Растяжение графика в 5 раз по оси у

Анна Малкова

В этой статье мы расскажем об основных преобразованиях графиков функций. Что нужно сделать с формулой функции, чтобы сдвинуть ее график по горизонтали или по вертикали. Как задать растяжение графика по горизонтали или вертикали. Как отразить график относительно оси Х или Y.

Очень жаль, что эта тема — полезная и очень интересная — выпадает из школьной программы. На нее не постоянно хватает времени. Из-за этого многим старшеклассникам не даются задачи с параметрами — которые на самом деле похожи на конструктор, где вы собираете решение из знакомых элементов. Хотя бы для того, чтобы решать задачи с параметрами, стоит научиться строить графики функций.

Но конечно, не только для того, чтобы сдать ЕГЭ. Первая лекция на первом курсе технического или экономического вуза посвящена функциям и графикам. Первые зачеты в курсе матанализа связаны с функциями и графиками.

Начнем со сдвигов графиков по Х и по Y.

Сдвиг по горизонтали.

Пусть функция задана формулой и Тогда график функции сдвинут относительно исходной на а вправо. График функции сдвинут относительно исходной на а влево.

Растяжение графика в 5 раз по оси у

1. Сдвиг по вертикали.

Пусть функция задана формулой и С — некоторое положительное число. Тогда график функции сдвинут относительно исходного на С вверх. График функции сдвинут относительно исходного на С вниз.

Растяжение графика в 5 раз по оси у

Теперь растяжение графика. Или сжатие.

2. Растяжение (сжатие) по горизонтали.

Пусть функция задана формулой и Тогда график функции растянут относительно исходного в k раз по горизонтали, если , и сжат относительно исходного в k раз по горизонтали, если

Растяжение графика в 5 раз по оси у

3. Растяжение (сжатие) по вертикали

Пусть функция задана формулой и Тогда график функции растянут относительно исходного в М раз по вертикали, если , и сжат относительно исходного в М раз по вертикали, если

Растяжение графика в 5 раз по оси у

И отражение по горизонтали.

4. Отражение по горизонтали

График функции симметричен графику функции относительно оси Y.

Растяжение графика в 5 раз по оси у

5. Отражение по вертикали.

График функции симметричен графику функции относительно оси Х.

Растяжение графика в 5 раз по оси у

Друзья, не возникло ли у вас ощущения, что вы все это где-то видели? Да, наверняка видели, если когда-либо редактировали изображения в графическом редакторе на компьютере. Изображение можно сдвинуть (по горизонтали или вертикали). Растянуть (по горизонтали или вертикали). Отразить. И все это мы делаем с графиками функций.

И еще два интересных преобразования. Здесь в формулах присутствует знак модуля. Если не помните, что такое модуль, — срочно повторите эту тему.

6. Графики функций и

На рисунке изображен график функции Она специально взята такая — несимметричная относительно нуля.

Растяжение графика в 5 раз по оси у

Построим график функции

Конечно же, мы пользуемся определением модуля.

Это мы и видим на графике. Для неотрицательных значений х график остался таким же, как был. А вместо каждого отрицательного х мы взяли противоположное ему положительное число. И поэтому вся та часть графика функции, что лежала слева от оси Х, заменилась на зеркально отраженную правую часть графика.

Растяжение графика в 5 раз по оси у

Теперь график функции Вы уже догадались, что будет. Вся часть графика, лежащая ниже оси Х, зеркально отражается в верхнюю полуплоскость. А верхняя часть графика, лежащая выше оси Х, остается на месте.

Растяжение графика в 5 раз по оси у

Как определить по формуле функции, будет график преобразован по горизонтали (по Х) или по вертикали (по Y)? Разница очевидна. Если сначала мы что-либо делаем с аргументом х (прибавляем к нему какое-либо число, умножаем на какое-либо число или берем модуль) — преобразование по Х. Если сначала мы нашли функцию, а затем уже к значению функции что-то прибавили, или на какое-нибудь число умножили, или взяли модуль, — преобразование по Y.

Вот самые простые задачи на преобразование графиков.

1. Построим график функции

Это квадратичная парабола, сдвинутая на 3 влево по x и на 1 вниз по y.

Вершина в точке

Растяжение графика в 5 раз по оси у

2. Построим график функции

Выделим полный квадрат в формуле.

График — квадратичная парабола, сдвинутая на 2 вправо по x и на 5 вниз по y.

Обратите внимание: график функции пересекает ось y в точке На нашем графике это точка

Растяжение графика в 5 раз по оси у

Продолжение — в статье «Построение графиков функций».

