Растяжение сжатие прямого бруса
Внутренние усилия при растяжении-сжатии.
Осевое (центральное) растяжение или сжатие прямого бруса вызывается внешними силами, вектор равнодействующей которых совпадает с осью бруса. При растяжении или сжатии в поперечных сечениях бруса возникают только продольные силы N. Продольная сила N в некотором сечении равна алгебраической сумме проекции на ось стержня всех внешних сил, действующих по одну сторону от рассматриваемого сечения. По правилу знаков продольной силы N принято считать, что от растягивающих внешних нагрузок возникают положительные продольные силы N, а от сжимающих — продольные силы N отрицательны (рис. 5).
Чтобы выявить участки стержня или его сечения, где продольная сила имеет наибольшее значение, строят эпюру продольных сил, применяя метод сечений, подробно рассмотренный в статье:
Анализ внутренних силовых факторов в статистически определимых системах
Ещё настоятельно рекомендую взглянуть на статью:
Расчёт статистически определимого бруса
Если разберёте теорию в данной статье и задачи по ссылкам, то станете гуру в теме «Растяжение-сжатие» =)
Напряжения при растяжении-сжатии.
Определенная методом сечений продольная сила N, является равнодействующей внутренних усилий распределенных по поперечному сечению стержня (рис. 2, б). Исходя из определения напряжений, согласно выражению (1), можно записать для продольной силы:
где σ — нормальное напряжение в произвольной точке поперечного сечения стержня.
Чтобы определить нормальные напряжения в любой точке бруса необходимо знать закон их распределения по поперечному сечению бруса. Экспериментальные исследования показывают: если нанести на поверхность стержня ряд взаимно перпендикулярных линий, то после приложения внешней растягивающей нагрузки поперечные линии не искривляются и остаются параллельными друг другу (рис.6, а). Об этом явлении говорит гипотеза плоских сечений (гипотеза Бернулли): сечения, плоские до деформации, остаются плоскими и после деформации.
Так как все продольные волокна стержня деформируются одинаково, то и напряжения в поперечном сечении одинаковы, а эпюра напряжений σ по высоте поперечного сечения стержня выглядит, как показано на рис.6, б. Видно, что напряжения равномерно распределены по поперечному сечению стержня, т.е. во всех точках сечения σ = const. Выражение для определения величины напряжения имеет вид:
Таким образом, нормальные напряжения, возникающие в поперечных сечениях растянутого или сжатого бруса, равны отношению продольной силы к площади его поперечного сечения. Нормальные напряжения принято считать положительными при растяжении и отрицательными при сжатии.
Деформации при растяжении-сжатии.
Рассмотрим деформации, возникающие при растяжении (сжатии) стержня (рис.6, а). Под действием силы F брус удлиняется на некоторую величину Δl называемую абсолютным удлинением, или абсолютной продольной деформацией, которая численно равна разности длины бруса после деформации l1 и его длины до деформации l
Отношение абсолютной продольной деформации бруса Δl к его первоначальной длине l называют относительным удлинением, или относительной продольной деформацией:
При растяжении продольная деформация положительна, а при сжатии – отрицательна. Для большинства конструкционных материалов на стадии упругой деформации выполняется закон Гука (4), устанавливающий линейную зависимость между напряжениями и деформациями:
где модуль продольной упругости Е, называемый еще модулем упругости первого рода является коэффициентом пропорциональности, между напряжениями и деформациями. Он характеризует жесткость материала при растяжении или сжатии (табл. 1).
Таблица 1
Модуль продольной упругости для различных материалов
Абсолютная поперечная деформация бруса равна разности размеров поперечного сечения после и до деформации:
Соответственно, относительную поперечную деформацию определяют по формуле:
При растяжении размеры поперечного сечения бруса уменьшаются, и ε’ имеет отрицательное значение. Опытом установлено, что в пределах действия закона Гука при растяжении бруса поперечная деформация прямо пропорциональна продольной. Отношение поперечной деформации ε’ к продольной деформации ε называется коэффициентом поперечной деформации, или коэффициентом Пуассона μ:
Экспериментально установлено, что на упругой стадии нагружения любого материала значение μ = const и для различных материалов значения коэффициента Пуассона находятся в пределах от 0 до 0,5 (табл. 2).
