Продольно поперечный изгиб при растяжении
Продольно-поперечным изгибом называется сочетание поперечного изгиба со сжатием или растяжением бруса.
При расчете на продольно-поперечный изгиб вычисление изгибающих моментов в поперечных сечениях бруса производится с учетом прогибов его оси.
Рассмотрим балку с шарнирно опертыми концами, нагруженною некоторой поперечной нагрузкой и сжимающей силой 5, действующей вдоль оси балки (рис. 8.13, а). Обозначим у прогиб оси балки в поперечном сечении с абсциссой (положительное направление оси у примем вниз, и, следовательно, прогибы балки считаем положительными, когда они направлены вниз). Изгибающий момент М, действующий в этом сечении,
(23.13)
здесь изгибающий момент от действия поперечной нагрузки; — дополнительный изгибающий момент от действия силы
Полный прогиб у можно рассматривать состоящим из прогиба возникающего от действия только поперечной нагрузки, и дополнительного прогиба, равного вызванного силой .
Рис. 8.13
Полный прогиб у больше суммы прогибов, возникающих при раздельном действии поперечной нагрузки и силы S, так как в случае действия на балку только силы S прогибы ее равны нулю. Таким образом, в случае продольно-поперечного изгиба принцип независимости действия сил неприменим.
При действии на балку растягивающей силы S (рис. 8.13, б) изгибающий момент в сечении с абсциссой
(24.13)
Растягивающая сила S приводит к уменьшению прогибов балки, т. е. полные прогибы у в этом случае меньше прогибов вызванных действием только поперечной нагрузки.
В практике инженерных расчетов под продольно-поперечным изгибом подразумевают обычно случай действия сжимающей силы и поперечной нагрузки.
При жесткой балке, когда дополнительные изгибающие моменты невелики по сравнению с моментом прогибы у мало отличаются от прогибов . В этих случаях можно пренебрегать влиянием силы S на величины изгибающих моментов и величины прогибов балки и производить ее расчет на центральное сжатие (или растяжение) с поперечным изгибом, как изложено в § 2.9.
При балке, жесткость которой невелика, влияние силы S на величины изгибающих моментов и прогибов балки может быть весьма существенным и пренебрегать им при расчете нельзя. В этом случае балку следует рассчитывать на продольно-поперечный изгиб, понимая под этим расчет на совместное действие изгиба и сжатия (или растяжения), выполняемый с учетом влияния осевой нагрузки (силы S) на деформацию изгиба балки.
Рассмотрим методику такого расчета на примере балки, шарнирно опертой по концам, нагруженной поперечными силами, направленными в одну сторону, и сжимающей силой S (рис. 9.13).
Подставим в приближенное дифференциальное уравнение упругой линии (1.13) выражение изгибающего момента М по формуле (23.13):
[знак минус перед правой частью уравнения взят потому, что в отличие от формулы (1.13) здесь положительным для прогибов считается направление вниз], или
Здесь
Следовательно,
ИЛИ
В целях упрощения решения предположим, что дополнительный прогиб изменяется по длине балки по синусоиде, т. е. что
Рис. 9.13
Это предположение позволяет получить достаточно точные результаты при действии на балку поперечной нагрузки, направленной в одну сторону (например, сверху вниз). Заменим в формуле (25.13) прогиб выражением
или
или
откуда
Выражение совпадает с формулой Эйлера для критической силы сжатого стержня с шарнирно закрепленными концами. Поэтому его обозначают и называют эйлеровой силой.
Следовательно,
Следует отличать эйлерову силу от критической силы вычисляемой по формуле Эйлера. Значение можно вычислять по формуле Эйлера лишь при условии, что гибкость стержня больше предельной; значение же подставляют в формулу (26.13) независимо от гибкости балки. В формулу для критической силы, как правило, входит минимальный момент инерции поперечного сечения стержня, а в выражение эйлеровой силы входит момент инерции относительно той из главных осей инерции сечения, которая перпендикулярна плоскости действия поперечной нагрузки.
Из формулы (26.13) следует, что соотношение между полными прогибами балки у и прогибами вызванными Действием только поперечной нагрузки, зависит от отношения (величины сжимающей силы 5 к величине эйлеровой силы).
Таким образом, отношение является критерием жесткости балки при продольно-поперечном изгибе; если это отношение близко к нулю, то жесткость балки велика, а если оно близко к единице, то жесткость балки мала, т. е. балка является гибкой.
В случае, когда , прогиб т. е. при отсутствии силы S прогибы вызываются только действием поперечной нагрузки.
Когда величина сжимающей силы S приближается к значению эйлеровой силы полные прогибы балки резко возрастают и могут во много раз превышать прогибы вызванные действием только поперечной нагрузки. В предельном случае при прогибы у, подсчитанные по формуле (26.13), становятся равными бесконечности.
