Правило построение эпюры растяжения
Как построить эпюры Q и М. При прямом поперечном изгибе в поперечных сечениях балки возникает два внутренних силовых фактора – поперечная сила Qy и изгибающий момент Мх. Для построения эпюр этих внутренних силовых факторов важно знать, чему они численно равны (определение) и правила знаков.
Поперечная сила, возникающая в сечении балки – это внутреннее усилие, равное алгебраической сумме проекций внешних сил, действующих по одну сторону от этого сечения на плоскость поперечного сечения.
Правило знаков. Положительная поперечная сила поворачивает рассматриваемую часть балки по часовой стрелке. (кратко – по часовой плюс, против – минус).
Изгибающий момент в сечении балки – это внутреннее усилие, равное алгебраической сумме моментов внешних сил, действующих по одну сторону от этого сечения, относительно центра тяжести сечения.
Правило знаков. Положительный изгибающий момент соответствует (т.е. вызывает) растяжению нижних волокон.
Для отыскания опасного сечения строят эпюры Qy и Мх, используя метод сечения, либо метод характерных точек. Эпюра – это график, показывающий изменение того или иного фактора по оси балки. Сечения расставляются на характерных участках, характерный участок балки – это участок между какими-либо изменениями. Изменения – это сосредоточенные силы или моменты, начало и конец распределенной нагрузки. Характерные точки – это точки, сколь-либо заметные на балке, т.е. точки приложения сосредоточенных сил, моментов и т.д.
Для того чтобы вычислить поперечную силу и изгибающий момент в произвольном сечении, необходимо мысленно рассечь плоскостью в этом месте балку и часть балки (любую), лежащую по одну сторону от рассматриваемого сечения, отбросить. Как правило, отбрасывают ту часть балки, которая представляется наиболее сложной. Затем по действующим на оставленную часть балки внешним силам надо найти искомые значения Qy и Мх, причем знак их надо определить в соответствии с принятыми ранее правилами знаков.
При построении эпюры слева направо отбрасывается правая часть балки, а Qy и Мх находятся по силам, действующим на левую часть. При построении эпюры справа налево, наоборот, отбрасывается левая часть, Qy и Мх определяются по силам, действующим на правую часть балки.
Для построения эпюр проводят нулевые линии под изображением балки. Тогда каждому сечению балки соответствует определенная точка этой линии. Положительные значения поперечных сил откладывают в принятом масштабе перпендикулярно нулевой линии вверх от нее, отрицательные — вниз.
При построении эпюры Мх у строителей принято: ординаты, выражающие в определенном масштабе положительные значения изгибающих моментов, откладывать со стороны растянутых волокон, т.е. — вниз, а отрицательные — вверх от оси балки. У механиков положительные значения и поперечной силы и изгибающего момента откладываются вверх.
Найденные значения поперечной силы и изгибающего момента соединяют соответствующими линиями.
Построенные эпюры Qуи Мxзаштриховывают прямыми линиями, перпендикулярными нулевой линии. Каждый штрих таким образом характеризует значение внутреннего силового фактора Qу или Мx,действующих в данном сечении балки. На эпюрах ставятся знаки.
Проверка построения эпюр. Следует хорошо усвоить дифференциальные зависимости между интенсивностью распределенной нагрузки, поперечной силой и изгибающим моментом (следствия из теоремы Д.И. Журавского), что позволит быстро и правильно строить эпюры. Как проверить эпюры Q и М ? Необходимо запомнить следующие правила (проверки построения эпюр):
- На участке балки, где отсутствует распределенная нагрузка, эпюра Qy – прямая, параллельная базовой линии, а эпюра Мх — наклонная прямая.
- Под сосредоточенной силой на эпюре Qy наблюдается скачок, численно равный приложенной внешней силе, а на эпюре Мх – излом.
- В точке приложения сосредоточенной пары сил (момента) на эпюре момента происходит скачок на размер момента этой пары, а эпюра Qy не претерпевает изменений.
- На участке действия равномерно распределенной нагрузки эпюра Qy выражается наклонной прямой, а эпюра Мх – параболой, обращенной выпуклостью навстречу действию распределенной нагрузки.
- На участках балки, где эпюра Q положительна, изгибающий момент с увеличением координаты z увеличивается, и, наоборот, там, где Q < 0, изгибающий момент уменьшается.
- Если на участке действия распределенной нагрузки эпюра Q пересекает базовую линию, то в этом сечении изгибающий момент принимает экстремальное значение.