Таблица 2
Коэффициент Пуассона.
Абсолютное удлинение стержня Δl прямо пропорционально продольной силе N:
Данной формулой можно пользоваться для вычисления абсолютного удлинения участка стержня длиной l при условии, что в пределах этого участка значение продольной силы постоянно. В случае, когда продольная сила N изменяется в пределах участка стержня, Δl определяют интегрированием в пределах этого участка:
Произведение (Е·А) называют жесткостью сечения стержня при растяжении (сжатии).
Механические свойства материалов.
Основными механическими свойствами материалов при их деформации являются прочность, пластичность, хрупкость, упругость и твердость.
Прочность — способность материала сопротивляться воздействию внешних сил, не разрушаясь и без появления остаточных деформаций.
Пластичность – свойство материала выдерживать без разрушения большие остаточные деформации. Неисчезающие после снятия внешних нагрузок деформации называются пластическими.
Хрупкость – свойство материала разрушаться при очень малых остаточных деформациях (например, чугун, бетон, стекло).
Идеальная упругость – свойство материала (тела) полностью восстанавливать свою форму и размеры после устранения причин, вызвавших деформацию.
Твердость – свойство материала сопротивляться проникновению в него других тел.
Рассмотрим диаграмму растяжения стержня из малоуглеродистой стали. Пусть круглый стержень длинной l0 и начальным постоянным поперечным сечением площади A0 статически растягивается с обоих торцов силой F.
Диаграмма сжатия стержня имеет вид (рис. 10, а)
где Δl = l — l0 абсолютное удлинение стержня; ε = Δl / l0 — относительное продольное удлинение стержня; σ = F / A0 — нормальное напряжение; E — модуль Юнга; σп — предел пропорциональности; σуп — предел упругости; σт — предел текучести; σв — предел прочности (временное сопротивление); εост — остаточная деформация после снятия внешних нагрузок. Для материалов, не имеющих ярко выраженную площадку текучести, вводят условный предел текучести σ0,2 — напряжение, при котором достигается 0,2% остаточной деформации. При достижении предела прочности в центре стержня возникает локальное утончение его диаметра («шейка»). Дальнейшее абсолютное удлинение стержня идет в зоне шейки ( зона местной текучести). При достижении напряжением предела текучести σт глянцевая поверхность стержня становится немного матовой – на его поверхности появляются микротрещины (линии Людерса-Чернова), направленные под углом 45° к оси стержня.
Расчеты на прочность и жесткость при растяжении и сжатии.
Опасным сечением при растяжении и сжатии называется поперечное сечение бруса, в котором возникает максимальное нормальное напряжение. Допускаемые напряжения вычисляются по формуле:
где σпред — предельное напряжение (σпред = σт — для пластических материалов и σпред = σв — для хрупких материалов); [n] — коэффициент запаса прочности. Для пластических материалов [n] = [nт] = 1,2 … 2,5; для хрупких материалов [n] = [nв] = 2 … 5, а для древесины [n] = 8 ÷ 12.
Расчеты на прочность при растяжении и сжатии.
Целью расчета любой конструкции является использование полученных результатов для оценки пригодности этой конструкции к эксплуатации при минимальном расходе материала, что находит отражение в методах расчета на прочность и жесткость.
Условие прочности стержня при его растяжении (сжатии):
При проектном расчете определяется площадь опасного сечения стержня:
При определении допускаемой нагрузки рассчитывается допускаемая нормальная сила:
Расчет на жесткость при растяжении и сжатии.
Работоспособность стержня определяется его предельной деформацией [ l ]. Абсолютное удлинение стержня должно удовлетворять условию:
Часто дополнительно делают расчет на жесткость отдельных участков стержня.
Следующая важная статья теории:
Изгиб балки
Источник
Под растяжением или сжатием понимается такой вид нагружения, при котором в поперечных сечениях бруса возникают только нормальные силы (N), а все прочие внутренние силовые факторы равны нулю. Растягивающие нормальные силы (т.е. силы, направленные от поперечного сечения рис. 7.а) принято считать положительными, а сжимающие силы (т.е. силы направленные к поперечному сечению рис.7,б) — отрицательными. Этим правилом пользуемся при построении эпюр продольных сил.
