Расчет на прочность при осевом растяжении
2.4. РАСЧЕТЫ НА ПРОЧНОСТЬ ПРИ РАСТЯЖЕНИИ Основной задачей расчета конструкции на растяжение является обеспечение ее прочности в условиях эксплуатации. Условие прочности – оценка прочности элемента конструкции, сводящаяся к сравнению расчетных напряжений с допускаемыми: σ≤рσ[р ]; σ с ≤[ с],σ (2.9) где σр и σс – наибольшие расчетные растягивающие и сжимающие напряжения; [σр] и [σс] – допускаемые напряжения при растяжении и сжатии. Допускаемое напряжение – наибольшее напряжение, которое можно допустить в элементе конструкции при условии его безопасной, долговечной и надежной работы: Здесь σпред – предельное напряжение (состояние), при котором конструкция перестает удовлетворять эксплуатационным требованиям; им мо- гут быть предел текучести, предел прочности, предел выносливости, пре- дел ползучести и др. Для конструкций из пластичных материалов при определении допускаемых напряжений используют предел текучести σт (рис. 2.4, а). Это связано с тем, что в случае его превышения деформации резко возрастают при незначительном увеличении нагрузки и конструкция перестает удовлетворять условиям эксплуатации. Допускаемое напряжение в этом случае определяют как Для хрупких материалов (чугун, бетон, керамика) где σвр и σвс – пределы прочности при растяжении и сжатии (рис. 2.4, б). Здесь [n] – нормативный коэффициент запаса прочности. В зависимости от той предельной характеристики, с которой сравнивают расчетное напряжение σ, различают [nт] – нормативный коэффициент запаса прочности по отношению к пределу текучести σт и [nв] – нормативный коэффициент запаса прочности по отношению к пределу прочности σв. Запас прочности – отношение предельно допустимой теоретической нагрузки к той нагрузке, при которой возможна безопасная работа конструкции с учетом случайных перегрузок, непредвиденных дефектов и недостоверности исходных данных для теоретических расчетов. Нормативные коэффициенты запаса прочности зависят: − от класса конструкции (капитальная, временная), − намечаемого срока эксплуатации, − условий эксплуатации (радиация, коррозия, загнивание), − вида нагружения (статическое, циклическое, ударные нагрузки) − неточности задания величины внешних нагрузок, − неточности расчетных схем и приближенности методов расчета − и других факторов. Нормативный коэффициент запаса прочности не может быть единым на все случаи жизни. В каждой отрасли машиностроения сложились свои подходы, методы проектирования и приемы технологии. В изделиях общего машиностроения принимают [nт] = 1,3 – 2,2; [nв] = 3 – 5. Вероятность выхода из строя приближенно можно оценить с помощью коэффициента запаса в условии прочности: n = 1 соответствует вероятности невыхода из строя 50 %; n = 1,2 соответствует вероятности невыхода из строя 90 %; n = 1,5 соответствует вероятности невыхода из строя 99 %; n = 2 соответствует вероятности невыхода из строя 99,9 %. Для неответственных деталей n = 2 много. Для ответственных – мало. Так для каната подъемного лифта это означает на 1000 подъемов одно падение. При расчете конструкций на прочность встречаются три вида задач, которые вытекают из условия прочности а) поверочный расчет (проверка прочности). Известны усилие N и площадь A. Вычисляют σ = N/A и, сравнивая его с предельным σт или σв (для пластичного и хрупкого материалов соответственно), находят фактический коэффициент запаса прочности который затем сопоставляют с нормативным [n]; б) проектный расчет (подбор сечения). Известны внутреннее усилие N и допускаемое напряжение [σ]. Определяют требуемую площадь поперечного сечения стержня в) определение грузоподъемности (несущей способности). Известны площадь А и допускаемое напряжение [σ]. Вычисляют внутреннее усилие N≤N[ ] = ⋅[σ]A, (2.15) а затем в соответствие со схемой нагружения – величину внешней нагрузки F ≤ [F].
