Растяжение сжатие по двум направлениям
Внутренние усилия при растяжении-сжатии.
Осевое (центральное) растяжение или сжатие прямого бруса вызывается внешними силами, вектор равнодействующей которых совпадает с осью бруса. При растяжении или сжатии в поперечных сечениях бруса возникают только продольные силы N. Продольная сила N в некотором сечении равна алгебраической сумме проекции на ось стержня всех внешних сил, действующих по одну сторону от рассматриваемого сечения. По правилу знаков продольной силы N принято считать, что от растягивающих внешних нагрузок возникают положительные продольные силы N, а от сжимающих — продольные силы N отрицательны (рис. 5).
Чтобы выявить участки стержня или его сечения, где продольная сила имеет наибольшее значение, строят эпюру продольных сил, применяя метод сечений, подробно рассмотренный в статье:
Анализ внутренних силовых факторов в статистически определимых системах
Ещё настоятельно рекомендую взглянуть на статью:
Расчёт статистически определимого бруса
Если разберёте теорию в данной статье и задачи по ссылкам, то станете гуру в теме «Растяжение-сжатие» =)
Напряжения при растяжении-сжатии.
Определенная методом сечений продольная сила N, является равнодействующей внутренних усилий распределенных по поперечному сечению стержня (рис. 2, б). Исходя из определения напряжений, согласно выражению (1), можно записать для продольной силы:
где σ — нормальное напряжение в произвольной точке поперечного сечения стержня.
Чтобы определить нормальные напряжения в любой точке бруса необходимо знать закон их распределения по поперечному сечению бруса. Экспериментальные исследования показывают: если нанести на поверхность стержня ряд взаимно перпендикулярных линий, то после приложения внешней растягивающей нагрузки поперечные линии не искривляются и остаются параллельными друг другу (рис.6, а). Об этом явлении говорит гипотеза плоских сечений (гипотеза Бернулли): сечения, плоские до деформации, остаются плоскими и после деформации.
Так как все продольные волокна стержня деформируются одинаково, то и напряжения в поперечном сечении одинаковы, а эпюра напряжений σ по высоте поперечного сечения стержня выглядит, как показано на рис.6, б. Видно, что напряжения равномерно распределены по поперечному сечению стержня, т.е. во всех точках сечения σ = const. Выражение для определения величины напряжения имеет вид:
Таким образом, нормальные напряжения, возникающие в поперечных сечениях растянутого или сжатого бруса, равны отношению продольной силы к площади его поперечного сечения. Нормальные напряжения принято считать положительными при растяжении и отрицательными при сжатии.
Деформации при растяжении-сжатии.
Рассмотрим деформации, возникающие при растяжении (сжатии) стержня (рис.6, а). Под действием силы F брус удлиняется на некоторую величину Δl называемую абсолютным удлинением, или абсолютной продольной деформацией, которая численно равна разности длины бруса после деформации l1 и его длины до деформации l
Отношение абсолютной продольной деформации бруса Δl к его первоначальной длине l называют относительным удлинением, или относительной продольной деформацией:
При растяжении продольная деформация положительна, а при сжатии – отрицательна. Для большинства конструкционных материалов на стадии упругой деформации выполняется закон Гука (4), устанавливающий линейную зависимость между напряжениями и деформациями:
где модуль продольной упругости Е, называемый еще модулем упругости первого рода является коэффициентом пропорциональности, между напряжениями и деформациями. Он характеризует жесткость материала при растяжении или сжатии (табл. 1).
Таблица 1
Модуль продольной упругости для различных материалов
Абсолютная поперечная деформация бруса равна разности размеров поперечного сечения после и до деформации:
Соответственно, относительную поперечную деформацию определяют по формуле:
При растяжении размеры поперечного сечения бруса уменьшаются, и ε’ имеет отрицательное значение. Опытом установлено, что в пределах действия закона Гука при растяжении бруса поперечная деформация прямо пропорциональна продольной. Отношение поперечной деформации ε’ к продольной деформации ε называется коэффициентом поперечной деформации, или коэффициентом Пуассона μ:
Экспериментально установлено, что на упругой стадии нагружения любого материала значение μ = const и для различных материалов значения коэффициента Пуассона находятся в пределах от 0 до 0,5 (табл. 2).
