Расчет вала на кручение и растяжение

Примеры решения задач по сопротивлению материалов

На этой странице приведен еще один пример решения задачи по Сопромату, в которой необходимо произвести расчет вала переменного сечения (ступенчатого), нагруженного крутящими моментами. По результатам расчетов необходимо подобрать размеры вала, а также определить максимальную деформацию вала на скручивание (угол закручивания).

Результаты расчетов оформлены эпюрами крутящих моментов, касательных напряжений и углов закручивания бруса.

Студентам технических специальностей ВУЗов в качестве методической помощи предлагаются к скачиванию готовые варианты контрольных работ по сопромату (прикладной механике). Представленные задания и примеры их решения предназначены, в частности, для учащихся Алтайского Государственного технического университета.
Варианты контрольных работ можно скачать в формате Word для ознакомления с порядком решения заданий, или для распечатывания и защиты (при совпадении вариантов).

***

Расчет вала

Условие задачи:

К стальному валу, состоящему из 4-х участков длиной l1…l4 приложено четыре сосредоточенных момента М1…М4 (см. рис. 1 ).

Требуется:

Построить эпюру крутящих моментов Мкр, подобрать диаметр вала из расчета на прочность, построить эпюру максимальных касательных напряжений τmax, построить эпюру углов закручивания φ вала и определить наибольший относительный угол закручивания вала.

Исходные данные:

Нагрузки, кН×м:

М1 = -4,5;
М2 = -2,6;
М3 = -3,1;
М4 = -2,0;

Длина участков, м:

l1 = 0,9;
l2 = 0,6;
l3 = 0,9;
l4 = 0,4;

Указания:

Вычертить схему вала в соответствии с исходными данными.
Знаки моментов в исходных данных означают: плюс – момент действует против часовой стрелки относительно оси Z, минус – по часовой стрелке (см. навстречу оси Z). В дальнейшем значения моментов принимать по абсолютной величине.
Участки нумеровать от опоры.
Допускаемое касательное напряжение [τ] для стали принимать равным 100 МПа.

Решение:

1. Определим методом сечений значения крутящих моментов на каждом силовом участке от свободного конца вала.
Крутящий момент равен алгебраической сумме внешних моментов, действующих на вал по одну сторону сечения.

МIV = -М1 = -4,5 (кН×м);
МIII = -М1 — М2 = -4,5 — 2,6 = -7,1 (кН×м);
МII = -М1 — М2 – М3 = -4,5 – 2,6 – 3,1 = -10,2 (кН×м);
МI = -М1 — М2 – М3 – М4 = -4,5 – 2,6 – 3,1 – 2,0 = -12,2 (кН×м).

2. Подберем сечение вала из расчета на прочность при кручении по полярному моменту сопротивления для участка, где величина крутящего момента максимальная (без учета знака):

WP≥ Мкр/[τ] .

Так как для круглого сечения полярный момент равен: Wр = πD3/16, то можно записать:

D ≥ 3√(16Мкр/π[τ]) ≥ 3√(16×12,2×103/3,14×[100×106]) = 0,0855 м или D ≥ 85,5 мм.

(Здесь и далее знак «√» означает квадратный корень из выражения)

В соответствии со стандартным рядом, предусмотренным ГОСТ 12080-66, принимаем диаметр вала D = 90 мм.

3. Определим угол закручивания для каждого участка вала по формуле:

φ = Мкр×l/G×Iр,

где
G – модуль упругости 2-го рода; для стали G = 8×1010 Па;
Ip – полярный момент инерции (для круглого сечения Iр = πD4/32 ≈ 0,1D4, м4).
Произведение G×Iр = 8×1010×0,1×0,094 ≈ 524880 Н×м2 – жесткость сечения данного вала при кручении.

Расчитываем углы закручивания на каждом участке:

φI = -12,2×103×0,9/524880 = -0,0209 рад;
φII = -10,2×103×0,6/524880 = -0,0116 рад;
φIII = -7,1×103×0,9/524880 = -0,0122 рад;
φIV = -4,5×103×0,4/524880 = -0,0034 рад.

