Растяжение сжатие учет собственного веса
Подбор сечений с учетом собственного веса (при растяжении и сжатии).
При установлении внешних сил, растягивающих или сжимающих элементы конструкций, мы до сих пор игнорировали собственный вес этих элементов. Возникает вопрос, не вносится ли этим упрощением расчета слишком большая погрешность? В связи с этим подсчитаем величины напряжений и деформаций при учете влияния собственного веса растянутых или сжатых стержней.
Пусть вертикальный стержень (Рис.1, а) закреплен своим верхним концом; к нижнему его концу подвешен груз Р. Длина стержня l, площадь поперечного сечения F, удельный вес материала и модуль упругости Е. Подсчитаем напряжения по сечению АВ, расположенному на расстоянии от свободного конца стержня.
а) б)
Рис.1. Исходная расчетная схема бруса а) и б) равновесие нижней отсеченной части.
Рассечем стержень сечением АВ и выделим нижнюю часть длиной с приложенными к ней внешними силами (Рис.1, б) грузом Р и ее собственным весом . Эти две силы уравновешиваются напряжениями, действующими на площадь АВ от отброшенной части. Эти напряжения будут нормальными, равномерно распределенными по сечению и направленными наружу от рассматриваемой части стержня, т. е. растягивающими. Величина их будет равна:
Таким образом, при учете собственного веса нормальные напряжения оказываются неодинаковыми во всех сечениях. Наиболее напряженным, опасным, будет верхнее сечение, для которого достигает наибольшего значения l; напряжение в нем равно:
Условие прочности должно быть выполнено именно для этого сечения:
Отсюда необходимая площадь стержня равна:
От формулы, определяющей площадь растянутого стержня без учета влияния собственного веса, эта формула отличается лишь тем, что из допускаемого напряжения вычитается величина .
Чтобы оценить значение этой поправки, подсчитаем ее для двух случаев. Возьмем стержень из мягкой стали длиной 10 м; для него , а величина . Таким образом, для стержня из мягкой стали поправка составит т. е. около 0,6%. Теперь возьмем кирпичный столб высотой тоже 10 м; для него , а величина Таким образом, для кирпичного столба поправка составит , т.е. уже 15%.
Вполне понятно, что влиянием собственного веса при растяжении и сжатии стержней можно пренебрегать, если мы не имеем дела с длинными стержнями или со стержнями из материала, обладающего сравнительно небольшой прочностью (камень, кирпич) при достаточном весе. При расчете длинных канатов подъемников, различного рода длинных штанг и высоких каменных сооружений (башни маяков, опоры мостовых ферм) приходится вводить в расчет и собственный вес конструкции.
В таких случаях возникает вопрос о целесообразной форме стержня. Если мы подберем сечение стержня так, что дадим одну и ту же площадь поперечного сечения по всей длине, то материал стержня будет плохо использован; нормальное напряжение в нем дойдет до допускаемого лишь в одном верхнем сечении; во всех прочих сечениях мы будем иметь запас в напряжениях, т. е. излишний материал. Поэтому желательно так запроектировать размеры стержня, чтобы во всех его поперечных сечениях (перпендикулярных к оси) нормальные напряжения были постоянны,
Такой стержень называется стержнем равного сопротивления растяжению или сжатию. Если при этом напряжения равны допускаемым, то такой стержень будет иметь наименьший вес.
Возьмем длинный стержень, подверженный сжатию силой Р и собственным весом (Рис.2). Чем ближе к основанию стержня мы будем брать сечение, тем больше будет сила, вызывающая напряжения в этом сечении, тем большими придется брать размеры площади сечения. Стержень получит форму, расширяющуюся книзу. Площадь сечения F будет изменяться по высоте в зависимости от , т. е. .
Установим этот закон изменения площади в зависимости от расстояния сечения от верха стержня.
Рис.2. Расчетная схема бруса равного сопротивления
Площадь верхнего сечения стержня определится из условия прочности:
и
где допускаемое напряжение на сжатие; напряжения во всех прочих сечениях стержня также должны равняться величине
Чтобы выяснить закон изменения площадей по высоте стержня, возьмем два смежных бесконечно близких сечения на расстоянии от верха стержня; расстояние между сечениями ; площадь верхнего назовем , площадь же смежного .