Таблица 2
Коэффициент Пуассона.
Абсолютное удлинение стержня Δl прямо пропорционально продольной силе N:
Данной формулой можно пользоваться для вычисления абсолютного удлинения участка стержня длиной l при условии, что в пределах этого участка значение продольной силы постоянно. В случае, когда продольная сила N изменяется в пределах участка стержня, Δl определяют интегрированием в пределах этого участка:
Произведение (Е·А) называют жесткостью сечения стержня при растяжении (сжатии).
Механические свойства материалов.
Основными механическими свойствами материалов при их деформации являются прочность, пластичность, хрупкость, упругость и твердость.
Прочность — способность материала сопротивляться воздействию внешних сил, не разрушаясь и без появления остаточных деформаций.
Пластичность – свойство материала выдерживать без разрушения большие остаточные деформации. Неисчезающие после снятия внешних нагрузок деформации называются пластическими.
Хрупкость – свойство материала разрушаться при очень малых остаточных деформациях (например, чугун, бетон, стекло).
Идеальная упругость – свойство материала (тела) полностью восстанавливать свою форму и размеры после устранения причин, вызвавших деформацию.
Твердость – свойство материала сопротивляться проникновению в него других тел.
Рассмотрим диаграмму растяжения стержня из малоуглеродистой стали. Пусть круглый стержень длинной l0 и начальным постоянным поперечным сечением площади A0 статически растягивается с обоих торцов силой F.
Диаграмма сжатия стержня имеет вид (рис. 10, а)
где Δl = l — l0 абсолютное удлинение стержня; ε = Δl / l0 — относительное продольное удлинение стержня; σ = F / A0 — нормальное напряжение; E — модуль Юнга; σп — предел пропорциональности; σуп — предел упругости; σт — предел текучести; σв — предел прочности (временное сопротивление); εост — остаточная деформация после снятия внешних нагрузок. Для материалов, не имеющих ярко выраженную площадку текучести, вводят условный предел текучести σ0,2 — напряжение, при котором достигается 0,2% остаточной деформации. При достижении предела прочности в центре стержня возникает локальное утончение его диаметра («шейка»). Дальнейшее абсолютное удлинение стержня идет в зоне шейки ( зона местной текучести). При достижении напряжением предела текучести σт глянцевая поверхность стержня становится немного матовой – на его поверхности появляются микротрещины (линии Людерса-Чернова), направленные под углом 45° к оси стержня.
Расчеты на прочность и жесткость при растяжении и сжатии.
Опасным сечением при растяжении и сжатии называется поперечное сечение бруса, в котором возникает максимальное нормальное напряжение. Допускаемые напряжения вычисляются по формуле:
где σпред — предельное напряжение (σпред = σт — для пластических материалов и σпред = σв — для хрупких материалов); [n] — коэффициент запаса прочности. Для пластических материалов [n] = [nт] = 1,2 … 2,5; для хрупких материалов [n] = [nв] = 2 … 5, а для древесины [n] = 8 ÷ 12.
Расчеты на прочность при растяжении и сжатии.
Целью расчета любой конструкции является использование полученных результатов для оценки пригодности этой конструкции к эксплуатации при минимальном расходе материала, что находит отражение в методах расчета на прочность и жесткость.
Условие прочности стержня при его растяжении (сжатии):
При проектном расчете определяется площадь опасного сечения стержня:
При определении допускаемой нагрузки рассчитывается допускаемая нормальная сила:
Расчет на жесткость при растяжении и сжатии.