Источник

Преобразования
графиков функций – это линейные преобразования функции y
= f(x) или её аргумента х к виду

y
= af(kx
+ b) + m,

а так же
преобразование с использованием модуля.

Зная,
как строить графики функции y =
f(x), где

y
= kx + b,

y
= ax2,

y
= xn,

y
= k/x,

y
= ax,

y
= logax,

можно
построить график функции

y
= af(kx
+ b) + m.

ОБЩИЙ ВИД ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ФУНКЦИИ

Параллельный
перенос графика вдоль оси абсцисс на |b| единиц.

y
= f(x–
b)

вправо,
если b ˃ 0;

влево,
если b < 0.

y
= f(x+
b)

влево,
если b ˃ 0;

вправо,
если b < 0.

ПРИМЕР:

Построить график функции

у =
(х + 2)3.

Построим график функции у =
х3 и
параллельно перенесём его влево на 2 единицы вдоль оси х (так как 2 ˃ 0). Получим график
функции

у = (х + 2)3.

ПРИМЕР:

Построить график функции

у =
(х – 3)2.

Построим график функции у =
х2 и
параллельно перенесём его вправо на 3 единицы вдоль оси х (так как –3 < 0). Получим график
функции

у =
(х – 3)2.

Параллельный
перенос графика вдоль оси ординат на |m| единиц.

y
= f(x) + m

вверх,
если m ˃ 0;

вниз,
если m < 0.

ПРИМЕР:

Построить график функции

у =
х2 – 5.

Построим график функции у =
х2 и
параллельно перенесём его вниз на 5 единиц вдоль оси у (так как –5 < 0). получим график
функции

у =
х2 – 5.

ПРИМЕР:

Построить график функции

у =
√͞͞͞͞͞х + 4.

Построим график функции у =
√͞͞͞͞͞х и параллельно перенесём его вверх на 4 единицы
вдоль оси у (так как
4 ˃ 0). Получим график функции

у =
√͞͞͞͞͞х + 4.

Отражение
графика.

y
= f(–x)

Симметричное
отражение графика относительно оси ординат.

ПРИМЕР:

Построить график функции

у =
–х + 3.

Построим график функции у =
х + 3 и отобразим
полученный график симметрично относительно оси
у и получим график
функции

у =
–х + 3

y
= –f(x)

Симметричное
отражение графика относительно оси абсцисс.

ПРИМЕР:

Построить график функции

у =
–(х – 3)2.

Построим график функции у =
х2 и
параллельно перенесём его вправо на 3 единицы вдоль оси х (так как –3 < 0). получим график
функции

у =
(х – 3)2.

отобразим полученный график симметрично относительно
оси х и получим
график функции

у =
–(х – 3)2.

Сжатие
и растяжение графика.

y
= f(kx)

При k ˃ 1 –
сжатие графика к оси ординат в k раз,

при 0 < k<
1 – растяжение графика от оси ординат в k раз,

ПРИМЕР:

Построить график функции

у =
(3х)2.

Построим график функции у =
х2. Выполним
сжатие графика функции в три раза до оси у и получим
график функции

у =
(3х)2.

ПРИМЕР:

Построить график функции

Построим график функции у =
√͞͞͞͞͞х. Выполним
растяжение графика функции в 1/3 от оси
у и получим график
функции

y
= kf(x)

При k ˃ 1 –
растяжение графика от оси абсцисс в k раз,

при 0 < k<
1 – сжатие графика к оси абсцисс в k раз.

ПРИМЕР:

Построить график функции

у =
3√͞͞͞͞͞х.

Построим график функции у =
√͞͞͞͞͞х .
Выполним
растяжение графика функции в три раза относительно оси х и получим
график функции

у =
3√͞͞͞͞͞х.

ПРИМЕР:

Построить график функции

у =
1/3 х3.

Построим график функции у =
х3. Выполним
сжатие графика функции у = х3 в три раза к оси х и получим
график функции

у =
1/3 х3.

Преобразования
графика с модулем.

у = |f(x)|

При f(x)
˃ 0 – график остаётся без изменений,

при f(x) <
0 – график симметрично отражается
относительно оси абсцисс.

ПРИМЕР:

Построить график функции

у =
|х2 – 6|

Построим график функции у = х2. Параллельно переносимо график вниз на 6 единиц
вдоль оси у и получим график функции

у =
х2 – 6.

Отобразим симметрично относительно оси х ту
часть графика, которая находится под осью, и получим график функции

у =
|х2 – 6|

ПРИМЕР:

Построить график функции

у =
|х3|

у =f(|x|)

При x ≥ 0 – график остаётся без изменений,

при x < 0 – график симметрично отражается относительно оси ординат.