4. Определяем углы закручивания сечений вала, начиная от жесткой заделки (опоры):

φ0-0 = 0 рад;
φ1-1 = φI= -0,0209 рад;
φ2-2 = φI + φII= -0,0209 — 0,0116 = -0,0325 рад;
φ3-3 = φI + φII + φIII= -0,0209 — 0,0116 — 0,0122 = -0,0447 рад;
φ4-4 = φI + φII + φIII + φIV = -0,0209 — 0,0116 — 0,0122 -0,0034 = -0,0481 рад.

5. Определяем максимальное касательное напряжение на каждом силовом участке по формуле:

τmax = Мкр/Wp = 16Мкр/πD3≈ 5Мкр/D3.

Тогда:

τmaxIV = 5×-4,5×103/0,093 = -30864197 Па ≈ -30,086 МПа;
τmaxIII = 5×-7,1×103/0,093 = -48696844 Па ≈ -48,700 МПа;
τmaxII = 5×-10,2×103/0,093 = -69958847 Па ≈ -69,959 МПа;
τmaxI = 5×-12,2×103/0,093 = -83676268 Па ≈ -83,676 МПа.

6. Наибольший относительный угол закручивания Θmax определим по формуле:

Θmax = МКРmax/G×Iр = -12,2×103/524880 = 0,0232 рад/м.

7. По результатам расчетов строим эпюры крутящих моментов Мкр, касательных напряжений τmax и углов закручивания φ (см. рис. 2).

***

Расчет двутавровой балки на изгибную прочность

Сопротивление материалов

Источник

Рассмотрим расчет осей. Оси нагружены только изгибающими нагрузками и соответственно их рассчитывают на изгиб. После составления расчетной схемы и определения всех сил, действующих на ось, строят эпюру изгибающих моментов и по максимальному изгибающему моменту рассчитывают ось.

Расчет осей на статическую прочность при изгибе:
проверочный

проектировочный
$d=root{3}{{10M}/delim {[}{sigma_и}{]}}$

где σи — расчетное напряжение изгиба в опасном сечении оси;
М — изгибающий момент в опасном сечении оси;
0,1d3 — момент сопротивления изгибу сечения оси;
d — диаметр оси;
[σи] — допускаемое напряжение на изгиб. Для вращающихся осей [σи] можно принимать из табл. Для невращающихся осей значения [σи] следует повысить на 75%.

Вал перед расчетом на прочность

Рассмотрим расчет валов, работающих только на кручение:
проверочный

проектировочный

где τk — расчетное напряжение кручения в опасном сечении вала;
Т — крутящий момент в опасном сечении вала;
d — диаметр вала;
0,2d3 — полярный момент сопротивления поперечного сечения вала;
[τk] — допускаемое напряжение на кручение для вала:

где [σи] — допускаемое напряжение на изгиб для вала (см. табл.).

Расчетом валов на кручение пользуются иногда как предварительным, после которого вал окончательно рассчитывают на статическую прочность — совместное действие изгиба и кручения или на сопротивление усталости.

При предварительном условном расчете валов только на кручение [τk] для учета изгиба принимают пониженным. Для стальных валов можно принять [τk]=20 МПа.

Рассмотрим расчет валов на совместное действие изгиба и кручения. В большинстве случаев валы работают одновременно на изгиб и кручение. Некоторые валы, например вал, на котором насажено коническое зубчатое колесо или червячное колесо, могут дополнительно работать на растяжение или сжатие. Напряжения растяжения (сжатия) в валах невелики по сравнению с напряжениями изгиба, и влияние растягивающих или сжимающих сил обычно не учитывают, т. е. рассчитывают валы на совместное действие изгиба и кручения. Порядок расчета валов в этом случае следующий.

