Растяжение графика от оси ординат

Ìàñøòàáèðîâàíèå — îïåðàöèÿ ñæàòèÿ èëè ðàñòÿæåíèÿ ãðàôèêà ôóíêöèè âäîëü îñåé àáñöèññ è îðäèíàò.

Òî, ÷òî òðåáóåòñÿ âûïîëíèòü ìàñøòàáèðîâàíèå, ïîêàçûâàþò êîýôôèöèåíòû k1 è k2 â óðàâíåíèè y = ± k1 f (± k2 (x + a))+b. Îíè äîëæíû áûòü íå ðàâíû åäèíèöå.

Êîãäà 0 < k1,2 <1, ñîâåðøàåì ñæàòèå ãðàôèêà îòíîñèòåëüíî 0y è ðàñòÿæåíèå îòíîñèòåëüíî 0x , êîãäà k1,2>1, âûïîëíÿåì ðàñòÿæåíèå âäîëü îñè îðäèíàò è ñæàòèå âäîëü îñè àáñöèññ.

Êîãäà ôóíêöèÿ ïðèíèìàåò âèä y = f (k2x) ,òî åñëè k2 >1 – ïðîèçâîäèì ñæàòèå ãðàôèêà ê îñè îðäèíàò (0y) â k ðàç, à åñëè 0 < k2<1 — ðàñòÿæåíèå ãðàôèêà îò îñè îðäèíàò â 1/k.

Ìàñøòàáèðîâàíèå - ïðåîáðàçîâàíèå ãðàôèêà ôóíêöèè.

Êîãäà ôóíêöèÿ ïðèíèìàåò âèä y = k1 f (x) , òî åñëè k1 >1 — îñóùåñòâëÿåì ðàñòÿæåíèå ãðàôèêà îò îñè àáñöèññ (0x) â k ðàç, à åñëè 0 < k1<1 — ñæàòèå ãðàôèêà ê îñè àáñöèññ â 1/k.

Ãðàôèê ôóíêöèè. Ìàñøòàáèðîâàíèå - ïåðâûé ýòàï ïðåîáðàçîâàíèÿ ãðàôèêà ôóíêöèè.

	Êàëüêóëÿòîðû ïî àëãåáðå
Ðåøåíèÿ, ïîäñêàçêè è ó÷åáíèê ëèíåéíîé àëãåáðû îíëàéí (âñå êàëüêóëÿòîðû ïî àëãåáðå).
Êàëüêóëÿòîðû ïî àëãåáðå

	Ìàòåìàòè÷åñêèå êàëüêóëÿòîðû
Ìàòåìàòè÷åñêèå êàëüêóëÿòîðû: êîðíè, äðîáè, ñòåïåíè, óðàâíåíèÿ, ôèãóðû, ñèñòåìû ñ÷èñëåíèÿ è äðóãèå êàëüêóëÿòîðû.
Ìàòåìàòè÷åñêèå êàëüêóëÿòîðû

	Àëãåáðà 6,7,8,9,10,11 êëàññ, ÅÃÝ, ÃÈÀ
Îñíîâíàÿ èíôîðìàöèÿ ïî êóðñó àëãåáðû äëÿ îáó÷åíèÿ è ïîäãîòîâêè â ýêçàìåíàì, ÃÂÝ, ÅÃÝ, ÎÃÝ, ÃÈÀ
Àëãåáðà 6,7,8,9,10,11 êëàññ, ÅÃÝ, ÃÈÀ

	Ãðàôèêè ýëåìåíòàðíûõ ôóíêöèé
Îñíîâíàÿ èíôîðìàöèÿ ïî êóðñó ìàòåìàòèêè äëÿ îáó÷åíèÿ è ïîäãîòîâêè â ýêçàìåíàì, ÃÂÝ, ÅÃÝ, ÎÃÝ, ÃÈÀ
Ãðàôèêè ýëåìåíòàðíûõ ôóíêöèé

	Ôóíêöèÿ. Ïîêàçàòåëüíàÿ ôóíêöèÿ.
Ïîêàçàòåëüíîé íàçûâàåòñÿ ôóíêöèÿ ó = à õ , â êîòîðîé à ýòî ïîñòîÿííîå ïîëîæèòåëüíîå ÷èñëî.
Ôóíêöèÿ. Ïîêàçàòåëüíàÿ ôóíêöèÿ.

