Проектировочный расчет при растяжении
Эта статья будет посвящена расчетам на прочность, которые выполняются в сопромате и не только. Расчеты на прочность бывают двух видов: проверочные и проектировочные (проектные).
Проверочные расчеты на прочность – это такие расчеты, в ходе которых проверятся прочность элемента заданной формы и размеров, под некоторой нагрузкой.
В ходе проектировочных расчетов на прочность определяются какие-то размеры элемента из условия прочности. Причем, очевидно, что для разных видов деформаций эти условия прочности различны. Также к проектным расчетам можно отнести расчеты на грузоподъемность, когда вычисляется максимальная нагрузка, которую может выдерживать конструкция, не разрушаясь. Рассмотрим более подробно, как проводится прочностные расчеты для разных случаев.
Расчеты на прочность при растяжении (сжатии)
Начнем, пожалуй, с самого простого вида деформации растяжения (сжатия). Напряжение при центральном растяжении (сжатии) можно получить, разделив продольную силу на площадь поперечного сечения, а условие прочности выглядит вот так:
где сигма в квадратных скобках – это допустимое напряжение. Которое можно получить, разделив предельное напряжения на коэффициент запаса прочности:
Причем, за предельное напряжение для разных материалов принимают разное значение. Для пластичных материалов, например, для малоуглеродистой стали (Ст2, Ст3) принимают предел текучести, а для хрупких (бетон, чугун) берут в качестве предельного напряжения – предел прочности (временное сопротивление). Эти характеристики получают при испытании образцов на растяжение или сжатие на специальных машинах, которые фиксируют характеристики в виде диаграммы.
Коэффициент запаса прочности выбирается конструктором исходя из своего личного опыта, назначения проектируемой детали и сферы применения. Обычно, он варьируется от 2 до 6.
В случае если необходимо подобрать размеры сечения, площадь выражают таким образом:
Таким образом, минимальная площадь поперечного сечения при центральном растяжении (сжатии) будет равна отношению продольно силы к допустимому напряжению.
Расчеты на прочность при кручении
При кручении расчеты на прочность в принципе схожи с теми, что проводятся при растяжении. Только здесь вместо нормальных напряжений появляются касательные напряжения.
На кручение работают, чаще всего, детали, которые называются валами. Их назначение заключается в передаче крутящего момента от одного элемента к другому. При этом вал по всей длине имеет круглое поперечное сечение. Условие прочности для круглого поперечного сечения можно записать так:
где Ip — полярный момент сопротивления, ρ — радиус круга. Причем по этой формуле можно определить касательное напряжение в любой точке сечения, варьируя значение ρ. Касательные напряжения распределены неравномерно по сечению, их максимальное значение находится в наиболее удаленных точках сечения:
Условие прочности, можно записать несколько проще, используя такую геометрическую характеристику как момент сопротивления:
То бишь максимальные касательные напряжения равны отношению крутящего момента к полярному моменту сопротивления и должны быть меньше либо равны допустимому напряжению. Геометрические характеристики для круга, упомянутые выше можно найти вот так:
Иногда в задачах встречаются и прямоугольные сечения, для которых момент сопротивления определяется несколько сложнее, но об этом я расскажу в другой статье.
Расчеты на прочность при изгибе
Источник
Задача 1
В некотором сечении балки прямоугольного сечения 20×30см М=28 кНм, Q=19 кН.
Требуется:
а) определить нормальное и касательное напряжения в заданной точке К, отстоящей от нейтральной оси на расстоянии 11 см,
б) проверить прочность деревянной балки, если [σ]=10 МПа, [τ]=3 МПа.
Решение
а) Для определения σ(К), τ(К) и maxσ,maxτ потребуется знать величины осевого момента инерции всего сечения IН.О., осевого момента сопротивления WН.О., статического момента отсечённой части и статического момента половины сечения Smax:
Тогда:
б) Проверка прочности:
— по условию прочности нормальных напряжений:
— по условию прочности касательных напряжений:
Задача 2
В некотором сечении балки М=10кНм, Q=40кН. Поперечное сечение – треугольное. Найти нормальное и касательное напряжения в точке, отстоящей от нейтральной оси на расстоянии 15 см.
где
Тогда
где:
Тогда
Задача 3
Подобрать сечение деревянной балки в двух вариантах: круглое и прямоугольное (при h/b=2), если [σ]=10 МПа, [τ]=3 МПа, и сравнить их по расходу материала.
Задаёмся направлениями опорных реакций А и В и составляем уравнения статики:
(1) ∑М(В) = F·8 – М – А·6 + (q·6)·3 =0,
откуда
(2) ∑М(А) = F·2 – М + В·6 — (q·6)·3 =0,
откуда
Iучасток
∑М(С) = М(z1) +F·z1=0,
ММ(z1) = —F·z1= — 30 ·z1 —
– уравнение прямой.
