Растяжение пружины решить задачу

Можно не знать закон Ома и сидеть дома. Но если не знаешь закон Гука – лучше тоже не выходить. Особенно, если идешь на экзамен по физике.

Здесь устраняем пробелы в знаниях и разбираемся, как решать задачи на силу упругости и применение закона Гука. А за полезной рассылкой для студентов добро пожаловать на наш телеграм-канал.

Сила упругости и закон Гука: определения

Сила упругости – сила, препятствующая деформациям и стремящаяся восстановить первоначальные форму и размеры тела.

Примеры действия силы упругости:

пружины сжимаются и разжимаются в матрасе;
мокрое белье колышется на натянутой веревке;
лучник натягивает тетиву, чтобы выпустить стрелу.

Простейшие деформации – деформации растяжения и сжатия.

Закон Гука:

Деформация, возникающая в упругом теле под действием внешней силы, пропорциональна величине этой силы.

Коэффициент k – жесткость материала.

Есть и другая формулировка закона Гука. Введем понятие относительной деформации «эпсилон» и напряжения материала «сигма»:

S – площадь поперечного сечения деформируемого тела. Тогда закон Гука запишется так: относительная деформация пропорциональна напряжению.

Здесь Е – модуль Юнга, зависящий от свойств материала.

Закон Гука был экспериментально открыт в 1660 году англичанином Робертом Гуком.

Вопросы на силу упругости и закон Гука

Вопрос 1. Какие бывают деформации?

Ответ. Помимо простейших деформаций растяжения и сжатия, бывают сложные деформации кручения и изгиба. Также разделяют обратимые и необратимые деформации.

Вопрос 2. В каких случаях закон Гука справедлив для упругих стержней?

Ответ. Для упругих стержней (в отличие от эластичных тел) закон Гука можно применять при малых деформациях, когда величина эпсилон не превышает 1%. При больших деформациях возникают явления текучести и необратимого разрушения материала.

Вопрос 3. Как направлена сила упругости?

Ответ. Сила упругости направлена в сторону, противоположную направлению перемещения частиц тела при деформации.

Вопрос 4. Какую природу имеет сила упругости?

Ответ. Сила упругости, как и сила трения – электромагнитная сила. Она возникает вследствие взаимодействия между частицами деформируемого тела.

Вопрос 5. От чего зависит коэффициент жесткости k? Модуль Юнга E?

Ответ. Коэффициент жесткости зависит от материала тела, а также его формы и размеров. Модуль Юнга зависит только от свойств материала тела.

Задачи на силу упругости и закон Гука с решениями

Кстати! Для наших читателей действует скидка 10% на любой вид работы.

Задача №1. Расчет силы упругости

Условие

Один конец проволоки жестко закреплен. С какой силой нужно тянуть за второй конец, чтобы растянуть проволоку на 5 мм? Жесткость проволоки известна и равна 2*10^6 Н/м2.

Решение

Запишем закон Гука:

По третьему закону Ньютона:

Ответ: 10 кН.

Задача №2. Нахождение жесткости пружины

Условие

Пружину, жесткость которой 100 Н/м, разрезали на две части. Чему равна жесткость каждой пружины?

Решение

По определению, жесткость обратно-пропорциональна длине. При одинаковой силе F неразрезанная пружина растянется на х, а разрезанная – на x1=x/2.

Ответ: 200 Н/м

При растяжении пружины в ее витках возникают сложные деформации кручения и изгиба, однако мы не учитываем их при решении задач.

Задача №3. Нахождение ускорения тела

Условие

Тело массой 2 кг тянут по гладкой горизонтальной поверхности с помощью пружины, которая при движении растянулась на 2 см. Жесткость пружины 200 Н/м. Определить ускорение, с которым движется тело.

Решение

За силу, которая приложена к телу и заставляет его двигаться, можно принять силу упругости. По второму закону Ньютона и по закону Гука:

Ответ: 2 м/с^2.

Задача №4. Нахождение жесткости пружины по графику

Условие

На графике изображена зависимость модуля силы упругости от удлинения пружины. Найти жесткость пружины.

