Пример решения задач на растяжение сжатие стержня
Пример решения задачи на растяжение и сжатие
.
Условие задачи на растяжение и сжатие
Стальной стержень (модуль Юнга кН/см2) с размерами см; см, см и площадью поперечного сечения нижнего участка см2, а верхнего – см2 нагружен внешними осевыми силами кН и кН. Построить эпюры продольных сил и нормальных напряжений . Оценить прочность стержня, если предельное напряжение (предел текучести) кН/см2, а допускаемый коэффициент запаса . Найти удлинение стержня .
Расчетная схема для задачи на растяжение и сжатие
рис 3.2
Решение пример задачи на растяжение и сжатие
Определяем значение опорной реакции , возникающей в заделке
Учитывая, что , направим опорную реакцию вниз. Тогда из уравнения равновесия находим:
кН.
Строим эпюру продольных сил
Разбиваем длину стержня на три участка. Границами участков являются сечения, в которых приложены внешние силы и (или) изменяется размер поперечного сечения стержня.
Воспользуемся методом сечений. Делаем по одному сечению в произвольном месте каждого из трех участков стержня.
Cечение 1 – 1. Отбросим (или закроем листком бумаги) верхнюю часть стержня (рис. 3.2, б). Само сечение 1 – 1 мысленно считаем неподвижным. Мы видим, что внешняя сила растягивает рассматриваемую нижнюю часть стержня. Отброшенная нами верхняя часть стержня противодействует этому растяжению. Это противодействие мы заменим внутренней продольной силой , направленной от сечения и соответствующей растяжению. Разрушения стержня не произойдет только в том случае, если возникающая в сечении 1 – 1 внутренняя продольная сила уравновесит внешнюю силу . Поэтому очевидно, что
кН.
Сечение 2 – 2. Внешняя сила растягивает рассматриваемую нами нижнюю часть стержня, а сила ее сжимает (напомним, что 2 – 2 мы мысленно считаем неподвижным). Причем, согласно условию задачи, . Чтобы уравновесить эти две силы, в сечении 2 – 2 должна возникнуть внутренняя сила , противодействующая сжатию, то есть направленная к сечению. Она равна:
кН.
Сечение 3 – 3. Отбросим теперь часть стержня, расположенную ниже этого сечения. Внутренняя продольная сила должна уравновесить внешнюю (реактивную) сжимающую силу . Поэтому она направлена к сечению и равна:
кН.
Легко убедиться в том, что полученный результат не изменится, если мы отбросим не нижнюю, а верхнюю часть стержня. В этом случае продольная сила также противодействует сжатию. Она равна:
кН.
При построении эпюры продольных сил будем пользоваться следующим правилом знаков: внутренняя продольная сила, возникающая в поперечном сечении стержня, считается положительной, если она противодействует растяжению стержня, и отрицательной, если она противодействует его сжатию. Оно вводится для того, чтобы можно было наглядно видеть, какая часть стержня испытывает деформацию растяжения, а какая часть – деформацию сжатия. Это обстоятельство может оказаться крайне важным, в частности для стержней из хрупкого материала, которые имеют разные допускаемые напряжения на растяжение и на сжатие.
Таким образом, мы установили, что в любом сечении нижнего участка стержня внутренняя продольная сила противодействует растяжению и равна кН. В любом сечении среднего и верхнего участков стержня имеет место деформация сжатия, поэтому кН.
Для построения эпюры продольных сил проводим тонкой линией ось, параллельную оси стержня z (рис. 3.2, д). Вычисленные значения продольных сил в выбранном масштабе и с учетом их знака откладываем от этой вертикальной оси. В пределах каждого из участков стержня продольная сила остается постоянной, поэтому мы как бы «заштриховываем» горизонтальными линиями соответствующий участок.
Отметим, что каждая линия «штриховки» (то есть ордината эпюры) в принятом масштабе дает значение продольной силы в соответствующем поперечном сечении стержня.
Полученную эпюру обводим жирной линией.
Анализируя полученную эпюру, мы видим, что в местах приложения внешних сил на эпюре имеет место скачкообразное изменение продольной силы на величину, равную значению соответствующей внешней силы. Причем изменение поперечного размера стержня, как это видно из рис. 3.2, д, никак не сказывается на характере эпюры .
