Расчеты на прочность при растяжении и сжатии задачи
Сопротивление материалов
Решение задач на растяжение и сжатие
Расчеты на прочность при растяжении и сжатии
В результате проведения механических испытаний устанавливают предельные напряжения, при которых происходит нарушение работы или разрушение деталей конструкции.
Предельным напряжением при статической нагрузке для пластичных материалов является предел текучести, для хрупких — предел прочности.
Для обеспечения прочности деталей необходимо, чтобы возникающие в них в процессе эксплуатации наибольшие напряжения были меньше предельных.
Отношение предельного напряжения к напряжению, возникающему в процессе работы детали, называют коэффициентом запаса прочности и обозначают буквой s:
s = σпред / σ,
где σ = N / А – реальное напряжение, возникающее в элементе конструкции.
Недостаточный коэффициент запаса прочности может привести к потере работоспособности конструкции, а избыточный (слишком высокий) — к перерасходу материала и утяжелению конструкции. Минимально необходимый коэффициент запаса прочности называют допускаемым, и обозначают [s].
Отношение предельного напряжения к допускаемому запасу прочности называют допускаемым напряжением, и обозначают [σ]:
[σ] = σпред / [s].
Условие прочности в деталях и конструкциях заключается в том, что наибольшее возникающее в ней напряжение (рабочее напряжение) не должно превышать допускаемого:
σmax≤ [σ], или в другом виде: s ≥ [s].
Если допускаемые напряжения при растяжении и сжатии различны, их обозначают [σр] и [σс].
Расчетная формула при растяжении и сжатии имеет вид:
σ = N / А ≤ [σ]
и читается следующим образом: нормальное напряжение в опасном сечении, вычисленное по формуле σ = N /А, не должно превышать допустимое.
На практике расчеты на прочность проводят для решения задач:
— проектный расчет, при котором определяются минимальные размеры опасного сечения;
— проверочный расчет, при котором определяется рабочее напряжение и сравнивается с предельно допустимым;
-определение допускаемой нагрузки при заданных размерах опасного сечения.
***
Растяжение под действием собственного веса
Если ось бруса вертикальна, то его собственный вес вызывает деформацию растяжения или сжатия.
Рассмотрим брус постоянного сечения весом G, длиной l, закрепленный верхним концом и нагруженный только собственным весом G (рис.1).
Для определения напряжений в поперечном сечении на переменном расстоянии z от нижнего конца применим метод сечений.
Рассмотрим равновесие нижней части бруса и составим уравнение равновесия:
Σ Z = 0; Nz — Gz = 0, откуда:
Nz = Gz = γ А z,
где γ — удельный вес материала бруса, А – площадь его поперечного сечения, z — длина части бруса от свободного конца до рассматриваемого сечения.
Напряжения, возникающие в сечениях бруса, нагруженного собственным весом, определяются по формуле:
σz = Nz / А = γ А z / А = γ z,
т. е. для нагруженного собственным весом бруса нормальное напряжение не зависит от площади поперечного сечения. Очевидно, что опасное сечение будет находиться в заделке:
σmax = γ l.
Эпюра распределения напряжений вдоль оси бруса представляет собой треугольник.
Если требуется определить максимальную длину бруса, нагруженного собственным весом, используют расчет по предельному допустимому напряжению в сечении:
lпр = [σ] / γ.
***
Статически неопределимые задачи
Иногда в практике расчета конструкций требуется определить неизвестные силовые факторы (например, реакции связей или внутренние силы), при этом количество неизвестных силовых факторов превышает количество возможных уравнений равновесия для данной конструкции, и расчет произвести рассмотренными ранее способами не представляется возможным.
Задачи на расчет конструкций, в которых внутренние силовые факторы не могут быть определены с помощью одних лишь уравнений равновесия статики, называют статически неопределимыми. Подобные задачи нередко встречаются при расчете конструкций, подверженных температурным деформациям.
Для решения таких задач помимо уравнений равновесия составляют уравнение перемещений или деформаций.
Рассмотрим невесомый стержень постоянного сечения площадью А, длиной l, жестко защемленный по концам (см. рис. 2).
При нагревании в стержне возникают температурные напряжения сжатия.
Попробуем определить эти напряжения.
Составим для стержня уравнение равновесия:
Σ Z = 0; RС — RВ = 0,
откуда следует, что реакции RС и RВ равны между собой, а применив метод сечений установим, что продольная сила N в сечениях стержня равна неизвестным реакциям:
N = RС = RВ.
Составим дополнительное уравнение, для чего мысленно отбросим правую заделку и заменим ее реакцией RВ, тогда дополнительное уравнение деформации будет иметь вид:
Δlt = ΔlСВ
т. е. температурное удлинение стержня равно его укорочению под действием реакции RB, так как связи предполагаются абсолютно жесткими.