Решение

Вспоминаем, что жесткость равна отношению силы и удлинения. Представленная зависимость – линейная. В любой точке прямой отношение ординаты F и абсциссы х дает результат 10 Н/м.

Ответ: k=10 Н/м.

Задача №5. Определение энергии деформации

Условие

Для сжатия пружины на х1=2 см надо приложить силу 10 Н. Определить энергию упругой деформации пружины при сжатии на х2=4 см из недеформированного состояния.

Решение

Энергия сжатой пружины равна:

Ответ: 0,4 Дж.

Нужна помощь в решении задач? Обращайтесь за ней в профессиональный студенческий сервис.

Автор

Иван Колобков, известный также как Джони. Маркетолог, аналитик и копирайтер компании Zaochnik. Подающий надежды молодой писатель. Питает любовь к физике, раритетным вещам и творчеству Ч. Буковски.

Источник

Подробности

«Физика — 10 класс»

При решении задач по этой теме надо иметь в виду, что закон Гука справедлив только при упругих деформациях тел. Сила упругости не зависит от того, какая происходит деформация: сжатия или растяжения, она одинакова при одинаковых Δl. Кроме этого, считается, что сила упругости вдоль всей пружины одинакова, так как масса пружины обычно не учитывается.

Задача 1.

При помощи пружинного динамометра поднимают с ускорением а = 2,5 м/с2, направленным вверх, груз массой m = 2 кг. Определите модуль удлинения пружины динамометра, если её жёсткость k = 1000 Н/м.

Растяжение пружины решить задачу

Р е ш е н и е.

Согласно закону Гука, выражающему связь между модулем внешней силы Растяжение пружины решить задачу , вызывающей растяжение пружины, и её удлинением, имеем F = kΔl. Отсюда

Для нахождения силы Растяжение пружины решить задачу воспользуемся вторым законом Ньютона. На груз, кроме силы тяжести m, действует сила упругости пружины, равная по модулю F и направленная вертикально вверх. Согласно второму закону Ньютона m Растяжение пружины решить задачу = F + m.

Направим ось OY вертикально вверх так, чтобы пружина была расположена вдоль этой оси (рис. 3.16). В проекции на ось OY второй закон Ньютона можно записать в виде mау = Fy + mgy

Так как ау = a, gy = -g и Fy = F, то F = mа + mg = m(а + g).

Следовательно,

Растяжение пружины решить задачу

Задача 2.

Определите, как изменяется сила натяжения пружины, прикреплённой к бруску массой m = 5 кг, находящемуся неподвижно на наклонной поверхности, при изменении угла наклона от 30° до 60°. Трение не учитывайте.

Растяжение пружины решить задачу

Р е ш е н и е.

На брусок действуют сила тяжести, сила натяжения пружины и сила реакции опоры (рис. 3.17).

Условие равновесия бруска: m Растяжение пружины решить задачу + + yпp = 0.

Запишем это условие в проекциях на оси ОХ и OY: Растяжение пружины решить задачу

Из первого уравнения системы получим Fyпp = mg sinα.

При изменении угла наклона изменение силы упругости найдём из выражения ΔFyпp = mg(sinα2 — sinα1) = 5 • 10 • (0,866 — 0,5) (Н) = 18,3 Н.

Задача 3.

К потолку подвешены последовательно две невесомые пружины жёсткостями 60 Н/м и 40 Н/м. К нижнему концу второй пружины прикреплён груз массой 0,1 кг. Определите жёсткость воображаемой пружины, удлинение которой было бы таким же, как и двух пружин при подвешивании к ней такого же груза (эффективную жёсткость).

Растяжение пружины решить задачу

Р е ш е н и е.

Так как весом пружин можно пренебречь, то очевидно, что силы натяжения пружин равны (рис. 3.18). Тогда согласно закону Гука

Fynp1 = Fупр2; k1x1 = k2х2. (1)

На подвешенный груз действуют две силы — сила тяжести и сила натяжения второй пружины.

Условие равновесия груза запишем в виде mg = k2х2.