Приращение площади при переходе от одного сечения к другому должно воспринять вес элемента стержня между сечениями. Так как на площади он должен вызвать напряжение, равное допускаемому , то определится из условия:
Отсюда:
После интегрирования получаем:
При площадь ; подставляя эти значения, имеем:
и
Отсюда
,
Если менять сечения точно по этому закону, то боковые грани стержня получат криволинейное очертание (Рис.2), что усложняет и удорожает работу. Поэтому обычно такому сооружению придают лишь приближенную форму стержня равного сопротивления, например в виде усеченной пирамиды с плоскими гранями. Приведенный расчет является приближенным. Мы предполагали, что по всему сечению стержня равного сопротивления передаются только нормальные напряжения; на самом деле у краев сечения напряжения будут направлены по касательной к боковой поверхности.
В случае длинных канатов или растянутых штанг форму стержня равного сопротивления осуществляют тоже приближенно, разделяя стержень по длине на ряд участков; на протяжении каждого участка сечение остается постоянным (Рис.3) получается так называемый ступенчатый стержень.
Рис.3. Эквивалентный ступенчатый брус с приближением к модели бруса равного сопротивления
Определение площадей … при выбранных длинах производится следующим образом. Площадь поперечного сечения первого нижнего участка будет по формуле равна:
Чтобы получить площадь поперечного сечения второго участка, надо нагрузить его внешней силой Р и весом первого участка:
Для третьего участка к внешней силе добавляются веса первого и второго участков. Подобным же образом поступают и для других участков.
Деформации при действии собственного веса.
При определении влияния собственного веса на деформацию при растяжении и сжатии стержней придется учесть, что относительное удлинение различных участков стержня будет переменным, как и напряжение . Для вычисления полного удлинения стержня постоянного сечения определим сначала удлинение бесконечно малого участка стержня длиной , находящегося на расстоянии от конца стержня (Рис.4).
Рис.4. Расчетная модель бруса с учетом собственного веса.
Абсолютное удлинение этого участка равно
Полное удлинение стержня равно:
Величина представляет собой полный вес стержня. Таким образом, для вычисления удлинения от действия груза и собственного веса можно воспользоваться прежней формулой:
подразумевая под S внешнюю силу и половину собственного веса стержня.
Что же касается деформаций стержней равного сопротивления, то, так как нормальные напряжения во всех сечениях одинаковы и равны допускаемым , относительное удлинение по всей длине стержня одинаково и равно
Абсолютное же удлинение при длине стержня l равно:
где обозначения соответствуют приведенным на рис.1.
Деформацию ступенчатых стержней следует определять по частям, выполняя подсчеты по отдельным призматическим участкам. При определении деформации каждого участка учитывается не только его собственный вес, но и вес тех участков, которые влияют на его деформацию, добавляясь к внешней силе. Полная деформация получится суммированием деформаций отдельных участков.
Дальше…
Источник
Напряжение в призматическом брусе
Собственный вес при расчетах на растяжение-сжатие учитывается для конструкций, вес которых сопоставима со значениями внешних нагрузок. Это могут быть железобетонные колонны, кирпичные простенки и др.
Рассмотрим внутренние усилия и напряжения, возникающие в растянутом стержне при одновременном действии сосредоточенной силы $F$ и собственного веса. Вес стержня определяется как
$Q = gamma cdot V = gamma cdot A cdot l$,
где $gamma $ – удельный вес материала [кН/м3], $V$, $A$, $l$ – об’объем, площадь сечения и длина стержня соответственно. Удельный вес эт’связана с плотностью материала $gamma = g cdot rho $, где $g approx 10$ м/с2, $rho $– плотность.
Продольная сила, возникающая в сечении И – И
$N = F + gamma cdot A cdot x$
Напряжение при учете собственного веса
$sigma = frac{N}{A} = frac{F}{A} + gamma cdot x$
Наибольшее напряжение возникает в верхнем сечении и условие прочности примет вид
${sigma _{max }} = frac{F}{A} + gamma cdot l leqslant left[ sigma right]$
Подбор площади сечения с учетом собственного веса
${A_{min }} = frac{F}{{left[ sigma right] — gamma cdot l}}$
Брус равного сопротивления
Брусом равного сопротивления называется брус, в котором напряжения по длине не меняются и, как правило, равны допустимым напряжением.
Вполне понятно, чтобы удовлетворить таким условиям, площадь сечения бруса должна меняться в соответствии с изменением продольной силы. Рассмотрим бесконечно малый элемент бруса (рис.) длиной $dx$. Нижний сечение этого элемента имеет площадь $A$. Продольная сила в нем равна $[sigma ] cdot A$. Продольная сила в верхнем сечении увеличивается на величину веса элемента, то есть на $dN = gamma cdot dV = gamma cdot A cdot dx$. Соответственно площадь увеличивается на величину $dA = frac{{dN}}{{[sigma ]}}$.
