Расчет стержней на прочность при осевом растяжении или сжатии
Внутренние усилия при растяжении-сжатии.
Осевое (центральное) растяжение или сжатие прямого бруса вызывается внешними силами, вектор равнодействующей которых совпадает с осью бруса. При растяжении или сжатии в поперечных сечениях бруса возникают только продольные силы N. Продольная сила N в некотором сечении равна алгебраической сумме проекции на ось стержня всех внешних сил, действующих по одну сторону от рассматриваемого сечения. По правилу знаков продольной силы N принято считать, что от растягивающих внешних нагрузок возникают положительные продольные силы N, а от сжимающих — продольные силы N отрицательны (рис. 5).
Чтобы выявить участки стержня или его сечения, где продольная сила имеет наибольшее значение, строят эпюру продольных сил, применяя метод сечений, подробно рассмотренный в статье:
Анализ внутренних силовых факторов в статистически определимых системах
Ещё настоятельно рекомендую взглянуть на статью:
Расчёт статистически определимого бруса
Если разберёте теорию в данной статье и задачи по ссылкам, то станете гуру в теме «Растяжение-сжатие» =)
Напряжения при растяжении-сжатии.
Определенная методом сечений продольная сила N, является равнодействующей внутренних усилий распределенных по поперечному сечению стержня (рис. 2, б). Исходя из определения напряжений, согласно выражению (1), можно записать для продольной силы:
где σ — нормальное напряжение в произвольной точке поперечного сечения стержня.
Чтобы определить нормальные напряжения в любой точке бруса необходимо знать закон их распределения по поперечному сечению бруса. Экспериментальные исследования показывают: если нанести на поверхность стержня ряд взаимно перпендикулярных линий, то после приложения внешней растягивающей нагрузки поперечные линии не искривляются и остаются параллельными друг другу (рис.6, а). Об этом явлении говорит гипотеза плоских сечений (гипотеза Бернулли): сечения, плоские до деформации, остаются плоскими и после деформации.
Так как все продольные волокна стержня деформируются одинаково, то и напряжения в поперечном сечении одинаковы, а эпюра напряжений σ по высоте поперечного сечения стержня выглядит, как показано на рис.6, б. Видно, что напряжения равномерно распределены по поперечному сечению стержня, т.е. во всех точках сечения σ = const. Выражение для определения величины напряжения имеет вид:
Таким образом, нормальные напряжения, возникающие в поперечных сечениях растянутого или сжатого бруса, равны отношению продольной силы к площади его поперечного сечения. Нормальные напряжения принято считать положительными при растяжении и отрицательными при сжатии.
Деформации при растяжении-сжатии.
Рассмотрим деформации, возникающие при растяжении (сжатии) стержня (рис.6, а). Под действием силы F брус удлиняется на некоторую величину Δl называемую абсолютным удлинением, или абсолютной продольной деформацией, которая численно равна разности длины бруса после деформации l1 и его длины до деформации l
Отношение абсолютной продольной деформации бруса Δl к его первоначальной длине l называют относительным удлинением, или относительной продольной деформацией:
При растяжении продольная деформация положительна, а при сжатии – отрицательна. Для большинства конструкционных материалов на стадии упругой деформации выполняется закон Гука (4), устанавливающий линейную зависимость между напряжениями и деформациями:
где модуль продольной упругости Е, называемый еще модулем упругости первого рода является коэффициентом пропорциональности, между напряжениями и деформациями. Он характеризует жесткость материала при растяжении или сжатии (табл. 1).
Таблица 1
Модуль продольной упругости для различных материалов
Абсолютная поперечная деформация бруса равна разности размеров поперечного сечения после и до деформации:
Соответственно, относительную поперечную деформацию определяют по формуле:
При растяжении размеры поперечного сечения бруса уменьшаются, и ε’ имеет отрицательное значение. Опытом установлено, что в пределах действия закона Гука при растяжении бруса поперечная деформация прямо пропорциональна продольной. Отношение поперечной деформации ε’ к продольной деформации ε называется коэффициентом поперечной деформации, или коэффициентом Пуассона μ:
Экспериментально установлено, что на упругой стадии нагружения любого материала значение μ = const и для различных материалов значения коэффициента Пуассона находятся в пределах от 0 до 0,5 (табл. 2).
Таблица 2
Коэффициент Пуассона.
