абсолютной продольной деформации бруса Δl к его первоначальной длине l называют относительным удлинением, или относительной продольной деформацией:
При растяжении продольная деформация положительна, а при сжатии – отрицательна. Для большинства конструкционных материалов на стадии упругой деформации выполняется закон Гука (4), устанавливающий линейную зависимость между напряжениями и деформациями:
где модуль продольной упругости Е, называемый еще модулем упругости первого рода является коэффициентом пропорциональности, между напряжениями и деформациями. Он характеризует жесткость материала при растяжении или сжатии (табл. 1).
Таблица 1
Модуль продольной упругости для различных материалов
Абсолютная поперечная деформация бруса равна разности размеров поперечного сечения после и до деформации:
Соответственно, относительную поперечную деформацию определяют по формуле:
При растяжении размеры поперечного сечения бруса уменьшаются, и ε’ имеет отрицательное значение. Опытом установлено, что в пределах действия закона Гука при растяжении бруса поперечная деформация прямо пропорциональна продольной. Отношение поперечной деформации ε’ к продольной деформации ε называется коэффициентом поперечной деформации, или коэффициентом Пуассона μ:
Экспериментально установлено, что на упругой стадии нагружения любого материала значение μ = const и для различных материалов значения коэффициента Пуассона находятся в пределах от 0 до 0,5 (табл. 2).
Таблица 2
Коэффициент Пуассона.
Абсолютное удлинение стержня Δl прямо пропорционально продольной силе N:
Данной формулой можно пользоваться для вычисления абсолютного удлинения участка стержня длиной l при условии, что в пределах этого участка значение продольной силы постоянно. В случае, когда продольная сила N изменяется в пределах участка стержня, Δl определяют интегрированием в пределах этого участка:
Произведение (Е·А) называют жесткостью сечения стержня при растяжении (сжатии).
Механические свойства материалов.
Основными механическими свойствами материалов при их деформации являются прочность, пластичность, хрупкость, упругость и твердость.
Прочность — способность материала сопротивляться воздействию внешних сил, не разрушаясь и без появления остаточных деформаций.
Пластичность – свойство материала выдерживать без разрушения большие остаточные деформации. Неисчезающие после снятия внешних нагрузок деформации называются пластическими.
Хрупкость – свойство материала разрушаться при очень малых остаточных деформациях (например, чугун, бетон, стекло).
Идеальная упругость – свойство материала (тела) полностью восстанавливать свою форму и размеры после устранения причин, вызвавших деформацию.
Твердость – свойство материала сопротивляться проникновению в него других тел.
Рассмотрим диаграмму растяжения стержня из малоуглеродистой стали. Пусть круглый стержень длинной l0 и начальным постоянным поперечным сечением площади A0 статически растягивается с обоих торцов силой F.
Диаграмма сжатия стержня имеет вид (рис. 10, а)
где Δl = l — l0 абсолютное удлинение стержня; ε = Δl / l0 — относительное продольное удлинение стержня; σ = F / A0 — нормальное напряжение; E — модуль Юнга; σп — предел пропорциональности; σуп — предел упругости; σт — предел текучести; σв — предел прочности (временное сопротивление); εост — остаточная деформация после снятия внешних нагрузок. Для материалов, не имеющих ярко выраженную площадку текучести, вводят условный предел текучести σ0,2 — напряжение, при котором достигается 0,2% остаточной деформации. При достижении предела прочности в центре стержня возникает локальное утончение его диаметра («шейка»). Дальнейшее абсолютное удлинение стержня идет в зоне шейки ( зона местной текучести). При достижении напряжением предела текучести σт глянцевая поверхность стержня становится немного матовой – на его поверхности появляются микротрещины (линии Людерса-Чернова), направленные под углом 45° к оси стержня.
Расчеты на прочность и жесткость при растяжении и сжатии.
Опасным сечением при растяжении и сжатии называется поперечное сечение бруса, в котором возникает максимальное нормальное напряжение. Допускаемые напряжения вычисляются по формуле:
где σпред — предельное напряжение (σпред = σт — для пластических материалов и σпред = σв — для хрупких материалов); [n] — коэффициент запаса прочности. Для пластических материалов [n] = [nт] = 1,2 … 2,5; для хрупких материалов [n] = [nв] = 2 … 5, а для древесины [n] = 8 ÷ 12.
Расчеты на прочность при растяжении и сжатии.
Целью расчета любой конструкции является использование полученных результатов для оценки пригодности этой конструкции к эксплуатации при минимальном расходе материала, что находит отражение в методах расчета на прочность и жесткость.
Условие прочности стержня при его растяжении (сжатии):
При проектном расчете определяется площадь опасного сечения стержня:
При определении допускаемой нагрузки рассчитывается допускаемая нормальная сила:
Расчет на жесткость при растяжении и сжатии.
