Расчет прочности при кручении и растяжении

Расчеты на прочность при кручении проводятся по допускаемым напряжениям на основе следующего условия прочности:

. (2.34)

Здесь — наибольшее расчетное касательное напряжение в опасном сечении вала.

Если сечения по длине вала не меняются, то опасными будут сечения на участке вала, где крутящий момент Мк максимален (определяется по эпюре Мк).

Для вала с различными сечениями по длине кроме эпюры крутящих моментов, вдоль оси строится эпюра наибольших напряжений, по которой определяется опасное сечение.

Wк – момент сопротивления сечения при кручении.

Для круглого и кольцевого сечений :

Wk = Wp – полярный момент сопротивления (см.2.15; 2.17).

Допускаемое напряжение при кручении ориентировочно принимают:

для сталей [ ,

для чугунов ,

где — допускаемое напряжение при растяжении.

Условие прочности позволяет решать три типа задач:

1. По известным внешним скручивающим моментам и размерам вала проверяется его прочность, делается поверочный расчет на прочность;

2. Подбор сечений (проектировочный расчет). Расчет ведется по формуле, получаемой из условия прочности (2.34):

. (2.35)

3. Определение грузоподьемности (определение допускаемых крутящих моментов). Расчетная формула имеет вид:

. (2.36)

При расчете на жесткость вала ограничение может быть наложено на величину относительного угла закручивания или полного угла закручивания .

В соответствии с этими требованиями, условие жесткости может быть записано в виде:

, (2.37)

или . (2.38) Здесь и — максимальные относительный и полный углы закручивания, для определения этих значений в сложных случаях необходимо строить эпюры или ;

G – модуль сдвига;

Jк – момент инерции сечения вала при кручении (см. параграфы 2.3 и 2.4).

Для круглого и кольцевого сечений:

JК = Jр ,

где Jр – полярный момент инерции (см.формулы 2.14 и 2.16);

и — допускаемые значения относительного и полного углов заручивания..

Расчет на жесткость так же как и расчет на прочность может быть в зависимости от условий задачи поверочным, проектировочным или по определению грузоподьемности вала.

Пример 2.1.Стальной вал круглого поперечного сечения передает крутящий момент Мк = 20 кНм. Определить диаметр вала, если допускаемое напряжение допускаемый относительный угол закручивания на один метр длины вала.

Решение.

Из условия прочности вала

находим полярный момент сопротивления

.

Полярный момент сопротивления выражается через диаметр по формуле: ,

отсюда находим

Из условия жесткости вала: ,

где

– полярный момент инерции сечения вала;

G = 0,8 1011 Па – модуль сдвига стали,

;

находим

= ,

.

Из двух найденных значений диаметра вала выбираем большее, т.е. d = 13см.

Ответ: .

Пример 2.2. Стальной вал передает мощность N = 50 кВт при частоте вращения n=200 об/мин. Подобрать сечение вала для случая сплошного сечения и кольцевого с отношением диаметров:

α= d / D = 0.8,

где d и D – внутренний и наружный диаметр сечения, если допускаемое напряжение [ ] = 80 мПа.

Решение.

Найдем крутящий момент передаваемый валом ,

где — угловая скорость вала.

Крутящий момент равен

Из условия прочности

найдем полярный момент сопротивления сечения вала .

Для сплошного круглого сечения

, отсюда

Для кольцевого сечения

отсюда = 6,4 см,

.

Сравним площади сплошного и кольцевого сечений, что определяет расход металла:

для сплошного сечения

для кольцевого сечения .

Таким образом, применение кольцевого сечения с отношением диаметров d/D= 0,8 вместо сплошного дает экономию металла примерно в два раза.

Пример 2.3. Стальной составной брус нагружен сосредоточенными скручивающими моментами (рис.2.16). Определить из расчетов на прочность и жесткость допустимые значения моментов М.

Принять а = 0,5м, b = 10см, d =5 см.

Модуль сдвига G=0.8 1011 Па, допускаемое напряжение [ ] = 90 МПа,

допускаемый относительный угол закручивания

[ ] = 0,01 рад/м.

Рис.2.16

Решение.

Решение задачи начинаем с определения внутренних силовых факторов (крутящих моментов). Заметим, что в данном случае для определения крутящего момента в сечении проще рассматривать часть бруса справа от сечения, что позволяет не определять реактивный момент в заделке.

