Растяжение и сжатие запас прочности
Рассмотрим, как можно применить данные о механических свойствах материалов в практических расчетах инженерных конструкций на прочность.
Известно, что конструкционные материалы можно условно разделить на три основные группы: пластичные, хрупкопластичные и хрупкие.
Механические испытания материалов позволяют определить те напряжения, при которых образец из данного материала теряет свою прочность: разрушается или в нем возникают заметные пластические деформации. Эти напряжения называют предельными или опасными.
В качестве предельных напряжений для указанных трех групп материалов при статическом нагружении принимают следующие механические характеристики:
- -для пластичных материалов (их разрушению предшествует возникновение больших пластических деформаций) — физический ст или условный о0>2 предел текучести, практически одинаковый при растяжении и сжатии;
- — для хрупкопластичных материалов (их разрушение происходит при сравнительно небольших пластических деформациях) — условный предел текучести, значение которого при растяжении и сжатии различно: 0>
- — для хрупких материалов (их разрушение происходит при очень малых пластических деформациях) — предел прочности, значение которого при растяжении и сжатии различно: о, рс.
Для обеспечения’ прочности элементов конструкций необходимо так выбрать их размеры и материал, чтобы возникающие в них при эксплуатационных нагрузках напряжения были меньше предельных. Конечно, если наибольшие рабочие напряжения в детали близки к предельным (хотя и меньше их), прочность детали гарантировать нельзя, так как действующие нагрузки, а следовательно, и напряжения практически никогда- не могут быть установлены совершенно точно; в ряде случаев расчетные напряжения вообще могут быть определены лишь приближенно, возможны отклонения действительных механических характеристик применяемого материала от принятых при расчете.
Отношение предельного напряжения апрсд к наибольшему расчетному напряжению атах, возникающему в элементе конструкции при эксплуатационной нагрузке, обозначают буквой п и называют коэффициентом запаса прочности (или запасом прочности);
Значение п должно быть больше единицы, иначе прочность конструкции будет нарушена. Таким образом, чем больше п, тем прочнее конструкция, тем большим запасом она обладает. В то же время очень большие запасы прочности приводят к перерасходу материала, делают конструкцию тяжелой, неэкономичной.
Поэтому, в зависимости от назначения конструкции и целого ряда других факторов, устанавливают значение минимально необходимого коэффициента запаса прочности. Для обеспечения прочности и долговечности конструкции, а также с учетом опыта эксплуатации аналогичных конструкций запасы прочности нормируются. Нормы прочности есть в строительстве, авиации, энергетике и в других областях техники. В машиностроении для различных деталей нормативный запас прочности находится в пределах 1,5 — [лт] — 2,5 и 2,5 — [и,] — 5.
При расчете элемента конструкции нормативный коэффициент запаса прочности задается заранее. Необходимость введения коэффициента запаса связана с рядом обстоятельств;
- — расчетные нагрузки не вполне достоверны; не исключена возможность перегрузок;
- -способы определения усилий в элементах конструкций в большинстве случаев имеют некоторые условности;
- -размеры сечений имеют отклонения, а также меняются в связи с износом и ржавлением;
- — характеристики прочности и пластичности имеют отклонения для партий одного материала;
- — возможны динамическая нагрузка и концентрация напряжений.
Каждое из приведенных соображений требует введения своего коэффициента запаса. Таким образом, структура коэффициента запаса может быть представлена таким образом:
Прочность элемента конструкции считают обеспеченной, если его расчетный коэффициент запаса прочности не ниже нормативного:
Это неравенство называют условием прочности.
Используя выражение (18), запишем условие прочности в виде
Отсюда можно получить следующую форму записи условия прочности:
Правую часть последнего неравенства называют допускаемым напряжением и обозначают:
Под допускаемым напряжением [ре,>.
Прочность конструкции обеспечена, если возникающее в ней наибольшее напряжение не превышает допускаемого, т. е.
Неравенство (22) так же, как и (19) и (20), называют условием прочности.
Если расчетные напряжения незначительно превысят допускаемые, то это неопасно, так как допускаемое напряжение составляет лишь некоторую часть от предельного напряжения. Обычно считают, что это превышение может составлять до 5% от допускаемого напряжения. Иными словами, в отдельных случаях считают возможным иметь коэффициент запаса прочности несколько меньший, чем требуемый (заданный). Если расчетное напряжение значительно ниже допускаемого, это является свидетельством нерациональности конструкции, перерасхода материала.