	Ôóíêöèÿ. Ëèíåéíûå ôóíêöèè.
Åñëè ïåðåìåííûå õ, ó âûðàæàþòñÿ ïîñðåäñòâîì óðàâíåíèÿ Àõ + By = Ñ , ïðè ýòîì ÷èñëà À, Â èëè ïî ìåíüøåé ìåðå îäíî èç íèõ, íå ðàâíî íóëþ, òî ãðàôèêîì ôóíêöèîíàëüíîé çàâèñèìîñòè ÿâëÿåòñÿ ïðÿìàÿ ëèíèÿ .
Ôóíêöèÿ. Ëèíåéíûå ôóíêöèè.

Источник

Преобразования
графиков функций – это линейные преобразования функции y
= f(x) или её аргумента х к виду

y
= af(kx
+ b) + m,

а так же
преобразование с использованием модуля.

Зная,
как строить графики функции y =
f(x), где

y
= kx + b,

y
= ax2,

y
= xn,

y
= k/x,

y
= ax,

y
= logax,

можно
построить график функции

y
= af(kx
+ b) + m.

ОБЩИЙ ВИД ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ФУНКЦИИ

Параллельный
перенос графика вдоль оси абсцисс на |b| единиц.

y
= f(x–
b)

вправо,
если b ˃ 0;

влево,
если b < 0.

y
= f(x+
b)

влево,
если b ˃ 0;

вправо,
если b < 0.

ПРИМЕР:

Построить график функции

у =
(х + 2)3.

Построим график функции у =
х3 и
параллельно перенесём его влево на 2 единицы вдоль оси х (так как 2 ˃ 0). Получим график
функции

у = (х + 2)3.

ПРИМЕР:

Построить график функции

у =
(х – 3)2.

Построим график функции у =
х2 и
параллельно перенесём его вправо на 3 единицы вдоль оси х (так как –3 < 0). Получим график
функции

у =
(х – 3)2.

Параллельный
перенос графика вдоль оси ординат на |m| единиц.

y
= f(x) + m

вверх,
если m ˃ 0;

вниз,
если m < 0.

ПРИМЕР:

Построить график функции

у =
х2 – 5.

Построим график функции у =
х2 и
параллельно перенесём его вниз на 5 единиц вдоль оси у (так как –5 < 0). получим график
функции

у =
х2 – 5.

ПРИМЕР:

Построить график функции

у =
√͞͞͞͞͞х + 4.

Построим график функции у =
√͞͞͞͞͞х и параллельно перенесём его вверх на 4 единицы
вдоль оси у (так как
4 ˃ 0). Получим график функции

у =
√͞͞͞͞͞х + 4.

Отражение
графика.

y
= f(–x)

Симметричное
отражение графика относительно оси ординат.

ПРИМЕР:

Построить график функции

у =
–х + 3.

Построим график функции у =
х + 3 и отобразим
полученный график симметрично относительно оси
у и получим график
функции

у =
–х + 3

y
= –f(x)

Симметричное
отражение графика относительно оси абсцисс.

ПРИМЕР:

Построить график функции

у =
–(х – 3)2.

Построим график функции у =
х2 и
параллельно перенесём его вправо на 3 единицы вдоль оси х (так как –3 < 0). получим график
функции

у =
(х – 3)2.

отобразим полученный график симметрично относительно
оси х и получим
график функции

у =
–(х – 3)2.

Сжатие
и растяжение графика.

y
= f(kx)

При k ˃ 1 –
сжатие графика к оси ординат в k раз,

при 0 < k<
1 – растяжение графика от оси ординат в k раз,

ПРИМЕР:

Построить график функции

у =
(3х)2.

Построим график функции у =
х2. Выполним
сжатие графика функции в три раза до оси у и получим
график функции

у =
(3х)2.

ПРИМЕР:

Построить график функции

Построим график функции у =
√͞͞͞͞͞х. Выполним
растяжение графика функции в 1/3 от оси
у и получим график
функции

y
= kf(x)

При k ˃ 1 –
растяжение графика от оси абсцисс в k раз,

при 0 < k<
1 – сжатие графика к оси абсцисс в k раз.

ПРИМЕР:

Построить график функции

у =
3√͞͞͞͞͞х.