- Если на границе действия распределенной нагрузки не приложено сосредоточенных сил, то на эпюре Qy участок, параллельный оси абсцисс, переходит в наклонный без скачка, а параболическая и наклонная части эпюры Мх сопрягаются плавно без изгиба.
- Изгибающий момент в концевых сечениях балки всегда равен нулю, за исключением случая, когда в концевом сечении действует сосредоточенная пара сил. В этом случае изгибающий момент в концевом сечении балки равен моменту действующей пары сил.
- В сечении, соответствующем заделке, Qy и Мх численно равны опорной реакции и реактивному моменту заделки.
Последовательность решения задач на построение эпюр:
1) определить реакции опор балки (по двум уравнениям моментов: одно – относительно левой опоры, второе – относительно правой), а затем обязательно проверить правильность решения по уравнению проекций на ось, перпендикулярную балке. Следует помнить, что допущенная ошибка при определении опорных реакций не позволит правильно решить задачу;
2) построить эпюру поперечных сил (можно использовать метод построения по характерным сечениям либо точкам);
3) построить эпюру изгибающих моментов (методы построения аналогичны);
4) произвести проверку правильности построения эпюр согласно дифференциальных зависимостей.
Источник
1. На рисунке проводиться ось ОХ, совпадающая с продольной осью стержня.
2. Под рисунком стержня проводятся две базовые нулевые линии, параллельно продольной оси стержня. Одна для эпюры продольной силы Nz
Вторая базовая нулевая линия для эпюры нормальных напряжений (Мпа).
3. Стержень разбивается на участки. Для границ участков проводятся вертикальные линии в точках приложения нагрузки и изменения площади поперечного сечения вниз до пересечения с базовыми нулевыми линиями. Нумерация участков начинается со свободной стороны стержня для задачи статически определимой. Если задача статически неопределимая, то нумерация выполняется слева направо.
4. Для определения значения продольной силы используется метод сечений. В середине участка проводится сечение. Указывается направление продольной силы. Положительным считается направление продольной силы, направленной от сечения (растягивает). Значение продольной силы Nz определяется из условия равновесия отсечённой части (сумма проекций на ось ох всех действующих сил равна нулю 0).
5. Вычисляем значение нормальных напряжений.
6. Положительные значения продольной силы и нормального напряжения откладываем вверх от базовой нулевой линии, отрицательные вниз.
7. Проверяем правильность решения задачи по эпюре продольной силы. В точках, где приложена сосредоточенная сила, на эпюре должен быть скачок равный значению продольной силы.
8. Условие прочности проверяем по эпюре нормальных напряжений. Максимальные напряжения, возникающие в конструкции, не должны превышать допускаемых.
Пример №1: Построить эпюры продольной силы N и нормального напряжения σ, проверить на прочность стальной стержень, закрепленный с одной стороны (статически определимая задача). Р1 = 10кН Р2 = 15кН
Р3 =15кН
=100 Мпа; А1 = F; А2 = 2F; F = 100 мм2
Решение:
Параллельно продольной оси стержня проводим две базовые нулевые линии для продольной силы и нормального напряжения.
Разбиваем стержень на участки, начиная со свободной стороны. Проводим вниз вертикальные линии в точках приложения сил и изменения площади поперечного сечения до пересечения с нулевыми линиями. Нумерация участков начинается со свободной стороны стержня.
1 участок:
— на первом участке проводим сечение, перпендикулярное продольной оси, мысленно отбрасываем большую часть и рассматриваем меньшую часть стержня. Заменяем действие отброшенной части на оставленную продольной силой N1. Положительным считается действие от сечения (растягивает).
Рассматриваем равновесие оставленной части, проецируя действующие силы на ось ОХ:
Определяем продольную силу на первом участке:
-N1+ Р1=0 следовательно N1 = Р1=10 кН
Определяем нормальное напряжение на первом участке
2 участок:
-N2+ Р1 — Р2=0 следовательно N2 = Р1-Р2 =10-15= -5 кН
3 участок:
-N3+ Р1 — Р2=0 следовательно N3 = Р1-Р2 =10-15= -5 кН
4 участок:
-N4+ Р1 — Р2+Р3=0 следовательно N4 = Р1-Р2+Р3=10-15+15= 10 кН
Рис. 10.
Метод сечений для определения продольной силы.
Для построения эпюр продольной силы и нормального напряжения задаёмся произвольным масштабом (например: одна клеточка -5 кН и -25 мегапаскалей). Строим эпюры продольной силы и нормального напряжения, откладывая положительные значения вверх от базовой нулевой линии, отрицательные вниз.