В зависимости от цели расчета (постановки задачи) различают три вида расчетов на прочность:
- — проверочный;
- — проектировочный;
- — определение допустимой нагрузки.
Рассмотрим несколько подробнее каждый из трех указанных видов расчета.
При проверочном расчете нагрузка стержня, его материал (включая допускаемое или предельное напряжение) и размеры известны. Определению подлежит наибольшее расчетное напряжение, которое сравнивают с допускаемым напряжением.
Расчетная формула, т. е. условие прочности при растяжении — сжатии, имеет вид:
где Umax — наибольшее по абсолютному значению нормальное напряжение в опасном сечении стержня; N — продольная сила в указанном сечении; А — площадь опасного поперечного сечения; [а] — допускаемое напряжение.
В ряде случаев при проверочном расчеге удобнее сопоставлять не расчетное напряжение с допускаемым напряжением, а сравнивать расчетный коэффициент запаса прочности для опасного сечения с требуемым (или нормативным), т. е. проверять, соблюдается ли неравенство
При проектном расчете нагрузки и материал (допускаемые напряжения) известны, тогда из формулы (23) определяют требуемую площадь сечения стержня А или размеры поперечного сечения:
В некоторых случаях проверочный расчет удобнее вести в форме определения допускаемой нагрузки:
В частности, это целесообразно при изменении режимов тех или иных технологических процессов, когда возникает необходимость в повышении нагрузок существующего оборудования и, следовательно, надо знать их предельно допускаемое по условию прочности значение. При этом размеры стержня и его материал (допускаемое напряжение) известны, определению подлежит нагрузка, которую можно допустить по условию прочности этого стержня.
Источник
Внутренние усилия при растяжении-сжатии.
Осевое (центральное) растяжение или сжатие прямого бруса вызывается внешними силами, вектор равнодействующей которых совпадает с осью бруса. При растяжении или сжатии в поперечных сечениях бруса возникают только продольные силы N. Продольная сила N в некотором сечении равна алгебраической сумме проекции на ось стержня всех внешних сил, действующих по одну сторону от рассматриваемого сечения. По правилу знаков продольной силы N принято считать, что от растягивающих внешних нагрузок возникают положительные продольные силы N, а от сжимающих — продольные силы N отрицательны (рис. 5).
Чтобы выявить участки стержня или его сечения, где продольная сила имеет наибольшее значение, строят эпюру продольных сил, применяя метод сечений, подробно рассмотренный в статье:
Анализ внутренних силовых факторов в статистически определимых системах
Ещё настоятельно рекомендую взглянуть на статью:
Расчёт статистически определимого бруса
Если разберёте теорию в данной статье и задачи по ссылкам, то станете гуру в теме «Растяжение-сжатие» =)
Напряжения при растяжении-сжатии.
Определенная методом сечений продольная сила N, является равнодействующей внутренних усилий распределенных по поперечному сечению стержня (рис. 2, б). Исходя из определения напряжений, согласно выражению (1), можно записать для продольной силы:
где σ — нормальное напряжение в произвольной точке поперечного сечения стержня.
Чтобы определить нормальные напряжения в любой точке бруса необходимо знать закон их распределения по поперечному сечению бруса. Экспериментальные исследования показывают: если нанести на поверхность стержня ряд взаимно перпендикулярных линий, то после приложения внешней растягивающей нагрузки поперечные линии не искривляются и остаются параллельными друг другу (рис.6, а). Об этом явлении говорит гипотеза плоских сечений (гипотеза Бернулли): сечения, плоские до деформации, остаются плоскими и после деформации.
Так как все продольные волокна стержня деформируются одинаково, то и напряжения в поперечном сечении одинаковы, а эпюра напряжений σ по высоте поперечного сечения стержня выглядит, как показано на рис.6, б. Видно, что напряжения равномерно распределены по поперечному сечению стержня, т.е. во всех точках сечения σ = const. Выражение для определения величины напряжения имеет вид:
Таким образом, нормальные напряжения, возникающие в поперечных сечениях растянутого или сжатого бруса, равны отношению продольной силы к площади его поперечного сечения. Нормальные напряжения принято считать положительными при растяжении и отрицательными при сжатии.