Из этого уравнения найдём удлинение

Растяжение пружины решить задачу

Подставив выражение для х2 в уравнение (1), получим для удлинения

Растяжение пружины решить задачу

Определим теперь эффективную жёсткость. Запишем закон Гука для воображаемой пружины:

Растяжение пружины решить задачу

Подставив в формулу (2) выражения для удлинений x1 и х2 пружин, получим

Растяжение пружины решить задачу

Для эффективной жёсткости получим выражение

Растяжение пружины решить задачу

Задача 4.

Через блок, закреплённый у края стола, перекинута нерастяжимая нить, к концам которой привязаны брусок массой m1 = 1 кг, находящийся на горизонтальной поверхности стола, и пружина жёсткостью k = 50 Н/м, расположенная вертикально. Ко второму концу пружины привязана гиря массой m2 = 200 г (рис. 3.19). Определите удлинение пружины при движении тел. Силу трения, массы пружины, блока и нити не учитывайте.

Растяжение пружины решить задачу

Р е ш е н и е.

На брусок действуют сила тяжести, сила реакции опоры и сила натяжения нити.

На гирю действуют сила тяжести и сила натяжения пружины.

Согласно второму закону Ньютона для бруска и гири запишем:

m1 Растяжение пружины решить задачу 1 = m1 + + ;

m22 = m + упр.

В проекциях на выбранные оси координат запишем: на ось ОХ: m1а1 = Т;

на ось OY:

Растяжение пружины решить задачу

Так как нить нерастяжима, то модули ускорений равны: а1 = а2 = а.

В силу условия малых масс пружины, нити и блока можно записать: T2 = Fупр и Т1 = Т2 = Т.

Учтя последние равенства, систему уравнений (1) запишем в виде

Растяжение пружины решить задачу

Выразив ускорение из первого уравнения системы и подставив его во второе, получим

Растяжение пружины решить задачу

Из этого уравнения найдём силу натяжения нити:

Растяжение пружины решить задачу

Так как согласно закону Гука Fупр = kx, то

Растяжение пружины решить задачу

Тогда удлинение пружины

Растяжение пружины решить задачу

Источник: «Физика — 10 класс», 2014, учебник Мякишев, Буховцев, Сотский

Динамика — Физика, учебник для 10 класса — Класс!ная физика

Основное утверждение механики —
Сила —
Инертность тела. Масса. Единица массы —
Первый закон Ньютона —
Второй закон Ньютона —
Принцип суперпозиции сил —
Примеры решения задач по теме «Второй закон Ньютона» —
Третий закон Ньютона —
Геоцентрическая система отсчёта —
Принцип относительности Галилея. Инвариантные и относительные величины —
Силы в природе —
Сила тяжести и сила всемирного тяготения —
Сила тяжести на других планетах —
Примеры решения задач по теме «Закон всемирного тяготения» —
Первая космическая скорость —
Примеры решения задач по теме «Первая космическая скорость» —
Вес. Невесомость —
Деформация и силы упругости. Закон Гука —
Примеры решения задач по теме «Силы упругости. Закон Гука» —
Силы трения —
Примеры решения задач по теме «Силы трения» —
Примеры решения задач по теме «Силы трения» (продолжение) —

Источник

В этой статье собраны задачи, в которых так или иначе присутствует сила упругости. Задачи прошлых лет ЕГЭ или из олимпиадных подборок.

Задача 1. Две невесомые пружины прикреплены к верхнему и нижнему торцам неподвижного цилиндра. Концы пружин соединены. Жесткость верхней пружины равна Н/м, жесткость нижней Н/м. Пружины находятся в нерастянутом состоянии. Между ними вставили тонкую платформу массой кг. Пружины прикрепляют к платформе (см. рис.). На сколько при этом растянулась верхняя пружина?

Пружины

К задаче 1

Запишем уравнение по второму закону Ньютона для груза:

$[0=Mg-F_{upr1}-F_{upr2}]$

Здесь $F_{upr1}$ – сила упругости верхней пружины, она пытается вернуться в нерастянутое состояние, поэтому будет тянуть платформу вверх. $F_{upr2}$ – сила упругости нижней пружины, она пытается вернуться в нерастянутое состояние, поэтому будет толкать платформу вверх.