Таким образом,
$dN = gamma cdot A cdot dx = dA cdot [sigma ]$,
$frac{{dA}}{A} = frac{gamma }{{left[ sigma right]}} cdot dx$, [int {frac{{dA}}{A}} = int {frac{gamma }{{left[ sigma right]}} cdot dx} ], $ln left( A right) = frac{gamma }{{left[ sigma right]}} cdot x + C$.
В нижнем сечении, где продольная сила $N = F$, площадь сечения должна быть
${A_0} = frac{F}{{[sigma ]}}$.
Тогда
$ln left( {{A_0}} right) = frac{gamma }{{left[ sigma right]}} cdot 0 + C,,,, Rightarrow ,,,,,C = ln left( {{A_0}} right)$,
$ln left( A right) — ln left( {{A_0}} right) = frac{gamma }{{left[ sigma right]}} cdot x$,
$frac{A}{{{A_0}}} = {e^{frac{gamma }{{left[ sigma right]}} cdot x}}$.
то Есть, для обеспечения одинаковых напряжений по длине стержня, площадь сечения должна изменяться по экспоненциальной зависимостью
$A(x) = {A_0} cdot e{,^{frac{gamma }{{left[ sigma right]}} cdot x}}$.
Ступенчатый брус
Брус равного сопротивления неудобен для изготовления, поэтому для выравнивания напряжений используют ступенчатое изменение сечения по длине. При этом количество и длину ступеней определяют в зависимости от ситуации, а необходимую площадь сечения каждой ступени назначают из условия прочности как для призматического бруса. Например, для трехступенчатого бруса с нагрузкой на его конце расчет площадей сечения проводится, как показано на рис.6.3.
Деформации от собственного веса
Напряжение при учете только собственного веса для призматического бруса
$sigma = frac{{gamma cdot A cdot x}}{A} = gamma cdot x$.
По закону Гука
[varepsilon = frac{sigma }{E} = frac{{gamma x}}{E}]
[Delta l = intlimits_0^l {dDelta l} = intlimits_0^l {frac{gamma }{E} cdot dx} = frac{gamma }{E} cdot left. {frac{{{x^2}}}{2}} right|_0^l = frac{gamma }{E} cdot frac{{{l^2}}}{2} = frac{{Q cdot l}}{{2 cdot EA}}].
Если на стержень, кроме собственного веса $Q$ действует сила $F$, удлинение будет определяться по формуле
$Delta l = frac{{N,l}}{{EA}} + frac{{Q,l}}{{2,EA}}$.
Деформации бруса равного сопротивления определяются проще, потому что напряжение во всех сечениях одинаковы $sigma = left[ sigma right] = const$, тогда по закону Гука
$varepsilon = frac{{left[ sigma right]}}{E} = const$,
$Delta l = varepsilon cdot l = frac{{left[ sigma right]}}{E} cdot l$
Источник
Первая тема сопротивления материалов — это растяжение-сжатие. Задачи на растяжение сжатие в сопромате — довольно простая тема. И сейчас я это докажу.
Прежде всего растяжение — мы интуитивно понимаем — удлинение, увеличение размеров. А сжатие — уменьшение длины, укорочение.
При изучении растяжения-сжатия используется один и тот же подход ко всем задачам, ко всем расчетным схемам. А именно — метод сечений. О нем мы расскажем в отдельной записи. А пока, ниже вы видите видео уроки на эту тему. Надеюсь вам будет полезно и удобно изучать эту тему со мной.
Что такое растяжение-сжатие
Прежде всего нужно сказать, что растяжение-сжатие — это такой вид деформации (относительного изменения размеров), при котором одно плоское сечение относительно другого удаляется параллельно исходному положению.
Пример деформации растяжения-сжатия. Схема приложенияВсе это звучит сложно, но посмотрите видео и Вы все поймете!
Подход в решении задач на растяжение-сжатие
Видео урок — Как отличить растяжение от сжатия. Приводится объяснение основного метода расчета задач по сопротивлению материалов — метод сечений
В первом видео уроке объясняется сам процес возникновения деформации растяжения-сжатия. Как отличить растяжение от сжатия. Приводится объяснение основного метода расчета задач по сопротивлению материалов — метод сечений.
Здесь рассмотрены задачи для стержня, имеющего сплошное поперечное сечение. На такой стержень может действовать как одна сила, так и несколько.