Построим график функции у =
√͞͞͞͞͞х .
Выполним
растяжение графика функции в три раза относительно оси х и получим
график функции

у =
3√͞͞͞͞͞х.

ПРИМЕР:

Построить график функции

у =
1/3 х3.

Построим график функции у =
х3. Выполним
сжатие графика функции у = х3 в три раза к оси х и получим
график функции

у =
1/3 х3.

Преобразования
графика с модулем.

у = |f(x)|

При f(x)
˃ 0 – график остаётся без изменений,

при f(x) <
0 – график симметрично отражается
относительно оси абсцисс.

ПРИМЕР:

Построить график функции

у =
|х2 – 6|

Построим график функции у = х2. Параллельно переносимо график вниз на 6 единиц
вдоль оси у и получим график функции

у =
х2 – 6.

Отобразим симметрично относительно оси х ту
часть графика, которая находится под осью, и получим график функции

у =
|х2 – 6|

ПРИМЕР:

Построить график функции

у =
|х3|

у =f(|x|)

При x ≥ 0 – график остаётся без изменений,

при x < 0 – график симметрично отражается относительно оси ординат.

ПРИМЕР:

Построить график функции

у =
(|x| – 1)2.

Построим график функции у =
х2 и
параллельно перенесём его вправо на 1 единицы вдоль оси х и получим график
функции

у =
(х – 1)2.

Оставляем ту часть графика, которая соответствует
неотрицательным значением х. Симметрично
отображаем относительно оси у часть полученного графика для неотрицательных
х и получаем график
функции

у
= (|x|
– 1)2.

ПРИМЕР:

Построить график функции

у =
5|x| – 3.

Построим график функции у =
5х и
параллельно перенесём его вниз на 3 единицы вдоль оси у и
получим график функции

у =
5x – 3.

Оставим ту часть графика, которая соответствует
неотрицательным значениям х.
Симметрично отобразим относительно оси у часть полученного графика для неотрицательных х и получим
график функции

у =
5|x| – 3.

Источник

Анна Малкова

В этой статье мы расскажем об основных преобразованиях графиков функций. Что нужно сделать с формулой функции, чтобы сдвинуть ее график по горизонтали или по вертикали. Как задать растяжение графика по горизонтали или вертикали. Как отразить график относительно оси Х или Y.

Очень жаль, что эта тема — полезная и очень интересная — выпадает из школьной программы. На нее не постоянно хватает времени. Из-за этого многим старшеклассникам не даются задачи с параметрами — которые на самом деле похожи на конструктор, где вы собираете решение из знакомых элементов. Хотя бы для того, чтобы решать задачи с параметрами, стоит научиться строить графики функций.

Но конечно, не только для того, чтобы сдать ЕГЭ. Первая лекция на первом курсе технического или экономического вуза посвящена функциям и графикам. Первые зачеты в курсе матанализа связаны с функциями и графиками.

Начнем со сдвигов графиков по Х и по Y.

Сдвиг по горизонтали.

Пусть функция задана формулой и Тогда график функции сдвинут относительно исходной на а вправо. График функции сдвинут относительно исходной на а влево.

Растяжение графика от оси ординат

1. Сдвиг по вертикали.

Пусть функция задана формулой и С — некоторое положительное число. Тогда график функции сдвинут относительно исходного на С вверх. График функции сдвинут относительно исходного на С вниз.

Растяжение графика от оси ординат

Теперь растяжение графика. Или сжатие.

2. Растяжение (сжатие) по горизонтали.

Пусть функция задана формулой и Тогда график функции растянут относительно исходного в k раз по горизонтали, если , и сжат относительно исходного в k раз по горизонтали, если

Растяжение графика от оси ординат

3. Растяжение (сжатие) по вертикали

Пусть функция задана формулой и Тогда график функции растянут относительно исходного в М раз по вертикали, если , и сжат относительно исходного в М раз по вертикали, если

Растяжение графика от оси ординат

И отражение по горизонтали.

4. Отражение по горизонтали

График функции симметричен графику функции относительно оси Y.

Растяжение графика от оси ординат

5. Отражение по вертикали.

График функции симметричен графику функции относительно оси Х.

