Пределы прочности при растяжении закон гука
Напряжения и деформации при растяжении и сжатии связаны между собой зависимостью, которая называется законом Гука, по имени установившего этот закон английского физика Роберта Гука (1635— 1703).
Закон Гука при растяжении и сжатии справедлив лишь в определенных пределах нагружения и формулируется так: нормальное напряжение прямо пропорционально относительному удлинению или укорочению. Математически закон Гука можно записать в виде равенства
Коэффициент пропорциональности Е характеризует жесткость материала, то есть его способность сопротивляться упругим деформациям растяжения или сжатия, и называется модулем продольной упругости или модулем упругости первого рода.
Модуль упругости и напряжение выражаются в одинаковых единицах: [Е = [ст]/[е] = Па.
В таблице 2.1 приведены значения ?для некоторых материалов.
Таблица 2.1
Материал | Е, МПа |
Чугун | (1,5…1,6) ТО5 |
Сталь | (1,96…2,16) ТО5 |
Медь | (1,0…1,3)105 |
Сплавы алюминия | (0,69…0,71) ТО5 |
Дерево (вдоль волокон) | (0,1—.0,16) -105 |
Текстолит | (0,06…0,1)-105 |
Капрон | (0,01…0,02) ТО5 |
Если в формулу закона Гука подставим выражения а = N/A, е = А///, то получим
Произведение ЕЛ, стоящее в знаменателе, называется жесткостью сечения при растяжении и сжатии; оно характеризует одновременно физикомеханические свойства материала и геометрические размеры поперечного сечения бруса. Соответственно, данная формула читается так: абсолютное удлинение или укорочение прямо пропорционально продольной силе и длине и обратно пропорционально жесткости сечения бруса.
Приведенные выше формулы закона Гука применимы только для брусьев или их участков постоянного поперечного сечения, изготовленных из одного материала и при постоянной продольной силе.
Для бруса, имеющего несколько участков, отличающихся материалом, размерами поперечного сечения, продольной силой, изменение длины всего бруса равно алгебраической сумме удлинений и укорочений отдельных участков:
Пример 2.2
На стальной ступенчатый брус действуют силы F= 40 кН и R = 60 кН. Площади поперечных сечений равны Ах = 800 мм2, Л2 = 1600 мм2. Длины участков указаны на рис. 2.4; а = 0,2 м. Определить изменение длины бруса двумя способами:
- 1) с помощью эпюры продольных сил;
- 2) с помощью принципа независимости действия сил.
Принять Е= 2-1011 Па.
Рис. 2.4
Решение.
1-й способ. Разобьем брус на участки и применяя метод сечений, определим значения продольных сил на каждом из них: Nx — N2 — —40 кН (сжатие), N3 = 20 кН (растяжение). Строим эпюру продольных сил.
Для бруса, состоящего из нескольких участков, А/ = A/i + Д/2 +Д/з, где по закону Гука
. Изменение длины первого участка
; аналогично
— изменения длин второго и третьего участков.
Следовательно,
Подставив числовые значения с учетом знаков продольных сил, получим
Произведя вычисления, получим Д/= —0,15 — 0,025 + 0,025 = —0,15 мм.
Следовательно, брус укоротится на 0,15 мм.
2-й способ. Применим принцип независимости действия сил. Изменение длины бруса Д/ будет складываться из укорочения AlF всего бруса под действием силы F и удлинения ДlR третьего участка под действием силы R: Д/ = AlF + + AlR. Вычислим каждое из этих слагаемых.
А1Р = -F- 3а/{ЕА) — F(a + 2а)/(ЕА2)’, подставляя числовые значения, получим А1Р= —0,225 мм.
Аналогично находим AlR = R ?2а/{ЕА2); AlR = 0,075 мм.
Отсюда Д/ — —0,225 + 0,075 = —0,15 мм.
Решая задачу двумя способами, мы получили один и тот же результат, что свидетельствует о правильности решения.
Источник
Внутренние усилия при растяжении-сжатии.