Растяжение-сжатие в стержневых конструкциях
видео урок Растяжение-сжатие в стержневых конструкциях
Во втором видео уроке приводится решение задачи на растяжение-сжатие для системы стержневых конструкций. Приведены методика и план решения задачи по сопротивлению материалов на тему растяжение-сжатие.
Учет собственного веса в задачах сопротивления материалов на растяжение-сжатие
видео урок — Учет собственного веса в задачах сопротивления материалов на растяжение-сжатие
Третья задача на растяжение-сжатие стержней с учетом собственного веса. Приведен пример решения задачи и доступно рассказывается как можно учесть собственный вес конструкции при расчете на растяжение-сжатие.
Растяжение-сжатие с учетом собственного веса в стержнях с двумя участками
Задача на растяжение сжатие, более сложный случай. В этой задаче стержень состоит из нескольких участков. Здесь необходимо учитывать собственный вес — для стержня, испытывающего деформацию растяжения или сжатия, который состоит из нескольких участков. Здесь же приводится методика построения эпюр внутренних усилий при этих видах деформации.
Удлинение стержня при деформации растяжения-сжатия
видео урок — Удлинение стержня при деформации растяжения-сжатия
Приведен пример расчета на растяжение-сжатие когда нужно определить удлинение стержня. Удлинение (при растяжении) или укорочение (при сжатии) — это изменение размеров стержня вдоль оси приложения продольной нагрузки. Об этом в пятом видео уроке.
Определение удлинения стержня с учетом собственного веса при растяжении-сжатии
Определение изменения длины стержня с учетом собственного веса. Особенности формулы для определения удлинения (изменения длины) при растяжении-сжатии с учетом собственного веса.
Итак на этой странице приведены видеоуроки на основные темы в растяжении-сжатии. Планируется запись еще темы в которой будут рассматриваться статически неопределимые задачи на растяжение-сжатие.
Конечно это не все задачи, которые может понадобиться решить реальному инженеру, как инженеру-механику, так и инженеру-строителю. Встречаются разные случаи, когда нужно применять сообразительность.
Метод сечений в задачах на растяжение сжатие
Однако подход в решении всех задач на растяжение-сжатие всегда одинаков и состоит из следующих шагов:
- рассекаем наш стержень (а именно так называют элемент конструкции, который испытывает деформацию растяжения-сжатия)
- рассматриваем равновесие одной из частей стержня рассматривая внешние, приложенные к стержню усилия и внутреннее усилие, которое формируется силами межатомного взаимодействия
- внутреннее усилие направляем от сечения рассматриваемой части стержня к оставшейся части стержня (для статически определимых систем) или используя интуицию и опыт направляем так, чтобы направление внутреннего усилия совпало с направлением действия деформации (на растяжение или на сжатие)
- из суммы проекций на соответствующую ось или, если это возможно, суммы моментов относительно точки находим нужное внутреннее усилие.
В статически неопределимой задаче нужно к указанным действиям добавить еще одно уравнение которое называется деформационным.
Растяжение-сжатие в сопротивлении материалов одна из наиболее простых тем, разнообразие задач, правда, довольно широко. Но именно растяжение-сжатие в сопротивлении материалов учит тому, как нужно правильно и везде одинаково, несмотря на разнообразие расчетных схем, применять один и тот же подход к решению — метод сечений. В классическом курсе сопротивления материалов это первая тема — растяжение-сжатие.
список видео уроков по сопромату в котором темы раскрываются одна за другой. рекомендую для изучения сопромата
Ну а если возникнут сложности, если Вы предпочитаете заниматься индивидуально — обратитесь ко мне — помогу!
skype: zabolotnyiAN,
e-mail: zabolotnyiAN@gmail.com
Остались вопросы?
Все вопросы, которые у Вас могут возникнуть — рассмотрены в рубрике Условия и цена онлайн обучения сопромат и строймех. Для связи со мной используйте страницу «Контакты» или всплывающий внизу справа значок мессенджера.