Абсолютное удлинение стержня Δl прямо пропорционально продольной силе N:
Данной формулой можно пользоваться для вычисления абсолютного удлинения участка стержня длиной l при условии, что в пределах этого участка значение продольной силы постоянно. В случае, когда продольная сила N изменяется в пределах участка стержня, Δl определяют интегрированием в пределах этого участка:
Произведение (Е·А) называют жесткостью сечения стержня при растяжении (сжатии).
Механические свойства материалов.
Основными механическими свойствами материалов при их деформации являются прочность, пластичность, хрупкость, упругость и твердость.
Прочность — способность материала сопротивляться воздействию внешних сил, не разрушаясь и без появления остаточных деформаций.
Пластичность – свойство материала выдерживать без разрушения большие остаточные деформации. Неисчезающие после снятия внешних нагрузок деформации называются пластическими.
Хрупкость – свойство материала разрушаться при очень малых остаточных деформациях (например, чугун, бетон, стекло).
Идеальная упругость – свойство материала (тела) полностью восстанавливать свою форму и размеры после устранения причин, вызвавших деформацию.
Твердость – свойство материала сопротивляться проникновению в него других тел.
Рассмотрим диаграмму растяжения стержня из малоуглеродистой стали. Пусть круглый стержень длинной l0 и начальным постоянным поперечным сечением площади A0 статически растягивается с обоих торцов силой F.
Диаграмма сжатия стержня имеет вид (рис. 10, а)
где Δl = l — l0 абсолютное удлинение стержня; ε = Δl / l0 — относительное продольное удлинение стержня; σ = F / A0 — нормальное напряжение; E — модуль Юнга; σп — предел пропорциональности; σуп — предел упругости; σт — предел текучести; σв — предел прочности (временное сопротивление); εост — остаточная деформация после снятия внешних нагрузок. Для материалов, не имеющих ярко выраженную площадку текучести, вводят условный предел текучести σ0,2 — напряжение, при котором достигается 0,2% остаточной деформации. При достижении предела прочности в центре стержня возникает локальное утончение его диаметра («шейка»). Дальнейшее абсолютное удлинение стержня идет в зоне шейки ( зона местной текучести). При достижении напряжением предела текучести σт глянцевая поверхность стержня становится немного матовой – на его поверхности появляются микротрещины (линии Людерса-Чернова), направленные под углом 45° к оси стержня.
Расчеты на прочность и жесткость при растяжении и сжатии.
Опасным сечением при растяжении и сжатии называется поперечное сечение бруса, в котором возникает максимальное нормальное напряжение. Допускаемые напряжения вычисляются по формуле:
где σпред — предельное напряжение (σпред = σт — для пластических материалов и σпред = σв — для хрупких материалов); [n] — коэффициент запаса прочности. Для пластических материалов [n] = [nт] = 1,2 … 2,5; для хрупких материалов [n] = [nв] = 2 … 5, а для древесины [n] = 8 ÷ 12.
Расчеты на прочность при растяжении и сжатии.
Целью расчета любой конструкции является использование полученных результатов для оценки пригодности этой конструкции к эксплуатации при минимальном расходе материала, что находит отражение в методах расчета на прочность и жесткость.
Условие прочности стержня при его растяжении (сжатии):
При проектном расчете определяется площадь опасного сечения стержня:
При определении допускаемой нагрузки рассчитывается допускаемая нормальная сила:
Расчет на жесткость при растяжении и сжатии.
Работоспособность стержня определяется его предельной деформацией [ l ]. Абсолютное удлинение стержня должно удовлетворять условию:
Часто дополнительно делают расчет на жесткость отдельных участков стержня.
Следующая важная статья теории:
Изгиб балки
Источник
Расчеты на прочность стержней и других элементов конструкций составляют одну из основных задач сопротивления материалов. Целью этих расчетов является обеспечение надежной и безопасной работы элементов конструкций и сооружений в течение всего периода эксплуатации при минимальном расходе материала.
Расчеты на прочность производятся на основе определенных методов, позволяющих сформулировать условия прочности элементов конструкций при различных воздействиях.
Основным методом расчета на прочность элементов строительных конструкций является метод предельных состояний. В этом методе значения всех нагрузок, действующих на конструкцию в течение всего периода ее эксплуатации, разделяются на нормативные и расчетные. Нормативные значения нагрузок характеризуют их действие на конструкцию при нормальных условиях ее эксплуатации. Это собственный вес конструкции, атмосферные воздействия снега, ветра, вес технологического оборудования, людей и т.п. Нормативные значения нагрузок приведены в строительных нормах и правилах (СНиП).