Источник
Эта статья будет посвящена расчетам на прочность, которые выполняются в сопромате и не только. Расчеты на прочность бывают двух видов: проверочные и проектировочные (проектные).
Проверочные расчеты на прочность – это такие расчеты, в ходе которых проверятся прочность элемента заданной формы и размеров, под некоторой нагрузкой.
В ходе проектировочных расчетов на прочность определяются какие-то размеры элемента из условия прочности. Причем, очевидно, что для разных видов деформаций эти условия прочности различны. Также к проектным расчетам можно отнести расчеты на грузоподъемность, когда вычисляется максимальная нагрузка, которую может выдерживать конструкция, не разрушаясь. Рассмотрим более подробно, как проводится прочностные расчеты для разных случаев.
Расчеты на прочность при растяжении (сжатии)
Начнем, пожалуй, с самого простого вида деформации растяжения (сжатия). Напряжение при центральном растяжении (сжатии) можно получить, разделив продольную силу на площадь поперечного сечения, а условие прочности выглядит вот так:
где сигма в квадратных скобках – это допустимое напряжение. Которое можно получить, разделив предельное напряжения на коэффициент запаса прочности:
Причем, за предельное напряжение для разных материалов принимают разное значение. Для пластичных материалов, например, для малоуглеродистой стали (Ст2, Ст3) принимают предел текучести, а для хрупких (бетон, чугун) берут в качестве предельного напряжения – предел прочности (временное сопротивление). Эти характеристики получают при испытании образцов на растяжение или сжатие на специальных машинах, которые фиксируют характеристики в виде диаграммы.
Коэффициент запаса прочности выбирается конструктором исходя из своего личного опыта, назначения проектируемой детали и сферы применения. Обычно, он варьируется от 2 до 6.
В случае если необходимо подобрать размеры сечения, площадь выражают таким образом:
Таким образом, минимальная площадь поперечного сечения при центральном растяжении (сжатии) будет равна отношению продольно силы к допустимому напряжению.
Расчеты на прочность при кручении
При кручении расчеты на прочность в принципе схожи с теми, что проводятся при растяжении. Только здесь вместо нормальных напряжений появляются касательные напряжения.
На кручение работают, чаще всего, детали, которые называются валами. Их назначение заключается в передаче крутящего момента от одного элемента к другому. При этом вал по всей длине имеет круглое поперечное сечение. Условие прочности для круглого поперечного сечения можно записать так:
где Ip — полярный момент сопротивления, ρ — радиус круга. Причем по этой формуле можно определить касательное напряжение в любой точке сечения, варьируя значение ρ. Касательные напряжения распределены неравномерно по сечению, их максимальное значение находится в наиболее удаленных точках сечения:
Условие прочности, можно записать несколько проще, используя такую геометрическую характеристику как момент сопротивления:
То бишь максимальные касательные напряжения равны отношению крутящего момента к полярному моменту сопротивления и должны быть меньше либо равны допустимому напряжению. Геометрические характеристики для круга, упомянутые выше можно найти вот так:
Иногда в задачах встречаются и прямоугольные сечения, для которых момент сопротивления определяется несколько сложнее, но об этом я расскажу в другой статье.
Расчеты на прочность при изгибе
Источник
Расчеты на прочность стержней и других элементов конструкций составляют одну из основных задач сопротивления материалов. Целью этих расчетов является обеспечение надежной и безопасной работы элементов конструкций и сооружений в течение всего периода эксплуатации при минимальном расходе материала.
Расчеты на прочность производятся на основе определенных методов, позволяющих сформулировать условия прочности элементов конструкций при различных воздействиях.
Основным методом расчета на прочность элементов строительных конструкций является метод предельных состояний. В этом методе значения всех нагрузок, действующих на конструкцию в течение всего периода ее эксплуатации, разделяются на нормативные и расчетные. Нормативные значения нагрузок характеризуют их действие на конструкцию при нормальных условиях ее эксплуатации. Это собственный вес конструкции, атмосферные воздействия снега, ветра, вес технологического оборудования, людей и т.п. Нормативные значения нагрузок приведены в строительных нормах и правилах (СНиП).