Тогда

При этом на сколько растянулась верхняя пружина, на столько же сжалась нижняя: . Следовательно,

$[Delta x_1=frac{mg}{k_1+k_2}=0,4]$

Ответ: 40 см.

Задача 2. К потолку прикреплена конструкция, состоящая из двух пружин и двух маленьких чашек A и B. Расстояние от пола до потолка равно 2 м. Жесткости пружин равны Н/м и Н/м. Длины нерастянутых пружин одинаковы и равны 30 см. Масса чашки A равна г, чашка B невесома. Груз какой массы надо положить в чашку A, чтобы чашка B достала до пола? Какой груз надо положить в чашку B, чтобы она достала до пола (чашка A при этом пуста)?

Пружины

К задаче 2

Чтобы чашка В достала до пола, нужно, чтобы первая пружина растянулась до длины 1,7 м – тогда нерастянутая вторая пружина длиной 30 см коснется пола. Тогда удлинение пружины А должно составить 1 м 40 см. Следовательно,

$[m_1=frac{Delta x_1 k_1}{g}=frac{1,4cdot15}{10}=2,1]$

Но сама чаша весит 100 г, следовательно, добавив 2 кг в чашу, мы обеспечим нужную силу.

Система из двух пружинок, соединенныx последовательно, имеет жесткость

$[k=frac{k_1k_2}{k_1+k_2}=frac{15cdot30}{45}=10]$

Растягивать всю систему будем на 1,4 м – именно столько чашку В отделяет от пола.

$[m_2=frac{Delta x_2}{g}=frac{1,4cdot10}{10}=1,4]$

Так как чашка А весит 100 г, то в этом случае масса дополнительного груза будет 1,3 кг.

Ответ: а) 2 кг; б)1,3 кг.

Задача 3. Два шарика подвешены на вертикальных тонких нитях так, что они находятся на одной высоте. Между ними находится сжатая и связанная нитью пружина. При пережигании связывающей нити пружина распрямляется, отклоняя шарики в разные стороны на одинаковые углы. Во сколько раз одна нить длиннее другой, если отношение масс $frac{m_2}{m_1} =1,5$ ? Считать величину сжатия пружины во много раз меньше длин нитей.

Пружины

К задаче 3

Когда пружина толкнет шарики, они начнут двигаться по окружностям радиусов и соответственно. Первый поднимется при этом на высоту , а второй – на высоту . Определим эти высоты:

$[h_1=L_1-L_1cos{alpha}=L_1(1-cos{alpha})]$

$[h_2=L_2-L_2cos{alpha}=L_2(1-cos{alpha})]$

По закону сохранения импульса

Возведем в квадрат:

Или

$[frac{upsilon_1^2}{upsilon_2^2}=frac{ m_2^2}{ m_1^2}]$

Из равенства кинетической и потенциальной энергий следует, что

$[frac{m_1upsilon_1^2}{2}=m_1gh_1]$

И аналогично

Поэтому

$[frac{h_1}{h_2}=frac{ m_2^2}{ m_1^2}]$

Подставим выражения, полученные вначале:

$[frac{ L_1(1-cos{alpha})}{ L_2(1-cos{alpha})}=frac{ m_2^2}{ m_1^2}]$

Сократим:

$[frac{ L_1}{ L_2}=frac{ m_2^2}{ m_1^2}=2,25]$

Ответ: $frac{ L_1}{ L_2}=2,25$ .

Задача 4. Брусок, покоящийся на горизонтальном столе, и пружинный маятник, состоящий из грузика и легкой пружины, связаны легкой нерастяжимой нитью через идеальный блок (см. рисунок). Коэффициент трения между основанием бруска и поверхностью стола равен 0,25. Груз маятника совершает колебания с периодом 0,5 с вдоль вертикали, совпадающей с вертикальным отрезком нити. Максимально возможная амплитуда этих колебаний, при которой они остаются гармоническими, равна 4 см. Чему равно отношение массы бруска к массе грузика?