Строим эпюру нормальных напряжений
Нормальное напряжение, возникающее в k–м поперечном сечении стержня при растяжении (сжатии), вычисляется по следующей формуле
,
где и – продольная сила и площадь k–го поперечного сечения стержня соответственно.
В первом поперечном сечении стержня нормальное напряжение равно
кН/см2,
во втором –
кН/см2,
в третьем –
кН/см2.
Строим по вычисленным значениям эпюру (рис. 3.2, е). В пределах каждого из участков стержня напряжения постоянны, то есть эпюра напряжений параллельна оси. Заметим, что в отличие от эпюры N, на эпюре «скачок» имеет место не только в местах приложения внешних сил, но и там, где происходит изменение размеров поперечного сечения стержня.
Оцениваем прочность стержня
Сопоставляем наибольшее (по модулю) нормальное напряжение , которое в нашем примере возникает во втором сечении стержня, с допускаемым напряжением . Напомним, что допускаемое напряжение представляет собой долю от предельного напряжения , то есть от напряжения, при котором начинается разрушение материала. Разрушение стали, как пластичного материала, начинается при появлении значительных остаточных деформаций. Поэтому для стали предельное напряжение равно пределу текучести: . Тогда
кН/см2.
Условие прочности имеет вид . В нашем случае
кН/см2 > кН/см2,
следовательно, прочность стержня на втором участке не обеспечена.
Таким образом, площадь поперечного сечения стержня на втором участке, равную см2, нам необходимо увеличить.
Несложный анализ показывает, что на других участках стержня условие прочности выполняется.
Из условия прочности определяем требуемую площадь поперечного сечения стержня на втором участке:
см2.
Принимаем на втором участке см2.
Вычисляем удлинение всего стержня
При переменных по длине стержня значениях продольной силы и площади поперечного сечения удлинение вычисляется по формуле
,
где E – модуль Юнга, а – длина соответствующего участка стержня.
Тогда
см.
Таким образом, длина стержня уменьшается на мм.
Задача по сопромату на растяжение и сжатие для самостоятельного решения
Условие задачи на растяжение и сжатие
Стальной стержень (модуль Юнга кН/см2) находится под действием внешних осевых сил и (рис. 3.1). Построить эпюры продольных сил и нормальных напряжений . Оценить прочность стержня, если предельное напряжение (предел текучести) кН/см2, а допускаемый коэффициент запаса . Найти удлинение стержня .
Схемы для задачи на растяжение и сжатие
Исходные данные к задаче на растяжение и сжатие
Номер схемы | F, см2 | a, м | b, м | c, м | P, кН |
1 | 2,0 | 1,2 | 1,4 | 1,6 | 11 |
2 | 2,2 | 1,4 | 1,6 | 1,4 | 12 |
3 | 2,4 | 1,8 | 1,6 | 1,2 | 13 |
4 | 2,6 | 1,6 | 2,0 | 1,0 | 14 |
5 | 2,8 | 2,0 | 1,8 | 1,2 | 15 |
6 | 3,0 | 2,2 | 1,6 | 1,4 | 16 |
7 | 3,2 | 2,4 | 1,4 | 1,6 | 17 |
8 | 3,4 | 2,6 | 1,2 | 1,8 | 18 |
9 | 3,6 | 2,8 | 1,0 | 1,4 | 19 |
3,8 | 2,4 | 1,6 | 1,2 | 20 |
Источник
Первая тема сопротивления материалов — это растяжение-сжатие. Задачи на растяжение сжатие в сопромате — довольно простая тема. И сейчас я это докажу.
Прежде всего растяжение — мы интуитивно понимаем — удлинение, увеличение размеров. А сжатие — уменьшение длины, укорочение.
При изучении растяжения-сжатия используется один и тот же подход ко всем задачам, ко всем расчетным схемам. А именно — метод сечений. О нем мы расскажем в отдельной записи. А пока, ниже вы видите видео уроки на эту тему. Надеюсь вам будет полезно и удобно изучать эту тему со мной.
Что такое растяжение-сжатие
Прежде всего нужно сказать, что растяжение-сжатие — это такой вид деформации (относительного изменения размеров), при котором одно плоское сечение относительно другого удаляется параллельно исходному положению.
