Потенциальная энергия упругой деформации при растяжении пружины
Во многих механизмах используется потенциальная и кинетическая энергия пружины. Их используют для выполнения различных действий. В отдельных узлах они фиксируют детали в определенном положении, не позволяя смещать в какую-либо сторону (барабан револьвера относительно корпуса). Другие пружинные системы возвращают исполнительный механизм в исходное положение (курок ручного огнестрельного оружия). Есть устройства, где узлы с гибкими свойствами совершают перемещения в устойчивое положение (механические стабилизаторы).
Работа связана с изменением геометрических параметров упругого тела. Прилагая нагрузку, заставляют эластичную деталь сжиматься (растягиваться или изгибаться). При этом наблюдается запасание энергии. Возвратное действие сопровождается набором скорости. Попутно возрастает кинетическая энергия.
Потенциальная энергия пружины
Рассматривая в качестве накопителя энергии пружину, следует отметить ее отличительные свойства от иных физических тел, которые могут накапливать энергетический потенциал. Традиционно понимается следующее: для накопления потенциала для последующего движения необходимо совершение движения в силовом поле:
Еп = F ⋅ l, Дж (Н·м),
где Еп– потенциальная энергия положения, Дж;
F – сила, действующая на тело, Н;
l – величина перемещения в силовом поле, м.
Энергия (работа) измеряются в Джоулях. Величина представляет произведение силы (Н) на величину перемещения (м).
Если рассматривать условие в поле тяготения, то величина силы находится произведением ускорения свободного падения на массу. Здесь сила веса находится с учетом g:
Еп = G ⋅ h = m ⋅ g ⋅ h, Дж
здесь G – вес тела, Н;
m – масса тела, кг;
g – ускорение свободного падения. На Земле эта величина составляет g = 9,81 м/с².
Если расстраивается пружина, то силу F нужно определять, как величину, пропорциональную перемещению:
F = K ⋅ x, Н,
где k – модуль упругости, Н/м;
х – перемещение при сжатии, м.
Величина сжатия может изменяться по величине, поэтому математики предложили анализировать подобные явления с помощью бесконечно малых величин (dx) .
При наличии непостоянной силы, зависящей от перемещения, дифференциальное уравнение запишется в виде:
dEп = k ⋅ x ⋅ dx
здесь dEп – элементарная работа, Дж;
dx – элементарное приращение сжатия, Н.
Интегральное уравнение на конечном перемещении запишется в виде. Ниже вывод формулы:
Пределами интегрирования является интервал от до х. Деформированная пружина приобретает запас по энергетическим показателям
Окончательно формула для расчета величины потенциальной энергии сжатия (растягивания или изгиба) пружины запишется формулой:
Закон сохранения механической энергии
Закон сохранения энергии существует независимо от желания наблюдателя. Все физические законы имеют статистический характер: существуют только подтверждения их выполнения, нет ни одного адекватно выполненного опыта, при котором наблюдается нарушение этой закономерности. Природные явления только подтверждают сохранность работы и энергозатрат, затраченных на ее выполнение.
На основании изложенного сформулировано положение:
где Ек – кинетическая энергия, Дж.
Рассматривая перемещения тела, наблюдаются изменения потенциальной и кинетической энергий. При этом сумма значений остается постоянной.
Проще всего проследить за изменениями между разными видами энергетических показателей при рассмотрении движения маятника.
Из крайнего положения (шарик на нити отклонился в одну из сторон, Еп = max) тело движется под действием силы тяжести. При этом снижается запасенная энергия. Движение сопровождается увеличением скорости. Поэтому нарастают показатели динамического перемещения Ек.
В нижней точке не остается никаких запасенных эффектов от положения шарика. Он опустился да минимума. Теперь Ек =max.
Поучается, при совершении гармонических колебаний маятник поочередно накапливает то один, то другой вид энергии. Механические превращения из одного вида в другой налицо.
Кинетическая энергия
Движущееся тело характеризуется скалярной величиной (масса) и векторная величина (скорость). Если рассматривать реальное перемещение в пространстве, то можно записать уравнение для определения кинетической энергии:
здесь v – скорость движения тела, м/с.
Использование кинетического преобразования можно наблюдать при колке орехов.
Приподняв камень повыше, далекие предки создавали необходимый потенциал для тяжелого тела.
Приподняв камень на максимальную высоту, разрешают ему свободно падать.
