Решение задач при растяжении продольной силы

Построение эпюр продольных сил – это решение статически определимой задачи. Производится для выявления картины нагрузки упругого тела. Вернее, уточнения ее схематизации.

Необходимо для определения наиболее напряженного, так называемого «опасного» сечения. Затем методами сопромата (сопротивления материалов) проводится анализ с прогнозированием перемещений элементов конструкции.

Но всему свое время. Сначала немного о терминах.

Основные понятия

Брусом (балкой) называют тело, вытянутое вдоль оси. То есть длина преобладает над шириной и высотой.

Если имеются только осевые (продольные) силы, то объект подвергается растяжению/сжатию. В этом случае в материале возникают только нормальные поперечному сечению силы противодействия и тело считают стержнем.

Статическая определимость подразумевает достаточность схемы для установления внутренних усилий противодействия. Участок – часть балки с неизменным сечением и характерной нагрузкой.

Правила построения учитывают знаки усилий. Растягивающие принимают положительными, сжимающие – отрицательными.

В системе СИ силы измеряются в ньютонах (Н). Длины в метрах (м).

Что такое эпюра продольных сил

Показывает, какой силой (в нашем предположении нормальной) загружен каждый участок. По всей длине стержня. Иначе говоря, эпюра – наглядное графическое изображение изменения нагрузки по всей длине конструкции.

Как построить эпюру продольных сил

Используется метод сечений. Балка виртуально рассекается на каждом участке и ищется противодействующая N. Ведь задача статическая. 

Сопротивление рассчитывается по формуле:

где:

• Fl – действующие на участке l силы (Н);

• ql – распределенные нагрузки (Н/м).

Порядок построения:

1. Рисуется схема балки и механизмов закрепления;

2. Производится разделение на участки;

3. Для каждого рассчитывается N с учетом знаков. Если у балки есть незакрепленный конец, то начинать удобнее именно с него. В противном случае считается реакция опор. И оптимальнее выбирать сечение с меньшим количеством действующих факторов:

Нетрудно заметить, что последнее уравнение дает еще и реакцию опоры;

4. Параллельно оси стержня намечается база эпюры. Положительные значения масштабировано проставляются выше, отрицательные – ниже. Эпюру наглядно совмещать с расчетной схемой. Итоговый результат и промежуточные сечения показаны на рис. 1.

Рис. 1. Эпюра продольных сил

Рассмотрим случай:

F1 = 5 (кН);

F2 = 3 (кН);

F3 = 6 (кН).

Вычислим:

Проверить эпюру можно по скачкам: изменения происходят в точках приложения сил на их величину.

Пример построения эпюр и решения задач

Построить эпюру сил для следующего случая (рис. 2):

Рис. 2

Дано:

Решение.

Разбиение на участке вполне очевидно. Найдем сопротивление на выделенных:

Распределенная нагрузка зависит от длины, на которой приложена. Поскольку нарастает линейно, значение N2 будет постепенно увеличиваться/уменьшаться в зависимости от знака q.

Эпюра такого вида усилия представляет собой прямоугольный треугольник с катетами l3 и ql3 (в масштабе). Поскольку распределение линейно.

По полученным данным строим эпюру (рис. 3).

Рис. 3

Заключение

Приведенный алгоритм является предварительным этапом в расчете модели на прочность. «Слабое» место находится уже с учетом площади поперечного сечения.

В сети имеются онлайн сервисы для помощи в расчетах при вычерчивании. Но стоит ли ими пользоваться, если процедура настолько проста? Если не запутаться в знаках, конечно. Это самая распространенная ошибка.

Статически неопределимыми называются такие стержни и стержневые системы, расчет которых не может быть произведен с помощью одних только уравнений статики, поскольку этих уравнений недостаточно для определения всех опорных реакций и внутренних усилий. Для решения таких задач необходимо составить дополнительные уравнения исходя из рассмотрения деформированного состояния стержня или стержневой системы.

Рассмотрим примеры решения статически неопределимых задач.

Пример 3.4. Для стержня ступенчато-постоянного поперечного сечения, закрепленного на обоих торцах (рис. 3.14, а), построим эпюру N, определим осевые перемещения характерных сечений и построим эпюру и.