Деформации при растяжении-сжатии.
Рассмотрим деформации, возникающие при растяжении (сжатии) стержня (рис.6, а). Под действием силы F брус удлиняется на некоторую величину Δl называемую абсолютным удлинением, или абсолютной продольной деформацией, которая численно равна разности длины бруса после деформации l1 и его длины до деформации l
Отношение абсолютной продольной деформации бруса Δl к его первоначальной длине l называют относительным удлинением, или относительной продольной деформацией:
При растяжении продольная деформация положительна, а при сжатии – отрицательна. Для большинства конструкционных материалов на стадии упругой деформации выполняется закон Гука (4), устанавливающий линейную зависимость между напряжениями и деформациями:
где модуль продольной упругости Е, называемый еще модулем упругости первого рода является коэффициентом пропорциональности, между напряжениями и деформациями. Он характеризует жесткость материала при растяжении или сжатии (табл. 1).
Таблица 1
Модуль продольной упругости для различных материалов
Абсолютная поперечная деформация бруса равна разности размеров поперечного сечения после и до деформации:
Соответственно, относительную поперечную деформацию определяют по формуле:
При растяжении размеры поперечного сечения бруса уменьшаются, и ε’ имеет отрицательное значение. Опытом установлено, что в пределах действия закона Гука при растяжении бруса поперечная деформация прямо пропорциональна продольной. Отношение поперечной деформации ε’ к продольной деформации ε называется коэффициентом поперечной деформации, или коэффициентом Пуассона μ:
Экспериментально установлено, что на упругой стадии нагружения любого материала значение μ = const и для различных материалов значения коэффициента Пуассона находятся в пределах от 0 до 0,5 (табл. 2).
Таблица 2
Коэффициент Пуассона.
Абсолютное удлинение стержня Δl прямо пропорционально продольной силе N:
Данной формулой можно пользоваться для вычисления абсолютного удлинения участка стержня длиной l при условии, что в пределах этого участка значение продольной силы постоянно. В случае, когда продольная сила N изменяется в пределах участка стержня, Δl определяют интегрированием в пределах этого участка:
Произведение (Е·А) называют жесткостью сечения стержня при растяжении (сжатии).
Механические свойства материалов.
Основными механическими свойствами материалов при их деформации являются прочность, пластичность, хрупкость, упругость и твердость.
Прочность — способность материала сопротивляться воздействию внешних сил, не разрушаясь и без появления остаточных деформаций.
Пластичность – свойство материала выдерживать без разрушения большие остаточные деформации. Неисчезающие после снятия внешних нагрузок деформации называются пластическими.
Хрупкость – свойство материала разрушаться при очень малых остаточных деформациях (например, чугун, бетон, стекло).
Идеальная упругость – свойство материала (тела) полностью восстанавливать свою форму и размеры после устранения причин, вызвавших деформацию.
Твердость – свойство материала сопротивляться проникновению в него других тел.
Рассмотрим диаграмму растяжения стержня из малоуглеродистой стали. Пусть круглый стержень длинной l0 и начальным постоянным поперечным сечением площади A0 статически растягивается с обоих торцов силой F.
Диаграмма сжатия стержня имеет вид (рис. 10, а)
где Δl = l — l0 абсолютное удлинение стержня; ε = Δl / l0 — относительное продольное удлинение стержня; σ = F / A0 — нормальное напряжение; E — модуль Юнга; σп — предел пропорциональности; σуп — предел упругости; σт — предел текучести; σв — предел прочности (временное сопротивление); εост — остаточная деформация после снятия внешних нагрузок. Для материалов, не имеющих ярко выраженную площадку текучести, вводят условный предел текучести σ0,2 — напряжение, при котором достигается 0,2% остаточной деформации. При достижении предела прочности в центре стержня возникает локальное утончение его диаметра («шейка»). Дальнейшее абсолютное удлинение стержня идет в зоне шейки ( зона местной текучести). При достижении напряжением предела текучести σт глянцевая поверхность стержня становится немного матовой – на его поверхности появляются микротрещины (линии Людерса-Чернова), направленные под углом 45° к оси стержня.
Расчеты на прочность и жесткость при растяжении и сжатии.