Рубрики
Задачи по сопротивлению материалов с решениями, примеры, Растяжение — сжатие, Сопромат онлайн
Метки
внутренние усилия, задачи курса сопротивление материалов, классический курс сопротивления материалов в решениях задач, краткий курс сопротивления материалов, курс сопромата для чайников, Построение эпюр продольных сил, растяжение сжатие сопромат, растяжение сжатие сопротивление материалов, сопромат для чайников, Сопромат Примеры решения задач на растяжение-сжатие, сопромат репетитор, Сопромат это легко, Сопротивление материалов, сопротивление материалов краткий курс, сопротивление материалов примеры решения задач, эпюры растяжения сжатия
Источник
Содержание:
- Учет собственного веса при растяжении и сжатии
Учет собственного веса при растяжении и сжатии
- Собственный вес описание натяжения и сжатия Влияние собственного веса учитывается тогда, когда его величина соизмерима со значением приложенной нагрузки. При определении продольных сил и напряжений при расчете деформации N-значение потенциальной энергии с- 27 собственный вес последнего
рассматривается как распределенная нагрузка, действующая вдоль оси элемента. Интенсивность этой нагрузки равна: qx=yFK, (2.15) y-насыпной вес материала (кг / см3); Fx-площадь поперечного сечения X балки. Продольная сила сечения x собственного веса определяется нормальным напряжением NX=§qx dx, o a в этом сечении О= Х
Форекс Расширение пучка от собственного веса в области X = 0 до x=a:
Людмила Фирмаль
О потенциальной энергии деформации, собранной на этом участке: A M R®Nzd? x o помимо собственного веса, если балка подвергается сосредоточенной нагрузке, напряжения и деформации определяются на основе принципа независимости силы, действующей отдельно от концентрации и мертвого веса. Фиксированный участок штанги(рис. 2.12). Сила любого сечения x Nx равна UEX, максимальная сила N=yFl, требуемая площадь поперечного сечения XJ» (2.16) (2.17)
(2.18) (2.19) Длина- Пять. Я «» ’1′ — Ч Рис 2.12 ф= — А. Раздел Х Ox=ух, напряжение УГ; наибольшее напряжение ох=уг; длина предел З1 Макс=г Удлинитель Потенциальная энергия деформации стержня в^?3 6Е При наличии нагрузки Максимальное напряжение (2.20 утра)) (2.21) (2.22) (2.23) (2.24) P сила Nx-P+yfx, напряжение в этом разделе P , °ч=~р+(2.25) П °Макс=—+У1′ 28 ненужные поперечные сечения Ф= —- —— о-Ил (2.26) И полное расширение луча (2.27) Приведенная выше
- формула также применима к строке раздела (см. примеры расчета). Ступенчатое изменение zzzzzzzzz/yzzzzzzzz с gshmw & Стержень равного сопротивления имеет переменную площадь поперечного сечения, выбранную таким образом, чтобы нормальные напряжения во всех сечениях были равны одинаковым и предписанным (например, допустимым). Изменение площади поперечного сечения по длине、: Fx=враг A X, (2.28) П Где Fo=; o-заданное напряжение-[o] или R. O пример. Стержень ступенчатой части (рис. 2.13), принимая
во внимание собственный вес, определяют перемещение поперечного сечения I-I и обычное напряжение в момент крепления. Дано: Е=2 * 105мпа; г=78kN/м3;Р=2кн; модель FJ=20 см2;Л2=1см*;о=2м; в = 1м; в=0,8 м, д=0,5 M раствора. Исходя из принципа независимости силового перемещения секции I-I, его можно выразить как сумму перемещений от груза и собственного веса: L=Dr4-AE. п — РА Эфи 2 • 2 • 107 105 * 20 * 10E=1•10-3cm; Два. ^Г. Где AE-длина участка мертвого груза (a+B)и масса участка (C+rf)>AFL-собственный вес участка d и протяженного участка с весами. Например. Испытывая напряжение под действием силы Р и собственного веса,
находим закон изменения площади поперечного сечения балки равного
Людмила Фирмаль
сопротивления (рис. 2.14, а). Решение. В каждом сечении пучка одинаковое сопротивление 29 напряжение равно заданному[a] или R. 2.14 b): DNX на-ДГ=0. Давайте перейдем к напряжению: Когда вы интегрируетесь, вы получаете f dFx [St]dFx-yFx dx=0 или. Ноль один ДХ; гонка FX=-■Х+О Или Здесь, ко=ЕС. Константа интегрирования определяется из граничных условий! х = о Форекс = Фо=; — Д- = C0e[ој = со. l u[St] [St] и закон изменения площади разреза приобретает следующий вид: ох Так, в стержне равного сопротивления поперечное сечение изменяется по логарифмическому закону. Например. Для P=300TC, I=40m, [St]=10kgf/cm2, для кладки y=2,5 кгс/cm3, E=2X105kcm / cm2, а также веса моста из щебня в виде брусков одинакового сопротивления сжатию, определяют верхний и Нижний. Площадь верхнего сечения Площадь нижней секции Десять. Масса устоев кладки Q=Ft[St] P=10>8 и 16. 101-300 000=516TC; объем кладки У2. 5*10-3
Смотрите также:
- Учебник по сопротивлению материалов: сопромату
Источник