Расчетные значения нагрузок Рр определяются путем умножения нормативных значений Рн на коэффициенты надежности по нагрузке уу-:
С помощью коэффициентов производится учет возможного отклонения нагрузок от их нормативных значений в неблагоприятную для работы конструкции сторону. Значения коэффициентов надежности по нагрузке устанавливаются нормами проектирования с учетом различных факторов в пределах от 1,05 до 1,4.
В качестве основного параметра, характеризующего сопротивление материала конструкции различным воздействиям, принимается нормативное сопротивление RH, соответствующее значению предела текучести для пластичных материалов или временного сопротивления для хрупких материалов. Последние определяются с помощью механических испытаний.
При оценке прочности элементов конструкций величина нормативного сопротивления материала должна быть уменьшена за счет различных неблагоприятных факторов (например, ухудшения качества материала). Для этого вводится расчетное сопротивление, которое определяется по формуле
где ут — коэффициент надежности по материалу, изменяющийся в различных пределах в зависимости от физико-механических свойств материала. Например, для стали он изменяется в пределах от 1,025 до 1,15.
Кроме того, в условие прочности вводится коэффициент условий работы ус, с помощью которого учитываются конструктивные особенности и виды нагружения сооружений. Коэффициент ус может быть больше или меньше единицы.
Величины нормативных и расчетных сопротивлений и значения коэффициентов ур ут и ус приведены в соответствующих разделах строительных норм и правил (СНиП).
Условие прочности стержня при растяжении и сжатии, согласно методу предельных состояний, имеет следующий вид:
где N — продольная сила в стержне, вычисленная от действия расчетных нагрузок; F — площадь поперечного сечения стержня.
Условие (3.27) обычно ставится для сечения стержня, в котором действуют наибольшие нормальные напряжения.
С помощью условия прочности (3.27) можно выполнить подбор сечения стержня, т.е. определить размеры поперечного сечения или установить номер прокатного профиля по сортаменту, а также определить грузоподъемность стержня или стержневой системы. Подбор сечения стержня выполняется по формуле
При расчете на прочность элементов машиностроительных конструкций используется метод расчета по допускаемым напряжениям. В этом методе внутренние усилия и напряжения в элементах конструкции вычисляются от действия нормативных нагрузок, допускаемых при нормальной эксплуатации данной конструкции. Сопротивление материала различным воздействиям характеризуется допускаемым напряжением [а], которое определяется по формулам: для хрупких материалов
для пластичных материалов
где пви пт — коэффициенты запаса прочности по отношению к временному сопротивлению ов и пределу текучести от.
Коэффициенты запаса принимаются с учетом целого ряда факторов, таких как физико-механические свойства материала, условия работы конструкции, характер действия нагрузок и т.п.
Величины допускаемых напряжений [о] для различных материалов приведены в соответствующих нормативных документах.
Условие прочности стержня при растяжении и сжатии по методу допускаемых напряжений имеет следующий вид:
С помощью условия (3.31) можно также решать задачи подбора сечения стержня и определения грузоподъемности.
Пример 3.9. Жесткая балка АВ нагружена сосредоточенной силой и поддерживается с помощью стержня CD (рис. 3.24). Подберем сечение стержня в виде двух стальных прокатных равнобоких уголков и в виде двух стальных тяг круглого сечения. В расчетах примем нормативное значение силы Рн = 100 кН, yf= 1,4, ус = 1,0, R = 210 МПа = 21 кН/см2.
Определим расчетное значение силы:
Определим с помощью уравнения равновесия расчетное значение продольной силы в стержне CD:
Вычислим значение требуемой по условию прочности площади поперечного сечения стержня:
В первом варианте принимаем по сортаменту сечение стержня в виде двух равнобоких уголков (рис. 3.25, а) _|1_56х56х5. Площадь поперечного сечения стержня равна F= 2 • 5,41 = 10,82 см2.
Во втором варианте определяем требуемый диаметр сечения каждого стержня (рис. 3.25, б):
Рис. 3.24
Рис. 3.25
Округлив в большую сторону, примем D = 2,6 см.
Определим для первого варианта сечения значения напряжений в поперечном сечении стержня:
Прочность стержня обеспечена с небольшим запасом.