Осевое (центральное) растяжение или сжатие прямого бруса вызывается внешними силами, вектор равнодействующей которых совпадает с осью бруса. При растяжении или сжатии в поперечных сечениях бруса возникают только продольные силы N. Продольная сила N в некотором сечении равна алгебраической сумме проекции на ось стержня всех внешних сил, действующих по одну сторону от рассматриваемого сечения. По правилу знаков продольной силы N принято считать, что от растягивающих внешних нагрузок возникают положительные продольные силы N, а от сжимающих — продольные силы N отрицательны (рис. 5).
Чтобы выявить участки стержня или его сечения, где продольная сила имеет наибольшее значение, строят эпюру продольных сил, применяя метод сечений, подробно рассмотренный в статье:
Анализ внутренних силовых факторов в статистически определимых системах
Ещё настоятельно рекомендую взглянуть на статью:
Расчёт статистически определимого бруса
Если разберёте теорию в данной статье и задачи по ссылкам, то станете гуру в теме «Растяжение-сжатие» =)
Напряжения при растяжении-сжатии.
Определенная методом сечений продольная сила N, является равнодействующей внутренних усилий распределенных по поперечному сечению стержня (рис. 2, б). Исходя из определения напряжений, согласно выражению (1), можно записать для продольной силы:
где σ — нормальное напряжение в произвольной точке поперечного сечения стержня.
Чтобы определить нормальные напряжения в любой точке бруса необходимо знать закон их распределения по поперечному сечению бруса. Экспериментальные исследования показывают: если нанести на поверхность стержня ряд взаимно перпендикулярных линий, то после приложения внешней растягивающей нагрузки поперечные линии не искривляются и остаются параллельными друг другу (рис.6, а). Об этом явлении говорит гипотеза плоских сечений (гипотеза Бернулли): сечения, плоские до деформации, остаются плоскими и после деформации.
Так как все продольные волокна стержня деформируются одинаково, то и напряжения в поперечном сечении одинаковы, а эпюра напряжений σ по высоте поперечного сечения стержня выглядит, как показано на рис.6, б. Видно, что напряжения равномерно распределены по поперечному сечению стержня, т.е. во всех точках сечения σ = const. Выражение для определения величины напряжения имеет вид:
Таким образом, нормальные напряжения, возникающие в поперечных сечениях растянутого или сжатого бруса, равны отношению продольной силы к площади его поперечного сечения. Нормальные напряжения принято считать положительными при растяжении и отрицательными при сжатии.
Деформации при растяжении-сжатии.
Рассмотрим деформации, возникающие при растяжении (сжатии) стержня (рис.6, а). Под действием силы F брус удлиняется на некоторую величину Δl называемую абсолютным удлинением, или абсолютной продольной деформацией, которая численно равна разности длины бруса после деформации l1 и его длины до деформации l
Отношение абсолютной продольной деформации бруса Δl к его первоначальной длине l называют относительным удлинением, или относительной продольной деформацией:
При растяжении продольная деформация положительна, а при сжатии – отрицательна. Для большинства конструкционных материалов на стадии упругой деформации выполняется закон Гука (4), устанавливающий линейную зависимость между напряжениями и деформациями:
где модуль продольной упругости Е, называемый еще модулем упругости первого рода является коэффициентом пропорциональности, между напряжениями и деформациями. Он характеризует жесткость материала при растяжении или сжатии (табл. 1).
Таблица 1
Модуль продольной упругости для различных материалов
Абсолютная поперечная деформация бруса равна разности размеров поперечного сечения после и до деформации:
Соответственно, относительную поперечную деформацию определяют по формуле:
При растяжении размеры поперечного сечения бруса уменьшаются, и ε’ имеет отрицательное значение. Опытом установлено, что в пределах действия закона Гука при растяжении бруса поперечная деформация прямо пропорциональна продольной. Отношение поперечной деформации ε’ к продольной деформации ε называется коэффициентом поперечной деформации, или коэффициентом Пуассона μ:
Экспериментально установлено, что на упругой стадии нагружения любого материала значение μ = const и для различных материалов значения коэффициента Пуассона находятся в пределах от 0 до 0,5 (табл. 2).
Таблица 2
Коэффициент Пуассона.