Опасным сечением при растяжении и сжатии называется поперечное сечение бруса, в котором возникает максимальное нормальное напряжение. Допускаемые напряжения вычисляются по формуле:
где σпред — предельное напряжение (σпред = σт — для пластических материалов и σпред = σв — для хрупких материалов); [n] — коэффициент запаса прочности. Для пластических материалов [n] = [nт] = 1,2 … 2,5; для хрупких материалов [n] = [nв] = 2 … 5, а для древесины [n] = 8 ÷ 12.
Расчеты на прочность при растяжении и сжатии.
Целью расчета любой конструкции является использование полученных результатов для оценки пригодности этой конструкции к эксплуатации при минимальном расходе материала, что находит отражение в методах расчета на прочность и жесткость.
Условие прочности стержня при его растяжении (сжатии):
При проектном расчете определяется площадь опасного сечения стержня:
При определении допускаемой нагрузки рассчитывается допускаемая нормальная сила:
Расчет на жесткость при растяжении и сжатии.
Работоспособность стержня определяется его предельной деформацией [ l ]. Абсолютное удлинение стержня должно удовлетворять условию:
Часто дополнительно делают расчет на жесткость отдельных участков стержня.
Следующая важная статья теории:
Изгиб балки
Источник
Эта статья будет посвящена расчетам на прочность, которые выполняются в сопромате и не только. Расчеты на прочность бывают двух видов: проверочные и проектировочные (проектные).
Проверочные расчеты на прочность – это такие расчеты, в ходе которых проверятся прочность элемента заданной формы и размеров, под некоторой нагрузкой.
В ходе проектировочных расчетов на прочность определяются какие-то размеры элемента из условия прочности. Причем, очевидно, что для разных видов деформаций эти условия прочности различны. Также к проектным расчетам можно отнести расчеты на грузоподъемность, когда вычисляется максимальная нагрузка, которую может выдерживать конструкция, не разрушаясь. Рассмотрим более подробно, как проводится прочностные расчеты для разных случаев.
Расчеты на прочность при растяжении (сжатии)
Начнем, пожалуй, с самого простого вида деформации растяжения (сжатия). Напряжение при центральном растяжении (сжатии) можно получить, разделив продольную силу на площадь поперечного сечения, а условие прочности выглядит вот так:
где сигма в квадратных скобках – это допустимое напряжение. Которое можно получить, разделив предельное напряжения на коэффициент запаса прочности:
Причем, за предельное напряжение для разных материалов принимают разное значение. Для пластичных материалов, например, для малоуглеродистой стали (Ст2, Ст3) принимают предел текучести, а для хрупких (бетон, чугун) берут в качестве предельного напряжения – предел прочности (временное сопротивление). Эти характеристики получают при испытании образцов на растяжение или сжатие на специальных машинах, которые фиксируют характеристики в виде диаграммы.
Коэффициент запаса прочности выбирается конструктором исходя из своего личного опыта, назначения проектируемой детали и сферы применения. Обычно, он варьируется от 2 до 6.
В случае если необходимо подобрать размеры сечения, площадь выражают таким образом:
Таким образом, минимальная площадь поперечного сечения при центральном растяжении (сжатии) будет равна отношению продольно силы к допустимому напряжению.
Расчеты на прочность при кручении
При кручении расчеты на прочность в принципе схожи с теми, что проводятся при растяжении. Только здесь вместо нормальных напряжений появляются касательные напряжения.
На кручение работают, чаще всего, детали, которые называются валами. Их назначение заключается в передаче крутящего момента от одного элемента к другому. При этом вал по всей длине имеет круглое поперечное сечение. Условие прочности для круглого поперечного сечения можно записать так:
где Ip — полярный момент сопротивления, ρ — радиус круга. Причем по этой формуле можно определить касательное напряжение в любой точке сечения, варьируя значение ρ. Касательные напряжения распределены неравномерно по сечению, их максимальное значение находится в наиболее удаленных точках сечения:
Условие прочности, можно записать несколько проще, используя такую геометрическую характеристику как момент сопротивления:
То бишь максимальные касательные напряжения равны отношению крутящего момента к полярному моменту сопротивления и должны быть меньше либо равны допустимому напряжению. Геометрические характеристики для круга, упомянутые выше можно найти вот так:
Иногда в задачах встречаются и прямоугольные сечения, для которых момент сопротивления определяется несколько сложнее, но об этом я расскажу в другой статье.
Расчеты на прочность при изгибе
Источник