Пример 3.10. Стержневая система состоит из жесткой балки АВ, имеющей шарнирно-неподвижную опору С, и двух стержней BD и АЕ, поддерживающих балку (рис. 3.26). К балке приложена сила Р, нормативное значение которой равно 300 кН. Определим усилия в стержнях и подберем их сечения в виде двух стальных прокатных равнобоких уголков. В расчетах примем соотношение между площадями поперечных сечений стержней F2/F] = 1,3, yf = 1,2, ус = 1,0, R = 210 МПа = 21 кН/см2.
Расчетное значение силы Р равно Рр = 300 • 1,2 = 360 кН.
Данная стержневая система является статически неопределимой, поскольку для определения четырех неизвестных величин /V,, N2, Rcи Нсможно составить только три независимых уравнения статики. Используем уравнение равновесия относительно усилий в стержнях /V, и N2. Учитывая, что г, = 3 sin 30° = 1,5 м, получим
Для получения дополнительного уравнения относительно N{ и N2 рассмотрим схему деформации системы. При повороте жесткой балки АВ на малый угол у (рис. 3.27) удлинения стержней составят:
Рис. 3.26
Рис. 3.27
Определим из подобия треугольников АА’С и В В’ С соотношение между величинами А/, и Д/2:
Выражаем величины удлинений стержней через действующие в них усилия и составляем дополнительное уравнение относительно N, и N2:
где /j = 3/cos 30° = 3,46 ми /2 = 1,5 м — длины стержней.
Подставляем соотношение между усилиями в уравнение равновесия и определяем величины усилий в стержнях:
Определяем требуемые по условию прочности площади поперечных сечений стержней:
Проверим выполнение принятого в начале расчета соотношения между площадями F{ и F2:
Поскольку принятое соотношение не выполняется, при подборе сечений стержней надо увеличить требуемую площадь поперечного сечения первого стержня и принять ее равной
Принимаем по сортаменту сечения стержней в виде двух стальных прокатных равнобоких уголков, определяем действующие в стержнях напряжения и проверяем их прочность. Стержень BD (2|_75х75х8)
Стержень (2L 110x110x7)
Прочность стержней обеспечена.
Пример 3.11. Для данной системы (рис. 3.28) определим величину допустимой силы Р из условий прочности стержней Л В и ВС. Определим усилия и напряжения в стержнях. В расчетах примем R = 220 МПа = 22 кН/см2 иус = 0,9.
Рис. 3.28
Составим уравнения равновесия:
Определим площади поперечных сечений стержней и выразим действующие в них напряжения через силу Р:
Напряжения в стержне АВ являются большими по величине. Определим из условия прочности этого стержня величину силы Р:
Примем Р = 245 кН и вычислим значения усилий и напряжений в стержнях:
Прочность стержней обеспечена.
Пример 3.12. Для латунного стержня ступенчато-постоянного сечения (рис. 3.29, а) определим величину силы .Риз условия прочности стержня. Определим напряжения в пределах каждого участка стержня. В расчетах используем метод допускаемых напряжений, приняв [о] = 80 МПа = 8 кН/см2.
Площади поперечных сечений стержня равны:
Строим эпюру продольных сил (рис. 3.29, б). Определяем нормальные напряжения в пределах участков стержня и выражаем их через силу Р.
Первый участок
Второй участок
Рис. 3.29
Эпюра о приведена на рис. 3.29, в. Ставим условие прочности по напряжениям на первом участке и определяем величину Р:
Примем Р = 40 кН и определим усилия и напряжения в стержне:
Источник
Растяжение (сжатие) – это такой вид нагружения стержня, при котором в его поперечном сечении возникает внутренняя продольная сила Ν, действующая вдоль центральной оси z.
Продольная сила Ν – это равнодействующая всех внутренних нормальных сил в сечении. Для вычисления продольной силы применяется метод сечений.
Продольная сила Ν численно равна алгебраической сумме проекций всех сил, действующих по одну сторону от рассматриваемого сечения, на продольную ось бруса.
Правило знаков для продольной силы Ν: при растяжении продольная сила положительна, при сжатии – отрицательна.
График изменения продольных сил по длине стержня называется эпюрой. Эпюра N строится методом сечений на характерных участках бруса. Строится эпюра для использования ее при расчете бруса на прочность. Она дает возможность найти наибольшие значения продольных сил и положение сечений, в которых они возникают.
При растяжении (сжатии) возникают только нормальные напряжения. Согласно гипотезе Я. Бернулли (или гипотеза плоских сечений) в поперечных сечениях, удаленных от места приложения нагрузок, нормальные напряжения распределяются по сечению практически равномерно, а сами сечения, перпендикулярные к оси стержня z, остаются плоскими в процессе нагружения.
