Расчет на прочность и жесткость при осевом растяжении сжатии
Внутренние усилия при растяжении-сжатии.
Осевое (центральное) растяжение или сжатие прямого бруса вызывается внешними силами, вектор равнодействующей которых совпадает с осью бруса. При растяжении или сжатии в поперечных сечениях бруса возникают только продольные силы N. Продольная сила N в некотором сечении равна алгебраической сумме проекции на ось стержня всех внешних сил, действующих по одну сторону от рассматриваемого сечения. По правилу знаков продольной силы N принято считать, что от растягивающих внешних нагрузок возникают положительные продольные силы N, а от сжимающих — продольные силы N отрицательны (рис. 5).
Чтобы выявить участки стержня или его сечения, где продольная сила имеет наибольшее значение, строят эпюру продольных сил, применяя метод сечений, подробно рассмотренный в статье:
Анализ внутренних силовых факторов в статистически определимых системах
Ещё настоятельно рекомендую взглянуть на статью:
Расчёт статистически определимого бруса
Если разберёте теорию в данной статье и задачи по ссылкам, то станете гуру в теме «Растяжение-сжатие» =)
Напряжения при растяжении-сжатии.
Определенная методом сечений продольная сила N, является равнодействующей внутренних усилий распределенных по поперечному сечению стержня (рис. 2, б). Исходя из определения напряжений, согласно выражению (1), можно записать для продольной силы:
где σ — нормальное напряжение в произвольной точке поперечного сечения стержня.
Чтобы определить нормальные напряжения в любой точке бруса необходимо знать закон их распределения по поперечному сечению бруса. Экспериментальные исследования показывают: если нанести на поверхность стержня ряд взаимно перпендикулярных линий, то после приложения внешней растягивающей нагрузки поперечные линии не искривляются и остаются параллельными друг другу (рис.6, а). Об этом явлении говорит гипотеза плоских сечений (гипотеза Бернулли): сечения, плоские до деформации, остаются плоскими и после деформации.
Так как все продольные волокна стержня деформируются одинаково, то и напряжения в поперечном сечении одинаковы, а эпюра напряжений σ по высоте поперечного сечения стержня выглядит, как показано на рис.6, б. Видно, что напряжения равномерно распределены по поперечному сечению стержня, т.е. во всех точках сечения σ = const. Выражение для определения величины напряжения имеет вид:
Таким образом, нормальные напряжения, возникающие в поперечных сечениях растянутого или сжатого бруса, равны отношению продольной силы к площади его поперечного сечения. Нормальные напряжения принято считать положительными при растяжении и отрицательными при сжатии.
Деформации при растяжении-сжатии.
Рассмотрим деформации, возникающие при растяжении (сжатии) стержня (рис.6, а). Под действием силы F брус удлиняется на некоторую величину Δl называемую абсолютным удлинением, или абсолютной продольной деформацией, которая численно равна разности длины бруса после деформации l1 и его длины до деформации l
Отношение абсолютной продольной деформации бруса Δl к его первоначальной длине l называют относительным удлинением, или относительной продольной деформацией:
При растяжении продольная деформация положительна, а при сжатии – отрицательна. Для большинства конструкционных материалов на стадии упругой деформации выполняется закон Гука (4), устанавливающий линейную зависимость между напряжениями и деформациями:
где модуль продольной упругости Е, называемый еще модулем упругости первого рода является коэффициентом пропорциональности, между напряжениями и деформациями. Он характеризует жесткость материала при растяжении или сжатии (табл. 1).
Таблица 1
Модуль продольной упругости для различных материалов
Абсолютная поперечная деформация бруса равна разности размеров поперечного сечения после и до деформации:
Соответственно, относительную поперечную деформацию определяют по формуле:
При растяжении размеры поперечного сечения бруса уменьшаются, и ε’ имеет отрицательное значение. Опытом установлено, что в пределах действия закона Гука при растяжении бруса поперечная деформация прямо пропорциональна продольной. Отношение поперечной деформации ε’ к продольной деформации ε называется коэффициентом поперечной деформации, или коэффициентом Пуассона μ:
Экспериментально установлено, что на упругой стадии нагружения любого материала значение μ = const и для различных материалов значения коэффициента Пуассона находятся в пределах от 0 до 0,5 (табл. 2).