Следует отметить, что формула (26.13) неприменима при весьма больших прогибах балки, так как она основана на приближенном выражении кривизны Это выражение применимо лишь при малых прогибах, а при больших должно быть заменено тоадым выражением кривизны (65.7). В этом случае прогибы у при не равнялись бы бесконечности, а были бы хотя и весьма большими, но конечными.
При действии на балку растягивающей силы формула (26.13) принимает вид.
Из этой, формулы следует, что полные прогибы у меньше прогибов вызванных действием только поперечной нагрузки. При растягивающей силе S, численно равной значению эйлеровой силы (т. е. при ), прогибы у вдвое меньше прогибов
Наибольшие и наименьшие нормальные напряжения в поперечном сечении балки с шарнирно закрепленными концами при продольно-поперечном изгибе и сжимающей силе S равны
(28.13)
Рассмотрим двухопорную балку двутаврового сечения с пролетом Балка нагружена посередине вертикальной силой Р и сжимается осевой силой S = 600 (рис. 10.13). Площадь поперечного сечения балки момент инерции , момент сопротивления и модуль упругости
Рис. 10.13
Поперечные связи, соединяющие эту балку с соседними балками сооружения, исключают возможность потери устойчивости балки в горизонтальной плоскости (т. е. в плоскости наименьшей жесткости).
Изгибающий момент и прогиб посредине балки, подсчитанные без учета влияния силы S, равны:
где
Эйлерова сила определяется из выражения
Прогиб посередине балки, подсчитанный с учетом влияния силы S на основании формулы (26.13),
Определим наибольшие нормальные (сжимающие) напряжения в среднем поперечном сечении балки по формуле (28.13):
откуда после преобразования
(29.13)
Подставив в выражение (29.13) различные значения Р (в ), получим соответствующие им значения напряжений . Графически зависимость между определяемая выражением (29.13), характеризуется кривой, изображенной на рис. 11.13.
Определим допускаемую нагрузку Р, если для материала балки а необходимый коэффициент запаса прочности следовательно, допускаемое напряжение для материала
Из рис. 11.23 следует, что напряжение возникает в балке при нагрузке а напряжение — при нагрузке
Если в качестве допускаемой принять нагрузку то коэффициент запаса по напряжениям будет равен заданному значению Однако при этом балка будет обладать незначительным коэффициентом запаса по нагрузке, так как напряжения, равные от, возникнут в ней уже при Рот
Следовательно, коэффициент запаса по нагрузке в этом случае будет равен 1,06 (так как е. явно недостаточен.
Для того чтобы балка имела по нагрузке коэффициент запаса, равный 1,5, в качестве допускаемого следует принять значение при этом напряжения в балке будут, как это следует из рис. 11.13, примерно равны
Рис. 11.13
Выше расчет на прочность производился по допускаемым напряжениям. Это обеспечивало необходимый запас прочности не только по напряжениям, но также и по нагрузкам, так как почти во всех случаях, рассмотренных в предыдущих главах, напряжения прямо пропорциональны величинам нагрузок.
При продольно-поперечном изгибе напряжения, как это следует из рис. 11.13, не прямо пропорциональны нагрузке, а изменяются быстрее, чем нагрузка (в случае сжимающей силы S). В связи с этим даже незначительное случайное увеличение нагрузки сверх расчетной может вызвать весьма большое увеличение напряжений и разрушение конструкции. Поэтому расчет сжато-изогнутых стержней на продольно-поперечный изгиб следует производить не по допускаемым напряжениям, а по допускаемой нагрузке.
Составим по аналогии с формулой (28.13) условие прочности при расчете на продольно-поперечный изгиб по допускаемой нагрузке.
Оно должно отражать то, что при предельной нагрузке, равной произведению допускаемой (или заданной) нагрузки на нормативный коэффициент запаса прочности, наибольшие (предельные) напряжения апред не должны превышать предела текучести Следовательно,
Здесь — предельная продольная сжимающая сила, равная произведению допускаемой (или заданной) силы S на коэффициент запаса — предельный изгибаюший момент в опасном сечении балки, подсчитанный без учета влияния силы — прогиб балки в опасном сечении от предельной поперечной нагрузки, подсчитанный по формуле (26.13) с учетом влияния силы .
Условие прочности (30.13) можно представить в виде
или, учитывая, что
Определим допускаемое значение нагрузки для рассмотренного выше примера (см. рис. 10.13). Подставляя в условие прочности (31.13) значения
получаем
или после преобразований
Решая это уравнение относительно [Р], получаем значение допускаемой нагрузки совпадающее со значением, подсчитанным выше с помощью графика, изображенного на рис. 11.13.