Для определения диаметра вала необходимо знать значения изгибающих моментов в опасных сечениях. А для этого нужно знать не только значения сил, действующих на вал, но и расположение сечений вала, в которых действуют эти силы. Это, в свою очередь, вызывает необходимость знать конструкцию вала. Но конструкция вала определяется в основном в зависимости от его диаметра. Поэтому если конструкция вала не задана, то обычно предварительно определяют диаметр вала из расчета на кручение по пониженным допускаемым напряжениям, В некоторых случаях для предварительного определения диаметра вала пользуются эмпирическими зависимостями. Так, например, диаметр конца входного вала редуктора, соединяемого непосредственно с электродвигателем, принимают в пределах 0,8… 1,2 от диаметра вала электродвигателя; диаметр ведомого вала каждой ступени цилиндрического зубчатого редуктора принимают 0,3…0,35 от межосевого расстояния ступени. По предварительно принятому или вычисленному по формуле

диаметру вала устанавливают его конструкцию и намечают местоположение опор. Затем составляют расчетную схему вала, определяют все силы, действующие на вал, строят эпюры изгибающих и крутящих моментов и затем производят расчет вала. Если силы, действующие на вал, расположены не в одной плоскости, то их необходимо разложить по двум взаимно перпендикулярным плоскостям и определить в этих плоскостях опорные реакции и изгибающие моменты, а затем геометрически суммировать реакции и моменты. Если угол между плоскостями действия сил ≤30°, можно считать, что все силы действуют в одной плоскости. При отклонении сил от координатных плоскостей на угол ≤15° эти силы можно совмещать с данными плоскостями.

Вал после расчета на прочность

Результирующие опорная реакция F и изгибающий момент М в соответствующем сечении вала:

где Fx, Fy, Mx и Му — соответственно опорные реакции и изгибающие моменты во взаимно перпендикулярных плоскостях.

Приведенный или эквивалентный момент вычисляют по третьей теории прочности:

Расчет вала на совместное действие изгиба и кручения:
проверочный

$sigma_{э к в}=M_{э к в}/{0.1d^3}<=delim {[}{sigma_и}{]}$
проектировочный
$d=root{3}{{10M_{э к в}}/delim {[}{sigma_и}{]}}$

где σэкв — приведенное (эквивалентное) напряжение для расчетного сечения вала;
d — диаметр вала;
0,1d3 — момент сопротивления сечения вала при изгибе;
[σи] — допускаемое напряжение на изгиб (см. табл.).

Источник

При расчетах на прочность при кручении (также как и при растяжении) могут решаться три задачи:

а) проверочный расчет – проверить, выдержит ли вал приложенную нагрузку;

б) проектировочный расчет — определить размеры вала из условия его прочности;

в) расчет по несущей способности — определить максимально допустимый крутящий момент.

— При проверочном расчете на прочность рекомендуется следующий порядок расчета валов при кручении:

1) по схеме вала и действующим на него скручивающим моментам строят эпюру внутренних крутящих моментов по отдельным участкам;

2) выбирают материал для рассчитываемого вала и определяют для этого материала допускаемое напряжение, например по формуле (5.9), ;

3) для участка вала с максимальным по модулю значением крутящего момента записывают условие прочности при кручении

— Проектировочный расчет проводится, исходя из условия прочности на основе следующего соотношения:

Для сплошного круглого сечения , отсюда можем записать выражение для определения диаметра вала из условия его прочности:

Для кольцевого сечения

Определив размеры вала из условия прочности, проверяют вал на жесткость.

Условие жесткости требует, чтобы максимальный относительный угол закручивания , был меньше или в предельном случае равен допускаемому углу закручивания единицы длины вала, т.е.

Из условия прочности можно найти необходимый для обеспечения прочности полярный момент сопротивления сечения, а по нему и диаметр вала:

но Wp = 0,2d3, поэтому

Из формулы (5.11) можно найти необходимый полярный момент инерции сечения, а по нему и диаметр вала

В этой формуле допускаемый относительный угол закручивания должен быть выражен в радианах; если этот угол дан в градусах, то соотношение для определения Ip будет выглядеть следующим образом:

но Ip = 0,1d 4, поэтому

Из двух диаметров, рассчитанных по формулам (5.12) и (5.13), в качестве окончательного диаметра выбирается больший, который обычно округляется до целых миллиметров.

В случае расчета размеров вала кольцевого поперечного сечения при заданном соотношении внутреннего dвн и наружного диаметров d, т.е. при заданном параметре k = dвн /d, формулы (5.12) и (5.13) принимают вид:

Пример 4.