Температурное удлинение стержня определяется по формуле: Δlt = αtl, где α — коэффициент линейного расширения стержня.
Укорочение стержня под действием реакции: ΔlСВ = RB l / (EА).
Приравняв правые части равенств, получим:
αtl = RB l / (EА), откуда RB = αtEА.
Температурные напряжения в реальных конструкциях могут достигать значительных величин. Чтобы исключить их отрицательное влияние на прочность конструкций, прибегают к различным методам. Мосты, например, закрепляют лишь на одном конце (на одном берегу), а второй конец оставляют подвижным.
В длинных трубопроводах, подверженных температурным напряжениям, делают компенсирующие карманы, петли и т. д.
***
Материалы раздела «Растяжение и сжатие»:
- Примеры решения задач по сопромату.
- Основные понятия о деформации растяжения и сжатия.
- Деформации при растяжении и сжатии. Потенциальная энергия деформации растяжения.
Срез
Правильные ответы на вопросы Теста № 6
№ вопроса | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
Правильный вариант ответа | 2 | 1 | 1 | 3 | 3 | 2 | 1 | 3 | 2 | 1 |
Источник
Задача. Определить напряжение в стальных стержнях, поддерживающих абсолютно жёсткую балку. Материал — сталь Ст3, α=60°, [σ]=160МПа.
- Схему вычерчиваем в масштабе. Нумеруем стержни.
В шарнирно-неподвижной опоре А возникают реакции RА и НА. В стержнях 1 и 2 возникают усилия N1 и N2. Применим метод сечений. Замкнутым разрезом вырежем среднюю часть системы. Жесткую балку покажем схематично — линией, усилия N1 и N2 направим от сечения.
Составляем уравнения равновесия
Количество неизвестных превышает количество уравнений статики на 1. Значит, система один раз статически неопределима, и для её решения потребуется одно дополнительное уравнение. Чтобы составить дополнительное уравнение, следует рассмотреть схему деформации системы. Шарнирно-неподвижная опора А остается на месте, а стержни деформируются под действием силы.
Схема деформаций
По схеме деформаций составим условие совместности деформаций из рассмотрения подобия треугольников АСС1и АВВ1. Из подобия треугольников АВВ1 и АСС1 запишем соотношение:
, где ВВ1=Δℓ1 (удлинение первого стержня)
Теперь выразим СС1 через деформацию второго стержня. Укрупним фрагмент схемы.
Из рисунка видно, что СС2 = СС1·cos (90º-α)= СС1·sinα.
Но СС2= Δℓ2 , тогда Δℓ2= СС1·sinα, откуда:
Превратим условие совместности деформации (4) в уравнение совместности деформации с помощью формулы Гука для деформаций. При этом обязательно учитываем характер деформаций (укорочение записываем со знаком «-», удлинение со знаком «+»).
Тогда уравнение совместности деформаций будет:
Сокращаем обе части на Е, подставляем числовые значения и выражаем N1 через N2
Подставим соотношение (6) в уравнение (3), откуда найдем:
N1 = 7,12кН (растянут),
N2 =-20,35кН (сжат).
Определим напряжения в стержнях.
Задача решена.
Расчет бруса с зазором. Для статически неопределимого стального ступенчатого бруса построить эпюры продольных сил, нормальных напряжений, перемещений. Проверить прочность бруса. До нагружения между верхним концом и опорой имел место зазор Δ=0,1 мм. Материал – сталь Ст 3, модуль продольной упругости Е=2·105 МПа, допускаемое напряжение [σ]=160МПа.
- После нагружения зазор закроется и реакции возникнут и в нижней, и в верхней опоре. Покажем их произвольно, это реакции RA и RВ. Составим уравнение статики.
∑у=0 RA — F1 + F2 — RВ=0
В уравнении 2 неизвестных, а уравнение одно, значит задача 1 раз статически неопределима, и для ее решения требуется 1 дополнительное уравнение.
Это уравнение совместности деформаций. В данном случае совместность деформаций участков бруса состоит в том, что изменение длины бруса (удлинение) не может превзойти величины зазора, т.е. Δℓ=Δ, это условие совместности деформации.
- Теперь разобьем брус на участки и проведем на них сечения – их 4 по количеству характерных участков. Каждое сечение рассматриваем отдельно, двигаясь в одном направлении – от нижней опоры вверх. В каждом сечении выражаем силу N через неизвестную реакцию. Направляем N от сечения.
Выпишем отдельно значения продольных сил в сечениях:
N1 = — RА
N2 = 120 — RА
N3 = 120 — RА
N4 = 30- RА
3. Вернемся к составлению условия совместности деформации. Имеем 4 участка, значит
Δℓ1+ Δℓ2+ Δℓ3+ Δℓ4= Δ (величина зазора).