Таблица 2
Коэффициент Пуассона.
Абсолютное удлинение стержня Δl прямо пропорционально продольной силе N:
Данной формулой можно пользоваться для вычисления абсолютного удлинения участка стержня длиной l при условии, что в пределах этого участка значение продольной силы постоянно. В случае, когда продольная сила N изменяется в пределах участка стержня, Δl определяют интегрированием в пределах этого участка:
Произведение (Е·А) называют жесткостью сечения стержня при растяжении (сжатии).
Механические свойства материалов.
Основными механическими свойствами материалов при их деформации являются прочность, пластичность, хрупкость, упругость и твердость.
Прочность — способность материала сопротивляться воздействию внешних сил, не разрушаясь и без появления остаточных деформаций.
Пластичность – свойство материала выдерживать без разрушения большие остаточные деформации. Неисчезающие после снятия внешних нагрузок деформации называются пластическими.
Хрупкость – свойство материала разрушаться при очень малых остаточных деформациях (например, чугун, бетон, стекло).
Идеальная упругость – свойство материала (тела) полностью восстанавливать свою форму и размеры после устранения причин, вызвавших деформацию.
Твердость – свойство материала сопротивляться проникновению в него других тел.
Рассмотрим диаграмму растяжения стержня из малоуглеродистой стали. Пусть круглый стержень длинной l0 и начальным постоянным поперечным сечением площади A0 статически растягивается с обоих торцов силой F.
Диаграмма сжатия стержня имеет вид (рис. 10, а)
где Δl = l — l0 абсолютное удлинение стержня; ε = Δl / l0 — относительное продольное удлинение стержня; σ = F / A0 — нормальное напряжение; E — модуль Юнга; σп — предел пропорциональности; σуп — предел упругости; σт — предел текучести; σв — предел прочности (временное сопротивление); εост — остаточная деформация после снятия внешних нагрузок. Для материалов, не имеющих ярко выраженную площадку текучести, вводят условный предел текучести σ0,2 — напряжение, при котором достигается 0,2% остаточной деформации. При достижении предела прочности в центре стержня возникает локальное утончение его диаметра («шейка»). Дальнейшее абсолютное удлинение стержня идет в зоне шейки ( зона местной текучести). При достижении напряжением предела текучести σт глянцевая поверхность стержня становится немного матовой – на его поверхности появляются микротрещины (линии Людерса-Чернова), направленные под углом 45° к оси стержня.
Расчеты на прочность и жесткость при растяжении и сжатии.
Опасным сечением при растяжении и сжатии называется поперечное сечение бруса, в котором возникает максимальное нормальное напряжение. Допускаемые напряжения вычисляются по формуле:
где σпред — предельное напряжение (σпред = σт — для пластических материалов и σпред = σв — для хрупких материалов); [n] — коэффициент запаса прочности. Для пластических материалов [n] = [nт] = 1,2 … 2,5; для хрупких материалов [n] = [nв] = 2 … 5, а для древесины [n] = 8 ÷ 12.
Расчеты на прочность при растяжении и сжатии.
Целью расчета любой конструкции является использование полученных результатов для оценки пригодности этой конструкции к эксплуатации при минимальном расходе материала, что находит отражение в методах расчета на прочность и жесткость.
Условие прочности стержня при его растяжении (сжатии):
При проектном расчете определяется площадь опасного сечения стержня:
При определении допускаемой нагрузки рассчитывается допускаемая нормальная сила:
Расчет на жесткость при растяжении и сжатии.
Работоспособность стержня определяется его предельной деформацией [ l ]. Абсолютное удлинение стержня должно удовлетворять условию:
Часто дополнительно делают расчет на жесткость отдельных участков стержня.
Следующая важная статья теории:
Изгиб балки
Источник
1. Поверочный расчет. Определяются расчетные напряжения и деформации по заданным нагрузкам и размерам поперечного сечения детали и сравниваются с допускаемыми:
Наибольшее отклонение расчетного напряжения или деформации от допускаемых не должно превышать ±5% и не рассматривается как нарушение прочности. Перенапряжения больше этого значения недопустимы с точки зрения обеспечения прочности, а недонапряжение — необоснованного перерасхода материала.