Подобрать диаметр сплошного вала, передающего мощность N=450 л.с. при частоте вращения n=300 об/мин. Угол закручивания не должен превышать одного градуса на 2 метра длины вала; МПа, МПа.

Решение.

Крутящий момент определяем из уравнения

Диаметр вала по условию прочности определяется из уравнения

Диаметр вала по условию жесткости определяется из уравнения

Выбираем больший размер 0,112 м.

Пример 5.

Имеются два равнопрочных вала из одного материала, одинаковой длины, передающих одинаковый крутящий момент; один из них сплошной, а другой полый с коэффициентом полости . Во сколько раз сплошной вал тяжелее полого?

Решение.

Равнопрочными валами из одинакового материала считаются такие валы, у которых при одинаковых крутящих моментах, возникают одинаковые максимальные касательные напряжения, то есть

Условие равной прочности переходит в условие равенства моментов сопротивления:

Откуда получаем:

Отношение весов двух валов равно отношению площадей их поперечных сечений:

Подставляя в это уравнение отношение диаметров из условия равной прочности, получим

Как показывает этот результат, полый вал, будучи одинаковым по прочности, вдвое легче сплошного. Это объясняется тем, что в силу линейного закона распределения касательных напряжений по радиусу вала, внутренние слои относительно мало нагружены.

Пример 6.

Найти мощность в квт, передаваемую валом, если диаметр сплошного вала d=0,15 м, число оборотов вала в минуту n=120, модуль сдвига и угол закручивания участка вала длиной 7,5 м равен 1/15 радиан.

Решение.

Из формулы

Определим передаваемую мощность

Пример 7.

Определить, на сколько процентов увеличится наибольшее напряжение вала при кручении, если в валу сделано центральное отверстие (С=0,4).

Решение.

Полагая , получим следующие выражения для напряжений сплошного и полого валов:

Искомая разница в напряжениях

Пример 8.

Заменить сплошной вал диаметра d=300 мм полым равнопрочным валом с наружным диаметром =350 мм. Найти внутренний диаметр полого вала и сравнить веса этих валов.

Решение.

Наибольшие касательные напряжения в обоих валах должны быть равными между собой:

Отсюда определим коэффициент С

Внутренний диаметр полого вала

Отношение весов равно отношению площадей поперечных сечений:

Из приведенных примеров 5 и 6 видно, что изготовление пустотелых валов, т.е. валов, у которых малонагруженная внутренняя часть удаляется, является весьма эффективным средством снижения затраты материала, а следовательно, и облегчения веса валов. При этом наибольшие напряжения, возникающие в пустотелом валу, мало отличаются от максимальных напряжений в валу сплошного сечения при том же наружном диаметре.

Так в примере 5 за счет сверления при , дающем облегчение вала на 16%, максимальные напряжения в наружных волокнах полого вала возросли всего на 2,6%. В примере 6 равнопрочный пустотелый вал, но с несколько большим наружным диаметром по сравнению со сплошным валом, оказался легче сплошного на 53,4%. Эти примеры наглядно свидетельствуют о рациональности применения пустотелых валов, что широко используется внекоторых областях современного машиностроения, в частности, в моторостроении.

Пример 9.

На участке сплошного круглого вала D=10 см действует крутящий момент Т=8 кHм. Проверить прочность и жёсткость вала, если τadm=50 МПа, Кt adm=0,5 град/м и модуль сдвига G=0,8∙105МПа.

Решение.

Условие безопасной прочности

Выразив Kt в размерности град/м, получим

что превышает величину допускаемого относительного угла закручивания Ktadm=0,5 град/м на 16%.

Следовательно – прочность вала обеспечена τмax=40,75 МПа < 50 МПа, а жёсткость не обеспечена.

Пример 10.

Стальной вал кольцевого сечения D=10 см, d=8 см нагружен моментом, вызвавшим τмах=τadm=70 МПа. Что произойдёт, если этот вал заменить сплошным круглым валом диаметром 8 см (материал сохранён).

Решение.

Максимальные касательные напряжения в вале

Для кольцевого сечения а для вала сплошного сечения . По условию для вала кольцевого сечения τмах=70 МПа, очевидно, что для вала сплошного сечения максимальные напряжения будут больше во столько раз, во сколько его момент сопротивления меньше.