Работоспособность стержня определяется его предельной деформацией [ l ]. Абсолютное удлинение стержня должно удовлетворять условию:
Часто дополнительно делают расчет на жесткость отдельных участков стержня.
Следующая важная статья теории:
Изгиб балки
Источник
2.4.1 Растяжение (сжатие).
Растяжением (сжатием) называется такой вид деформации, при котором в поперечном (перпендикулярном оси) сечении стержня возникает только продольная растягивающая (сжимающая) сила. Модель растягиваемого стержня широко используется в расчетах болтов, ремней передач, стержней ферм, лопаток турбин и др. Для определения величины продольной силы Fz используют метод сечений (Рисунок 48).
Продольная сила Fz, приложенная в центре тяжести произвольного сечения стержня, является равнодействующей внутренних сил dFz =σdA, действующих на бесконечно малые площадки поперечного сечения площадью А:
Из этого уравнения нельзя найти закон распределения нормальных напряжений по поперечному сечению. Однако, если предположить, что в пределах действия закона Гука плоские поперечные сечения стержня смещаются при растяжении параллельно начальным положениям, оставаясь плоскими, то нормальные напряжения во всех точках сечения должны быть одинаковыми, т.е. σ= соnst, тогда Fz = σA и σ = Fz/A.
Таким образом, нормальное напряжение в поперечном сечении стержня при растяжении равно отношению продольной силы к площади сечения.
При сжатии стержня напряжения имеют отрицательный знак: нормальная сила направлена в тело стержня. Нормальные напряжения в элементах конструкций не должны превышать допускаемые напряжения:
Данное условие прочности при растяжении позволяет решать задачи расчета элементов конструкций на прочность:
1) При известных размерах поперечного сечения детали А и известном допускаемом напряжении [σ] определяют допускаемые нагрузки: .
Рис 48.
2) Определяют площадь поперечного сечения по заданной силе и допускаемому напряжению.
, для круга: ;
3) При известной силе и площади поперечною сечения детали определяют напряжения и проверяют, не превышают ли они допускаемые:
.
Итак, напряжения при растяжении (сжатии) . С другой стороны, согласно закона Гука в пределах малых деформаций напряжения прямо пропорциональны вызываемой ими относительной деформации. Так как относительная деформация , тогда , откуда . То есть, в пределах малых деформаций абсолютное продольное удлинение прямо пропорционально силе Fz и первоначальной длине стержня lo и обратно пропорционально модулю упругости E и площади поперечного сечения А. Произведение ЕА называется жесткостью сечения стержня при растяжении (сжатии).
В некоторых случаях при работе конструкции на сжатие работоспособность ее определяю! не величиной допускаемой нагрузки или допускаемого напряжения, а величиной допускаемой деформации. В том случае находят фактическое абсолютное удлинение и сопоставляют его с допускаемым, такие расчеты называются расчетами на жесткость:
— сосредоточенная нагрузка или
— распределенная нагрузка.
Опыты показывают, что удлинение стержня в осевом направлении при растяжении сопровождается уменьшением его поперечных размеров, т.е. наряду с продольной возникает поперечная деформация стержня.
2.4.2 Смятие.
Если два тела подвергаются сжимающей нагрузке и соприкасаются между собой, то общие поверхности соприкосновения называют поверхностями контакта. На поверхностях контакта возникают напряжения смятия. При расчете на смятие допускают, что силы взаимодействия равномерно распределены по поверхности соприкосновения и в каждой точке нормальны к пой поверхности, т.е. возникают нормальные напряжения. Элементарная сила на элементарной площадке . Полная сила .
Тогда, основное условие прочности на смятие . Допускаемое напряжение на смятие (Рисунок 49. а).
Если контакт деталей осуществляется по поверхности полуцилиндра, то площадь смятия определяется как проекция поверхности контакта на диаметральную плоскость (Рисунок 49. б).
Рис 49.
Для многих деталей контакт происходит не по площади, а по линии или точке. В этом случае напряжения смятия определяют по теории контактных напряжений.
Под действием нагрузки, прижимающей тела друг к другу в направлении по нормали к их поверхностям, в поверхностных слоях материала деталей возникают местные деформации и контактные напряжения. Давления по площадке контакта распределяются по эллиптическому закону. Максимальные контактные напряжения возникают в центре (точке контакта) (Рисунок 50. а). Контактные напряжения определяются по формуле Беляева-Герца
μ — коэффициент Пуассона;
— интенсивность силы давления по длине контактной линии;
— приведенный модуль упругости материалов, при ; ;
Рис 50.
— приведенная кривизна поверхностей в месте контакта (Рисунок 50. а).
Знак «-» — одна из поверхностей вогнута. Если одна поверхность прямолинейна (т.е. р2 = ∞), то ρпр = ρ1, (Рисунок 50. б, в).
2.4.3 Сдвиг.