Рис.7
Пример 1. Для бруса, находящегося в равновесии и нагруженного так, как показано на рис.8 а построить эпюру нормальных сил N. Разбиваем брус на участки, начиная от свободного конца. Границами участков являются сечения, в которых приложены внешние силы.
I участок — СД, II участок — ВС, III участок — ВА.
Применяя метод сечений, оставляем правую и отбрасываем левую часть бруса: это позволяет не определять опорной реакции. Проводя произвольное сечение I-I на участке I и составляя для части бруса (рис. 8,б) уравнение равновесия Z=0, получим F-N=0, N=F
Очевидно, что все сечения на участке I равноценны. Таким образом, на участке I брус растянут силой F. Построим эпюру нормальных сил (рис.8,д). От нулевой линии, параллельной оси бруса, отложим вверх в масштабе на участке I ординаты, равные F и эпюру пометим знаком (+).
Проделаем подобные операции для участка II. Рассечём брус сечением 2-2 и рассмотрим правую отсечённую часть (рис.8,в)
Z=0 F+2F-N2=0 N2=3F
На эпюре нормальных сил на участке II отложим ординаты, равные 3F в том же масштабе, что и на участке I. Аналогично определяем нормальную силу на участке III. Проводим сечение 3-3 (рис. 8,в) и пишем уравнение равновесия Z=0
F+2F-4F+N3=0 N3=F
Рис. 8
Усилие N3 направлено к сечению, т.е. сжимает участок III. Откладываем вниз от нулевой линии ординаты, равные F и ставим знак (-) на эпюре N (рис.8,д)
Таким образом, на рис.8,д построена эпюра нормальных сил для заданного бруса; Эпюры силовых факторов штрихуются линиями, перпендикулярными оси, т.к. они являются графиками, построенными в масштабе, т.е. каждая штриховая линия представляет собой продольную силу возникающую в соответствующем поперечном сечении.
Пример 2. Брус длиною нагружен равномерно распределённой нагрузкой с интенсивностью q(кн/см) и сосредоточенной силой F приложенной на свободном торце и равной (кн) (рис.9а). Построить эпюру нормальных сил.
Для определения нормальных сил применим метод сечений. Рассечём брус на расстоянии Z от свободного торца. Отбросим верхнюю часть, а для нижней части бруса составим уравнение равновесия (рис.9,б)
Предположим, что сила N направлена вверх Z=0
N-qZ+=0 N=qZ- ()
из уравнения видно, что нормальная сила N меняется по длине бруса по линейному закону. Для построения эпюры находим значения силы в крайних сечениях: при Z=0 и при Z=
Рис. 9
Подставим эти значения Z в уравнение () и получим:
при Z=0 N=, т.е. внутренняя нормальная сила оказалась сжимающей:
при Z= N=, нормальная сила стала растягивающей. Эпюра показана на рис.9,в
Самая большая нормальная сила N= возникает на свободном торце бруса. Следовательно, это сечение самое опасное.
В местах приложения сосредоточенных сил на эпюре получаются скачки, равные величине этих сил. Следует отметить, что при определении внутренних силовых факторов можно говорить только о сечениях , удалённых от мест приложения нагрузки. Сила не может быть строго сосредоточенной в одной точке. Передача нагрузки всегда совершается по некоторой площадке, в пределах которой внутренняя сила распределяется по некоторому закону, изучение которого выходит за рамки курса «Сопротивление материалов». Таким образом, эпюра в областях приложения сосредоточенной нагрузки условна.
Источник
Под растяжением или сжатием понимается такой вид нагружения, при котором в поперечных сечениях бруса возникают только нормальные силы (N), а все прочие внутренние силовые факторы равны нулю. Растягивающие нормальные силы принято считать положительными, а сжимающие силы. Этим правилом пользуемся при построении эпюр продольных сил.
Пример 1. Для бруса, находящегося в равновесии и нагруженного так, как показано на рис.8 а построить эпюру нормальных сил N. Разбиваем брус на участки, начиная от свободного конца. Границами участков являются сечения, в которых приложены внешние силы.
I участок — СД, II участок — ВС, III участок — ВА.