Работоспособность стержня определяется его предельной деформацией [ l ]. Абсолютное удлинение стержня должно удовлетворять условию:
Часто дополнительно делают расчет на жесткость отдельных участков стержня.
Следующая важная статья теории:
Изгиб балки
Источник
Очевидно, что при сжатии — растяжении
по двум перпендикулярным направлениям,
Рисунок 13, силы
и
будут создавать на наклонной площадке
нормальное напряжение
,
и
направленные в разные стороны, и
касательные напряжения
и
,
направленные в одну сторону.
Схемы напряжений при сжатии и растяжении
по двум перпендикулярным направлениям.
Напряжения
и
,
на круге Мора, характеризуются точкойВ. При
получим:
Отсюда следует, что при разноименной
схеме деформации, сжатие-растяжение,
максимальное касательное напряжение
равно полусумме абсолютных значений
главных нормальных напряжений или
фактическому сопротивлению деформации
металла:
.
Сравнивания одноименную и разноименную
схему деформации предположим, что
горизонтальное напряжение
.
Далее следует, что для начальной стадии
пластической деформации и для создания
определенного касательного напряжения
,
нужно, в случае одноименной схемы,
создать вертикальное напряжение
равное:
.
В случае разноименной схемы:
.
Из формул видно, что в первом случае,
одноименной схемы, вертикальное
напряжение
больше чем во втором случае.
Из выше изложенного можно сделать вывод,
что разноименная схема выгоднее, чем
одноименная, так как при этой схеме
выгоднее проводить деформацию металла.
Пластическая обработка проходит при
меньших вертикальных давления на металл
со стороны рабочего инструмента, например
валков прокатной клети или штампа. Это
можно использовать, например, при
прокатке с натяжением.
Рассматривая частный случай разноименной
схемы, когда
и
.
Из формул приведенных выше, а точнее:
,
,
Следует, что нормальное напряжение
,
на наклонной площадке, будет равна нулю.
При этом касательное напряжение
будет, по прежнему, максимальным:
.
Этот случай называется чистым сдвигом
при пластической деформации.
Рассматривая одноименную и разноименную
схемы деформации, которые можно назвать
плоскими схемами, а сама деформация
плоской или двухмерной. Так как в теории
максимальных касательных напряжений
учитываются напряжения в двух направлениях,
по оси
и оси
.
При этом напряжения по третьей оси
,
являющаяся перпендикуляром к плоскости,
приравнивается нулю.
Схемы напряженного и деформированного состояний
Схемы напряженного состояния графически
отображают наличие и направление главных
напряжений в рассматриваемой точке
тела.
Напряжения в точке изображаются как
напряжения на трех бесконечно малых
гранях куба, соответственно перпендикулярных
главным осям.
Возможны девять схем напряженного
состояния, Рисунок 14. Напряженное
состояние в точке может быть линейным,
плоским или объемным.
Схемы напряженных состояний: 1 – линейное
напряженное состояние; 2 – плоское; 3 –
объемное
Схемы деформированных состояний
Схемы с напряжениями одного знака
называют одноименными, а с напряжениями
разных знаков – разноименными. Условно
растягивающие напряжения считают
положительными, с сжимающие –
отрицательными.
Схема напряженного состояния оказывает
влияние на пластичность металла. На
значение главных напряжений оказывают
существенное влияние силы трения,
возникающие в месте контакта заготовки
с инструментом, и форма инструмента. В
условиях всестороннего неравномерного
сжатия при прессовании, ковке, штамповке
сжимающие напряжения препятствуют
нарушению межкристаллических связей,
способствуют развитию внутрикристаллических
сдвигов, что благоприятно сказывается
на процессах обработки металлов
давлением. В реальных процессах обработки
давлением в большинстве случаев
встречаются схемы всестороннего сжатия
и состояния с одним растягивающим и
двумя сжимающими напряжениями.
Схема деформированного состояния
графически отображает наличие и
направление деформации по трем взаимно
перпендикулярным направлениям. Возможны
три схемы деформированного состояния,
Рисунок 15.