Нормальные напряжения в сечении при растяжении (сжатии) вычисляются по формуле
где А – площадь поперечного сечения.
Правило знаков для σ совпадает с правилом знаков для N.
В наклонном сечении, нормаль к которому составляет угол α с осью стержня z,
При растяжении в продольном направлении стержень удлиняется, а его поперечные размеры уменьшаются, при сжатии, напротив, в продольном направлении стержень укорачивается, а его поперечные размеры увеличиваются; Δℓ — абсолютное удлинение или укорочение участка стержня длиной ℓ, Δb – абсолютная поперечная деформация.
Относительное удлинение или укорочение участка стержня длиной ℓ, называемое линейной деформацией, определяется следующим образом
ε=Δℓ/ℓ.
Экспериментально установлено, что в определенной области нагрузок при упругом поведении материала между нормальными напряжениями и линейными деформациями существует линейная зависимость (закон Гука для напряжений)
σ=εЕ,
где Е – модуль продольной упругости или модуль Юнга, это физическая const. Для каждого из материалов величина модуля упругости имеет свое значение:
сталь, Е = 2.105 МПа,
медь, Е = 1.105 МПа,
алюминий, Е = 0,7.105 МПа.
Значение модуля упругости устанавливается экспериментально.
Согласно закону Гука (данную запись называют законом Гука для деформаций)
Δℓ=Νℓ/ЕА
Произведение ЕА – называется жесткостью стержня при растяжении – сжатии.
Перемещение произвольного сечения ступенчатого стержня
w=∑Δℓi
Относительная поперечная деформация:
ε′=Δb/b
где b – поперечный размер стержня.
Эксперименты также показывают, что в упругой стадии деформирования между продольной и поперечной деформациями существует взаимосвязь
μ =│ε′⁄ε│ — const,
где μ — коэффициент Пуассона, берется по модулю ,поскольку у продольной и поперечной деформации разные знаки (при растяжении продольные волокна увеличиваются, а поперечные уменьшаются в размере).
Для твердых материалов имеет значения коэффициент Пуассона
0≤μ ≤0,5
Изменение температуры стержня вызывает его удлинение (при нагревании) или укорочение (при охлаждении)
где — a- коэффициент линейного температурного расширения; Δtº=(tºк-tºн) — изменение температуры между значениями начальным (tºн) и конечным (tºк).
Статически неопределимыми называют системы, имеющие лишние связи – внешние или внутренние.
Для определения внутренних усилий в таких системах недостаточно рассматривать только уравнения равновесия.
В этом случае требуются дополнительные уравнения, число которых равно количеству лишних связей. Дополнительные уравнения составляются на основе анализа картины деформирования системы и использования законов деформирования ее элементов.
Алгоритм решения подобных задач включает следующее:
1) Статическая часть. Составляются уравнения равновесия с включением неизвестных усилий, действующих по направлению лишних связей.
2) Геометрическая часть. Составляются уравнения, описывающие взаимосвязь перемещений характерных точек, удлинений и укорочений отдельных стержней между собой.
3) Физическая связь. Записываются законы деформирования отдельных стержней системы.
Порядок расчета статически неопределимых брусьев
- Задаться направлениями возможных опорных реакций и составить уравнение статики для всей системы в целом.
- Определить степень статической неопределимости и использовать метод сечений с целью выразить неизвестные усилия через неизвестные опорные реакции. При этом неизвестные продольные силы (N) следует предполагать положительными и поэтому направлять «от сечения».
- Сформулировать условие совместности деформаций участков бруса.
- В процессе превращения условия совместности в уравнение совместности деформаций различий в характере деформаций участков не учитывать.
Порядок расчета статически неопределимых шарнирно-стержневых систем
- Задаться направлениями опорных реакций, но уравнений равновесия для всей системы не составлять, а сразу использовать метод сечений и составить уравнения статики для выделенной части системы.
- Определить степень статической неопределимости как разницу между количеством всех неизвестных, оказавшихся в уравнениях статики, и числом самих этих уравнений.
- Рассмотреть (изобразить) любую возможную картину деформаций системы и из ее анализа сформулировать условия совместности деформаций стержней системы (столько, какова степень статической неопределимости).
- В процессе преобразования условий совместности в уравнения совместности деформаций обязательно учитывать различие в характере деформаций стержней (т.е. вводить удлинение со знаком «плюс», а укорочение со знаком «минус») в соответствии с той картиной деформации, которую мы рассматриваем.
Источник