Используя формулу Гука для определения абсолютной деформации составим уравнение совместности деформаций, — это именно то дополнительное уравнение, которое необходимо для решения задачи.
Попробуем упростить уравнение. Помним, что величина зазора Δ=0,1 мм = 0,1·10-3 м
Е – модуль упругости, Е=2·105МПа=2·108кПа.
Подставляем вместо N их значения, записанные через опорную реакцию RА.
4. Вычисляем N и строим эпюру продольных сил.
N1=- RА=-47,5кН
N2=120 — RА=72,5кН
N3=120 — RА=72,5кН
N4=30- RА=-17,5кН.
5. Определяем нормальные напряжения σ по формуле и строим их эпюры
Строим эпюру нормальных напряжений.
Проверяем прочность.
σmax= 90,63 МПа < [σ]=160МПа.
Прочность обеспечена.
- Вычисляем перемещения, используя формулу Гука для деформаций.
Идем от стены А к зазору.
Получили величину ω4, равную зазору ,это является проверкой правильности определения перемещений.
Строим эпюру перемещений.
Задача решена.
Для статически определимого стального ступенчатого бруса построить эпюры продольных сил, нормальных напряжений и перемещений. Проверить прочность бруса. Материал – сталь Ст 3, модуль продольной упругости Е=2·105 МПа, допускаемое напряжение [σ]=160МПа.
- Произвольно направляем реакцию стены RAи определяем её из уравнения равновесия.
∑у=0 — RA+F3 — F2+ F1 =0
RA= F3 — F2+ F1 =60-25+10=45кН.
- Определяем продольные силы N методом сечений. Сечение расставляем на характерных участках (между изменениями). Подсказкой может служить размерная нитка – сколько отсечено отрезков, столько будет и участков с сечениями. В нашей задаче их 6.Каждое сечение рассматриваем отдельно с любой стороны на наше усмотрение. Силу N направляем от сечения.
Строим эпюру N. Все значения откладываем перпендикулярно от нулевой линии в выбранном нами масштабе.
Положительные значения условимся откладывать вправо от нулевой линии, отрицательные — влево.
- Определяем нормальные напряжения σ в сечениях по формуле . Внимательно смотрим, по какой площади проходит сечение.
Строим эпюру σ.
Проверим прочность по условию прочности
|σmax|= 75 МПа < [σ]=160МПа.
Прочность обеспечена.
4. Определяем перемещение бруса.
Расчет ведется от стены, в которой перемещение равно нулю ωА= 0.
Формула Гука для определения абсолютной деформации участка
Определяем перемещения:
Строим эпюру перемещений ω.
Задача решена.
На стальной стержень действует продольная сила Р и собственный вес (γ = 78 кН/м3). Найти перемещение сечения 1 –1.
Дано: Е =2·105 МПа, А = 11 см2, а = 3,0 м, в = 3,0 м, с= 1,3 м, Р = 2 кН.
Учет собственного веса
Перемещение сечения 1 –1 будет складываться из перемещения от действия силы Р, от действия собственного веса выше сечения и от действия собственного веса ниже сечения. Перемещение от действия силы Р будет равно удлинению участка стержня длиной в+а ,расположенного выше сечения 1 –1. Нагрузка Р вызывает удлинение только участка а, так как только на нем имеется продольная сила от этой нагрузки. Согласно закону Гука удлинение от действия силы Р будет равно: Определим удлинение от собственного веса стержня ниже сечения 1 –1.
Обозначим его как . Оно будет вызываться собственным весом участка с и весом стержня на участке а+в
Определим удлинение от собственного веса стержня выше сечения 1 –1.
Обозначим его как Оно будет вызываться собственным весом участка а+в
Тогда полное перемещение сечения 1-1:
Т.е, сечение 1-1 опустится на 0,022 мм.
Абсолютно жесткий брус опирается на шарнирно неподвижную опору и прикреплен к двум стержням при помощи шарниров. Требуется: 1) найти усилия и напряжения в стержнях, выразив их через силу Q; 2) Найти допускаемую нагрузку Qдоп, приравняв большее из напряжений в двух стержнях к допускаемому напряжению ; 3) найти предельную грузоподъемность системы , если предел текучести 4) сравнить обе величины, полученные при расчете по допускаемым напряжениям и предельным нагрузкам. Размеры: а=2,1 м, в=3,0 м, с=1,8 м, площадь поперечного сечения А=20 см2
Данная система один раз статически неопределима. Для раскрытия статической неопределимости необходимо решить совместно уравнение равновесия и уравнение совместности деформаций стержней.