Пример деформации растяжения-сжатия. Схема приложенияВсе это звучит сложно, но посмотрите видео и Вы все поймете!
Подход в решении задач на растяжение-сжатие
Видео урок — Как отличить растяжение от сжатия. Приводится объяснение основного метода расчета задач по сопротивлению материалов — метод сечений
В первом видео уроке объясняется сам процес возникновения деформации растяжения-сжатия. Как отличить растяжение от сжатия. Приводится объяснение основного метода расчета задач по сопротивлению материалов — метод сечений.
Здесь рассмотрены задачи для стержня, имеющего сплошное поперечное сечение. На такой стержень может действовать как одна сила, так и несколько.
Растяжение-сжатие в стержневых конструкциях
видео урок Растяжение-сжатие в стержневых конструкциях
Во втором видео уроке приводится решение задачи на растяжение-сжатие для системы стержневых конструкций. Приведены методика и план решения задачи по сопротивлению материалов на тему растяжение-сжатие.
Учет собственного веса в задачах сопротивления материалов на растяжение-сжатие
видео урок — Учет собственного веса в задачах сопротивления материалов на растяжение-сжатие
Третья задача на растяжение-сжатие стержней с учетом собственного веса. Приведен пример решения задачи и доступно рассказывается как можно учесть собственный вес конструкции при расчете на растяжение-сжатие.
Растяжение-сжатие с учетом собственного веса в стержнях с двумя участками
Задача на растяжение сжатие, более сложный случай. В этой задаче стержень состоит из нескольких участков. Здесь необходимо учитывать собственный вес — для стержня, испытывающего деформацию растяжения или сжатия, который состоит из нескольких участков. Здесь же приводится методика построения эпюр внутренних усилий при этих видах деформации.
Удлинение стержня при деформации растяжения-сжатия
видео урок — Удлинение стержня при деформации растяжения-сжатия
Приведен пример расчета на растяжение-сжатие когда нужно определить удлинение стержня. Удлинение (при растяжении) или укорочение (при сжатии) — это изменение размеров стержня вдоль оси приложения продольной нагрузки. Об этом в пятом видео уроке.
Определение удлинения стержня с учетом собственного веса при растяжении-сжатии
Определение изменения длины стержня с учетом собственного веса. Особенности формулы для определения удлинения (изменения длины) при растяжении-сжатии с учетом собственного веса.
Итак на этой странице приведены видеоуроки на основные темы в растяжении-сжатии. Планируется запись еще темы в которой будут рассматриваться статически неопределимые задачи на растяжение-сжатие.
Конечно это не все задачи, которые может понадобиться решить реальному инженеру, как инженеру-механику, так и инженеру-строителю. Встречаются разные случаи, когда нужно применять сообразительность.
Метод сечений в задачах на растяжение сжатие
Однако подход в решении всех задач на растяжение-сжатие всегда одинаков и состоит из следующих шагов:
- рассекаем наш стержень (а именно так называют элемент конструкции, который испытывает деформацию растяжения-сжатия)
- рассматриваем равновесие одной из частей стержня рассматривая внешние, приложенные к стержню усилия и внутреннее усилие, которое формируется силами межатомного взаимодействия
- внутреннее усилие направляем от сечения рассматриваемой части стержня к оставшейся части стержня (для статически определимых систем) или используя интуицию и опыт направляем так, чтобы направление внутреннего усилия совпало с направлением действия деформации (на растяжение или на сжатие)
- из суммы проекций на соответствующую ось или, если это возможно, суммы моментов относительно точки находим нужное внутреннее усилие.
В статически неопределимой задаче нужно к указанным действиям добавить еще одно уравнение которое называется деформационным.
Растяжение-сжатие в сопротивлении материалов одна из наиболее простых тем, разнообразие задач, правда, довольно широко. Но именно растяжение-сжатие в сопротивлении материалов учит тому, как нужно правильно и везде одинаково, несмотря на разнообразие расчетных схем, применять один и тот же подход к решению — метод сечений. В классическом курсе сопротивления материалов это первая тема — растяжение-сжатие.
список видео уроков по сопромату в котором темы раскрываются одна за другой. рекомендую для изучения сопромата
Ну а если возникнут сложности, если Вы предпочитаете заниматься индивидуально — обратитесь ко мне — помогу!
skype: zabolotnyiAN,
e-mail: zabolotnyiAN@gmail.com
Остались вопросы?
Все вопросы, которые у Вас могут возникнуть — рассмотрены в рубрике Условия и цена онлайн обучения сопромат и строймех. Для связи со мной используйте страницу «Контакты» или всплывающий внизу справа значок мессенджера.
Рубрики
Задачи по сопротивлению материалов с решениями, примеры, Растяжение — сжатие, Сопромат онлайн
Метки
внутренние усилия, задачи курса сопротивление материалов, классический курс сопротивления материалов в решениях задач, краткий курс сопротивления материалов, курс сопромата для чайников, Построение эпюр продольных сил, растяжение сжатие сопромат, растяжение сжатие сопротивление материалов, сопромат для чайников, Сопромат Примеры решения задач на растяжение-сжатие, сопромат репетитор, Сопромат это легко, Сопротивление материалов, сопротивление материалов краткий курс, сопротивление материалов примеры решения задач, эпюры растяжения сжатия
Источник
Требуется построить эпюры продольных сил, напряжений и перемещений.
Задача 1. Исходные данные: дан двухступенчатый стержень (рис. 1);
Е= 2·104 кН/см2.
Решение. 1. Определяем реакцию в заделке А:
;
— Rа + F2 — F1 = 0;
Rа = F2 — F1 = 150-100 = 50 кН.
2. Разбиваем стержень на участки — границами являются концевые сечения, места изменения поперечного сечения и точки приложения сил.
Имеем два участка (рис. 2).
3. Определяем продольные усилия на участках:
участок 1-1
N1 — F1 = 0;
N1 = F1 = 100 кН;
участок 2-2
— Rа — N2 = 0;
N2 = — Rа = — 50 кН.
- 4. По значениям продольных усилий N строим эпюру (рис. 3, а).
- 5. Определяем напряжения по участкам:
- 1 = N1 / А 1 = 100 / 10 = 10 кН/см2;
- 2 = N2 / А 2 = — 50 / 20 = — 2,5 кН/см2;
- 6. По значениям напряжений строим эпюру напряжений (рис. 3, б).
Участок 1-1 Участок 2-2
Рис. 2. Расчетные схемы к определению продольных сил методом сечений
- 7. Определяем деформации отдельных участков стержня:
- ?1 = N1?1 / ЕА 1 = 100·200 / 2·104·10 = 0,1 см;
- ?2 = N2?2 / ЕА 2 = — 50·100 / 2·104·20 = — 0,0125 см.
- 8. Вычисляем перемещения граничных сечений участков стержня:
вв = ?2 = — 0,0125 см;
сс = вв + ?1 = — 0,0125 + 0,1 = 0,0875 см.
9. По значениям перемещений строим эпюру (рис. 3,в).
Рис. 3. Построение эпюр продольных сил N, напряжений и перемещений S
Задача 2. Исходные данные: дан двухступенчатый стержень (рис. 4); А 1 = 10 см 2; А 2 = 20 см 2; L1 = 200 см; L2 = 100 см; F1 = 100 кН; F2 = 50 кН; Е = 2·104 кН/см 2.
Рис. 4. Расчетная схема стержня к задаче 2
Решение. 1. Определяем степень статической неопределимости системы:
F(у) = 0;
— Rа + F2 — F1 — Rс = 0;
Получили одно уравнение статики, неизвестных — две. Следовательно, система один раз статически неопределима.
2. Обратимся к изучению деформации системы (рис. 5). Мысленно отбросим нижнюю заделку. Предположим, что конструкция под действием внешних сил укоротилась на ?F.
С другой стороны, реакция Rс должна вернуть сечение с-с в первоначальное положение, т.е. получили дополнительное уравнение совместности деформаций: |?Rc| = |?F|, или
Рис. 5. Схема к анализу деформации системы
?Rc + ?F = 0.
Запишем это уравнение, используя закон Гука:
?Rс = RcL1 / ЕА1 + RcL2 / ЕА2:
С учетом того, что А 2 = 2А 1 и L1 = 2L2 получим:
?F = F1L1 / 2EA1 + F1L2 / EA1 — F2L2 / 2EA2;
RcL1 / EА 1 + RcL1 / EА 2 + F1L1 / 2EА 2 + F1L2 / 2EА 2 — F2L2 / 2EА 2 = 0;
Rc(2L2 / A1 + L2 / A1) = F2L2 / 4A1 — F12L2 / 2A1 — F1L2 / 2A1;
2,5Rc = 0,25F2-1,5F1;
Rc = (0,25F2-1,5F1) / 2,5 = (0,25·150-1,5·100) / 2,5 = — 45 кН;
Rc = — 45 кН.
На расчетной схеме изменяем направление реакции Rc (рис. 4).
Рассуждая аналогично, найдем реакцию в верхней заделке Ra.
Уравнение совместности деформаций:
- ?Ra + ?F = 0;
- ?Ra = — RаL2 / EA2 — RaL1 / EA1;
- ?F = — F1L1 / 2EA1 + F2L2 / 2EA2 + F2L1 / EA1;
С учетом, что А 2 = 2А 1 и L1 = 2L2 имеем:
- — RаL2 / E2A1 — Rа 2L2 / EA1 — F12L2 / 2EA1 + F2L2 / 2E2A1 + F22L2 / EA1=0;
- — Rа (1/2 + 2) = F1 — F2 / 4-2F2;
Rа = (2,25F2 — F1) / 2,5 = (2,25·150-100) / 2,5 = 95 кН;
Rа = 95 кН.
3. Проводим проверку правильности определения реакций. Составляем сумму проекций всех сил на ось У:
F(у) = 0; — Rа + F2 — F1 + Rс = 0;
- — 95 + 150-100 + 45 = 0;
- — 195 + 195 = 0;
Реакции определены верно.
- 4. Разбиваем стержень на участки сечениями А-А, В-В. Д-Д, Е-Е и С-С (рис. 4). Имеем четыре участка.
- 5. Определяем продольные усилия на каждом участке стержня, используя метод сечений (рис. 6).
Участок I-I: F(у) = 0;
N1 + Rс = 0;
N1 = — Rс = — 45 кН.
Участок II-II: F(у) = 0;
N2 + Rс — F1 = 0;
N2 = F1 — Rс = 100-45 = 55 кН.
Участок III-III: F(у) = 0;
N3 — F1 + Rс = 0;
N3 = F1 — Rс = 100-45 = 55 кН.
Участок IV-IV: F(у) = 0;
— RА — N4 = 0;
N4 = — R 4= — 95 кН.
6. По найденным значениям продольных усилий строим эпюру силы N (рис. 7, а). деформация эпюра напряжение неопределимость
Рис. 6. Расчетные схемы к определению внутренних усилий по участкам стержня
- 7. Определяем напряжения по участкам стержня:
- 1 = N1 / А 1= — 45 / 10 = — 4,5 кН/см 2;
- 2 = N2 / А 1 = 55 / 10 = 5,5 кН/см 2;
- 3 = N3 / А 2= 55 / 20 = 2,75 кН/см 2;
- 4 = N4 / А 2= — 95 / 20 = — 4,75 кН/см 2.
- 8. По значениям напряжений на участках стержня строим эпюру напряжений (рис. 7,б).
- 9. Определяем деформации отдельных участков стержня:
- ? = N? / EA = ? / E;
- ?1 = 1?1 / 2E = — 4,5·100 / 2·104 = — 0,0225 см;
- ?2 = 2?1 / 2E = 5,5·100 / 2·104 = 0,0275 см;
Рис. 7. Построение эпюр продольных сил N, напряжений и перемещений S
- ?3 = 3?2 / 2E = 2,75·50 / 2·104= 0,006875 см;
- ?4 = 4?2 / 2E = — 4,75·50 / 2·104= — 0,011875 см.
- 10. Вычисляем значения перемещений граничных сечений участков стержня, начиная расчет от нижней заделки:
ЕЕ = ?1 = — 0,0225 см;
DD = ЕЕ + ?2 = — 0,0225 + 0,0275 = 0,005 см;
BB = DD + ?3 = 0,005 + 0,006875 = 0,011875 см;
AA = ВВ + ?4 = 0,011875-0,011875 = 0.
11. По значениям перемещений граничных участков стержня строим эпюру перемещений (рис. 7, в).
Задача 3. Исходные данные: двухступенчатый стержень с зазором (рис. 8) нагревается под действием температуры t = 60 0С; материал — сталь 3; = 0,3 мм; Е = 2·104 кН/см 2; = 125·10-7; А 1 = 10 см 2; А 2 = = 20 см 2; L1 = 200 см; L2 = 100 см.
Рис. 8. Расчетная схема стержня к задаче 3
Решение. 1. Так как стержень с зазором, необходимо убедиться, что конструкция является статически неопределимой. Для этого мысленно отбрасываем нижнюю заделку и определяем общее удлинение стержня от действия температуры:
?t = ·t·(L1 + L 2) = 125·10-7·60·(200 + 100) = 0,225 см.
Получили, что ?t=2,25 мм =0,3 мм.
Следовательно, при нагревании стержня зазор = 0,3 мм будет перекрываться, и система является один раз статически неопределимой (рис. 9).
2. Поскольку F(у) = 0; Rc — Rа = 0, то можем составить только одно уравнение статики с двумя неизвестными реакциями.
Определяем реакцию Rc (Rа = Rc), составляя дополнительное уравнение совместности деформаций:
?t + ?Rc = .
Запишем составляющие этого уравнения:
?t = 0,225 см;
= 0,03 см;
- ?Rc = — RcL1 / ЕА 1 — RcL2 / ЕА 2;
- 0,225 — RcL1 / ЕА 1 — RcL2 / ЕА 2 = 0,03;
- 0,225-0,03 = Rс(L1 / EA1 + L2 / EA2);
Rc =0,195Е / (L1 / A1 + L2 / A2) = 156 кН.
Rа =Rc = 156 кН.
Используем метод сечений для определения продольных усилий по участкам стержня. Они постоянны на всех участках: Ni = Rc = — 156 кН (рис. 10, а).
- 4. Вычисляем напряжения по участкам стержня и по найденным значениям i строим эпюру напряжений (рис. 10, б):
- 1 = N / A1 = — 156 / 10 = — 15,6 кН/см 2;
- 2 = N / A2 = — 156 / 20 = — 7,8 кН/см 2.
- 5. Определяем деформации отдельных участков стержня:
- ?1 = ТL1 — 1L1 / Е = 125·10-7·60·200- — 15,6·200 / 2·104 = — 0,006 см;
- ?2 = ТL2 — 2 L2 / Е = 125·10-7·60·100-7,8·100 / 2·104 = 0,036 см.
Рис. 9. Схема к анализу деформации системы
6. По значениям деформаций вычисляем перемещения граничных сечений участков стержня, начиная расчет от заделки без зазора:
BB = ?2 = 0,036 см;
СС = BB + ?1 = 0,036-0,006 = 0,03 см.
По значениям перемещений граничных сечений участков стержня строим эпюру перемещений (рис. 10, в).
Задача 4. Исходные данные: двухступенчатый статически неопределимый стержень с зазором (рис. 11) находится под действием сосредоточенной и распределенной нагрузок; материал — сталь; зазор = 0,1 мм; Е = 2·104 кН/см 2; А 1 = 10 см 2; А 2 = 20 см 2; L1 = 200 см; L2 = 100 см; F = 100 кН; q = 2 кН/см.
Решение. 1. Так как стержень с зазором, необходимо убедиться, что система является статически неопределимой. Для этого мысленно отбрасываем нижнюю заделку и определяем общее удлинение стержня от действия внешних сил F и q:
- ?F= (qL1L1 / 2) / EA1 + qL1L2 / EA2 — (FL2/2) / EA2;
- ?F = (2200·200 / 2) / 210410 +2200100 / 210420-10050 / 210420 =
= 0,2875 см.
а) б) в)
Рис. 10. Построение эпюр продольных сил N, напряжений и перемещений S
Получили ?F = 0,2875 см = = 0,1 см. Следовательно, при нагружении стержня зазор = 0,1 см будет перекрываться, и данная система будет статически неопределимой. Можем составить уравнение статики:
F(у) = 0;
Rc+Rа + F — qL1 = 0.