Абсолютное удлинение стержня Δl прямо пропорционально продольной силе N:
Данной формулой можно пользоваться для вычисления абсолютного удлинения участка стержня длиной l при условии, что в пределах этого участка значение продольной силы постоянно. В случае, когда продольная сила N изменяется в пределах участка стержня, Δl определяют интегрированием в пределах этого участка:
Произведение (Е·А) называют жесткостью сечения стержня при растяжении (сжатии).
Механические свойства материалов.
Основными механическими свойствами материалов при их деформации являются прочность, пластичность, хрупкость, упругость и твердость.
Прочность — способность материала сопротивляться воздействию внешних сил, не разрушаясь и без появления остаточных деформаций.
Пластичность – свойство материала выдерживать без разрушения большие остаточные деформации. Неисчезающие после снятия внешних нагрузок деформации называются пластическими.
Хрупкость – свойство материала разрушаться при очень малых остаточных деформациях (например, чугун, бетон, стекло).
Идеальная упругость – свойство материала (тела) полностью восстанавливать свою форму и размеры после устранения причин, вызвавших деформацию.
Твердость – свойство материала сопротивляться проникновению в него других тел.
Рассмотрим диаграмму растяжения стержня из малоуглеродистой стали. Пусть круглый стержень длинной l0 и начальным постоянным поперечным сечением площади A0 статически растягивается с обоих торцов силой F.
Диаграмма сжатия стержня имеет вид (рис. 10, а)
где Δl = l — l0 абсолютное удлинение стержня; ε = Δl / l0 — относительное продольное удлинение стержня; σ = F / A0 — нормальное напряжение; E — модуль Юнга; σп — предел пропорциональности; σуп — предел упругости; σт — предел текучести; σв — предел прочности (временное сопротивление); εост — остаточная деформация после снятия внешних нагрузок. Для материалов, не имеющих ярко выраженную площадку текучести, вводят условный предел текучести σ0,2 — напряжение, при котором достигается 0,2% остаточной деформации. При достижении предела прочности в центре стержня возникает локальное утончение его диаметра («шейка»). Дальнейшее абсолютное удлинение стержня идет в зоне шейки ( зона местной текучести). При достижении напряжением предела текучести σт глянцевая поверхность стержня становится немного матовой – на его поверхности появляются микротрещины (линии Людерса-Чернова), направленные под углом 45° к оси стержня.
Расчеты на прочность и жесткость при растяжении и сжатии.
Опасным сечением при растяжении и сжатии называется поперечное сечение бруса, в котором возникает максимальное нормальное напряжение. Допускаемые напряжения вычисляются по формуле:
где σпред — предельное напряжение (σпред = σт — для пластических материалов и σпред = σв — для хрупких материалов); [n] — коэффициент запаса прочности. Для пластических материалов [n] = [nт] = 1,2 … 2,5; для хрупких материалов [n] = [nв] = 2 … 5, а для древесины [n] = 8 ÷ 12.
Расчеты на прочность при растяжении и сжатии.
Целью расчета любой конструкции является использование полученных результатов для оценки пригодности этой конструкции к эксплуатации при минимальном расходе материала, что находит отражение в методах расчета на прочность и жесткость.
Условие прочности стержня при его растяжении (сжатии):
При проектном расчете определяется площадь опасного сечения стержня:
При определении допускаемой нагрузки рассчитывается допускаемая нормальная сила:
Расчет на жесткость при растяжении и сжатии.
Работоспособность стержня определяется его предельной деформацией [ l ]. Абсолютное удлинение стержня должно удовлетворять условию:
Часто дополнительно делают расчет на жесткость отдельных участков стержня.
Следующая важная статья теории:
Изгиб балки
Источник
Напряжения и деформации при растяжении и сжатии связаны между собой линейной зависимостью, которая называется законом Гука, по имени английского физика Р. Гука (1653-1703 г.г.), установившего этот закон.
Сформулировать закон Гука можно так: нормальное напряжение прямо пропорционально относительному удлинению или укорочению.
Математически эта зависимость записывается так:
σ = E ε.
Здесь Е – коэффициент пропорциональности, который характеризует жесткость материала бруса, т. е. его способность сопротивляться деформации; его называют модулем продольной упругости, или модулем упругости первого рода.
Модуль упругости, как и напряжение, выражаются в паскалях (Па).
Значения Е для различных материалов устанавливаются экспериментально-опытным путем, и их величину можно найти в соответствующих справочниках.
Так, для стали Е = (1,96.…2,16) х 105 МПа, для меди Е = (1,00…1,30) х 105 МПа и т. д.
Следует оговориться, что закон Гука справедлив лишь в определенных пределах нагружения.
Если в формулу закона Гука подставить полученные ранее значения относительного удлинения и напряжения: ε = Δl / l , σ = N / А, то можно получить следующую зависимость:
Δl = N l / (E А).
Произведение модуля упругости на площадь сечения Е×А, стоящее в знаменателе, называют жесткостью сечения при растяжении и сжатии; оно характеризует одновременно и физико-механические свойства материала бруса и геометрические размеры поперечного сечения этого бруса.
Приведенную выше формулу можно читать так: абсолютное удлинение или укорочение бруса прямо пропорционально продольной силе и длине бруса, и обратно пропорционально жесткости сечения бруса.
Выражение Е А / l называют жесткостью бруса при растяжении и сжатии.
Приведенные выше формулы закона Гука справедливы лишь для брусьев и их участков, имеющих постоянное поперечное сечение, изготовленных из одного материала и при постоянной силе. Для бруса, имеющего несколько участков, отличающихся материалом, размерами сечения, продольной силой, изменение длины всего бруса определяется, как алгебраическая сумма удлинений или укорочений отдельных участков:
Δl = Σ (Δli)
Деформация
Деформация (англ. deformation) — это изменение формы и размеров тела (или части тела) под действием внешних сил, при изменении температуры, влажности, фазовых превращениях и других воздействиях, вызывающих изменение положения частиц тела. При увеличении напряжения деформация может закончиться разрушением. Способность материалов сопротивляться деформации и разрушению под воздейстивем различного вида нагрузок характеризуется механическими свойствами этих материалов.
На появление того или иного вида деформации большое влияние оказывает характер приложенных к телу напряжений. Одни процессы деформации связаны с преобладающим действием касательной составляющей напряжения, другие — с действием его нормальной составляющей.
Виды деформации
По характеру приложенной к телу нагрузки виды деформации подразделяют следующим образом:
- Деформация растяжения;
- Деформация сжатия;
- Деформация сдвига (или среза);
- Деформация при кручении;
- Деформация при изгибе.
К простейшим видам деформации относятся: деформация растяжения, деформация сжатия, деформация сдвига. Выделяют также следующие виды деформации: деформация всестороннего сжатия, кручения, изгиба, которые представляют собой различные комбинации простейших видов деформации (сдвиг, сжатие, растяжение), так как сила приложенная к телу, подвергаемому деформации, обычно не перпендикулярна его поверхности, а направлена под углом, что вызывает как нормальные, так и касательные напряжения. Изучением видов деформации занимаются такие науки, как физика твёрдого тела, материаловедение, кристаллография.
В твёрдых телах, в частности — металлах, выделяют два основных вида деформаций — упругую и пластическую деформацию, физическая сущность которых различна.
Сдвигом называют такой вид деформации, когда в поперечных сечениях возникают только перерезывающие силы. Такое напряженное состояние соответствует действию на стержень двух равных противоположно направленных и бесконечно близко расположенных поперечных сил (рис. 2.13, а, б), вызывающих срез по плоскости, расположенной между силами.
Рис. 2.13. Деформация и напряжения при сдвиге
Срезу предшествует деформация – искажение прямого угла между двумя взаимно-перпендикулярными линиями. При этом на гранях выделенного элемента (рис. 2.13, в) возникают касательные напряжения. Величина смещения граней называется абсолютным сдвигом. Значение абсолютного сдвига зависит от расстояния h между плоскостями действия сил F. Более полно деформацию сдвига характеризует угол , на который изменяются прямые углы элемента – относительный сдвиг:
. (2.27)
Используя ранее рассмотренный метод сечений, легко убедиться, что на боковых гранях выделенного элемента возникают только перерезывающие силыQ=F, являющиеся равнодействующими касательных напряжений:
. (2.28)
Принимая во внимание, что касательные напряжения распределены равномерно по поперечному сечению А, их значение определяется соотношением:
. (2.29)
Экспериментально установлено, что в пределах упругих деформаций величина касательных напряжений пропорциональна относительному сдвигу (закон Гука при сдвиге):
, (2.30)
где G – модуль упругости при сдвиге (модуль упругости второго рода).
Между модулями продольной упругости и сдвига существует взаимосвязь
,
где – коэффициент Пуассона.
Приближенные значения модуля упругости при сдвиге, МПа: сталь – 0,8·105; чугун – 0,45·105; медь – 0,4·104; алюминий – 0,26·105; резина – 4.
2.4.1.1. Расчеты на прочность при сдвиге
Чистый сдвиг в реальных конструкциях реализовать крайне сложно, так как вследствие деформации соединяемых элементов происходит дополнительный изгиб стержня, даже при сравнительно небольшом расстоянии между плоскостями действия сил. Однако в ряде конструкций нормальные напряжения в сечениях малы и ими можно пренебречь. В этом случае условие прочностной надежности детали имеет вид:
, (2.31)
где – допускаемые напряжение на срез, которые обычно назначают в зависимости от величины допускаемого напряжения при растяжении:
– для пластичных материалов при статической нагрузке=(0,5…0,6) ;
– для хрупких – =(0,7 … 1,0) .
2.4.1.2. Расчеты на жесткость при сдвиге
Они сводятся к ограничению упругих деформаций. Решая совместно выражение (2.27)–(2.30), определяют величину абсолютного сдвига:
, (2.32)
где – жесткость при сдвиге.
Кручение
2.4.2.1. Построение эпюр крутящих моментов
2.4.2.2. Деформации при кручении
2.4.2.3. Напряжения при кручении
2.4.2.4. Геометрические характеристики сечений
2.4.2.5. Расчеты на прочность и жесткость при кручении
Кручением называют такой вид деформации, когда в поперечных сечениях возникает единственный силовой фактор – крутящий момент.
Деформация кручения происходит при нагружении бруса парами сил, плоскости действия которых перпендикулярны к его продольной оси.
2.4.2.1. Построение эпюр крутящих моментов
Для определения напряжений и деформаций бруса строят эпюру крутящих моментов, показывающую распределение крутящих моментов по длине бруса. Применив метод сечений и рассмотрев в равновесии любую часть, станет очевидно, что момент внутренних сил упругости (крутящий момент ) должен уравновесить действие внешних (вращающих) моментов на рассматриваемую часть бруса. Принято момент считать положительным, если наблюдатель смотрит на рассматриваемое сечение со стороны внешней нормали и видит вращающий момент Т, направленным против хода движения часовой стрелки. При противоположном направлении моменту приписывается знак минус.
Например, условие равновесия для левой части бруса имеет вид (рис. 2.14):
– в сечении А-А:
; ,
– в сечении Б-Б:
.
Границами участков при построении эпюры являются плоскости действия вращающих моментов .
Рис. 2.14. Расчетная схема бруса (вала) при кручении
2.4.2.2. Деформации при кручении
Если на боковую поверхность стержня круглого поперечного сечения нанести сетку (рис. 2.15, а) из равноотстоящих окружностей и образующих, а к свободным концам приложить пары сил с моментами Т в плоскостях, перпендикулярных к оси стержня, то при малой деформации (рис. 2.15, б) можно обнаружить:
Рис. 2.15. Схема деформации при кручении
· образующие цилиндра превращаются в винтовые линии большого шага;
· квадраты, образованные сеткой, превращаются в ромбы, т.е. происходит сдвиг поперечных сечений;
· сечения, круглые и плоские до деформации, сохраняют свою форму и после деформации;
· расстояние между поперечными сечениями практически не изменяется;
· происходит поворот одного сечения относительно другого на некоторый угол.
На основании этих наблюдений теория кручения бруса основана на следующих допущениях:
· поперечные сечения бруса, плоские и нормальные к его оси до деформации, остаются плоскими и нормальными к оси и после деформации;
· равноотстоящие поперечные сечения поворачиваются относительно друг друга на равные углы;
· радиусы поперечных сечений в процессе деформации не искривляются;
· в поперечных сечениях возникают только касательные напряжения. Нормальные напряжения малы. Длину бруса можно считать неизменной;
· материал бруса при деформации подчиняется закону Гука при сдвиге: .