При z1 = 0: М = 0,
z1 = 2: М =- 60 кНм.
∑у= — F — Q(z1) = 0,
Q(z1) = — F = -30 кН – постоянная функция.
II участок
откуда
— уравнение параболы.
При z2=0: М = 0,
z2=3м: М = 30 · 3 – 5 · 32 = 90 — 45 = 45кНм,
z2=6м: М = 30 · 6 – 5 · 62 = 180 — 180 = 0.
∑у= Q(z2) — q·z2 + B= 0,
Q(z2) = q·z2 — B= 10·z2 – 30 – уравнение прямой,
при z2 = 0: Q = -30,
z2 = 6м: Q = 10·6 – 30 = 30.
Определение аналитического максимума изгибающего момента второго участка:
из условиянаходим :
И тогда
Заметим, что скачок в эп.М расположен там, где приложен сосредоточенный момент М = 60кНм и равен этому моменту, а скачок в эп.Q – под сосредоточенной силой А = 60 кН.
Подбор сечения балок производится из условия прочности по нормальным напряжениям, куда следует подставлять наибольший по абсолютной величине изгибающий момент из эпюры М.
В данном случае максимальный момент по модулю М = 60кНм
откуда: :
а) сечение круглой формы d=?
б) сечение прямоугольной формы при h/b = 2:
тогда
Размеры сечения, определенные из условия прочности по нормальным напряжениям, должны удовлетворять также условию прочности по касательным напряжениям:
Для простых форм сечений известны компактные выражения наибольшего касательного напряжения:
— для круглого сечения
— для прямоугольного сечения
Воспользуемся этими формулами. Тогда
— для балки круглого сечения при :
— для балки прямоугольного сечения
Чтобы выяснить, какое сечение требует меньшего расхода материала, достаточно сравнить величины площадей поперечных сечений:
Апрямоугольного = 865,3см2 < Акруглого = 1218,6см2, следовательно, балка прямоугольного сечения в этом смысле выгоднее, чем круглого.
Задача 4
Подобрать двутавровое сечение стальной балки, если [σ]=160МПа, [τ]=80МПа.
Задаёмся направлениями опорных реакций А и В и составляем два уравнения статики для их определения:
(1) ∑М(А) = – М1– F ·2 — (q·8)·4 + М2 + В·6 =0,
откуда
(2) ∑М(В) = – М1– А · 6 + F · 4 + (q·8)·2 + М2 =0,
откуда
Проверка:
∑у = А – F – q · 8 + В = 104 – 80 – 20 · 8 +136 = 240 – 240 ≡ 0.
∑М(С) = М(z1) — М1=0,
М(z1) = М1= 40 кНм – постоянная функция.
∑у= — Q(z1) = 0,
Q(z1) = 0.
II участок
— парабола.
Приz2=0: М = 40 кНм,
z2=1м: М = 40 + 104 – 10=134кНм,
z2=2м: М = 40+ 104 · 2 – 10 · 22 = 208 кНм.
∑у=А — q·z2 — Q(z2) = 0,
Q(z2) =А— q·z2 = 104 – 20·z2 – уравнение прямой,
при z2 = 0: Q = 104кН,
z2 = 6м: Q = 104 – 40 = 64кН.
III участок
— парабола.
Приz3=0: М = 24+40=-16 кНм,
z3=2м: М = 24 + 136·2 — 10 (2+2)2 = 24 + 272 – 160 = 136кНм,
z3=4м: М = 24 + 136·4 – 10 (2+4)2 = 24 + 544 – 360 = 208 кНм.
∑у=В — q(2+z3 ) + Q(z3) = 0,
Q(z3) =- В + q(2+z3 ) = -136 + 20 (2+z3 ) – уравнение прямой,
при z3 = 0: Q = -136 + 40 = — 94кН,
z3 = 4м: Q = — 136 + 20 (2+4) = — 136 + 120 = — 16кН.
IV участок
— парабола.
z4=0: М = 0кНм,
z4=1м: М = – 10кНм,
z4=2м: М = — 40кНм.
∑у=- q·z4 + Q(z4) = 0,
Q(z4) =q·z4 = 20·z4 – уравнение прямой.
Приz4 = 0: Q = 0,
z4 = 2м: Q = 40кН.
Проверяем скачки в эпюрах:
а) В эпюре М скачок на правой опоре величиной 24кНм (от 16 до 40) равен сосредоточенному моменту М2=24, приложенному в этом месте.
б) В эпюре Q три скачка:
первый из них на левой опоре соответствует сосредоточенной реакции А=104кН,
второй – под силой F=80кН и равен ей (64+16=80кН),
третий – на правой опоре и соответствует правой опорной реакции 136кН (94+40=136 кН)
Наконец, проектируем двутавровое сечение.