Аналогично производится расчет сжато-изогнутых стержней на продольно-поперечный изгиб при ином виде нагрузки и других типах опорных закреплений. При этом в формулу (26.13) следует подставлять значение эйлеровой силы, соответствующее опорным закреплениям рассчитываемого стержня, т. е.
Сжато-изогнутые стержни кроме расчета на продольно-поперечный изгиб необходимо рассчитывать также и на устойчивость.
Рис. 12.13.
Источник
Продольно-поперечным называется изгиб стержня, возникающий от совместного действия поперечной и продольной нагрузок. Рассмотрим гибкий стержень, находящийся под действием поперечной нагрузки и центрально приложенной сжимающей силы Р(рис. 13.17). Обозначим через ип и Мп прогиб и изгибающий момент в произвольном сечении стержня от действия только поперечной нагрузки.
Рис.13.17
После приложения продольной силы Р прогиб и изгибающий момент получат приращения vx и Мх. Суммарный прогиб и изгибающий момент при совместном действии поперечной и продольной нагрузок равны:
Обратим внимание на следующее обстоятельство. При продольно-поперечном изгибе нарушается принцип независимости действия сил, согласно которому результат совместного действия нескольких сил равен сумме результатов от действия каждой силы по отдельности. Действительно, при действии только силы Р возникает лишь продольное усилие N = — Р ; при действии поперечной нагрузки — изгибающий момент М = МП. При одновременном действии тех и других нагрузок изгибающий момент М определяется выражением (13.41). Следовательно, величина Ри отсутствует в выражении изгибающего момента при раздельном действии нагрузок и появляется лишь при их совместном действии. Это и подтверждает нарушение принципа независимости действия сил.
Дифференциальное уравнение изогнутой оси стержня с учетом (13.41) можно записать в виде
Вводя обозначение
получим
Общее решение этого линейного дифференциального уравнения имеет вид
где v* — частное решение уравнения (13.43), зависящее от Мп, т.е. от вида поперечной нагрузки, а постоянные интегрирования Сх и С2 определяются из граничных условий. Например, для балки на двух опорах, нагруженной равномерно распределенной нагрузкой q (рис. 13.18), имеем
Рис.13.18
Тогда
Следовательно,
Постоянные С1 и С2 определяются из граничных условий и(0) = 0 и v(l) = 0. В итоге получаем окончательное решение задачи в виде
В случае более сложных поперечных нагрузок нахождение частного решения и*связано с определенными трудностями.
Рассмотрим часто применяемый на практике приближенный метод расчета сжато-изогнутых стержней. Подставив первое из равенств (13.41) в левую часть (13.42), получим
При действии только поперечной нагрузки справедливо уравнение
с учетом которого уравнение (13.45) примет вид
При решении этого уравнения можно принять приближенное выражение для дополнительного прогиба v{, удовлетворяющее граничным условиям. Так, например, для шарнирно опертого по концам стержня (см. рис. 13.17) при действии поперечной нагрузки, направленной в одну сторону, можно принять
При этом будут удовлетворяться условия равенства нулю прогибов на концах стержня х = 0 и х = /.
Дифференцируя выражение для vx, найдем
С учетом этого из уравнения (13.46) получим
Учитывая, что выражение n2EJ/P- представляет собой критическую силу Эйлера для шарнирно опертого по концам стержня, получим формулу для определения суммарного прогиба:
Эта формула часто используется и при других способах закрепления концов стержня. При этом независимо от гибкости величина Ркр вычисляется по формуле Эйлера (13.11). Момент инерции в этой формуле берется относительно главной оси инерции поперечного сечения стержня, которая перпендикулярна плоскости действия поперечной нагрузки.
Суммарный изгибающий момент в произвольном сечении стержня определяется по формуле М= Мп + Pv.
Расчеты показывают, что приближенная формула (13.47) дает достаточную для инженерных расчетов точность, если Р 0,75Ркр. Обычно в реальных конструкциях сжимающая сила не превышает величины (0,5-н0,6)Ркр.
Источник
Рассмотрим шарнирно опертую по концам балку (рис.1), которая находится под действием поперечной нагрузки и центрально приложенной силы Р.
Рис. 1
Допустим, что сначала действовала только поперечная нагрузка, которая вызвала изгиб балки. Обозначим через у0и М0 прогиб и изгибающий момент в любом сечении балки и примем это состояние за начальное.