Расчетные значения нагрузок Рр определяются путем умножения нормативных значений Рн на коэффициенты надежности по нагрузке уу-:
С помощью коэффициентов производится учет возможного отклонения нагрузок от их нормативных значений в неблагоприятную для работы конструкции сторону. Значения коэффициентов надежности по нагрузке устанавливаются нормами проектирования с учетом различных факторов в пределах от 1,05 до 1,4.
В качестве основного параметра, характеризующего сопротивление материала конструкции различным воздействиям, принимается нормативное сопротивление RH, соответствующее значению предела текучести для пластичных материалов или временного сопротивления для хрупких материалов. Последние определяются с помощью механических испытаний.
При оценке прочности элементов конструкций величина нормативного сопротивления материала должна быть уменьшена за счет различных неблагоприятных факторов (например, ухудшения качества материала). Для этого вводится расчетное сопротивление, которое определяется по формуле
где ут — коэффициент надежности по материалу, изменяющийся в различных пределах в зависимости от физико-механических свойств материала. Например, для стали он изменяется в пределах от 1,025 до 1,15.
Кроме того, в условие прочности вводится коэффициент условий работы ус, с помощью которого учитываются конструктивные особенности и виды нагружения сооружений. Коэффициент ус может быть больше или меньше единицы.
Величины нормативных и расчетных сопротивлений и значения коэффициентов ур ут и ус приведены в соответствующих разделах строительных норм и правил (СНиП).
Условие прочности стержня при растяжении и сжатии, согласно методу предельных состояний, имеет следующий вид:
где N — продольная сила в стержне, вычисленная от действия расчетных нагрузок; F — площадь поперечного сечения стержня.
Условие (3.27) обычно ставится для сечения стержня, в котором действуют наибольшие нормальные напряжения.
С помощью условия прочности (3.27) можно выполнить подбор сечения стержня, т.е. определить размеры поперечного сечения или установить номер прокатного профиля по сортаменту, а также определить грузоподъемность стержня или стержневой системы. Подбор сечения стержня выполняется по формуле
При расчете на прочность элементов машиностроительных конструкций используется метод расчета по допускаемым напряжениям. В этом методе внутренние усилия и напряжения в элементах конструкции вычисляются от действия нормативных нагрузок, допускаемых при нормальной эксплуатации данной конструкции. Сопротивление материала различным воздействиям характеризуется допускаемым напряжением [а], которое определяется по формулам: для хрупких материалов
для пластичных материалов
где пви пт — коэффициенты запаса прочности по отношению к временному сопротивлению ов и пределу текучести от.
Коэффициенты запаса принимаются с учетом целого ряда факторов, таких как физико-механические свойства материала, условия работы конструкции, характер действия нагрузок и т.п.
Величины допускаемых напряжений [о] для различных материалов приведены в соответствующих нормативных документах.
Условие прочности стержня при растяжении и сжатии по методу допускаемых напряжений имеет следующий вид:
С помощью условия (3.31) можно также решать задачи подбора сечения стержня и определения грузоподъемности.
Пример 3.9. Жесткая балка АВ нагружена сосредоточенной силой и поддерживается с помощью стержня CD (рис. 3.24). Подберем сечение стержня в виде двух стальных прокатных равнобоких уголков и в виде двух стальных тяг круглого сечения. В расчетах примем нормативное значение силы Рн = 100 кН, yf= 1,4, ус = 1,0, R = 210 МПа = 21 кН/см2.
Определим расчетное значение силы:
Определим с помощью уравнения равновесия расчетное значение продольной силы в стержне CD:
Вычислим значение требуемой по условию прочности площади поперечного сечения стержня:
В первом варианте принимаем по сортаменту сечение стержня в виде двух равнобоких уголков (рис. 3.25, а) _|1_56х56х5. Площадь поперечного сечения стержня равна F= 2 • 5,41 = 10,82 см2.
Во втором варианте определяем требуемый диаметр сечения каждого стержня (рис. 3.25, б):
Рис. 3.24
Рис. 3.25
Округлив в большую сторону, примем D = 2,6 см.