Подбор его размеров производится из условия прочности по нормальным напряжениям :
В сортаменте двутавровых профилей профиля с точно таким моментом сопротивления Wх нет. Есть № 40а с Wх=1190 см3 и № 45а с Wх=1430 см3
Попробуем меньший из них. Если принять двутавр № 40а, у которого Wх=1190 см3 , то наибольшее напряжение в опасном сечении будет:
и перенапряжение составитчто превышает рекомендуемую величину отклонения, равную 5%.
Поэтому приходится принимать ближайший больший размер двутавра, а именно №45а, у которого Wх=1430 см3. В этом случае балка будет работать с недонапряжением:
что меньше [σ]=160МПа на
Итак, принимается двутавр №45а, у которого: Wх=1430 см3, Iх=32240см4, Iх: Sх=38,6см, d=11,5мм.
Далее необходима проверка прочности по касательным напряжениям с помощью условия прочности :
Это условие прочности выполняется, даже с избыточным запасом.
Задача 5
Подобрать сечение балки, рассмотрев шесть вариантов форм и три вида материалов (древесина, чугун, сталь).
Решение
1.Определение опорных реакций
∑М(А) = F · 2 + М1 — М2— q·6·7 + В · 8 =0,∑М(В) = F · 10 + М1— М2 – А · 8 + q·6·1 =0,Проверка:
∑у = – 20 – 40 ·6 +50+210 = — 260 + 260 ≡ 0.
2.Построение эпюр изгибающих моментов и поперечных сил.
I участок
∑М(С) = М(z1) + F·z1=0,
М(z1) = — F·z1= -20·z1.
При z1=0: М = 0,
z1=2м: М = – 40кНм,
∑у= — F— Q(z1) = 0,
Q(z1) = — 20кН.
II участок
z2=0: М = — 20 – 40 = -60 кНм,
z2=4м: М = 200 — 20 – 120 = 200 — 140 = 60кНм.
∑у=- F + А — Q(z2) = 0,
Q =- F + А= -20+50=30кН.
III участок
— парабола.
Приz3=0: М = — 20·4= — 80 кНм,
z3=2м: М = 210·2 — 20·(2+2)2 = 420 – 320 = 100кНм,
z3=4м: М = 210·4 – 20 · (2+4)2 = 840 – 720 = 120кНм.
∑у= Q(z3) + В — q·(2+z3) = 0,
Q(z3) = — В + q·(2+z3) = — 210 + 40·(2+z3) – уравнение прямой.
Приz3 = 0: Q = -130кН,
z3 = 4м: Q = 30кН.
Q(z0) = — 210 + 40·(2+z0) = 0,
— 210 + 80 + 40·z0 = 0,
40·z0 = 130,
z0 =3,25м,
IV участок
парабола.
Приz4=0: М = 0 кНм,
z4=1м: М = – 20кНм,
z4=2м: М = — 80кНм.
∑у=- q·z4 + Q(z4) = 0,
Q(z4) =q·z4 = 40·z4 – уравнение прямой,
z4 = 0: Q = 0,
z4 = 2м: Q = 80кН.
3. Подбор сечений (опасное сечение по σ: |maxМ|=131,25кНм,
опасное сечение по τ: |maxQ|=130кН).
Вариант 1. Деревянное прямоугольное ([σ]=15МПа, [τ]=3МПа)
Принимаем: В=0,24м,
Н=0,48м.
Проверяем по τ:
Вариант 2. Деревянное круглое
Принимаем d=0,45м,
Проверяем по τ:
Вариант 3. Чугун : ([σР]=30МПа, [σс]=120МПа, [τ]=15МПа)
Принимаем b=0,19м, тогда h=0,38м, d=0,076м.
Проверка по τ:
b(у)= b — d= 0,19 — 0,076 = 0,114м
Вариант 4. Сталь, двутавр : ([σ]=160МПа, [τ]=80МПа).
по сортаменту Wх=953см3. Это №40: Ix=19062см4, Sх=545см3, d=0,83см.
Проверка по τ:
Вариант 5. Сталь, круглая труба
Принимаем D=0,22м → d = 0,6·D =0,132м.
Проверка по τ:
Вариант 6. Сталь, прямоугольная труба
b1= b — 2t = b — 2·0,1b = 0,8b,
h1= h — 2t = 0,8h,
Принимаем b=0,13м, h=0,26м.
Проверка по τ:
Кстати: какое из сечений стальной балки выгодней по расходу материала?
Двутавр — А = 72,6см2 = 72,6·10-4 = 0,00726м2,
круглая труба –
прямоугольная труба —
Самый лёгкий: двутавр → самый выгодный с точки зрения изгиба.
Источник