Поскольку стержень закреплен с двух сторон, возникают две опорные реакции R{ и R2. Составим уравнение равновесия:

Из этого уравнения нельзя определить опорные реакции Rx и R2. Поскольку стержень закреплен с двух сторон, его длина после действия нагрузки не изменится. Отсюда следует условие деформации стержня: А/ = 0.

Раскроем это условие следующим образом. Отбросим мысленно одно из закреплений (например, нижнее) и введем в этом сечении неизвестную силу, равную реакции в отброшенной связи Х= R2 (рис. 3.14, б).

Поставим условие, что образованный таким образом статически определимый стержень должен деформироваться так же, как и заданный. Тогда на основании принципа независимости действия сил можно записать:

где Alp и Alx — величины удлинений (укорочений) стержня (см. рис. 3.14, б) от действия заданной нагрузки и силы X.

Эти величины равны:

Решаем дополнительное уравнение:

Определяем вторую опорную реакцию из уравнения статики:

Направления опорных реакций соответствуют принятым в начале расчета. Эпюра N приведена на рис. 3.14, в.

Рис. 3.14

Определим величины удлинений и укорочений участков стержня и проверим выполнение условия его деформации:

Задача решена правильно. Вычислим осевые перемещения характерных сечений:

Эпюра осевых перемещений приведена на рис. 3.14, г. Осевые перемещения в пределах всех участков изменяются по линейному закону. Поперечные сечения перемещаются в положительном направлении оси Ох, т.е. вниз.

Пример 3.5. Стальная труба, заполненная бетоном, находится под действием сжимающей силы (рис. 3.15, а). Определим величины продольных сил и нормальных напряжений в трубе и бетоне при условии их совместной работы. Эффекты, связанные с поперечными деформациями, учитывать не будем.

Суммарная продольная сила в стержне является сжимающей и равна N = -Р. Она воспринимается одновременно стальной трубой и бетоном. Составим уравнение равновесия:

где Nc и Nq — сжимающие продольные силы в трубе и бетоне (рис. 3.15, б).

Задача является статически неопределимой. Из условия совместной деформации трубы и бетона их укорочения должны быть одинаковыми по величине: А/с = А/б. Раскроем это условие:

где ECFC и Е6Р6 — жесткости стальной трубы и бетона при сжатии.

Решив совместно полученные два уравнения, находим:

Из этих формул следует, что сила Р распределяется между элементами стержня пропорционально их жесткостям.

Рис. 3.15

Выполним числовой расчет, приняв сечение трубы 0 200 x10 мм, Ес = 2,1 • 105 МПа, Еб = 0,2- 105 МПа и Р= 500 кН. Площади поперечных сечений трубы и бетона равны:

Определяем продольные силы и напряжения в элементах стержня:

В статически неопределимых системах внутренние усилия и напряжения могут возникнуть не только при силовом, но и при тепловом воздействии (нагреве или охлаждении), а также при монтаже в случае неточного изготовления отдельных элементов и при смещении (осадке) опор.

Рассмотрим, например, закрепленный с двух сторон стержень постоянного поперечного сечения, подвергаемый нагреву на величину Т (рис. 3.16, а). Закрепления препятствуют свободному удлинению стержня. В силу этого возникают две равные по величине и противоположные по направлению опорные реакции Rx = R2 = R. Статически неопределимый стержень при нагреве испытывает сжатие силой N=—R.

Для определения продольной силы и напряжений в стержне используем условие его деформации: А/ = AlR + А1Т = 0, где AlR = —Rl/EF — возможное укорочение стержня от действия продольной силы N = —R (рис. 3.16, б) и A lT = a IT — возможное его удлинение при нагреве (рис. 3.16, в), где а — коэффициент линейного температурного расширения материала.

Составим уравнение относительно R, решив которое получим:

Рис. 3.16

Напряжения в стержне прямо пропорциональны коэффициенту а, модулю упругости материала Е и величине температуры Т.

При охлаждении статически неопределимый стержень будет испытывать растяжение.

Пример 3.6. Латунный цилиндрический стержень ступенчато-постоянного сечения закреплен на торцах и находится под действием сосредоточенной силы Р = 40 кН и температуры Т = 20 °С (рис. 3.17, а). Построим эпюры N, о и и. В расчетах примем Е= 1,1 • 105 МПа и а = 1,65 • 10-5.