2. Конструкционный расчет (определение размеров сечения):
Из двух полученных значений принимается большее.
3. Эксплуатационный расчет. Определение допускаемой продольной силы по заданным размерам и известному допускаемому напряжению:
Из двух полученных значений принимается меньшее.
Системы, в которых внутренние силовые факторы, в частности продольные силы, нс могут быть определены с помощью только метода сечений, называют статически неопределимыми системами.
Соответственно задачи, связанные с расчетом указанных систем, также принято называть статически неопределимыми.
Для решения статически неопределимых задач составляют, помимо уравнения равновесия, дополнительные уравнения деформаций, основанные на рассмотрении условий и характера деформации системы или перемещений сечений. Их число зависит от числа неизвестных усилий, которые не определяются уравнениями статики. В системах, в которых число неизвестных лишь на единицу больше уравнений статики, называют системами один раз (однажды) статически неопределимыми.
Системы, в которых требуется составление двух уравнений деформаций, называют дважды статически неопределимыми, и т.д.
При изменении температуры статически неопределимой системы или отдельных ее элементов в стержнях возникают внутренние усилия и напряжения, называемые температурными.
Рассмотрим два одинаковых стержня (рис. 2.12), из которых первый заделан одним концом (рис. 2.12, а), представляя статически определимую систему, а второй (рис. 2.12, б), жестко защемленный обоими концами — статически неопределимую систему. При нагревании на At стержень, заделанный одним концом, удлиняется на величину А/, = (X ? I ? At, где а — коэффициент линейного расширения. При этом он нс испытывает механическое (силовое) воздействие, так внутренние силы упругости и напряжения в нем нс возникают. В науке о сопротивлении материалов нс рассматриваются напряжения, возникающие в материале при изменении температуры — термические напряжения. Длина второго стержня при нагревании не изменяется, так как жесткие заделки не дают ему возможности удлиняться.
Таким образом при нагревании стержня, который нс может свободно удлиняться, возникают внутренние сжимающие усилия и, соответственно, сжимающие напряжения. При охлаждении стержня, наоборот, в нем возникают внутренние усилия и напряжения растяжения.
Для определения внутренних усилий и напряжений, возникающих в стержне, жестко защемленном обоими концами, мысленно освободим стержень от одного из защемлений, например, правого. Заменим его действие на стержень соответствующей силой — реакцией Z = NB (рис. 2.12, в). Тогда стержень имеет возможность при нагреве удлиняться на величину Д/, = OL -1 ? At. Но реактивная сила Z сжимает стержень на величину
Д/у = —Z ? I /(Е ? А). Суммарная длина стержня остается неизменной, т.е.
откуда
Рис. 2.12. Стержневые системы: а — статически определимая;
6 — статически неопределимая; в — преобразованная
Учитывая, что имеем
Величина напряжений, полученных из последнего выражения, максимальна; если одна из заделок будет иметь хотя бы небольшую возможность смещаться, то напряжения, возникающие в стержне при изменении температуры стержня, будут меньше.
Пример 2.4. Определить требуемый диаметр стержня, изготовленного из стали, имеющей предел текучести а, = 260 МПа, и растягиваемого силой F = 32 кН. Требуемый коэффициент запаса прочности пас/т — 2.
Решение
Допускаемое напряжение
Требуемая площадь и диаметр поперечного сечения
Принимаем d = 18 мм.
Пример 2.5. Проверить на сжатие короткий поршневой стальной шток (рис. 2.13) компрессора при давлении в цилиндре р = 15 бар (1 бар = 0,14 Н/мм2). Внутренний диаметр цилиндра D = 300 мм, диаметр штока d = 40 мм, допускаемое напряжение для штока a(jm = 100 Н/мм2.