(1) -уравнение равновесия
Составим деформационную схему — см. рис. Тогда из схемы: (2)
По закону Гука имеем:
Длины стержней: Тогда получим:
Подставим полученное соотношение в уравнение (1):
Определяем напряжение в стержнях:
Допускаемая нагрузка:
В предельном состоянии: Подставим полученные соотношения в уравнение (1):
При сравнении видим увеличение нагрузки:
Колонна, состоящая из стального стержня и медной трубы, сжимается силой Р. Длина колонны ℓ. Выразить усилия и напряжения, возникающие в стальном стержне и медной трубе.Проведем сечение 1 – 1 и рассмотрим равновесие отсеченной части
Составим уравнение статики: NC+ NM — P= 0 , NC+ NM = P (1)
Задача статически неопределима. Уравнение совместности деформации запишем из условия, что удлинения стального стержня и медной трубы одинаковы: (2) или Сократим обе части на длину стержня и выразим усилие в медной трубе через усилие в стальном стержне :
(3) Подставим найденное значение в уравнение (1), получим:
При совместной работе всегда сильнее напряжен элемент из материала с большим модулем упругости. При ЕС = 2·105 МПа, ЕМ = 1·105 МПа:
Для колонны определить напряжения на всех участках. После приложения силы Р зазор закрывается, Р = 200 кН, Е = 2.105 МПа, А = 25 см2 После приложения силы Р возникнут усилия в защемлениях. Обозначим их как C и В.
Составим уравнение статики: ∑y = 0; С + В – Р = 0; (1)
Дополнительное уравнение совместности деформаций: ∆ℓ1+∆ℓ2=0,3 мм (2);
Чтобы найти абсолютную деформацию, необходимо знать продольную силу на участке. На первом участке продольная сила равна С, на втором разности (С- Р). Подставим эти значения в выражения абсолютных деформаций: (3)
Подставляем выражение (3) в выражение (2) и находим: С = 150 кН, а из (1) B = 50 кН .
Тогда напряжения на участках:
На трех стальных стержнях подвешена жесткая балка; стержень 2 выполнен короче проектного. Определить напряжения в стержнях после сборки системы. Дано:
Схема заданной системы
После завершения сборки в данной системе жесткая балка повернется и займет новое положение.
Схема деформирования
Точки С, D и К переместятся в положения С1, D1 и К1
Согласно картине деформирования СС1=Δℓ1, DD1=Δ−D1D2 = Δ−Δℓ2, KK1= Δℓ3, при этом стержни 1 и 3 испытывают сжатие, а стержень 2 – растяжение.
В соответствии со схемой деформирования уравнение равновесия примет вид:
Дополнительные уравнения можно получить на основе анализа схемы деформирования; из подобия треугольников ВСС1 и BDD1, треугольников ВСС1 и BKK1следует:
Согласно закона Гука абсолютные деформации:
Тогда дополнительные уравнения запишутся следующим образом: Решая совместно данную систему полученных дополнительных уравнений и уравнение равновесия , получим:
N1=14,3 кН (стержень сжат), N2=71,5 кН (стержень растянут), N3=42,9 кН (стержень сжат).
Таким образом, искомые напряжения в стержнях имеют значения: Задача решена.
Ступенчатый медный стержень нагревается от температуры tН=20ºС до tК=50ºС. Проверить прочность стержня. Дано:
Составим уравнение равновесия стержня в предположении замены внешних связей реактивными силами: Как видим ,система статически неопределима, и для ее решения требуется дополнительное уравнение.
Уравнение совместности деформаций следует из условия, что перемещения внешних связей равны 0 — WВ=0 или WК=0. Таким образом:Откуда:
В результате RB=20723Н.
Нормальные силы и напряжения на участках:
Согласно результатам расчетов σmax=│69,1│MПа, при этом σmax< σadm, (69,1<80). Следовательно, условие прочности стержня выполняется.
Расчет стержня с зазором. Для стального ступенчатого стержня при наличии зазора между нижним торцом и опорой требуется: построить эпюры нормальных сил и напряжений, перемещений; проверить прочность. Дано:
Схема стержня; эпюры нормальных сил, напряжений и перемещений
Составим уравнение равновесия стержня:
В нем два неизвестных, система один раз статически неопределима ,требуется дополнительное уравнение — уравнение деформаций.
Дополнительное уравнение можно записать из условия закрытия зазора в процессе деформирования стержня:
Для рассматриваемых участков их абсолютные деформации:
Определим нормальные (продольные) силы методом сечений, идем от стены к зазору:
Подставим все найденные значения в дополнительное уравнение:
После подстановки исходных данных и сокращений:
Из уравнения равновесия получаем:
Таким образом, RВ=40,74 кН, RК=9,26 кН.
Расчет нормальных сил: Строим эпюру N
Расчет нормальных напряжений: