Пример задач на центральное растяжение и сжатие

Растяжение  (сжатие) – это такой   вид нагружения стержня, при котором в его поперечном сечении возникает внутренняя продольная сила Ν, действующая вдоль центральной оси z.

Продольная сила Ν – это равнодействующая всех внутренних нормальных сил в сечении. Для вычисления продольной силы применяется метод сечений.

Продольная сила Ν численно равна алгебраической сумме проекций всех сил, действующих по одну сторону от рассматриваемого сечения,  на продольную ось бруса.

Правило знаков для продольной силы Ν: при растяжении продольная сила положительна, при сжатии – отрицательна.

График изменения продольных сил по длине стержня называется эпюрой. Эпюра N строится методом сечений на характерных участках бруса. Строится эпюра для использования ее при расчете бруса на прочность. Она дает возможность найти наибольшие значения продольных сил и положение сечений, в которых они возникают.

При растяжении (сжатии) возникают только нормальные напряжения. Согласно гипотезе Я. Бернулли (или гипотеза плоских сечений) в поперечных сечениях, удаленных от места приложения нагрузок, нормальные напряжения распределяются по сечению практически равномерно, а сами сечения, перпендикулярные к оси стержня z, остаются плоскими в процессе нагружения.

Нормальные напряжения в сечении при  растяжении (сжатии) вычисляются по формуле

где А – площадь поперечного сечения.

Правило знаков для σ совпадает с правилом знаков для N.

В наклонном сечении, нормаль к которому составляет угол α с осью стержня z,

При растяжении в продольном направлении стержень удлиняется, а его поперечные размеры уменьшаются, при сжатии, напротив, в продольном направлении стержень укорачивается, а его поперечные размеры увеличиваются; Δℓ — абсолютное удлинение или укорочение участка стержня длиной ℓ, Δb – абсолютная поперечная деформация.

Относительное удлинение или укорочение участка стержня длиной ℓ, называемое линейной деформацией, определяется следующим образом

ε=Δℓ/ℓ.

Экспериментально установлено, что в определенной области нагрузок при упругом поведении материала между нормальными напряжениями и линейными деформациями существует линейная зависимость (закон Гука для напряжений)

σ=εЕ,

где Е – модуль продольной упругости или модуль Юнга, это физическая const. Для каждого из материалов величина модуля упругости имеет свое значение:

сталь, Е = 2.105 МПа,

медь, Е = 1.105 МПа,

алюминий, Е = 0,7.105 МПа.

Значение модуля упругости устанавливается экспериментально.

Согласно закону Гука (данную запись называют законом Гука для деформаций)

Δℓ=Νℓ/ЕА

Произведение ЕА – называется жесткостью стержня при растяжении – сжатии.

Перемещение произвольного сечения ступенчатого стержня

w=∑Δℓi

Относительная поперечная деформация:

ε′=Δb/b

где b – поперечный размер стержня.

Эксперименты также показывают, что в упругой стадии деформирования между продольной и поперечной деформациями существует взаимосвязь

μ  =│ε′⁄ε│ — const,

где   μ —  коэффициент Пуассона, берется по модулю ,поскольку у продольной и поперечной деформации разные знаки (при растяжении продольные волокна увеличиваются, а поперечные уменьшаются в размере).

Для твердых материалов имеет значения коэффициент Пуассона

0≤μ ≤0,5

Изменение температуры стержня вызывает его удлинение (при нагревании) или укорочение (при охлаждении)

где — a- коэффициент линейного температурного расширения; Δtº=(tºк-tºн) — изменение температуры между значениями начальным (tºн) и конечным (tºк).

Статически неопределимыми называют системы, имеющие лишние связи – внешние или внутренние.

Для определения внутренних усилий в таких системах недостаточно рассматривать только уравнения равновесия.

В этом случае требуются дополнительные уравнения, число которых равно количеству лишних связей. Дополнительные уравнения составляются на основе анализа картины деформирования системы и использования законов деформирования ее элементов.

Алгоритм решения подобных задач включает следующее:

1)   Статическая часть. Составляются уравнения равновесия с включением неизвестных усилий, действующих по направлению лишних связей.

2)    Геометрическая часть. Составляются уравнения, описывающие взаимосвязь перемещений характерных точек, удлинений и укорочений отдельных стержней между собой.

3)   Физическая связь. Записываются законы деформирования отдельных стержней системы.

Порядок расчета статически неопределимых брусьев

1.  Задаться направлениями возможных опорных реакций и составить уравнение      статики для всей системы в целом.
2. Определить степень статической неопределимости и использовать метод сечений с целью выразить неизвестные усилия через неизвестные опорные реакции. При этом неизвестные продольные силы (N) следует предполагать положительными и поэтому направлять «от сечения».
3. Сформулировать условие совместности деформаций участков бруса.
4. В процессе превращения условия совместности в уравнение совместности деформаций различий в характере деформаций участков не учитывать.

Порядок расчета статически неопределимых шарнирно-стержневых систем

1. Задаться направлениями опорных реакций, но уравнений равновесия для всей системы не составлять, а сразу использовать метод сечений и составить уравнения статики для выделенной части системы.
2. Определить степень статической неопределимости как разницу между количеством всех неизвестных, оказавшихся в уравнениях статики, и числом самих этих уравнений.
3. Рассмотреть (изобразить) любую возможную картину деформаций системы и из ее анализа сформулировать условия совместности деформаций стержней системы (столько, какова степень статической неопределимости).
4. В процессе преобразования условий совместности в уравнения совместности деформаций обязательно учитывать различие в характере деформаций стержней (т.е. вводить удлинение со знаком «плюс», а укорочение со знаком «минус») в соответствии с той картиной деформации, которую мы рассматриваем.

Статически неопределимыми называются такие стержни и стержневые системы, расчет которых не может быть произведен с помощью одних только уравнений статики, поскольку этих уравнений недостаточно для определения всех опорных реакций и внутренних усилий. Для решения таких задач необходимо составить дополнительные уравнения исходя из рассмотрения деформированного состояния стержня или стержневой системы.

Рассмотрим примеры решения статически неопределимых задач.

Пример 3.4. Для стержня ступенчато-постоянного поперечного сечения, закрепленного на обоих торцах (рис. 3.14, а), построим эпюру N, определим осевые перемещения характерных сечений и построим эпюру и.

Поскольку стержень закреплен с двух сторон, возникают две опорные реакции R{ и R2. Составим уравнение равновесия:

Из этого уравнения нельзя определить опорные реакции Rx и R2. Поскольку стержень закреплен с двух сторон, его длина после действия нагрузки не изменится. Отсюда следует условие деформации стержня: А/ = 0.

Раскроем это условие следующим образом. Отбросим мысленно одно из закреплений (например, нижнее) и введем в этом сечении неизвестную силу, равную реакции в отброшенной связи Х= R2 (рис. 3.14, б).

Поставим условие, что образованный таким образом статически определимый стержень должен деформироваться так же, как и заданный. Тогда на основании принципа независимости действия сил можно записать:

где Alp и Alx — величины удлинений (укорочений) стержня (см. рис. 3.14, б) от действия заданной нагрузки и силы X.

Эти величины равны:

Решаем дополнительное уравнение:

Определяем вторую опорную реакцию из уравнения статики:

Направления опорных реакций соответствуют принятым в начале расчета. Эпюра N приведена на рис. 3.14, в.

Рис. 3.14

Определим величины удлинений и укорочений участков стержня и проверим выполнение условия его деформации:

Задача решена правильно. Вычислим осевые перемещения характерных сечений:

Эпюра осевых перемещений приведена на рис. 3.14, г. Осевые перемещения в пределах всех участков изменяются по линейному закону. Поперечные сечения перемещаются в положительном направлении оси Ох, т.е. вниз.

Пример 3.5. Стальная труба, заполненная бетоном, находится под действием сжимающей силы (рис. 3.15, а). Определим величины продольных сил и нормальных напряжений в трубе и бетоне при условии их совместной работы. Эффекты, связанные с поперечными деформациями, учитывать не будем.

Суммарная продольная сила в стержне является сжимающей и равна N = -Р. Она воспринимается одновременно стальной трубой и бетоном. Составим уравнение равновесия:

где Nc и Nq — сжимающие продольные силы в трубе и бетоне (рис. 3.15, б).

Задача является статически неопределимой. Из условия совместной деформации трубы и бетона их укорочения должны быть одинаковыми по величине: А/с = А/б. Раскроем это условие:

где ECFC и Е6Р6 — жесткости стальной трубы и бетона при сжатии.

Решив совместно полученные два уравнения, находим:

Из этих формул следует, что сила Р распределяется между элементами стержня пропорционально их жесткостям.

Рис. 3.15

Выполним числовой расчет, приняв сечение трубы 0 200 x10 мм, Ес = 2,1 • 105 МПа, Еб = 0,2- 105 МПа и Р= 500 кН. Площади поперечных сечений трубы и бетона равны:

Определяем продольные силы и напряжения в элементах стержня:

В статически неопределимых системах внутренние усилия и напряжения могут возникнуть не только при силовом, но и при тепловом воздействии (нагреве или охлаждении), а также при монтаже в случае неточного изготовления отдельных элементов и при смещении (осадке) опор.

Рассмотрим, например, закрепленный с двух сторон стержень постоянного поперечного сечения, подвергаемый нагреву на величину Т (рис. 3.16, а). Закрепления препятствуют свободному удлинению стержня. В силу этого возникают две равные по величине и противоположные по направлению опорные реакции Rx = R2 = R. Статически неопределимый стержень при нагреве испытывает сжатие силой N=—R.

Для определения продольной силы и напряжений в стержне используем условие его деформации: А/ = AlR + А1Т = 0, где AlR = —Rl/EF — возможное укорочение стержня от действия продольной силы N = —R (рис. 3.16, б) и A lT = a IT — возможное его удлинение при нагреве (рис. 3.16, в), где а — коэффициент линейного температурного расширения материала.