ПРИМЕР:

Построить график функции

у =
(|x| – 1)2.

Построим график функции у =
х2 и
параллельно перенесём его вправо на 1 единицы вдоль оси х и получим график
функции

у =
(х – 1)2.

Оставляем ту часть графика, которая соответствует
неотрицательным значением х. Симметрично
отображаем относительно оси у часть полученного графика для неотрицательных
х и получаем график
функции

у
= (|x|
– 1)2.

ПРИМЕР:

Построить график функции

у =
5|x| – 3.

Построим график функции у =
5х и
параллельно перенесём его вниз на 3 единицы вдоль оси у и
получим график функции

у =
5x – 3.

Оставим ту часть графика, которая соответствует
неотрицательным значениям х.
Симметрично отобразим относительно оси у часть полученного графика для неотрицательных х и получим
график функции

у =
5|x| – 3.

Источник

Элементарные преобразования графика функции y = f (x ) перечислены в следующей таблице.

Преобразование	Описание	Рисунок
y = f (x + c), c – число	В случае c > 0 график функции y = f (x) переносится влево на расстояние \| c \|
y = f (x + c), c – число	В случае c < 0 график функции y = f (x) переносится вправо на расстояние \| c \|
y = f (x) + c, c – число	В случае c > 0 график функции y = f (x) переносится вверх на расстояние \| c \|
y = f (x) + c, c – число	В случае c < 0 график функции y = f (x) переносится вниз на расстояние \| c \|
y = – f (x)	График функции y = f (x) симметрично отражается относительно оси Ox.
y = f ( – x)	График функции y = f (x) симметрично отражается относительно оси Oy.
y = f (kx), k – число	В случае k > 1 происходит сжатие графика функции y = f (x) в k раз к оси Oy.
	В случае 0 < k < 1 происходит растяжение графика функции y = f (x) в раз от оси Oy.
	В случае – 1 < k < 0 происходит растяжение графика функции y = f (x) в раз от оси Oy с последующим симметричным отражением графика относительно оси Oy.
	В случае k < – 1 происходит сжатие графика функции y = f (x) в \| k \| раз к оси Oy с последующим симметричным отражением графика относительно оси Oy.
y = k f (x), k – число	В случае k > 1 происходит растяжение графика функции y = f (x) в k раз от оси Ox.
	В случае 0 < k < 1 происходит сжатие графика функции y = f (x) в раз к оси Ox.
	В случае – 1 < k < 0 происходит сжатие графика функции y = f (x) в раз к оси Ox с последующим симметричным отражением графика относительно оси Ox.
	В случае k < – 1 происходит растяжение графика функции y = f (x) в \| k \| раз от оси Ox с последующим симметричным отражением графика относительно оси Ox.
y = \| f (x)\|	Часть графика функции y = f (x), расположенная в области , остаётся на месте. Часть графика функции y = f (x), расположенная в области y < 0, симметрично отражается относительно оси Ox.
y = f (\| x\|)	Ось Oy является осью симметрии графика функции y = f (\| x\|). Часть графика функции y = f (x), расположенная в области остаётся на месте. Часть графика функции y = f (\| x\|), расположенная в области x < 0, получается из части графика, расположенной в области при помощи симметричного отражения относительно оси Oy.

Преобразование y = f (x + c), где c – число
В случае c > 0 график функции y = f (x) переносится влево на расстояние \| c \|
В случае c < 0 график функции y = f (x) переносится вправо на расстояние \| c \|
Преобразование y = f (x) + c, где c – число
В случае c > 0 график функции y = f (x) переносится вверх на расстояние \| c \|
В случае c < 0 график функции y = f (x) переносится вниз на расстояние \| c \|
Преобразование y = – f (x)
График функции y = f (x) симметрично отражается относительно оси Ox.
Преобразование y = f ( – x)
График функции y = f (x) симметрично отражается относительно оси Oy.
Преобразование y = f (kx), где k – число
В случае k > 1 происходит сжатие графика функции y = f (x) в k раз к оси Oy.
В случае 0 < k < 1 происходит растяжение графика функции y = f (x) в раз от оси Oy.
В случае – 1 < k < 0 происходит растяжение графика функции y = f (x) в раз от оси Oy с последующим симметричным отражением графика относительно оси Oy.
В случае k < – 1 происходит сжатие графика функции y = f (x) в \| k \| раз к оси Oy с последующим симметричным отражением графика относительно оси Oy.
Преобразование y = k f (x), где k – число
В случае k > 1 происходит растяжение графика функции y = f (x) в k раз от оси Ox.
В случае 0 < k < 1 происходит сжатие графика функции y = f (x) в раз к оси Ox.
В случае – 1 < k < 0 происходит сжатие графика функции y = f (x) в раз к оси Ox с последующим симметричным отражением графика относительно оси Ox.
В случае k < – 1 происходит растяжение графика функции y = f (x) в \| k \| раз от оси Ox с последующим симметричным отражением графика относительно оси Ox.
Преобразование y = \| f (x)\|
Часть графика функции y = f (x), расположенная в области , остаётся на месте. Часть графика функции y = f (x), расположенная в области y < 0, симметрично отражается относительно оси Ox.
Преобразование y = f (\| x\|)
Ось Oy является осью симметрии графика функции y = f (\| x\|). Часть графика функции y = f (x), расположенная в области остаётся на месте. Часть графика функции y = f (\| x\|), расположенная в области x < 0, получается из части графика, расположенной в области при помощи симметричного отражения относительно оси Oy.