Пример 11.

Для сплошного вала (пример 10) определить появились ли пластические деформации, если известно, что nadm=1,8?

Решение.

Для пластичных материалов nadm=τmax/τadm, следовательно τу =70∙1,8=126 Мпа.

Действующие напряжения превысили предел текучести, следовательно появились пластические деформации.

Пример 12.

К стальному валу (см.рис.5.10) приложены скручивающие моменты: М1, M2, M3, M4. Требуется:

1) построить эпюру крутящих моментов;

2) при заданном значении определить диаметр вала из расчета на прочность и округлить его величину до ближайшей большей, соответственно равной: 30, 35, 40, 45, 50, 60, 70, 80, 90, 100 мм;

3) построить эпюру углов закручивания;

4) найти наибольший относительный угол закручивания.

Дано: М1 = М3 = 2 кНм, М2 = М4 = 1,6 кНм, а = b = с = 1,2 м, = 80 МПа.

Рис.5.10

Решение.

1. Построить эпюру крутящих моментов.

При построений эпюр Мкр примем следующее правило знаков: крутящий момент считается положительным, если при взгляде в торец отсеченной части бруса действующий на него момент представляется направленным по движению часовой стрелки.

Крутящие моменты, возникающие в поперечных сечениях брусьев, определяются по внешним окручивающим моментам с помощью метода сечений. На основании метода сечения крутящий момент в произвольном поперечном сечении бруса численно равен алгебраической сумме внешних скручивающих моментов, приложенных к брусу по одну сторону от рассматриваемого сечения.

Для брусьев, имеющих один неподвижно закрепленный (заделанный) и один свободный конец, крутящие моменты всех поперечных сечений удобно выражать через внешние моменты, приложенные с той стороны от рассматриваемого сечения, с которой расположен свободный конец. Это позволяет определять крутящие моменты, не вычисляя реактивного момента, возникающего в заделке.

Для построения эпюры крутящих моментов необходимо найти величины крутящих моментов на каждом участке вала.

I участок (КД):

II участок (СД):

III участок (СВ):

IV участок (ВА):

По значению этих моментов строим эпюру Мкр в выбранном масштабе. Положительные значения Мкр откладываем вверх, отрицательные — вниз от нулевой линии эпюры (см. рис.5.11).

Рис.5.11

2. При заданном значении определим диаметр вала из расчета на прочность.

Условие прочности при кручении имеет вид

— максимальный крутящий момент, взятый по абсолютной величине. Определяется из эпюры Мкр (рис.5.11).

кНм;

— полярный момент сопротивления для сплошного круглого вала.

Диаметр вала определяется по формуле

Принимаем d = 50 мм = 0,05 м.

3. Построим эпюру углов закручивания.

Угол закручивания участка вала длиной l постоянного поперечного сечения определяется по формуле

где — жесткость сечения вала при кручении.

— полярный момент инерции круглого вала

Вычислим углы закручивания сечений В, С, D и К относительно закрепленного конца вала (сечения А)

Строим эпюру углов закручивания (рис.5.11).

4. Найдем наибольший относительный угол закручивания

Пример 13.

Определить напряжения и погонный угол закручивания стальной разрезной трубы (рис.5.12), имеющей диаметр средней линии d=97,5 мм и толщину мм. Крутящий момент – 40 Нм. Модуль сдвига материала трубы МПа. Сравнить полученные напряжения и угол закручивания с напряжением и углом закручивания для сплошной трубы.

Рис.5.12

Решение.

Касательные напряжения в разрезной трубе, представляющей собой тонкостенный стержень, определим по формуле

где — развернутая длина осевой линии трубы.

Напряжение в сплошной трубе определяется по формуле

Угол закручивания на метр длины для разрезной трубы определяется по формуле

Погонный угол закручивания для сплошной трубы определяется по формуле

Таким образом, в сплошной трубе по сравнению с разрезанной вдоль образующей при кручении напряжения меньше в 58,3 раза, а угол закручивания – в 1136 раз.

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте:

Источник