Проверяем правильность решения задачи по эпюре продольной силы, в точке приложения сосредоточенной силы на эпюре должен быть скачок, равный действующей силе.
По эпюре нормального напряжения проверяем условие прочности максимальные напряжения должны быть меньше или равны допустимым, значит прочность обеспечена.
Рис.11.
Эпюры продольной силы N и нормального напряжения σ.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Рубашкин А.Г. Лабораторные работы по сопротивлению материалов.- М.: Высшая школа, 1961.-159с.
2. Афанасьев A.M., Марьин В.А. Лабораторный практикум по сопротивлению материалов.- М.: Наука, 1975.-284с.
3. Феодосьев В.И. Сопротивление материалов.- М.: Наука, 1979.-559с.
4. Писаренко Г.С. Сопротивление материалов.- Киев.: Высшая школа, 1973.-667с.
Источник
Построение эпюр продольных сил – это решение статически определимой задачи. Производится для выявления картины нагрузки упругого тела. Вернее, уточнения ее схематизации.
Необходимо для определения наиболее напряженного, так называемого «опасного» сечения. Затем методами сопромата (сопротивления материалов) проводится анализ с прогнозированием перемещений элементов конструкции.
Но всему свое время. Сначала немного о терминах.
Основные понятия
Брусом (балкой) называют тело, вытянутое вдоль оси. То есть длина преобладает над шириной и высотой.
Если имеются только осевые (продольные) силы, то объект подвергается растяжению/сжатию. В этом случае в материале возникают только нормальные поперечному сечению силы противодействия и тело считают стержнем.
Статическая определимость подразумевает достаточность схемы для установления внутренних усилий противодействия. Участок – часть балки с неизменным сечением и характерной нагрузкой.
Правила построения учитывают знаки усилий. Растягивающие принимают положительными, сжимающие – отрицательными.
В системе СИ силы измеряются в ньютонах (Н). Длины в метрах (м).
Что такое эпюра продольных сил
Показывает, какой силой (в нашем предположении нормальной) загружен каждый участок. По всей длине стержня. Иначе говоря, эпюра – наглядное графическое изображение изменения нагрузки по всей длине конструкции.
Как построить эпюру продольных сил
Используется метод сечений. Балка виртуально рассекается на каждом участке и ищется противодействующая N. Ведь задача статическая.
Сопротивление рассчитывается по формуле:
где:
Fl – действующие на участке l силы (Н);
ql – распределенные нагрузки (Н/м).
Порядок построения:
1. Рисуется схема балки и механизмов закрепления;
2. Производится разделение на участки;
3. Для каждого рассчитывается N с учетом знаков. Если у балки есть незакрепленный конец, то начинать удобнее именно с него. В противном случае считается реакция опор. И оптимальнее выбирать сечение с меньшим количеством действующих факторов:
Нетрудно заметить, что последнее уравнение дает еще и реакцию опоры;
4. Параллельно оси стержня намечается база эпюры. Положительные значения масштабировано проставляются выше, отрицательные – ниже. Эпюру наглядно совмещать с расчетной схемой. Итоговый результат и промежуточные сечения показаны на рис. 1.
Рис. 1. Эпюра продольных сил
Рассмотрим случай:
F1 = 5 (кН);
F2 = 3 (кН);
F3 = 6 (кН).
Вычислим:
Проверить эпюру можно по скачкам: изменения происходят в точках приложения сил на их величину.
Пример построения эпюр и решения задач
Построить эпюру сил для следующего случая (рис. 2):
Рис. 2
Дано:
Решение.
Разбиение на участке вполне очевидно. Найдем сопротивление на выделенных:
Распределенная нагрузка зависит от длины, на которой приложена. Поскольку нарастает линейно, значение N2 будет постепенно увеличиваться/уменьшаться в зависимости от знака q.
Эпюра такого вида усилия представляет собой прямоугольный треугольник с катетами l3 и ql3 (в масштабе). Поскольку распределение линейно.
По полученным данным строим эпюру (рис. 3).
Рис. 3
Заключение
Приведенный алгоритм является предварительным этапом в расчете модели на прочность. «Слабое» место находится уже с учетом площади поперечного сечения.
В сети имеются онлайн сервисы для помощи в расчетах при вычерчивании. Но стоит ли ими пользоваться, если процедура настолько проста? Если не запутаться в знаках, конечно. Это самая распространенная ошибка.