Двигаясь с высоты h, он набирает скорость
Поэтому в конце падения будет получена кинетическая энергия
Рассматривая входящие величины, можно увидеть, как происходит преобразование величин. В конце получается расчетная формула для определения потенциальной энергии.
Даже на уровне вывода зависимостей можно наблюдать выполнение закона сохранения энергии твердого тела.
Использование энергии пружины на практике
Явление преобразования потенциальной энергии пружины в кинетическую используется при стрельбе из лука.
Натягивая тетиву, стреле сообщается потенциал для последующего движения. Чем жестче лук, а также ход при натягивании тетивы, тем выше будет запасенная энергия. Распрямляясь дуги этого оружия, придадут метательному снаряду значительную скорость.
В результате стрела полетит в цель. Ее поражающие свойства определятся величиной кинетической энергии (mv²/2).
Для гашения колебаний, возникающих при движении автомобиля, используют амортизаторы. Основным элементом, воспринимающим вертикальную нагрузку, являются пружины. Они сжимаются, а потом возвращают энергию кузову. В результате заметно снижается ударное воздействие. Дополнительно устанавливается гидроцилиндр, он снижает скорость обратного движения.
Рассмотренные явления используют при проектировании механизмов и устройств для автоматизации процессов в разных отраслях промышленности.
Видео: закон Гука и энергия упругой деформации.
Источник
Встречается довольно большое количество различных механизмов, частью которых является пружина. Этот конструктивный элемент характеризуется довольно большим количество различных особенностей, которые должны учитываться. Примером можно назвать понятие потенциальной энергии пружины. Рассмотрим все особенности данного вопроса подробнее.
Понятие потенциальной энергии пружины
При рассмотрении того, что такое потенциальная энергия пружины следует уделить внимание самому понятию – свойство, которым могут обладать тела при нахождении на земле. Этот момент определяет то, что ей могут обладать самые разнообразные изделия, в том числе рассматриваемое. К особенностям рассматриваемого понятия можно отнести следующее:
- Потенциальная энергия в рассматриваемом случае формируется по причине изменения состояния. Даже при несущественном смещении витков относительно друг друга считается изменением состояния подобного изделия.
- Для того чтобы изменить состояние изделия совершается определенное действие. Зачастую для этого проводится прикладывание усилия. При этом важно провести расчет требуемого усилия для сжатия витков.
- После выполнения определенной работы большая часть усилия, которое было потрачено на выполнение действия высвобождается при определенных обстоятельствах. Как правило, этот процесс предусматривает возврат витков в свое первоначальное положение. Это достигается за счет особой формы изделия, а также применения соответствующего материала, который обладает повышенной упругостью. Именно за счет этого свойства зачастую проводится установка рассматриваемого изделия. Показатель может достигать весьма высоких показателей, которой достаточно для реализации различных задач. Распространенным примером можно назвать установку пружины в запорных и предохранительных элементах, которые отвечают за непосредственное возращение запорного элемента в требуемое положение.
Она также широко применяется при создании самых различных механизмов, к примеру, заводных часов. При проектировании различных механизмов учитывается закон сохранения механической силы, которая характеризуется довольно большим количеством особенностей.
Закон сохранения механической энергии
Согласно установленным законам механическое воздействие консервативной механической системы сохраняется во времени. Этот момент определяет то, что потенциальная энергия деформированной пружины не может возникнуть сама или исчезнуть куда-нибудь. Именно поэтому для ее создания нужно приложить соответствующее усилие.
Рассматриваемый закон относится к категории интегральных равенств. Эта закономерность определяет то, что он складывается их действия дифференциальных законов, является свойством или признаком совокупного воздействия.
Для проведения соответствующих расчетов должна применяться определенная формула. Сила, с которой оказывается воздействие, не является постоянной. Именно поэтому для ее вычисления применяется графический метод. Самая простая зависимость может быть описана следующим образом: F=kx. При применении подобной зависимости построенная координатная линия будет представлена прямой линией, которая расположена под углом относительно системы координат.
Приписать подобному устройству потенциальную энергию можно только в том случае, если она равна максимальной работе и не зависит от условной траектории движения. Проведенные исследования указывают на то, что подобная работа подчиняется закону Гука. Для определения основного показателя применяется следующая формула: U=kk2/2.
Для деформирования витков к ним должно быть приложено определенное усилие, так как в противном случае кинетическая сила не возникнет.