В соответствии с правилом, изложенным в параграфе 2.1 находим:

в сечении 1-1 М1к =М,

в сечении 2-2 М2к = 2М.

Эпюра Мк построенная по полученным данным, показана на рис.2.16, б.

Выразим касательные напряжения через Мк.

Первый участок: ,

где Wp – полярный момент сопротивления.

Для круглого сечения на этом участке:

.

Второй участок:

где Wк – момент сопротивления сечения при кручении.

Для квадратного сечения:

Wк = 0,208 b3 = 0,208 103 см3 = 2,08 10-4 м3.

Подставив значения Wp и Wк в выражения для на первом и втором участках получим:

на 1-м участке = 4,08 104 М( Па),

на 2-м участке (Па).

Как видно из сравнения полученных результатов, опасными являются сечения на 1-ом участке, где касательные напряжения максимальны.

Условие прочности для этих сечений имеет вид:

.

Из условия прочности находим допустимое значение момента М :

.

Проведем расчет на жесткость.

Относительный угол закручивания на 1-м участке :

,

где Jp – полярный момент сечения

,

,

на 2-ом участке

,

где Jк — момент инерции сечения при кручении, который для квадратного сечения равен

Jк = 0,141 b4 = 0,141 104 см4 = 0,141 10-4 м4,

Таким образом, max = 1 = 0.2 10-4

Условие жесткости имеет вид

.

Из условия жесткости находим:

.

Из двух значений М, полученных из расчета на прочность и из расчета на жесткость, принимаем меньшее значение, т.е.

[М] = 0,5 кН м.

Кручением называется такой вид деформации бруса, при котором в его поперечных сечениях возникает только один внутренний силовой фактор – крутящий момент T.

Брусья, испытывающие кручение, принято называть валами.

Внутренний крутящий момент

Внутренние скручивающие моменты появляются под действием внешних крутящих моментов mi, расположенных в плоскостях, перпендикулярных к продольной оси бруса.

Скручивающие моменты передаются на вал в местах посадки зубчатых колес, шкивов ременных передач и т.п.

Величина крутящего момента в любом сечении вала определяется методом сечений:

т.е. крутящий момент численно равен алгебраической сумме скручивающих моментов mi, расположенных по одну сторону от рассматриваемого сечения.

Правило знаков внутренних скручивающих моментов:
Положительными принимаются внутренние моменты, стремящиеся повернуть рассматриваемую часть вала против хода часовой стрелки, при рассмотрении со стороны отброшенной части вала.

В технике наиболее широко используются валы круглого поперечного сечения.

Теория кручения круглых валов основана на следующих гипотезах:

1. поперечное сечение, плоское до деформации вала, остается плоским и после деформации;
2. радиусы, проведенные мысленно в любом поперечном сечении, в процессе деформации вала не искривляются.

Напряжения при кручении

В поперечных сечениях вала при кручении имеют место только касательные напряжения.
Касательные напряжения, направленные перпендикулярно к радиусам, для произвольной точки, отстоящей на расстоянии ρ от центра, вычисляются по формуле:

где Iρ — полярный момент инерции.
Эпюра касательных напряжений при кручении имеет следующий вид:

Касательные напряжения меняются по линейному закону и достигают максимального значения на контуре сечения при ρ= ρmax:

Здесь:

— полярный момент сопротивления.
Геометрические характеристики сечений:
а) для полого вала:


б) для вала сплошного сечения (c=0)

в) для тонкостенной трубы (t0,9)

где

— радиус срединной поверхности трубы.

Деформации

Деформации валов при кручении заключаются в повороте одного сечения относительно другого.

Угол закручивания вала на длине Z определяется по формуле:

Если крутящий момент и величина GIρ, называемая жесткостью поперечного сечения при кручении, постоянны, для участка вала длиной l имеем:

Угол закручивания, приходящийся на единицу длины, называют относительным углом закручивания:

Расчет валов сводится к одновременному выполнению двух условий:

1. условию прочности:
   
2. условию жесткости:
   

Для стальных валов принимается:

Используя условия прочности и жесткости, как и при растяжении – сжатии можно решать три типа задач:

1. проверочный расчет, заключающийся в проверке выполнения условий прочности и жесткости при известных значениях крутящего момента, размеров и материала вала.
2. Проектировочный расчет, при котором вычисляются диаметры:
   
   при этом берется большее из найденных значений, а затем принимается стандартное значение по ГОСТ.
3. Определение грузоподъемности вала:

   Из двух найденных значений крутящего момента необходимо принять меньшее.