Приложим теперь к стержню, имеющему предварительное начальное искривление, сжимающую силу Р, тогда балка изогнется еще больше и прогиб б каждом сечении увеличится на величину y1. Полный прогиб ее в любом сечении
у = у0 + у1
Величина полного прогиба будет плечом для сжимающей силы Р, следовательно, в каждом сечении балки помимо момента М0 от действия поперечной нагрузки появится момент Мгот силы Р:
М1=Ру=Р(у0+у1).(1)
Обозначим кривизну балки от действия поперечной нагрузки через 1/r0. Так как сжимающая сила увеличивает изгиб балки, то общая кривизна балки от действия поперечной нагрузки и сжимающей силы Р будет 1/r. Значит, приращение кривизны, вызываемое сжимающей силой Р, составит
. (2)
Так как приращение кривизны вызвано изгибающим моментом М1, то кривизна 1/r1 и изгибающий момент М1 оказываются связанными соотношением
. (3)
Выразим приращение кривизны через вторую производную от приращения прогиба у1:
.
Подставив кривизну 1/r0 и изгибающий момент М1 в формулу (3), получим
.
Перенесем неизвестные в этом уравнении в левую часть и, обозначив k2=P/EJ, запишем дифференциальное уравнение продольно-поперечного изгиба:
. (4)
Это уравнение полностью совпадает с уравнением, записанным для стержня, имеющего небольшое начальное искривление. Правая часть его у0=у0 (х) представляет собой изогнутую ось балки от действия поперечной нагрузки.
Таким образом, составлению дифференциального уравнения продольно-поперечного изгиба должен предшествовать расчет, в результате которого находится изогнутая ось балки от действия поперечной нагрузки.
Предположим, что изогнутая ось балки найдена. Тогда, подставляя выражение у0=у0 (х) в правую часть уравнения (4) и производя интегрирование, найдем приращение прогибов у1 и изгибающих моментов М1в любом сечении балки от действия сжимающей силы. Складывая изгибающий момент М1от силы Р сизгибающим моментом М0от поперечной нагрузки, найдем полный изгибающий момент в любом сечении стержня.
Решение задачи можно значительно упростить, если представить изогнутую ось балки от поперечной нагрузки в силу ее пологости в виде полуволны синусоиды со стрелой, равной максимальному прогибу балки:
.
Предположим также, что дополнительные прогибы у в каждом сечении балки от действия сжимающей силы Р распределяются по закону синуса:
.
Подставляя принятые приближенные решения в уравнение (4), получим
.
Отсюда найдем стрелу прогиба f1:
.
Это решение полностью совпадает с решением задачи о стержне, имеющем небольшое начальное искривление. Поэтому запишем сразу окончательную формулу для вычисления полного прогиба в середине стержня:
. (5)
Изгибающий момент в любом сечении стержня от действия сжимающей силы Р определим по формуле
.
Проверка стержня на прочность производится по наибольшему изгибающему моменту. Для этого сначала найдем наибольший изгибающий момент М0от действия поперечной нагрузки и определим сечение, в котором действует этот момент. Пусть это сечение будет х=с. Затем определим изгибающий момент М1в этом сечении от действия сжимающей силы Р:
.
Складывая эти моменты, найдем полный изгибающий момент в этом сечении
М = М0+М1.
При проверке на прочность нужно потребовать, чтобы напряжения в крайних волокнах наиболее опасного сечения не превышали допускаемых:
.
Пример 1:Балка длиной l=4 м загружена в середине пролета вертикальной силой Р=10 кн и сжимается центрально приложенной силой P1=150 кн (рис. 2). Подобрать сечение в виде двутавра, материал — Ст. 3.
Решение: Сначала подберем сечение из условия поперечного изгиба. Максимальный изгибающий момент в середине пролета
Определим требуемый момент сопротивления:
По сортаменту нужно принять двутавр № 36. Однако, учитывая неблагоприятное влияние сжимающей силы, примем сечение с некоторым запасом: двутавр № 40, .F=71,4 см2, Jу=666 см4, Wу==85,9 см3, iy=3.05 см.
Рис.2.
Проверим подобранное сечение на устойчивость в плоскости наименьшей жесткости. Гибкость стержня
Выпишем значения коэффициентов j:
при l=130 j= 0,40;
при l= 140 j=0,35.
Вычислим значение j для Х= 131,1:
Допускаемая сжимающая сила
Так как сжимающая сила принята Р1=150 кн, то устойчивость стержня обеспечена.
Проверим теперь фактические напряжения в крайних волокнах наиболее опасного сечения. Максимальный прогиб в середине стержня от поперечной нагрузки
Для того чтобы вычислить полный прогиб, найдем сначала величину критической силы
Полный прогиб в середине стержня
Вычислим дополнительный изгибающий момент от действия сжимающей силы:
Полный наибольший изгибающий момент и в середине стержня
М = М0 + М1=10+1,73=11,73 кн*м.
Определим наибольшие сжимающие напряжения:
Подобранное сечение удовлетворяет условию прочности.
Источник