При схеме
уменьшаются размеры тела по высоте, за
счет этого увеличиваются два других
размера, при осадке и прокатке.
При схеме
происходит уменьшение одного размера,
чаще высоты, другой размер (длина)
увеличивается, а третий (ширина) не
изменяется. Например, прокатка широкого
листа, когда его ширина в процессе
прокатки практически не изменяется.
Это схема плоской деформации.
Наиболее рациональной с точки зрения
производительности процесса обработки
давлением является схема
,
размеры тела уменьшаются по двум
направлениям, и увеличивается третий
размер, при прессовании, волочении.
На, Рисунок 16, показано различие двух
схем деформации образца (отожженная
медь), на опыте проведенным С.И. Губкиным.
Образец заложили в матрицу, и к нижнему
концу приложили усилие, начался процесс
волочения. При достижении высоты образца
в матрице, равным
,
усилие волочения в этот момент по прибору
равнялось
.
Опыт остановили, и в место растягивающего
усилия приложили сжимающие усилие, для
этого сверху матрицы поместили пуансон
и приложили к нему нагрузку с верху.
Опыт продолжался, но уже методом
прессования. Требуемая нагрузка, для
того, что бы металл начал течь, оказалась
равной
.
Нагрузка при прессовании оказалась в
три раза больше чем при волочении. В
этих двух случаях на образец в матрице
действовали три взаимно перпендикулярных
главных напряжения, только в первом
случае, при волочении, одно из напряжений,
,
было растягивающим, а во втором случае
сжимающим. Отсюда можно сделать вывод
о том, что повышение приложения нагрузки,
при деформировании, произошло исключительно
из за разных схем напряженного состояния
металла в рабочем пространстве. В обоих
случаях механические свойства металла
были неизменными, но сопротивление
деформации было разным.
Влияние схем напряжения на металл и
его сопротивлению деформации
Отсюда делаем вывод о том, что сопротивление
деформации и пластичность металла это
не свойство, как например текучесть, а
состояние. Сопротивление деформации и
пластичность металла зависят не только
от природы металла но и от способа его
деформирования, а так же от температуры
и скорости деформации.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
Источник
Растяжение (сжатие) – это такой вид нагружения стержня, при котором в его поперечном сечении возникает внутренняя продольная сила Ν, действующая вдоль центральной оси z.
Продольная сила Ν – это равнодействующая всех внутренних нормальных сил в сечении. Для вычисления продольной силы применяется метод сечений.
Продольная сила Ν численно равна алгебраической сумме проекций всех сил, действующих по одну сторону от рассматриваемого сечения, на продольную ось бруса.
Правило знаков для продольной силы Ν: при растяжении продольная сила положительна, при сжатии – отрицательна.
График изменения продольных сил по длине стержня называется эпюрой. Эпюра N строится методом сечений на характерных участках бруса. Строится эпюра для использования ее при расчете бруса на прочность. Она дает возможность найти наибольшие значения продольных сил и положение сечений, в которых они возникают.
При растяжении (сжатии) возникают только нормальные напряжения. Согласно гипотезе Я. Бернулли (или гипотеза плоских сечений) в поперечных сечениях, удаленных от места приложения нагрузок, нормальные напряжения распределяются по сечению практически равномерно, а сами сечения, перпендикулярные к оси стержня z, остаются плоскими в процессе нагружения.
Нормальные напряжения в сечении при растяжении (сжатии) вычисляются по формуле
где А – площадь поперечного сечения.
Правило знаков для σ совпадает с правилом знаков для N.
В наклонном сечении, нормаль к которому составляет угол α с осью стержня z,
При растяжении в продольном направлении стержень удлиняется, а его поперечные размеры уменьшаются, при сжатии, напротив, в продольном направлении стержень укорачивается, а его поперечные размеры увеличиваются; Δℓ — абсолютное удлинение или укорочение участка стержня длиной ℓ, Δb – абсолютная поперечная деформация.