При кручении, наряду с касательными напряжениями в поперечных сечениях, в соответствии с законом парности, касательные напряжения возникают и в продольных сечениях. Таким образом, во всех точках вала имеет место чистый сдвиг.

Главные напряжения σ1 = τ, σ3 = -τ наклонены под углом α=±45о к образующей.

Потенциальная энергия упругой деформации определяется по формуле

или для участка вала при постоянном T и GIρ

Лекции по сопромату >
Примеры решения задач >

2.4. РАСЧЕТЫ НА ПРОЧНОСТЬ ПРИ РАСТЯЖЕНИИ Основной задачей расчета конструкции на растяжение является обеспечение ее прочности в условиях эксплуатации. Условие прочности – оценка прочности элемента конструкции, сводящаяся к сравнению расчетных напряжений с допускаемыми: σ≤рσ[р ]; σ с ≤[ с],σ (2.9) где σр и σс – наибольшие расчетные растягивающие и сжимающие напряжения; [σр] и [σс] – допускаемые напряжения при растяжении и сжатии. Допускаемое напряжение – наибольшее напряжение, которое можно допустить в элементе конструкции при условии его безопасной, долговечной и надежной работы: Здесь σпред – предельное напряжение (состояние), при котором конструкция перестает удовлетворять эксплуатационным требованиям; им мо- гут быть предел текучести, предел прочности, предел выносливости, пре- дел ползучести и др. Для конструкций из пластичных материалов при определении допускаемых напряжений используют предел текучести σт (рис. 2.4, а). Это связано с тем, что в случае его превышения деформации резко возрастают при незначительном увеличении нагрузки и конструкция перестает удовлетворять условиям эксплуатации. Допускаемое напряжение в этом случае определяют как Для хрупких материалов (чугун, бетон, керамика) где σвр и σвс – пределы прочности при растяжении и сжатии (рис. 2.4, б). Здесь [n] – нормативный коэффициент запаса прочности. В зависимости от той предельной характеристики, с которой сравнивают расчетное напряжение σ, различают [nт] – нормативный коэффициент запаса прочности по отношению к пределу текучести σт и [nв] – нормативный коэффициент запаса прочности по отношению к пределу прочности σв. Запас прочности – отношение предельно допустимой теоретической нагрузки к той нагрузке, при которой возможна безопасная работа конструкции с учетом случайных перегрузок, непредвиденных дефектов и недостоверности исходных данных для теоретических расчетов. Нормативные коэффициенты запаса прочности зависят: − от класса конструкции (капитальная, временная), − намечаемого срока эксплуатации, − условий эксплуатации (радиация, коррозия, загнивание), − вида нагружения (статическое, циклическое, ударные нагрузки) − неточности задания величины внешних нагрузок, − неточности расчетных схем и приближенности методов расчета − и других факторов. Нормативный коэффициент запаса прочности не может быть единым на все случаи жизни. В каждой отрасли машиностроения сложились свои подходы, методы проектирования и приемы технологии. В изделиях общего машиностроения принимают [nт] = 1,3 – 2,2; [nв] = 3 – 5. Вероятность выхода из строя приближенно можно оценить с помощью коэффициента запаса в условии прочности: n = 1 соответствует вероятности невыхода из строя 50 %; n = 1,2 соответствует вероятности невыхода из строя 90 %; n = 1,5 соответствует вероятности невыхода из строя 99 %; n = 2 соответствует вероятности невыхода из строя 99,9 %. Для неответственных деталей n = 2 много. Для ответственных – мало. Так для каната подъемного лифта это означает на 1000 подъемов одно падение. При расчете конструкций на прочность встречаются три вида задач, которые вытекают из условия прочности а) поверочный расчет (проверка прочности). Известны усилие N и площадь A. Вычисляют σ = N/A и, сравнивая его с предельным σт или σв (для пластичного и хрупкого материалов соответственно), находят фактический коэффициент запаса прочности который затем сопоставляют с нормативным [n]; б) проектный расчет (подбор сечения). Известны внутреннее усилие N и допускаемое напряжение [σ]. Определяют требуемую площадь поперечного сечения стержня в) определение грузоподъемности (несущей способности). Известны площадь А и допускаемое напряжение [σ]. Вычисляют внутреннее усилие N≤N[ ] = ⋅[σ]A, (2.15) а затем в соответствие со схемой нагружения – величину внешней нагрузки F ≤ [F].