В соответствии с этими гипотезами кручение стержня круглого поперечного сечения представляют как результат сдвигов, вызванных взаимным поворотом сечений.
На стержне круглого поперечного сечения радиусом r, заделанным одним концом и нагруженным вращающим моментом Т на другом конце (рис. 2.16, а), обозначим на боковой поверхности образующую АD, которая под действием момента займет положение АD1. На расстоянии Z от заделки выделим элемент длиной dZ. Левый торец этого элемента в результате кручения повернется на угол , а правый – на угол (). Образующая ВС элемента займет положениеВ1С1, отклонившись от исходного положения на угол . В силу малости этого угла
.
Отношениепредставляет угол закручивания единицы длины стержня и называется относительным углом закручивания. Тогда
. (2.33)
Рис. 2.16. Расчетная схема определения напряжений
при кручении стержня круглого поперечного сечения
2.4.2.3. Напряжения при кручении
Принимая во внимание (2.33), закон Гука при кручении можно описать выражением:
. (2.34)
В силу гипотезы, что радиусы круглых поперечных сечений не искривляются, касательные напряжения сдвига в окрестностях любой точки тела, находящейся на расстоянии от центра (рис. 2.16, б), равны произведению
, (2.35)
т.е. пропорциональны расстоянию ее до оси.
Значение относительного угла закручивания по формуле (2.35) может быть найдено из условия, что элементарная окружная сила () на элементарной площадке размером dA, расположенной на расстоянии от оси бруса, создает относительно оси элементарный момент (рис. 2.16, б):
.
Сумма элементарных моментов, действующих по всему поперечному сечению А, равна крутящему моменту МZ. Считая, что :
.
Интеграл представляет собой чисто геометрическую характеристику и носит название полярного момента инерции сечения.
Таким образом,
, (2.36)
откуда, угол закручивания единицы длины бруса
. (2.37)
Произведение называется жесткостью сечения бруса при кручении.
Полный угол закручивания, рад:
. (2.38)
Если крутящий момент и момент инерции сечения постоянны по длине стержня, то полный угол закручивания
. (2.39)
Решив совместно выражения (2.35) и (2.36), получим уравнение
, (2.40)
из которого следует, что напряжение в точке поперечного сечения прямо пропорционально расстоянию до центра сечения. При . Наибольшие напряжения возникают у наружной поверхности: .
Отношение полярного момента инерции к наибольшему радиусу r называется моментом сопротивления сечения кручению , мм3:
. (2.41)
Условие прочности принимает вид
Закон Гука при сдвиге
Материалы о физике / Основы сопротивления материалов / Закон Гука при сдвиге
Для определения зависимости между нагрузкой и деформацией при сдвиге проводят испытания материала на кручение. При данном испытании строится диаграмма сдвига (график зависимости между касательным напряжением и относительным сдвигом). Более подробное описание испытания на кручение образцов цилиндрической формы приведено в методических указаниях к лабораторным работам
Для пластичных материалов диаграмма сдвига аналогична диаграмме растяжения (рис. 4.5).
Рис. 4.5
При рассмотрении деформации образца в пределах упругости видна линейная зависимость между относительным сдвигом и касательным напряжением.
(4.23)
где — коэффициент пропорциональности, который называется модулем упругости при сдвиге или модулем упругости второго рода.
Зависимость (4.23) выражает закон Гука при сдвиге.
Между величинами модуля продольной упругости и модуля упругости при сдвиге для одного и того же материала существует зависимость
(4.24)
При значении коэффициента Пуассона получим, что
Запишем выражение для перемещения одной грани относительно другой (абсолютного сдвига (рис. 4.1)) при чистом сдвиге. Обозначая площадь грани , равнодействующую сдвигающую силу и расстояние между сдвигаемыми гранями (рис. 4.1), получим
(4.25)
Формула (4.25) выражает закон Гука для абсолютного сдвига.
Рекомендуемые страницы:
Воспользуйтесь поиском по сайту:
Источник