Динамика твердого тела
Некоторые определить выражения (определяется при применении наиболее подходящих формул) можно только с учетом правил, касающихся динамики твердых объектов. Этому вопросу посвящен целый раздел. При расчете потенциальной энергии сжатой пружины также применяются некоторые законы этого раздела
Динамика твердого тела рассматривается по причине того, что в большинстве случаев механизм совершает действие, связанное с непосредственным перемещением какого-либо объекта.
Рассматриваемое свойство изделия может изменяться в зависимости от динамики твердого тела. Это связано с тем, что на изделие оказывается и воздействие со стороны окружающей среды. Примером можно назвать трение или нагрев.
Момент силы и момент импульса относительно оси
Рассмотрение деформации пружины проводится также с учетом момента силы и импульса относительно оси. Эти два параметра позволяют рассчитать все требуемые показатели с более высокой точностью. Довольно распространенным вопросом можно назвать чему равен момент силы – векторная величина, которая определяется векторному произведению радиуса на вектор приложенной силы.
Момент импульса – величина, которая применяется для определения количества вращательного движения.
Среди особенностей подобного показателя можно отметить следующее:
- Масса вращения. Объект может характеризоваться различной массой.
- Распределение относительно оси. Ось может быть расположена на различном расстоянии от самого объекта.
- Скорость вращения. Это свойство считается наиболее важным, в зависимости от конструкции он может быть постоянным или изменяться.
Расчет каждого показателя проводится при применении соответствующей формулы. В некоторых случаях проводится измерение требуемых вводных данных, без которых провести вычисления не получится.
Уравнение движения вращающегося тела
Рассматривая подобное свойство также следует уделить внимание уравнению движения вращающегося тела. Не стоит забывать о том, что вращательное движение твердого тела характеризуется наличием как минимум двух точек. При этом отметим нижеприведенные особенности:
- Прямая, которая соединяет две точки, выступает в качестве оси вращения.
- Есть возможность провести определение места положения объекта в случае вычисления заднего угла между двумя плоскостями.
- Наиболее важным показателем можно назвать угловую скорость. Она связана с инерцией, которая возникает при вращении объекта.
Для вычисления угловой скорости применяется специальная формула, которая выглядит следующим образом: w=df/dt. В некоторых случаях проводится вычисление углового ускорения, которое также является важной величиной.
Источник
Считая процесс нагружения квазистатическим и учитывая линейную связь Al(N), для потенциальной энергии деформации имеем
Если брус неоднородный, то
Удельная потенциальная энергия деформации, соответственно, равна
Статически неопределимые системы. Перемещение систем в пространстве ограничено связями. Если число связей, наложенных на систему, больше, чем необходимое для ее решения число уравнений статики, то такие системы называют статически неопределимыми. Для их решения используют дополнительные уравнения совместности деформаций. Характерной особенностью статически неопределимых систем является возникновение в них температурных напряжений, образующихся без внешних усилий под воздействием температуры.
При испытании на растяжение обеспечивается однородность напряженного состояния всех точек образца на рабочей длине. Испытание на растяжение достаточно просто, а его результаты в меньшой степени зависят от формы и размеров образца, чем испытания других видов. Наконец, испытание на растяжение позволяет получить достоверные характеристики прочности, упругости и пластичности материала, которые можно также использовать в расчетах деталей, работающих в условиях сложного напряженного состояния.
Характерный вид диаграммы растяжения образца из пластичного материала представлен на рис. 14.3. На этой диаграмме можно выделить четыре основных участка (зоны).
Рис. 143. Диаграммы растяжения образцов
На участке ОЛ материал подчиняется закону Гука. Деформации образца очень малы и при разгрузке исчезают. Участок ОЛ называют зоной упругости. За пределами этого участка деформация образца складывается из упругой и пластической (остаточной) составляющих.
Участок ВС характеризуется нарастанием пластической деформации без увеличения осевой нагрузки (Р = Рт) и называется зоной общей текучести. При нагрузке Рт во всем объеме рабочей части образца происходят необратимые деформации сдвига между кристаллическими слоями. В результате текучести происходит перестройка кристаллической решетки, несущая способность образца увеличивается и для его дальнейшего деформирования требуется повышение нагрузки.