Применяя метод сечений, оставляем правую и отбрасываем левую часть бруса: это позволяет не определять опорной реакции. Проводя произвольное сечение I-I на участке I и составляя для части бруса уравнение равновесия
Z=0
F-N=0, N=F
Очевидно, что все сечения на участке I равноценны. Таким образом, на участке I брус растянут силой F. Построим эпюру нормальных сил. От нулевой линии, параллельной оси бруса, отложим вверх в масштабе на участке I ординаты, равные Fи эпюру пометим знаком (+).
Проделаем подобные операции для участка II. Рассечём брус сечением 2-2 и рассмотрим правую отсечённую часть.
Z=0 F+2F-N2=0 N2=3F
На эпюре нормальных сил на участке II отложим ординаты, равные 3F в том же масштабе, что и на участке I. Аналогично определяем нормальную силу на участке III. Проводим сечение 3-3 (рис. 8,в) и пишем уравнение равновесия Z=0
F+2F-4F+N3=0 N3=F
Усилие N3 направлено к сечению, т.е. сжимает участок III. Откладываем вниз от нулевой линии ординаты, равные F и ставим знак (-) на эпюре N.
Таким образом, на рис.8,д построена эпюра нормальных сил для заданного бруса; Эпюры силовых факторов штрихуются линиями, перпендикулярными оси, т.к. они являются графиками, построенными в масштабе, т.е. каждая штриховая линия представляет собой продольную силу возникающую в соответствующем поперечном сечении.
Пример 2. Брус длиною нагружен равномерно распределённой нагрузкой с интенсивностью q(кн/см) и сосредоточенной силой F приложенной на свободном торце и равной (кн) (рис.9а). Построить эпюру нормальных сил.
Для определения нормальных сил применим метод сечений. Рассечём брус на расстоянии Z от свободного торца. Отбросим верхнюю часть, а для нижней части бруса составим уравнение равновесия.
Предположим, что сила N направлена вверх
Z=0
N-qZ+=0 N=qZ- ()
из уравнения видно, что нормальная сила N меняется по длине бруса по линейному закону. Для построения эпюры находим значения силы в крайних сечениях: при Z=0 и при Z=
Подставим эти значения Z в уравнение () и получим:
при Z=0 N=
т.е. внутренняя нормальная сила оказалась сжимающей:
при Z= N=
нормальная сила стала растягивающей.
Самая большая нормальная сила N= возникает на свободном торце бруса. Следовательно, это сечение самое опасное.
В местах приложения сосредоточенных сил на эпюре получаются скачки, равные величине этих сил. Следует отметить, что при определении внутренних силовых факторов можно говорить только о сечениях , удалённых от мест приложения нагрузки. Сила не может быть строго сосредоточенной в одной точке. Передача нагрузки всегда совершается по некоторой площадке, в пределах которой внутренняя сила распределяется по некоторому закону, изучение которого выходит за рамки курса «Сопротивление материалов». Таким образом, эпюра в областях приложения сосредоточенной нагрузки условна.
Источник
Продольное растяжение — сжатие
- Продольная сила.
- Напряжения в поперечных сечениях бруса.
- Продольные и поперечные деформации.
- Диаграмма растяжения и сжатия.
- Перемещения в поперечных сечениях бруса.
- Напряжения в наклонных сечениях стержня. Закон парности касательных напряжений.
- Расчеты на прочность при растяжении и сжатии.
1. Продольная сила
Растяжением (сжатием) называется такой вид деформации, при котором в поперечных сечениях стержня возникает только продольная растягивающая (сжимающая) сила, а остальные внутренние силовые факторы равны нулю.
Стержень, работающий на растяжение – сжатие, принято называть брусом.
Растягивающие продольные силы считаются положительными, сжимающие – отрицательными.
Продольная сила представляет равнодействующую, численно равную алгебраической сумме проекций на продольную ось всех внешних сил, расположенных по одну сторону от рассматриваемого сечения:
При растяжении продольную силу следует считать положительной, а при сжатии – считать отрицательной.
Рис.7. Правило знаков при растяжении — сжатии
Для определения силы продольной силы N используем метод сечений. Затем составим уравнение равновесия в виде 
. После нахождения числовых значений строим эпюру продольных сил.
Эпюра внутреннего усилия — график изменения внутреннего усилия по длине бруса.
Цель построения эпюры — это определение качественной и количественной картины деформации бруса, нахождение наиболее нагруженных участков или сечений.