Растяжение графика от оси ординат

Друзья, не возникло ли у вас ощущения, что вы все это где-то видели? Да, наверняка видели, если когда-либо редактировали изображения в графическом редакторе на компьютере. Изображение можно сдвинуть (по горизонтали или вертикали). Растянуть (по горизонтали или вертикали). Отразить. И все это мы делаем с графиками функций.

И еще два интересных преобразования. Здесь в формулах присутствует знак модуля. Если не помните, что такое модуль, — срочно повторите эту тему.

6. Графики функций и

На рисунке изображен график функции Она специально взята такая — несимметричная относительно нуля.

Растяжение графика от оси ординат

Построим график функции

Конечно же, мы пользуемся определением модуля.

Это мы и видим на графике. Для неотрицательных значений х график остался таким же, как был. А вместо каждого отрицательного х мы взяли противоположное ему положительное число. И поэтому вся та часть графика функции, что лежала слева от оси Х, заменилась на зеркально отраженную правую часть графика.

Растяжение графика от оси ординат

Теперь график функции Вы уже догадались, что будет. Вся часть графика, лежащая ниже оси Х, зеркально отражается в верхнюю полуплоскость. А верхняя часть графика, лежащая выше оси Х, остается на месте.

Растяжение графика от оси ординат

Как определить по формуле функции, будет график преобразован по горизонтали (по Х) или по вертикали (по Y)? Разница очевидна. Если сначала мы что-либо делаем с аргументом х (прибавляем к нему какое-либо число, умножаем на какое-либо число или берем модуль) — преобразование по Х. Если сначала мы нашли функцию, а затем уже к значению функции что-то прибавили, или на какое-нибудь число умножили, или взяли модуль, — преобразование по Y.

Вот самые простые задачи на преобразование графиков.

1. Построим график функции

Это квадратичная парабола, сдвинутая на 3 влево по x и на 1 вниз по y.

Вершина в точке

Растяжение графика от оси ординат

2. Построим график функции

Выделим полный квадрат в формуле.

График — квадратичная парабола, сдвинутая на 2 вправо по x и на 5 вниз по y.

Обратите внимание: график функции пересекает ось y в точке На нашем графике это точка

Растяжение графика от оси ординат

Продолжение — в статье «Построение графиков функций».

Источник

Как построить график функции
с помощью геометрических преобразований графиков?

Сжатие (растяжение) графика к (от) оси ординат.
Симметричное отображение графика относительно оси

Первая группа действий связана с умножением АРГУМЕНТА функции на число. Для удобства я разобью правило на несколько пунктов:

Сжатие графика функции к оси ординат

Это случай когда АРГУМЕНТ функции умножен на число, бОльшее единицы.

Правило: чтобы построить график функции , где , нужно график функции сжать к оси в раз.

Пример 1

Построить график функции .

Сначала изобразим график синуса, его период равен :

Мысленно возьмём синусоиду в руки и сожмём её к оси в 2 раза:

То есть, график функции получается путём сжатия графика к оси ординат в два раза. Логично, что период итоговой функции тоже уполовинился:

В целях самоконтроля можно взять 2-3 значения «икс» и устно либо на черновике выполнить подстановку:

Смотрим на чертёж, и видим, что это действительно так.

Аналогичную блиц-проверку полезно осуществлять в любом другом примере! Более того, она лучше поможет усвоить суть того или иного преобразования.

Пример 2

Построить график функции

График функции  сжимается к оси  в 3 раза:

Итоговый график  проведён красным цветом.
Исходный период  косинуса закономерно уменьшается в три раза:  (отграничен жёлтыми точками).

Растяжение графика функции от оси ординат

Это противоположное действие, теперь график не сжимается, а растягивается.
Случай имеет место, когда АРГУМЕНТ функции умножается на число .

Правило: чтобы построить график функции , где , нужно график функции растянуть от оси в раз.

Пример 3

Построить график функции

Берём в руки нашу «бесконечную гармошку»:

И растягиваем её от оси в 2 раза:

То есть, график функции получается путём растяжения графика от оси ординат в два раза. Период итоговой функции увеличивается в 2 раза: , он толком даже не вместился на данный чертёж.

Симметричное отображение графика функции относительно оси ординат

АРГУМЕНТ функции меняет знак.

Правило: чтобы построить график функции , нужно график отобразить симметрично относительно оси .