Составим уравнение относительно R, решив которое получим:

Рис. 3.16

Напряжения в стержне прямо пропорциональны коэффициенту а, модулю упругости материала Е и величине температуры Т.

При охлаждении статически неопределимый стержень будет испытывать растяжение.

Пример 3.6. Латунный цилиндрический стержень ступенчато-постоянного сечения закреплен на торцах и находится под действием сосредоточенной силы Р = 40 кН и температуры Т = 20 °С (рис. 3.17, а). Построим эпюры N, о и и. В расчетах примем Е= 1,1 • 105 МПа и а = 1,65 • 10-5.

Под действием силы и температуры на закрепленных торцах возникают опорные реакции Rx и R2. Составим уравнение равновесия:

Отбросим мысленно нижнее закрепление и заменим его силой X = R2 (рис. 3.17, б), для определения которой используем условие деформации стержня: А/ = А1Р + А1Х+ А 1Т= 0.

Учитывая, что площади поперечных сечений стержня равны Рх = к ? 32/4 = 7,07 см2 и Р2 = п • 52/4 = 19,63 см2, определим величины Alp, А1Х и A If.

Рис. 3.17

Подставив эти величины в условие деформации стержня, решим его относительно X

Вторая опорная реакция равна R = Р — R2 = 40 — 67,57 = = —27,57 кН. Истинное направление R{ показано пунктиром. Эпюра N приведена на рис. 3.17, в. Оба участка стержня испытывают сжатие. Определим величины напряжений в стержне и удлинений и укорочений его участков.

Первый участок

Проверим выполнение условия деформации стержня:

Эпюры о и и приведены на рис. 3.17, г, д. Все сечения перемещаются в отрицательном направлении оси Ох, т.е. вверх. В пределах обоих участков перемещения изменяются по линейному закону.

Пример 3.7. При монтаже изображенной на рис. 3.18, а стержневой системы оказалось, что длина среднего стержня меньше проектной на величину 6 = 0,2 см. Определим величины усилий и напряжений в стержнях после монтажа и вертикальное перемещение узла В. В расчетах примем Fx = F3 = 10 см2, F2 = 12 см2, Е= 2,1 • 105 МПа.

При установке среднего стержня его надо подвергнуть предварительному растяжению. Крайние стержни после монтажа системы будут испытывать сжатие.

Вырежем мысленно узел В (рис. 3.18, б) и рассмотрим его равновесие под действием усилий Nx, N2 и N3:

Двух уравнений статики недостаточно для определения трех усилий Nx, N2, N3 в стержнях. Система является статически неопределимой, и для ее расчета необходимо рассмотреть схему деформации системы и составить дополнительное уравнение.

Рис. 3.18

В силу симметрии системы относительно оси Оу узел В после монтажа переместится вертикально вверх на величину ВВ’ = 5 — А/2 (рис. 3.18, в), где А/2 — величина удлинения среднего стержня. Крайние стержни укоротятся на величины А/, = А/3 = ВВ’ sin a = (5 — А/2) sin a.

Выразив A/j и Д/2 через усилия в стержнях, составим дополнительное уравнение: где /j = у/1,52 + 1,52 = 2,12 м и /2 = 3 м — длины стержней.

Длина среднего стержня взята без учета весьма малой величины 5.

Учитывая соотношение между Nx и N2, находим усилия в стержнях:

Усилия TVj и N3 являются сжимающими, a N2 — растягивающим. Определим напряжения в стержнях и величины их удлинений (укорочений).

Стержни АВ и BD

Стержень СВ

Вертикальное перемещение узла В равно

Пример 3.8. В процессе работы стержневой системы (рис. 3.19, а) шарнирная опора А жесткой балки АВ получила осадку 5 = 0,5 см. Определим усилия и напряжения в поддерживающих балку стержнях CD и BE и их удлинения (укорочения). В расчетах примем Е1 = 10 см2, F2 = 15 см2 и Е= 2,1 • 105 МПа.

При осадке жесткой балки на шарнирной опоре возникает опорная реакция RA, а в поддерживающих балку стержнях — усилия TVj и N2 (см. рис. 3.19, а). По физическому смыслу задачи очевидно, что усилие Nl является растягивающим, a N2 — сжимающим.

Рис. 3.19

Система является статически неопределимой. Составим уравнение равновесия, не содержащее опорную реакцию RA:

Схема деформации системы показана на рис. 3.19, б. Соотношение между величиной удлинения первого стержня A/j и величиной укорочения второго стержня Д/2 получим из подобия треугольников:

Выразив А/, и Д/2 через усилия в стержнях, получим следующее равенство:

где /j = /2 = 3 м — длины стержней.

Подставив числовые значения Е, Fx, F2, 1Х, /2 и соотношение между Nx и N2 и решив полученное уравнение, находим:

Определим напряжения в стержнях и величины их удлинений (укорочений).

Первый стержень

Второй стержень