Источник
Сопротивление материалов
Построение эпюр в сопромате
Прикладное значение науки сопротивление материалов заключается в возможности определения основных критериев работоспособности деталей машин и различных конструкций – прочности, деформации и устойчивости. 
Применяя метод сечений в сочетании с приемами статики и других разделов прикладной механики, можно определить напряжения, возникающие в том или ином сечении бруса (детали, элемента конструкции), и, исходя из анализа полученного результата, сделать выводы о работоспособности этого бруса при приложении к нему расчетных нагрузок.
Именно напряжение является основным фактором, влияющим на прочностные характеристики элемента конструкции, а также его способность противостоять деформации. По этой причине в сопромате главной задачей, чаще всего, является определение напряжений, возникающих в том или ином сечении детали или элемента конструкции.
Для удобства анализа напряженности отдельных участков и сечений конструкции (бруса) используют графическое изображение нагрузок и напряжений в каждом сечении. Это позволяет визуально анализировать распределение нагрузок и напряжений по всей длине бруса, определять при этом наиболее нагруженные (критические) участки и сечения. Такие графические изображения нагрузок, напряжений, а также деформаций элементов конструкций называют эпюрами.
При анализе степени напряженности и деформирования элемента конструкции (детали, бруса) наиболее часто производят построение следующих типов эпюр:
- эпюры внутренних сил (продольных или поперечных), действующих в сечениях бруса;
- эпюры вращающих (крутящих) моментов;
- эпюры изгибающих моментов;
- эпюры напряжений (нормальных или касательных);
- эпюры перемещений (удлинений, укорочений, прогибов и т. п.).
Иногда на одной эпюре показываются несколько внутренних силовых факторов (эпюра продольных и поперечных сил, эпюра изгибающего и вращающего моментов), но такие эпюры при сложных нагрузках и переменных сечениях бруса сложны для чтения.
Как упоминалось выше, наиболее важную информацию о прочностных характеристиках элемента конструкции (бруса), т. е. способности противостоять разрушению, можно получить, используя эпюры напряжений, а информацию о степени деформации под действием расчетной нагрузки – по эпюрам перемещений.
Эпюры внутренних усилий и моментов в большинстве случаев не дают полной информации о степени напряженности и деформирования отдельных сечений и участков бруса, а являются промежуточным звеном при построении эпюр напряжений и перемещений, особенно если брус имеет ступенчатую форму или переменное поперечное сечение по длине.
***
Правила построения эпюр
При построении эпюр придерживаются определенных стандартных правил, позволяющих одинаково читать, истолковывать и анализировать эпюру всем участникам процесса конструирования изделия.
Построение эпюры начинают с изображения нулевой линии, которая символизирует линию бруса в ненапряженном состоянии. При этом, если брус имеет сложную пространственную форму, нулевая линия эпюры повторяет контуры центральной (осевой) линии бруса, и имеет такую же пространственную форму.
Нулевую линию эпюры обозначают названием и нулевым символом. Слева от нулевой линии указывается название эпюры (эпюра сил, моментов, напряжений и т. п.), справа от нулевой линии ставится цифра «0». При указании называния эпюры обычно используют символ изображаемой нагрузки, например, внутренние продольные силы чаще всего обозначаются буквой «N», поперечные – буквой «Q», эпюры изгибающих моментов – буквами «Mиз», эпюры вращающих моментов – буквами «Т» или «Mкр», эпюры напряжений – буквами «σ» или «τ» и т. п. Рядом с буквенным названием эпюры (или под ним) указывается единица измерения (ньютон, мегапаскаль, мм и т. п.).
Следующий этап построения эпюры – определение границ силовых участков бруса, т. е. таких участков, где внутренний силовой фактор в сечениях или деформация бруса изменяются по одной закономерности (или остаются постоянными). Как правило, границами силовых участков являются сечения, где приложена внешняя нагрузка или (и) площадь поперечного сечения бруса изменяется. В некоторых случаях, при построении эпюр брусьев сложной объемной формы, границы участков определяют аналитически. Границы силовых участков обозначаются тонкими вертикальными линиями, проведенными от изображения бруса через все эпюры.
Для оптимальной наглядности графика эпюры важно правильно выбрать масштаб изображаемого силового фактора, напряжения или деформации. Если масштаб окажется слишком мелким – эпюра будет трудна для чтения и анализа, если слишком крупным – она займет много места на чертеже.