Это уравнение статики с двумя неизвестными реакциями. Следовательно, получили один раз статически неопределимую систему. Определяем реакцию Rc,мысленно отбросив для этого заделку СС, и составляем дополнительное уравнение совместности деформаций:
?F + ?Rс =;
Рис. 11. Расчетная схема стержня к задаче 4
- ?F = 0,2875 см; = 0,1 см;
- ?Rc = — RcL1 / EA1 — RcL2 / EA2;
- 0,2875-0,1 = Rc(L1 / EA1 + L2 / EA2);
Rc = 0,18752104 / (200 / 10 +100 / 20) = 150 кН.
Аналогично определяем реакцию Rа
- ?F + ?Rа=;
- ?F = (FL2 / 2) / EA2 + FL1 / EA1 — (qL1L1/2) / EA1;
- ?Rа = RаL2 / EA2 + RаL1 / EA1;
FL2 / 2EA2 + FL1 / EA1 — qL12 / 2EA1 + Rа(L2 / A2 + L1 / A1) / Е = ;
Rа = E + qL12/ 2A1 — FL2 / 2A2 — FL1 / A1 / (L1 / A1 + L2 / A2)=0,12104 +
+ 22002 / 210-100(100 / 220 + 200 / 10) / (200 / 10 + 100 / 20) =150 кН.
Проводим проверку правильности определения реакций:
F(у) = 0;
Rс + Rа + F — qL1 = 0;
- 150 + 150 + 100-2·200 = 0;
- 400-400 = 0.
Следовательно, реакции определены правильно.
- 2. Разбиваем стержень на участки с границами АА; ВВ; СС и ДД.
- 3. Используя метод сечений, определяем продольные усилия на каждом участке стержня (рис. 12).
Участок АД (0 Z1 50 cм):
F(у) = 0;
N1 = Rа = 150 кН.
Участок ДВ (0 Z2 50 cм):
F(у) = 0;
Rа + F — N2 = 0;
N2 = Rа + F = 150 + 100 = 250 кН.
Участок ВС (0 Z3 200 cм):
F(у) = 0;
N3+ Rc — qZ3=0;
N3= qZ3 — Rc;
Рис. 12. Расчетные схемы к определению внутренних усилий по участкам стержня
NZз = о = — Rc = — 150 кН;
NZз = 200 = 2 200-150 = 250 кН.
4. По найденным значениям продольных усилий строим эпюру силы N (рис. 13, а). Найдем значение Z3, при котором продольная сила N3 = 0:
N3 = qZ3 — Rc = 0;
Z3 = Rс / q = 150 / 2 = 75 cм.
- 5. Зная продольные усилия и площади поперечного сечения участков стержня, определяем напряжения на них:
- 1 = N1 / A2 = 150 / 20 = 7,5 кН/см 2;
- 2 = N2 / A2 = 250 / 20 = 12,5 кН/см 2;
в 3 = Nв 3 / A1 = 250 / 10 = 25 кН/см 2;
с 3 = Nс 3 / A1 = — 150 / 10 = — 15 кН/см 2.
- 6. По значениям напряжений на участках строим эпюру напряжений (рис. 13, б).
- 7. Определяем деформации отдельных участков стержня:
- ?AD = 1L2 / 2Е = 7,5·50 / 2·104 = 0,01875 см;
- ?DB = 2L2 / 2Е = 12,5·50 / 2·104 = 0,03175 см.
а) б) в)
Рис. 13. Построение эпюр продольных сил N, напряжений и перемещений S
В соответствии с эпюрой силы N, разбиваем участок СВ стержня на два участка — ВЕ, где происходит растяжение, и зона ЕС, где происходит деформация сжатия:
8. По значениям деформаций вычисляем перемещения граничных сечений участков стержня, начиная расчет от заделки без зазора:
SDD = ?AD = 0,01875 см;
SBB = SDD + ?DB = 0,01875 + 0,03125 = 0,05 см;
SЕЕ = SBB + ?ВЕ = 0,05 + 0,078125 = 0,128125 см;
SCC = SЕЕ + ?СЕ = 0,128125-0,028125 = 0,1 см.
9. По значениям перемещений граничных сечений участков стержня строим эпюру перемещений, учитывая, что на участке ВС с распределенной нагрузкой q по длине эпюра имеет криволинейный характер (рис. 13, в).
Источник