Под действием силы и температуры на закрепленных торцах возникают опорные реакции Rx и R2. Составим уравнение равновесия:

Отбросим мысленно нижнее закрепление и заменим его силой X = R2 (рис. 3.17, б), для определения которой используем условие деформации стержня: А/ = А1Р + А1Х+ А 1Т= 0.

Учитывая, что площади поперечных сечений стержня равны Рх = к ? 32/4 = 7,07 см2 и Р2 = п • 52/4 = 19,63 см2, определим величины Alp, А1Х и A If.

Рис. 3.17

Подставив эти величины в условие деформации стержня, решим его относительно X

Вторая опорная реакция равна R = Р — R2 = 40 — 67,57 = = —27,57 кН. Истинное направление R{ показано пунктиром. Эпюра N приведена на рис. 3.17, в. Оба участка стержня испытывают сжатие. Определим величины напряжений в стержне и удлинений и укорочений его участков.

Первый участок

Проверим выполнение условия деформации стержня:

Эпюры о и и приведены на рис. 3.17, г, д. Все сечения перемещаются в отрицательном направлении оси Ох, т.е. вверх. В пределах обоих участков перемещения изменяются по линейному закону.

Пример 3.7. При монтаже изображенной на рис. 3.18, а стержневой системы оказалось, что длина среднего стержня меньше проектной на величину 6 = 0,2 см. Определим величины усилий и напряжений в стержнях после монтажа и вертикальное перемещение узла В. В расчетах примем Fx = F3 = 10 см2, F2 = 12 см2, Е= 2,1 • 105 МПа.

При установке среднего стержня его надо подвергнуть предварительному растяжению. Крайние стержни после монтажа системы будут испытывать сжатие.

Вырежем мысленно узел В (рис. 3.18, б) и рассмотрим его равновесие под действием усилий Nx, N2 и N3:

Двух уравнений статики недостаточно для определения трех усилий Nx, N2, N3 в стержнях. Система является статически неопределимой, и для ее расчета необходимо рассмотреть схему деформации системы и составить дополнительное уравнение.

Рис. 3.18

В силу симметрии системы относительно оси Оу узел В после монтажа переместится вертикально вверх на величину ВВ’ = 5 — А/2 (рис. 3.18, в), где А/2 — величина удлинения среднего стержня. Крайние стержни укоротятся на величины А/, = А/3 = ВВ’ sin a = (5 — А/2) sin a.

Выразив A/j и Д/2 через усилия в стержнях, составим дополнительное уравнение: где /j = у/1,52 + 1,52 = 2,12 м и /2 = 3 м — длины стержней.

Длина среднего стержня взята без учета весьма малой величины 5.

Учитывая соотношение между Nx и N2, находим усилия в стержнях:

Усилия TVj и N3 являются сжимающими, a N2 — растягивающим. Определим напряжения в стержнях и величины их удлинений (укорочений).

Стержни АВ и BD

Стержень СВ

Вертикальное перемещение узла В равно

Пример 3.8. В процессе работы стержневой системы (рис. 3.19, а) шарнирная опора А жесткой балки АВ получила осадку 5 = 0,5 см. Определим усилия и напряжения в поддерживающих балку стержнях CD и BE и их удлинения (укорочения). В расчетах примем Е1 = 10 см2, F2 = 15 см2 и Е= 2,1 • 105 МПа.

При осадке жесткой балки на шарнирной опоре возникает опорная реакция RA, а в поддерживающих балку стержнях — усилия TVj и N2 (см. рис. 3.19, а). По физическому смыслу задачи очевидно, что усилие Nl является растягивающим, a N2 — сжимающим.

Рис. 3.19

Система является статически неопределимой. Составим уравнение равновесия, не содержащее опорную реакцию RA:

Схема деформации системы показана на рис. 3.19, б. Соотношение между величиной удлинения первого стержня A/j и величиной укорочения второго стержня Д/2 получим из подобия треугольников:

Выразив А/, и Д/2 через усилия в стержнях, получим следующее равенство:

где /j = /2 = 3 м — длины стержней.

Подставив числовые значения Е, Fx, F2, 1Х, /2 и соотношение между Nx и N2 и решив полученное уравнение, находим:

Определим напряжения в стержнях и величины их удлинений (укорочений).

Первый стержень

Второй стержень