Сдвиг — это деформация, вызываемая противоположно направленными силами, лежащими в близких параллельных плоскостях. Результатом сдвига является срез, например, резание материала ручными или механическими ножницами (Рисунок 51).
При сдвиге происходит перекашивание прямых углов элементарных параллелепипедов. Степень деформирования определяется величиной, которая называется абсолютной деформацией (абсолютным сдвигом). Деформация сдвига, доведенная до разрушения, называется срезом. Отношение абсолютного сдвига к расстоянию между сдвигающимися сечениями — относительная деформация (относительный сдвиг) .
В виду малости величин (Рисунок 51. б). Величина у — относительный сдвиг или угол сдвига.
Внутренние силы, уравновешивающие внешние силы, приложенные к отмеченной части, называются поперечными (перерезывающими силами) FQy, т.к. они действуют перпендикулярно оси стержня.
Поперечная сила складывается как сумма элементарных внутренних сил
(Рисунок 51. в).
Если принять допущение, что касательные напряжения распределяются по сечению равномерно и равны, т.е. .
Источник
Цель: сформировать представление о деформации, напряжении и расчетах на прочность и жесткость при растяжении — сжатии.
Силы в поперечных сечениях стержня при растяжении — сжатии
Растяжением — сжатием называют такой вид нагружения стержня, при котором в его поперечных сечениях возникает только один внутренний силовой фактор — продольная (нормальная) сила N (растягивающая или сжимающая); все остальные внутренние силовые факторы при этом равны нулю. Этот вид нагружения при работе испытывают болты, шпильки, шатуны, штоки амортизаторов, буксирные тросы, тросы грузоподъемников, штанги механизмов газораспределения и многие другие детали автомобильной техники.
При расчетах после определения величин продольных сил по сечениям строится график изменения внутренних силовых факторов по длине данного стержня — эпюра продольных сил.
Продольная сила в каком-либо сечении стержня численно равна (а по направлению противоположна) сумме проекций на ось Z всех внешних сил, действующих на отсеченную часть стержня: N=1, (F°mc).
Правило знаков при построении эпюр продольных сил
Продольную силу N принято считать:
- -положительной, если она направлена от сечения (растягивающая) (рис. 6, а);
- -отрицательной, если эта сила направлена к сечению (сжимающая) (рис. 6, 6; см. табл. 2).
Для иллюстрации метода сечений при построении эпюры продольных (нормальных) сил рассмотрим следующий пример.
Рис. 6. Правило знаков при построении эпюры продольных сил: а) осевое растяжение; б) осевое сжатие
Пример 2. Для стержня (рис. 7, а) построить эпюру продольных сил.
Построение
Для определения продольных сил в сечениях стержня применим метод сечений. Построение эпюры ведем со свободного конца.
Разобьем стержень на три участка, начиная от правого конца. Границами участков будем считать сечения, в которых приложены внешние силы (рис. 7, а). На каждом участке проведем произвольные сечения.
При этом координату проведенного сечения z можно отсчитывать от начала первого участка или от какой-либо другой точки.
В нашем случае при построении эпюры продольных сил удобно пользоваться подвижной системой координатных осей, центр которой каждый раз помещается в начале рассматриваемого участка. Таким образом, координата z на каждом участке стержня отсчитывается от начала данного участка.
Отбрасывая каждый раз левую часть заданного стержня, заменяем действие отброшенной части на оставшуюся неизвестной продольной силой N. Эту силу удобно первоначально направлять в сторону от рассматриваемого сечения, т. е. предварительно считать положительной (растягивающей).
Тогда из условий равновесия отсеченной части стержня получим величину и соответствующий знак продольной силы N на каждом участке (рис. 7, б, в, г).
Рис. 7. Построение эпюры продольных сил для консольной балки: а) расчетная схема; б) первый участок, правая отсеченная часть; в) второй участок, правая отсеченная часть; г) третий участок, правая отсеченная часть; d) эпюра продольных сил
Для нашего стержня запишем условия равновесия и найдем на каждом участке продольную силу в сечении, положение которого определяется текущей координатой z,:
I участок (0 ()
II участок (0 2 ()
III участок (0 3 2€)
Знак «плюс» в полученном ответе показывает, что выбранное нами направление продольных сил на участках I и III правильное, данные силы являются растягивающими.
Знак «минус» в ответе, полученном для II участка, показывает, что продольная сила должна быть направлена в противоположную сторону, т. е. на сжатие.
NB! Величина продольной силы N на протяжении каждого отдельного участка постоянна, так как функция изменения N не зависит от г,.
Величины продольных сил на каждом участке откладываем с учетом полученного знака (рис. 7, д).
Построенную эпюру проверяют по «скачкам»: в точках приложения сосредоточенной силы на эпюре N должен быть «скачок» на величину этой силы. Фактически «скачки» носят условный характер, так как они отражают быстрое изменение продольной силы в соответствующем сечении стержня.
Источник