Определим для первого варианта сечения значения напряжений в поперечном сечении стержня:
Прочность стержня обеспечена с небольшим запасом.
Пример 3.10. Стержневая система состоит из жесткой балки АВ, имеющей шарнирно-неподвижную опору С, и двух стержней BD и АЕ, поддерживающих балку (рис. 3.26). К балке приложена сила Р, нормативное значение которой равно 300 кН. Определим усилия в стержнях и подберем их сечения в виде двух стальных прокатных равнобоких уголков. В расчетах примем соотношение между площадями поперечных сечений стержней F2/F] = 1,3, yf = 1,2, ус = 1,0, R = 210 МПа = 21 кН/см2.
Расчетное значение силы Р равно Рр = 300 • 1,2 = 360 кН.
Данная стержневая система является статически неопределимой, поскольку для определения четырех неизвестных величин /V,, N2, Rcи Нсможно составить только три независимых уравнения статики. Используем уравнение равновесия относительно усилий в стержнях /V, и N2. Учитывая, что г, = 3 sin 30° = 1,5 м, получим
Для получения дополнительного уравнения относительно N{ и N2 рассмотрим схему деформации системы. При повороте жесткой балки АВ на малый угол у (рис. 3.27) удлинения стержней составят:
Рис. 3.26
Рис. 3.27
Определим из подобия треугольников АА’С и В В’ С соотношение между величинами А/, и Д/2:
Выражаем величины удлинений стержней через действующие в них усилия и составляем дополнительное уравнение относительно N, и N2:
где /j = 3/cos 30° = 3,46 ми /2 = 1,5 м — длины стержней.
Подставляем соотношение между усилиями в уравнение равновесия и определяем величины усилий в стержнях:
Определяем требуемые по условию прочности площади поперечных сечений стержней:
Проверим выполнение принятого в начале расчета соотношения между площадями F{ и F2:
Поскольку принятое соотношение не выполняется, при подборе сечений стержней надо увеличить требуемую площадь поперечного сечения первого стержня и принять ее равной
Принимаем по сортаменту сечения стержней в виде двух стальных прокатных равнобоких уголков, определяем действующие в стержнях напряжения и проверяем их прочность. Стержень BD (2|_75х75х8)
Стержень (2L 110x110x7)
Прочность стержней обеспечена.
Пример 3.11. Для данной системы (рис. 3.28) определим величину допустимой силы Р из условий прочности стержней Л В и ВС. Определим усилия и напряжения в стержнях. В расчетах примем R = 220 МПа = 22 кН/см2 иус = 0,9.
Рис. 3.28
Составим уравнения равновесия:
Определим площади поперечных сечений стержней и выразим действующие в них напряжения через силу Р:
Напряжения в стержне АВ являются большими по величине. Определим из условия прочности этого стержня величину силы Р:
Примем Р = 245 кН и вычислим значения усилий и напряжений в стержнях:
Прочность стержней обеспечена.
Пример 3.12. Для латунного стержня ступенчато-постоянного сечения (рис. 3.29, а) определим величину силы .Риз условия прочности стержня. Определим напряжения в пределах каждого участка стержня. В расчетах используем метод допускаемых напряжений, приняв [о] = 80 МПа = 8 кН/см2.
Площади поперечных сечений стержня равны:
Строим эпюру продольных сил (рис. 3.29, б). Определяем нормальные напряжения в пределах участков стержня и выражаем их через силу Р.
Первый участок
Второй участок
Рис. 3.29
Эпюра о приведена на рис. 3.29, в. Ставим условие прочности по напряжениям на первом участке и определяем величину Р:
Примем Р = 40 кН и определим усилия и напряжения в стержне:
Источник
Осевое или центральное растяжение (сжатие) относят к простым видам сопротивления. Название этого вида деформации обусловлено тем, что линия действия сил (равнодействующей сил), приложенных к стержню, совпадает с осью стержня (ось стержня проходит через центры тяжести поперечных сечений).