Участок CD называют зоной упрочнения. Здесь удлинение образца сопровождается возрастанием нагрузки, но гораздо более медленным, чем на участке ОЛ. В точке D диаграммы осевая растягивающая нагрузка достигает максимального значения (Р = Ртах). К этому моменту на образце наметилось место будущего разрыва — образовалось местное сужение, называемое шейкой (или пластический шарнир).
Дальнейший ход испытания связан с прогрессирующим утонением шейки и сосредоточением деформации образца в районе шейки. Участок DFдиаграммы носит название зоны местной текучести. Здесь нагрузка плавно уменьшается (Р тах) вплоть до разрушения образца в шейке.
Если образец нагрузить до точки L диаграммы, а затем плавно уменьшить нагрузку, то зависимость между силой и деформацией изобразится отрезком LM, параллельным прямой О А При полной разгрузке образца его удлинение уменьшится, но не исчезнет. Таким образом, полное удлинение образца в точке L складывается из двух составляющих — упругой А/у и остаточной — Д/(кт. При повторном нагружении такого образца материал будет деформироваться упруго до точки L (см. рис. 14.3, б). В результате предварительной вытяжки материал приобрел способность воспринимать без остаточных деформаций большие нагрузки. Исчезла площадка текучести, материал стал более хрупким. Подобное явление, называемое наклепом (или нагартовкой), широко используют в технике.
Параметры диаграммы растяжения в координатах А/—Р зависят не только от свойств материала образца, но и от его размеров. Чтобы получить характеристики материала, машинную диаграмму А/—Р перестраивают в координатах е —а (относительная деформация — напряжение). Связь между координатами определяется зависимостями
где А() — начальная площадь поперечного сечения образца; /() — начальная расчетная длина образца.
Поскольку А0 и /() — константы, диаграмма деформаций при растяжении имеет ту же форму (рис. 14.4, кривая 1). Обработка диаграммы деформаций позволяет определить следующие основные характеристики материала:
- • физический предел текучести от = Рт/Л();
- • предел прочности (временное сопротивление) овр = Ртах/Л0;
• относительное удлинение после разрыва
• относительное сужение после разрыва
Рис. 14.4. Диаграммы деформаций пластичного материала:
1 — условная для испытания на растяжение; 2 — истинная; 3 — условная для испытания
на сжатие
Первые две характеристики относятся к характеристикам прочности, две другие — к характеристикам пластичности. Здесь /к — конечная расчетная длина образца; Ак — площадь поперечного сечения образца в месте его разрыва.
По величине относительного удлинения после разрыва 5 материалы условно разделяют на следующие группы:
- • 8
- • 5%
- • 8 > 15% — пластичные материалы.
Более тщательная обработка диаграммы деформаций при растяжении позволяет определить дополнительные характеристики материала. Предел пропорциональности стм определяют как условное напряжение, при котором отступление от прямой пропорциональной зависимости между нагрузкой и удлинением составляет 50% (рис. 14.5). Для получения величины ап к кривой диаграммы деформаций проводится касательная под углом ап = = arctg(tga/l,5).
Под пределом упругости ау понимается наибольшее напряжение, до которого образец не получает остаточных деформаций. Поскольку определить это значение практически невозможно, условным пределом упругости называют то напряжение, при котором остаточная деформация составляет 0,01% (см. рис. 14.5, б). Для материалов без четко выраженной площадки текучести определяют условный предел текучести а0 2, который соответствует остаточной деформации 0,2% (рис. 14.5, в).
Рис. 14.5. Диаграммы a — е
Следует заметить, что рассмотренная диаграмма деформаций является условной, поскольку в процессе испытания площадь поперечного сечения образца А0 не остается постоянной, а постепенно уменьшается. Напряжение в шейке ак существенно отличается от рассчитанного но формуле a = = Р/А0 Продольная деформация в шейке ?к также значительно превосходит среднюю деформацию образца, характеризуемую величиной 8 (рис. 14.6). Диаграмма зависимости между напряжением и деформацией в шейке носит название истинной диаграммы деформаций (см. рис. 14.4, кривая 2). На участках упругости, текучести и упрочнения она практически совпадает с условной диаграммой деформаций. Последний участок истинной диаграммы деформаций строится как касательная к условной диаграмме,
Рис. 14.6. Характер деформации и эпюра остаточных деформаций в месте разрыва образца пластичного материала
проведенная из точки FK, координаты которой рассчитываются по формулам:
Рис. 14.7. Диаграммы деформации хрупкого материала:
- 1 — при растяжении:
- 2 — при сжатии
Диаграмма деформаций при растяжении образца хрупкого материала не имеет площадки текучести и зоны упрочнения (рис. 14.7). Разрушение образца происходит при наибольшей величине нагрузки (Р = РП1ах) и весьма малой остаточной деформации без образования шейки. Здесь определяется только одна характеристика предела прочности при растяжении ствр = PmJA0.