В поперечном сечении, в котором к брусу приложена сосредоточенная сила, не перпендикулярная его оси, значение продольной силы N изменяется скачкообразно.
2. Напряжения в поперечных сечениях бруса
Сила N, приложенная в центре тяжести произвольного сечения бруса, является равнодействующей внутренних сил 
, действующих на бесконечно малые площадки поперечного сечения площадью А:
где 
— нормальное напряжение, Н/м2 = Па.
Если считать, что плоские поперченные сечения при растяжении смещаются параллельно начальным положениям, оставаясь плоскими, то 
(гипотеза Бернулли), тогда
, 
.
В поперечных сечениях бруса при центральном растяжении или сжатии возникают равномерно распределенные нормальные напряжения , равные отношению продольной силы N к площади поперечного сечения А.
После определения алгебраических значений строится эпюра нормальных напряжений.
3. Продольные и поперечные деформации
Рис. 8. К определению продольных и поперечных деформаций
Брус постоянного сечения площадью А, длинной l0 под действием осевых растягивающих сил удлиняется на величину 
,
где l0 – длина бруса при начальном (недеформированном) состоянии;
l1 – длина бруса при деформированном состоянии.
Приращение 
– полное или абсолютное удлинение (если случай сжатия, то – полное укорочение). Экспериментально установлено, что чем больше l0 , тем больше .
Наиболее удобной мерой деформации является относительное удлинение – величина абсолютной деформации, отнесенная к первоначальной длине стержня.
Относительное удлинение (линейная деформация):
, %.
При сжатии 
называют относительным укорочением.
Экспериментально доказано, что при удлинении стержня в осевом направлении происходит уменьшение его поперечных размеров. Значит, при растяжении или сжатии возникает не только продольная, но и поперечная деформация стержня.
Предположим, что 
первоначальная ширина бруса, то под действием сил 
ширина уменьшится на величину 
, 
абсолютная деформация.
Относительная поперечная деформация: 
.
Минус указывает, что при растяжении поперечные размеры бруса уменьшаются.
Отношение поперечной деформации к продольной при растяжении (сжатии), взятое по абсолютной величине, называют коэффициентом Пуассона
.
Между напряжениями и малыми деформациями существует линейная зависимость, которая именуется законом Гука: нормальное напряжение прямо пропорционально относительной продольной деформации
,
где Е – коэффициент пропорциональности (модуль упругости).
Физический смысл модуль упругости Е – напряжение, которое вызывает деформацию 
(удлинение стержня, равное первоначальной длине).
На основании вышеперечисленных формул запишем закон Гука в развернутом виде 
,
коэффициент продольной податливости бруса;
– жесткость поперечного сечения стержня при растяжении и сжатии.
4. Перемещения в поперечных сечениях бруса
Если продольная сила и площадь сечения зависят от координаты сечения, то
.
Перемещения какого-либо сечения на 
участке бруса относительно неподвижного сечения равно сумме деформаций всех предыдущих 
участков и деформации рассматриваемой части участка
.
В стержнях с заделкой за неподвижное сечение целесообразно принимать заделку.
Эпюра 
связана с эпюрой : 
.
5. Расчеты на прочность при растяжении и сжатии
Расчеты на прочность
- Метод расчета по допускаемому напряжению
При расчетах на прочность при растяжении или сжатии условие прочности запишется 
(1)
Исходя из этого производят три вида расчетов:
- проектный расчет. При этом расчете известны нагрузки, материал,
или коэффициент запаса прочности 
. Размеры поперечного сечения, которые бы обеспечивали прочность, определяются по формуле:
или коэффициент запаса прочности 
.
- расчет по допускаемой нагрузке. Даны А, материал:
. - проверочный расчет. Даны N, материал, А, но требуется проверить соблюдение условий прочности по формуле (1). Если максимальное расчетное напряжение не превышает допустимое на 5%, то напряжение считают неопасным. Поперечное сечение бруса, в котором возникает наибольшее расчетное напряжение при растяжении или сжатии, называется опасным.
.- Метод расчета по запасам прочности
, 
,
где 
– коэффициент запаса прочности.
Расчеты на жесткость
Условие жесткости при растяжении 
.
Размеры сечения подбирают по ГОСТ 6636-69.
Источник