Сдвиг графика влево/вправо вдоль оси абсцисс

Если к АРГУМЕНТУ функции добавляется число, то происходит сдвиг (параллельный перенос) графика вдоль оси . Рассмотрим функцию и положительное число :

Правила:
1) чтобы построить график функции , нужно график сдвинуть ВДОЛЬ оси на единиц влево;
2) чтобы построить график функции , нужно график сдвинуть ВДОЛЬ оси на единиц вправо.

Пример

Построить график функции

График синуса (чёрный цвет) сдвинем вдоль оси на влево:

Внимательно присмотримся к полученному красному графику …. Это в точности график косинуса ! По сути, мы получили геометрическую иллюстрацию формулы приведения , и перед вами, пожалуй, самая «знаменитая» формула, связывающая данные тригонометрические функции. График функции получается путём сдвига синусоиды вдоль оси на единиц влево (о чём уже говорилось на уроке Графики и свойства элементарных функций).

Пример 9

Построить график функции

Представим функцию в виде и выполним следующие преобразования: синусоиду (чёрный цвет):

1) сожмём к оси в два раза: (синий цвет);
2) сдвинем вдоль оси на (!!!) влево: (красный цвет):

Пример вроде бы несложный, а пролететь с параллельным переносом легче лёгкого. График сдвигается на , а вовсе не на .

Растяжение (сжатие) графика ВДОЛЬ оси ординат.
Симметричное отображение графика относительно оси абсцисс

1) Если ФУНКЦИЯ умножается на число , то происходит растяжение её графика вдоль оси ординат.

Правило: чтобы построить график функции , где , нужно график функции растянуть вдоль оси в раз.

2) Если ФУНКЦИЯ умножается на число , то происходит сжатие её графика вдоль оси ординат.

Правило: чтобы построить график функции , где , нужно график функции сжать вдоль оси в раз.

Пример 11

Построить графики функций .

Берём синусоиду за макушку/пятки:

И вытягиваем её вдоль оси в 2 раза:

Период функции не изменился и составляет , а вот значения (все, кроме нулевых) увеличились по модулю в два раза, что логично – ведь функция умножается на 2, и область её значений удваивается: .

Теперь сожмём синусоиду вдоль оси в 2 раза:

Аналогично, период не изменился, но область значений функции «сплющилась» в два раза: .

Продолжим изучать умножение функции на число: . Случаи не представляют интереса, поэтому рассмотрим отрицательные коэффициенты. Сначала распространённый частный случай :

Если ФУНКЦИЯ меняет знак на противоположный, то её график отображается симметрично относительно оси абсцисс.

Правило: чтобы построить график функции , нужно график отобразить симметрично относительно оси .

Пример 13

Построить график функции

Отобразим синусоиду симметрично относительно оси :

Сдвиг графика вверх/вниз вдоль оси ординат

Если к ФУНКЦИИ добавляется число, то происходит сдвиг (параллельный перенос) её графика вдоль оси . Рассмотрим функцию и положительное число :

Правила:
1) чтобы построить график функции , нужно график сдвинуть ВДОЛЬ оси на единиц вверх;
2) чтобы построить график функции , нужно график сдвинуть ВДОЛЬ оси на единиц вниз.

Пример 15

Построить графики функций .

Комбинационное построение графика в общем случае осуществляется очевидным образом:

1) График функции растягиваем (сжимаем) вдоль оси . Если множитель отрицателен, дополнительно осуществляем симметричное отображение относительно оси .

2) Полученный на первом шаге график сдвигаем вверх или вниз в соответствии со значением константы .

Пример 16

Построить график функции

График косинуса (чёрный цвет):

1) Растягиваем вдоль оси в 1,5 раза: (синий цвет);
2) Сдвигаем вдоль оси Растяжение графика от оси ординат

Растяжение графика от оси ординат

Êàëüêóëÿòîðû ïî àëãåáðå

Ìàòåìàòè÷åñêèå êàëüêóëÿòîðû

Àëãåáðà 6,7,8,9,10,11 êëàññ, ÅÃÝ, ÃÈÀ

Ãðàôèêè ýëåìåíòàðíûõ ôóíêöèé

Ôóíêöèÿ. Ïîêàçàòåëüíàÿ ôóíêöèÿ.

Ôóíêöèÿ. Ëèíåéíûå ôóíêöèè.