Пружины

К задаче 4

Координата грузика при колебаниях может быть записана как

$[T=2pi sqrt{frac{m}{k}}]$

Запишем второй закон Ньютона для грузика:

$[ma=mg-F_{upr}]$

Запишем второй закон Ньютона для бруска:

$[F_{upr}=F_{tr}]$

Сила трения скольжения равна

$[F_{tr}=mu M g]$

Тогда, чтобы брусок не поехал под действием качаний грузика, нужно, чтобы соблюдалось условие:

Откуда отношение масс равно

$[frac{M}{m}=frac{ g -a }{mu g }]$

Определить ускорение можно, взяв вторую производную по координате:

Максимальное ускорение равно

$[a_{max}=-omega^2 x_0=-frac{4pi^2 x_0}{T^2}]$

Подставим это ускорение в полученное отношение масс:

$[frac{M}{m}=frac{ g +frac{4pi^2 x_0}{T^2} }{mu g }=frac{ 10 +frac{4pi^2cdot0,04}{0,25} }{2,5}=6,53]$

Ответ: $frac{M}{m}=6,53$

Задача 5. Пружинное ружьё наклонено под углом $alpha=30^{circ}$ к горизонту. Энергия сжатой пружины равна 0,41 Дж. При выстреле шарик массой г проходит по стволу ружья расстояние , вылетает и падает на расстоянии м от дула ружья в точку , находящуюся с ним на одной высоте (см. рис.). Найдите расстояние . Трением в стволе и сопротивлением воздуха пренебречь.

Пружины

К задаче 5

Определим скорость шарика при вылете из ружья .

По горизонтали шарик полетит равномерно со скоростью $upsilon_0cos{alpha}$ :

$[upsilon_0cos{alpha}cdot 2t=L]$

По вертикали шарик будет иметь начальную скорость $upsilon_0sin{alpha}$ , и она станет равной нулю в максимальной точке подъема:

$[upsilon(y_{max})=0=upsilon_0sin{alpha}-gt]$

Тогда время полета до максимальной точки подъема

$[t=frac{L}{2upsilon_0cos{alpha}}=frac{upsilon_0sin{alpha}}{g}]$

Откуда скорость равна

$[upsilon_0^2=frac{Lg}{2sin{2alpha}}=frac{10}{sqrt{3}}=11,56]$

Определим скорость шарика вначале. Вся энергия пружины переходит в кинетическую энергию шарика:

$[E=frac{mupsilon^2}{2}]$

$[upsilon=sqrt{frac{2E}{m}}=sqrt{frac{0,82}{0,05}}=4,05]$

Таким образом, в начале трубы скорость была 4,05, а в конце – 3,4 м/с. Составим закон сохранения энергии. Учтем, что конец трубы приподнят относительно начала, следовательно, часть энергии шарика превратилась в потенциальную:

$[frac{mupsilon^2}{2}-frac{mupsilon_0^2}{2}=mgh]$

Откуда

$[h=frac{upsilon^2-upsilon_0^2}{2g}=frac{16,4-11,56}{20}=0,242]$

Тогда длина ствола больше вдвое, так как катет, лежащий против угла в тридцать градусов, вдвое короче гипотенузы. .

Ответ: 48 см.

Источник

На олимпиадах для 7 класса встречаются задачи на силу упругости, где системы, кроме пружин, могут включать в себя разные блоки (и подвижные, и нет). Да и сами пружины соединяются между собой по-разному.

Задача 1. Если пружину растягивать силой Н, её длина будет равна см, а если сжимать силой Н, то её длина будет равна см. Найдите длину пружины в недеформированном состоянии и коэффициент жесткости пружины.

Запишем силу упругости для обоих случаев:

Откуда

$[l_0=frac{l_1+l_2}{2}=frac{28+22}{2}=25]$

Тогда жесткость пружины равна

$[k=frac{F_1}{l_1-l_0}=frac{30}{(28-25)cdot10^{-2}}=1000]$

Ответ: 25 см, 1000 Н/м.