Если учесть, что для одного бруса выполняют, как правило, несколько эпюр, расположенных одна под другой, то крупный масштаб не позволит выполнить построение эпюр на одном листе.
Для правильного выбора масштаба эпюры предварительно следует просчитать значение отображаемого фактора по всем контрольным сечениям бруса, и после этого определиться с масштабом.
Если, например, в результате расчетов окажется, что вся эпюра займет положительную область (над нулевой линией), то при построении графика эпюры это следует учесть.
Положительные значения фактора откладываются вверх от нулевой линии, отрицательные – вниз. Если на каком-либо участке силовой фактор равен нулю, эпюра совпадает с нулевой линией по всей длине этого участка. После построение внешнего контура эпюры на контрольных сечениях проставляются значения фактора (обычно на внешних углах эпюры), при этом знак фактора (плюс или минус) не указываются.
На положительной области (в самой широкой части) ставится знак «+» в кружке, а на отрицательной области – знак «—» в кружке (см. примеры построения эпюр). Иногда знаки «+» и «—» на эпюре указываются сверху и снизу цифры «0» (справа нулевой линии), тогда на площади графика эпюры эти знаки (в кружках) не ставятся.
По окончании построения эпюры по ее площади проводят тонкие вертикальные линии через равные промежутки. Эти линии символизируют сечения бруса. Иногда, в случае построения сложной пространственной эпюры, линии выполняют не вертикально, а в соответствии с проекционным направлением участка на графике эпюры.
***
Определение знака фактора на эпюре
При построении эпюр внутренних силовых факторов или деформаций необходимо правильно определять знак фактора на данном силовом участке бруса. Для этого следует пользоваться следующими общепринятыми правилами:
- сжимающая продольная нагрузка считается отрицательной, растягивающая – положительной;
- поперечная сила Q, направленная вниз считается отрицательной, вверх – положительной;
- вращающий (крутящий) момент считается положительным, если он вращает «отсеченную» часть бруса против часовой стрелки, отрицательным – по часовой;
- эпюра изгибающих моментов строится в соответствии с «правилом дождя». Это правило используется следующим образом: если в результате деформации от изгибающего момента исследуемое сечение прогнулось вниз, значит, эпюра имеет положительное значение (образовалась «воронка», в которой может задерживаться «дождевая вода»); если же балка прогнулась вверх, то эпюра имеет отрицательное значение («вода» будет скатываться с балки). Более подробно о знаках эпюр поперечных сил и изгибающих моментов здесь.
***
Особенности построения эпюр поперечных сил и изгибающих моментов
Для облегчения построения эпюр и контроля правильности графика следует запомнить ряд правил, вытекающих из теоремы Журавского:
На участке, где равномерно распределенная нагрузка q отсутствует, эпюра поперечных сил Q представляет собой прямую линию, параллельную нулевой линии (оси бруса), а эпюра изгибающих моментов Mиз – наклонную прямую.
В сечении, где приложена сосредоточенная сила, на эпюре Q должен быть ступенчатый скачок на величину этой силы, а на эпюре Mиз – излом (изменение направления графика).
На участке действия равномерно распределенной нагрузки q эпюра Q представляет собой наклонную прямую, а эпюра Mиз – параболу, обращенную выпуклостью навстречу стрелкам, изображающим направление распределенной нагрузки.
Если эпюра Q на наклонном участке в каком-либо сечении пересекает нулевую линию эпюры, то в этом сечении на эпюре изгибающих моментов Mиз будет иметь экстремальное значение (минимальное или максимальное).
Если на границе действия распределенной нагрузки нет сосредоточенных сил, то наклонный участок эпюры Q соединяется с горизонтальным без «ступеньки», а параболический участок эпюры Mиз соединяется с наклонным участком плавно, без излома.
В сечениях, где к брусу приложены сосредоченные пары сил, на эпюре Mиз будут иметь место ступенчатые скачки на величину действующих внешних моментов, а эпюра Q изменения не претерпевает (приложенные к брусу изгибающие моменты не влияют на эпюру поперечных сил).
***
Примеры построения эпюр
***
Материалы раздела «Сопротивление материалов»:
- Основные понятия и определения
- Растяжение и сжатие
- Смятие. Контактные напряжения
- Деформация сдвига (среза)
- Деформация кручения
- Деформация изгиба
Правильные ответы на вопросы Теста № 7
№ вопроса | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
Правильный вариант ответа | 3 | 2 | 3 | 2 | 2 | 3 | 1 | 2 | 1 | 2 |
Источник