Относительное удлинение или укорочение участка стержня длиной ℓ, называемое линейной деформацией, определяется следующим образом
ε=Δℓ/ℓ.
Экспериментально установлено, что в определенной области нагрузок при упругом поведении материала между нормальными напряжениями и линейными деформациями существует линейная зависимость (закон Гука для напряжений)
σ=εЕ,
где Е – модуль продольной упругости или модуль Юнга, это физическая const. Для каждого из материалов величина модуля упругости имеет свое значение:
сталь, Е = 2.105 МПа,
медь, Е = 1.105 МПа,
алюминий, Е = 0,7.105 МПа.
Значение модуля упругости устанавливается экспериментально.
Согласно закону Гука (данную запись называют законом Гука для деформаций)
Δℓ=Νℓ/ЕА
Произведение ЕА – называется жесткостью стержня при растяжении – сжатии.
Перемещение произвольного сечения ступенчатого стержня
w=∑Δℓi
Относительная поперечная деформация:
ε′=Δb/b
где b – поперечный размер стержня.
Эксперименты также показывают, что в упругой стадии деформирования между продольной и поперечной деформациями существует взаимосвязь
μ =│ε′⁄ε│ — const,
где μ — коэффициент Пуассона, берется по модулю ,поскольку у продольной и поперечной деформации разные знаки (при растяжении продольные волокна увеличиваются, а поперечные уменьшаются в размере).
Для твердых материалов имеет значения коэффициент Пуассона
0≤μ ≤0,5
Изменение температуры стержня вызывает его удлинение (при нагревании) или укорочение (при охлаждении)
где — a- коэффициент линейного температурного расширения; Δtº=(tºк-tºн) — изменение температуры между значениями начальным (tºн) и конечным (tºк).
Статически неопределимыми называют системы, имеющие лишние связи – внешние или внутренние.
Для определения внутренних усилий в таких системах недостаточно рассматривать только уравнения равновесия.
В этом случае требуются дополнительные уравнения, число которых равно количеству лишних связей. Дополнительные уравнения составляются на основе анализа картины деформирования системы и использования законов деформирования ее элементов.
Алгоритм решения подобных задач включает следующее:
1) Статическая часть. Составляются уравнения равновесия с включением неизвестных усилий, действующих по направлению лишних связей.
2) Геометрическая часть. Составляются уравнения, описывающие взаимосвязь перемещений характерных точек, удлинений и укорочений отдельных стержней между собой.
3) Физическая связь. Записываются законы деформирования отдельных стержней системы.
Порядок расчета статически неопределимых брусьев
- Задаться направлениями возможных опорных реакций и составить уравнение статики для всей системы в целом.
- Определить степень статической неопределимости и использовать метод сечений с целью выразить неизвестные усилия через неизвестные опорные реакции. При этом неизвестные продольные силы (N) следует предполагать положительными и поэтому направлять «от сечения».
- Сформулировать условие совместности деформаций участков бруса.
- В процессе превращения условия совместности в уравнение совместности деформаций различий в характере деформаций участков не учитывать.
Порядок расчета статически неопределимых шарнирно-стержневых систем
- Задаться направлениями опорных реакций, но уравнений равновесия для всей системы не составлять, а сразу использовать метод сечений и составить уравнения статики для выделенной части системы.
- Определить степень статической неопределимости как разницу между количеством всех неизвестных, оказавшихся в уравнениях статики, и числом самих этих уравнений.
- Рассмотреть (изобразить) любую возможную картину деформаций системы и из ее анализа сформулировать условия совместности деформаций стержней системы (столько, какова степень статической неопределимости).
- В процессе преобразования условий совместности в уравнения совместности деформаций обязательно учитывать различие в характере деформаций стержней (т.е. вводить удлинение со знаком «плюс», а укорочение со знаком «минус») в соответствии с той картиной деформации, которую мы рассматриваем.
Источник