Рис. 2.13. К примеру 2.5
Решение
Определяем величину силы F, сжимающей шток:
Величина напряжений в поперечном сечении штока
Пример 2.6. Стальной брус жестко заделан обоими концами и охлаждается на At. Определить допускаемое изменение температуры из условия, чтобы возникающие в результате этого напряжения в поперечных сечениях бруса не превышали Е = 2,0- 105 МПа, коэффициент линейного расширения а = 12,5-10.
Решение
Температурные напряжения в поперечных сечениях бруса определяются по формуле
откуда
Пример 2.7. Часть I. Для статически определимого стержня (рис. 2.14) требуется:
- 1) построить эпюру продольных сил;
- 2) из условий прочности по нормальным напряжениям и конструктивных
требований подобрать поперечные сечения стержня на каждой ступени. Величины допускаемых нормальных напряжения принять равными (J^ = 200 МПа,
Рис. 2.14. Схема загружения ступенчатого стерженя
- 3) для принятого стержня построить эпюру нормальных напряжений;
- 4) определить общее удлинение (укорочение) стержня и построить эпюру перемещений поперечных
сечений, приняв ? = 2 10^ МПа.
Часть II. Жестко закрепить свободный конец полученного стержня. Для статически неопределимого стержня:
- 1) раскрыть статическую неопределимость;
- 2) построить эпюру продольных сил и нормальных напряжений.
Исходные данные: F = 60 кН; С^ = 200 МПа; = 100 МПа;
? = 2•105 МПа.
Решение
1. Построение эпюры продольных сил.
Разбиваем стержень на грузовые участки и нумеруем их римскими циф рами (рис. 2.15). Разбивку начинаем со свободного конца стержня.
Применяя метод сечений, определяем продольные силы на каждом учасг ке из условия равновесия отсеченных частей стержня (рис. 2.15, а).
Условия равновесия ?np.Z = 0.
I участок: N = 0; N = 0.
II участок:
Ill участок:
IV участок:
Из условия равновесия всего стержня находим реакцию в месте крепления:
Строим эпюру N (рис. 2.15, б).
2. Подбор поперечных сечений стержня.
N
Из условия прочности А > —т—г-.
ПС
°adm
Площади поперечных сечений на каждом участке:
Рис. 2.15. Расчет ступенчатого стержня: а — определение продольных сил; б — эпюра продольных сил; в — эпюра нормальных напряжений; г — эпюра перемещений поперечных сечений
По конструктивным требованиям принимаем
3. Для принятого стержня определяем
Строим эпюру G (рис. 2.15, в).
4. Определение общего удлинения (укорочения) стержня и построение эпюры 5 перемещений поперечных сечений стержня (? = 2 • 10^ МПа).
Общая деформация стержня
где A/j ,Д/ц ,A/ju ,A/fn ,A/1V — деформации на каждом грузовом участке или зоне.
Перемещения поперечных сечений:
Строим эпюру 5 (рис. 2.15, г).
Часть II
После закрепления свободного конца стержня получаем статически неопределимый стержень (неизвестных два — R и Rj, а уравнение — одно). Степень статической неопределимости п = 2 — 1 = 1. Задача однажды статически неопределима.
1. Раскрытие статической неопределимости Уравнение статики по схеме (рис. 2.16, а):
Уравнение деформации
Рис. 2.16. Статически неопределимый стержень:
а — определение продольных сил; б — эпюра продольных сил; в — эпюра нормальных напряжений
Применяя закон Гука, перепишем условие совместности деформаций:
После преобразования получим:
Тогда
Применяя метод сечений из условия равновесия отсеченных частей стержня, определим продольные силы N на каждом грузовом участке Xnp.z = 0 (рис. 2.16, б):
После подстановки найденных значений в (2.11) получим:
Статическая неопределимость раскрыта.
2. Построение эпюр N и
Определяем продольные силы в сечениях стержня на грузовых участках:
Строим эпюру N (см. рис. 2.16, б).
Строим эпюру О (рис. 2.16, в).
3. Кинематическая проверка
Определяем суммарную абсолютную деформацию стержня:
Вопросы для самоконтроля
Источник
Осевое или центральное растяжение (сжатие) относят к простым видам сопротивления. Название этого вида деформации обусловлено тем, что линия действия сил (равнодействующей сил), приложенных к стержню, совпадает с осью стержня (ось стержня проходит через центры тяжести поперечных сечений).