Преобразование y = f (x + c), где c – число

Описание:

В случае c > 0 график функции y = f (x) переносится влево на расстояние | c |

Рисунок:

Элементарные преобразования графиков функций

Описание:

В случае c < 0 график функции y = f (x) переносится вправо на расстояние | c |

Рисунок:

Элементарные преобразования графиков функций

Преобразование y = f (x) + c, где c – число

Описание:

В случае c > 0 график функции y = f (x) переносится вверх на расстояние | c |

Рисунок:

Элементарные преобразования графиков функций

Описание:

В случае c < 0 график функции y = f (x) переносится вниз на расстояние | c |

Рисунок:

Элементарные преобразования графиков функций

Преобразование y = – f (x)

Описание:

График функции y = f (x) симметрично отражается относительно оси Ox.

Рисунок:

Элементарные преобразования графиков функций

Преобразование y = f ( – x)

Описание:

График функции y = f (x) симметрично отражается относительно оси Oy.

Рисунок:

Элементарные преобразования графиков функций

Преобразование y = f (kx), где k – число

Описание:

В случае k > 1 происходит сжатие графика функции y = f (x) в k раз к оси Oy.

Рисунок:

Элементарные преобразования графиков функций

Описание:

В случае 0 < k < 1 происходит растяжение графика функции y = f (x) в раз от оси Oy.

Рисунок:

Элементарные преобразования графиков функций

Описание:

В случае – 1 < k < 0 происходит растяжение графика функции y = f (x) в раз от оси Oy с последующим симметричным отражением графика относительно оси Oy.

Рисунок:

Элементарные преобразования графиков функций

Описание:

В случае k < – 1 происходит сжатие графика функции y = f (x) в | k | раз к оси Oy с последующим симметричным отражением графика относительно оси Oy.

Рисунок:

Элементарные преобразования графиков функций

Преобразование y = k f (x), где k – число

Описание:

В случае k > 1 происходит растяжение графика функции y = f (x) в k раз от оси Ox.

Рисунок:

Элементарные преобразования графиков функций

Описание:

В случае 0 < k < 1 происходит сжатие графика функции y = f (x) в раз к оси Ox.

Рисунок:

Элементарные преобразования графиков функций

Описание:

В случае – 1 < k < 0 происходит сжатие графика функции y = f (x) в раз к оси Ox с последующим симметричным отражением графика относительно оси Ox.

Рисунок:

Элементарные преобразования графиков функций

Описание:

В случае k < – 1 происходит растяжение графика функции y = f (x) в | k | раз от оси Ox с последующим симметричным отражением графика относительно оси Ox.

Рисунок:

Элементарные преобразования графиков функций

Преобразование y = | f (x)|

Описание:

Часть графика функции y = f (x), расположенная в области , остаётся на месте. Часть графика функции y = f (x), расположенная в области y < 0, симметрично отражается относительно оси Ox.

Рисунок:

Элементарные преобразования графиков функций

Преобразование y = f (| x|)

Описание:

Ось Oy является осью симметрии графика функции y = f (| x|).

Часть графика функции y = f (x), расположенная в области остаётся на месте. Часть графика функции y = f (| x|), расположенная в области x < 0, получается из части графика, расположенной в области при помощи симметричного отражения относительно оси Oy.

Рисунок:

Элементарные преобразования графиков функций

Примеры элементарных преобразований графика функции y = x2 приведены в следующей таблице.

Функция	График
y = x2 = f (x)
y = x2 + 4x + 4 = (x + 2)2 = = f (x + 2)
y = x2 – 4x + 4 = (x – 2)2 = = f (x – 2)
y = x2 + 2 = f (x)+ 2
y = x2 – 2 = f (x) – 2
y = – x2 = – f (x)
y = 2x2 = 2 f (x)