Испытание на сжатие применяется в основном для определения характеристик малопластичных и хрупких материалов. Его можно рассматривать как обратное испытанию на растяжение (растяжение с обратным знаком).
При малых деформациях пластичные материалы имеют весьма близкие характеристики растяжения и сжатия. Диаграммы деформаций при растяжении и сжатии (в последней напряжения и деформации условно считают положительными) практически совпадают на участках упругости, текучести и упрочнения. Однако по мере нарастания пластических деформаций при сжатии все больше сказывается влияние трения на торнах и увеличение размеров поперечного сечения образца. В результате нагрузка резко возрастает (см. рис. 14.4, кривая 3), а образец сжимается в тонкий диск (рис. 14.8). Пластичный образец довести до разрушения практически не удается — испытание ограничивается силовыми возможностями испытательной машины.
Диаграмма деформаций при сжатии хрупкого образца подобна диаграмме при растяжении (см. рис. 14.7, кривая 2), однако прочность хрупких материалов при сжатии выше, чем при растяжении. Отношение соответству-
Ж 3 и
Рис. 14.8. Испытание на сжатие:
а — сферическая опора нижнего захвата; 6, в — формы выточек на торцах образца; г—е — стадии деформирования пластичного образца; ж—и — характер разрушения хрупкого образца
ющих пределов прочности а]к./а1ф характеризует степень хрупкости материала и составляет:
- • 2,5—3 — для текстолита;
- • 3—5 — для чугунов;
- • 8—14 — для керамики;
- • 12—150 — для вакуумных стекол.
Испытание на сжатие имеет некоторые особенности по сравнению с испытанием на растяжение. Для устранения перекоса образца при непараллель- ности его торцов в одном из захватов испытательной машины предусмотрена установка сферической опоры (см. рис. 14.8, а). Силы трения между торцами образца и плоскими элементами испытательной машины сдерживают поперечную деформацию образца вблизи его торцов.
В результате образец приобретает характерную бочкообразную форму, в его объеме создается сложное неоднородное напряженное состояние, не соответствующее расчетной схеме. Для уменьшения влияния внешнего трения применяют смазки (вазелин, солидол), прокладки (бумага, пропитанная парафином, тефлон), цилиндрические или конические выточки на торцах (рис. 14.8, б, в). Разрушение хрупкого образца при испытании на сжатие происходит вследствие сколов по плоскостям, наклоненным под углом 45° к оси образца (рис. 14.8, ж, з). Если удается устранить влияние сил внешнего трения на образце, при его разрушении возникают продольные трещины (рис. 14.8, и).
Для испытания на растяжение чаще всего используют образцы с цилиндрической рабочей частью (рис. 14.9). Начальный диаметр d0 выбирается из стандартного ряда в пределах d{) = (3 — 25) мм. Начальное значение расчетной длины образца /() = 11,3~ 10d() («длинный» образец) или /() = 5,65~ ~ 5d0 («короткий» образец). Длина цилиндрического участка 1{ > 1,1 /0.
Концы образца оформляются в виде утолщений (головок), форма и размеры которых определяются захватными устройствами испытательной машин. Между рабочей частью и головками предусмотрены переходные уча-
Рис. 14.9. Стандартные образцы для испытания на растяжение:
а, б — цилиндрические; в — плоский
стки, которые служат для уменьшения концентрации напряжений. Для получения характеристик листового материала с толщиной менее 5 мм применяют плоские образцы (см. рис. 14.9, в). Размер s0 равен толщине листа, ширина Ь0 составляет КНЗО мм, расчетная длина /0 =11,3yjs0b0.
Испытание на сжатие проводят на образцах цилиндрической или кубической формы (рис. 14.10). Для предотвращения потери устойчивости цилиндрического образца во время испытания его высота ограничена: А0 = (1-^3)с70
Рис. 14.10. Образцы для испытания на сжатие:
а — цилиндрический; б — кубический
Источник