Продольное внутреннее усилие (N) будет положительным при растяжении элемента и отрицательным в случае сжатия.
Продольное внутреннее усилие (N) в любом сечении равно алгебраической сумме проекций всех внешних сил (включая опорные реакции), взятых по одну сторону от сечения, на продольную ось стержня.
Напряжения в поперечных сечениях характеризуют интенсивность внутренних сил в поперечном сечении.
Соотношение (6.1) позволяет вычислить среднее напряжение по площади поперечного сечения. Бернулли были предложены допущения – гипотезы плоских сечений: поперечные сечения, плоские до нагружения остаются плоскими и перпендикулярными продольной оси и после нагружения. В силу принятых гипотез σy=σz=τyx=τyz=0, σx≠0, поэтому напряженное состояние в элементе объёма – линейное (только одно из главных напряжений отлично от нуля), рис. 6.1. Нормальное напряжение в поперечном сечении при данном виде деформации является функцией от продольного внутреннего усилия Nx и зависит от геометрической характеристики поперечного сечения – площади А. Определяют напряжение по формуле
σ=σx=Nx/A. (6.2)
Знак у напряжения определяется знаком продольной силы.
Рис. 6.1. Схема деформации элементарного параллелепипеда при одноосном растяжении
При растяжении (сжатии) различают абсолютные ∆l и относительные ε деформации. Абсолютная деформация – это разница между длиной стержня до и после деформации, т.е. та величина, на которую он изменил свою длину ∆l=/l1-l/. Относительная деформация – это, как ясно из названия, отношение абсолютной деформации к первоначальной длине стержня ε=∆l/l.
Деформации элементов конструкций, материал которых работает в упругой стадии, определяются на основании закона Гука, записанного в случае одноосного(линейного) напряжённого состояния в следующем виде:
(6.3)
Закон Гука (6.3) устанавливает прямопропорциональную зависимость между действующим в рассматриваемой точке нормальным напряжением и относительной линейной деформацией материала (по направлению ). Коэффициент пропорциональности Е носит название модуля упругости первого рода (модуля продольной упругости, модуля Юнга) и имеет размерность напряжения.
При одноосном растяжении (сжатии) кроме продольной деформации возникают также деформации и в поперечных направлениях, противоположные по знаку деформации (рис. 6.1). Отношение деформации к или к , взятое по абсолютной величине, называется коэффициентом Пуассона (коэффициентом поперечной деформации) ν.
Для изотропных материалов
(6.4)
Коэффициент Пуассона для различных материалов может принимать значения от 0 до 0,5 (для стали обычно = 0,24… …0,33, для алюминиевого сплава – 0,3).
Модуль упругости первого рода и коэффициент Пуассона являются основными характеристиками упругих свойств материала. Они определяются экспериментальным путем. Наиболее просто в техническом отношении осуществляется опыт, в котором Е и определяются по результатам испытания образца на осевое растяжение.
Перемещения сечений происходят в результате деформирования стержня. Перемещения, соответствующие удлинению считаются положительными. Перемещения, вызванные внешними силовыми факторами, определяют с помощью зависимости (6.5).
. (6.5)
В случае, когда в пределах грузового участка внутреннее усилие и жёсткость стержня постоянны, это выражение принимает вид
Перемещения, вызванные изменением температуры, определяются с помощью зависимости
Расчет на прочность и жесткость при осевом растяжении (сжатии).
Для расчета на прочность пользуются условием прочности, которое при данном виде сопротивления имеет вид:
(6.8)
В этих выражениях , , — расчетные сопротивления по нормальным напряжениям для хрупкого и пластичного материала соответственно. Максимальное значение напряжения определяют с помощью эпюры напряжений, полученной через отношения Nx/A.
В расчете на жесткость применяют условия жесткости:
. (6.9)
Первое условие для полного перемещения стержня, а второе — для максимального перемещения сечения. В квадратных скобках приведены допустимые значения. Для определения опасного сечения, в котором возникает, строят эпюру перемещений.
Пример построения эпюр.
Источник