Продольное внутреннее усилие (N) будет положительным при растяжении элемента и отрицательным в случае сжатия.
Продольное внутреннее усилие (N) в любом сечении равно алгебраической сумме проекций всех внешних сил (включая опорные реакции), взятых по одну сторону от сечения, на продольную ось стержня.
Напряжения в поперечных сечениях характеризуют интенсивность внутренних сил в поперечном сечении.
Соотношение (6.1) позволяет вычислить среднее напряжение по площади поперечного сечения. Бернулли были предложены допущения – гипотезы плоских сечений: поперечные сечения, плоские до нагружения остаются плоскими и перпендикулярными продольной оси и после нагружения. В силу принятых гипотез σy=σz=τyx=τyz=0, σx≠0, поэтому напряженное состояние в элементе объёма – линейное (только одно из главных напряжений отлично от нуля), рис. 6.1. Нормальное напряжение в поперечном сечении при данном виде деформации является функцией от продольного внутреннего усилия Nx и зависит от геометрической характеристики поперечного сечения – площади А. Определяют напряжение по формуле
σ=σx=Nx/A. (6.2)
Знак у напряжения определяется знаком продольной силы.
Рис. 6.1. Схема деформации элементарного параллелепипеда при одноосном растяжении
При растяжении (сжатии) различают абсолютные ∆l и относительные ε деформации. Абсолютная деформация – это разница между длиной стержня до и после деформации, т.е. та величина, на которую он изменил свою длину ∆l=/l1-l/. Относительная деформация – это, как ясно из названия, отношение абсолютной деформации к первоначальной длине стержня ε=∆l/l.
Деформации элементов конструкций, материал которых работает в упругой стадии, определяются на основании закона Гука, записанного в случае одноосного(линейного) напряжённого состояния в следующем виде:
(6.3)
Закон Гука (6.3) устанавливает прямопропорциональную зависимость между действующим в рассматриваемой точке нормальным напряжением и относительной линейной деформацией материала (по направлению ). Коэффициент пропорциональности Е носит название модуля упругости первого рода (модуля продольной упругости, модуля Юнга) и имеет размерность напряжения.
При одноосном растяжении (сжатии) кроме продольной деформации возникают также деформации и в поперечных направлениях, противоположные по знаку деформации (рис. 6.1). Отношение деформации к или к , взятое по абсолютной величине, называется коэффициентом Пуассона (коэффициентом поперечной деформации) ν.
Для изотропных материалов
(6.4)
Коэффициент Пуассона для различных материалов может принимать значения от 0 до 0,5 (для стали обычно = 0,24… …0,33, для алюминиевого сплава – 0,3).
Модуль упругости первого рода и коэффициент Пуассона являются основными характеристиками упругих свойств материала. Они определяются экспериментальным путем. Наиболее просто в техническом отношении осуществляется опыт, в котором Е и определяются по результатам испытания образца на осевое растяжение.
Перемещения сечений происходят в результате деформирования стержня. Перемещения, соответствующие удлинению считаются положительными. Перемещения, вызванные внешними силовыми факторами, определяют с помощью зависимости (6.5).
. (6.5)
В случае, когда в пределах грузового участка внутреннее усилие и жёсткость стержня постоянны, это выражение принимает вид
Перемещения, вызванные изменением температуры, определяются с помощью зависимости
Расчет на прочность и жесткость при осевом растяжении (сжатии).
Для расчета на прочность пользуются условием прочности, которое при данном виде сопротивления имеет вид:
(6.8)
В этих выражениях , , — расчетные сопротивления по нормальным напряжениям для хрупкого и пластичного материала соответственно. Максимальное значение напряжения определяют с помощью эпюры напряжений, полученной через отношения Nx/A.
В расчете на жесткость применяют условия жесткости:
. (6.9)
Первое условие для полного перемещения стержня, а второе — для максимального перемещения сечения. В квадратных скобках приведены допустимые значения. Для определения опасного сечения, в котором возникает, строят эпюру перемещений.
Пример построения эпюр.
Источник