Задача 2. Пружины, жесткость каждой из которых Н/м, соединены, как показано на рисунке. С какой силой нужно растягивать систему, чтобы точка приложения силы опустилась на см?

Упругость

К задаче 2.

Под действием силы нижняя и верхняя пружины растянутся на

$[Delta x_1=frac{F}{k}]$

Средние две пружины соединены параллельно, каждая из них растягивается силой $frac{F}{2 }$ , поэтому такая система имеет вдвое большую жесткость:

$[Delta x_2=frac{F}{2k}]$

И растянется на $frac{Delta x_1}{2}$ :

$[Delta x_2=frac{Delta x_1}{2}]$

Поэтому вся система полностью растянется на . Следовательно,

$[Delta x_1=frac{=Delta x }{2,5}=frac{10}{2,5}=4]$

Тогда сила

Ответ: 0,4 Н.

Задача 3. Изначально нить, перекинутая через блок, не натянута. К свободному концу нити прикладывают силу . На сколько сместится конец нити под действием этой силы? Определите эквивалентный коэффициент жесткости системы. Жесткости пружин известны и указаны на рисунке.

Упругость

К задаче 3.

Пружину, как видно из расставленных на рисунке сил, растягивает сила . Растяжение пружины равно

$[Delta x_1=frac{2F}{k}]$

Если блок опустится на , то справа высвободится кусок нити такой же длины (показано синим). Но и слева тоже высвободится аналогичный кусок. Тогда конец нити опускается на

$[Delta x= 2Delta x_1=2frac{2F}{k}=frac{4F}{k}]$

Но, следовательно, жесткость системы

$[k'=frac{F}{Delta x }=frac{k}{4}]$

Жесткость всей системы меньше жесткости пружины вчетверо.

Ответ: $k'=frac{k}{4}$ .

Задача 4. Изначально нить, перекинутая через блок, не натянута. К свободному концу нити прикладывают силу . На сколько сместится конец нити под действием этой силы? Определите эквивалентный коэффициент жесткости системы. Жесткости пружин известны и указаны на рисунке.

Задача та же, но рисунок другой:

Упругость

К задаче 4.

Нижнюю пружину растягивает сила , а верхнюю – . Если нижняя растянется на , то верхняя – на , таким образом высвобождая по куску нити справа и слева длиной . Следовательно, точка опустится на за счет высвободившейся нити и на – за счет растяжения нижней пружины. Всего на . Тогда

$[Delta x= 5Delta x_1=frac{5F}{k}]$

И, следовательно, жесткость системы

$[k'=frac{F}{Delta x }=frac{k}{5}]$

Ответ: $k'=frac{k}{5}$ .

Задача 5. В спортивном зале есть тренажер, состоящий из двух пружин, подвешенных к потолку. Жесткости пружин равны и , длина пружин одинаковая и равна см. Если потянуть за пружину в точке А с силой Н вниз, то нижняя пружина коснется пола. Если потянуть за точку В с силой Н вниз, то эта точка коснется пола. Определите жесткости пружин, если известно, что высота потолка в зале м.

Упругость

К задаче 5.

Когда будем тянуть за точку , то растягивать мы будем только верхнюю пружину, и растянем ее так, что ее длина достигнет 1м 60см, и тогда нерастянутая нижняя пружина коснется пола. То есть удлинение верхней составит 120 см.

$[k_1=frac{F_1}{Delta l_1}=frac{360}{1,2}=300]$

Когда будем тянуть за точку , будут растягиваться обе пружины.

$[frac{F_2}{k_1}+frac{F_2}{k_2}=H-2L]$

$[frac{240}{300}+frac{240}{k_2}=1,2]$

Откуда

$[k_2=frac{240}{0,4}=600]$

Ответ: Н/м, Н/м.

Задача 6. Какую силу надо приложить к невесомому блоку, подвешенному на двух пружинах, имеющих коэффициенты жесткости Растяжение пружины решить задачу