Построение эпюр при растяжении сжатии

Определение перемещений

Задание

Для заданного статически определимого стального бруса требуется:

1) построить эпюры продольных сил N и нормальных напряжений σ, записав в общем виде для каждого участка выражения N и σ и указав на эпюрах их значения в характерных сечениях;

2) определить общее перемещение бруса и построить эпюру перемещений δ поперечных сечений, приняв модуль упругости Е = 2·10 МПа.

Цель работы– научиться строить эпюры продольных сил и нормальных напряжений, и определять перемещения.

Теоретическое обоснование

Виды нагружения бруса, при котором в его поперечном сечении возникает только один внутренний силовой фактор – , называемый растяжением или сжатием. Равнодействующая внешних сил прикладывается в центре тяжести поперечного сечения и действует вдоль продольной оси. Внутренние силы определяются с помощью метода сечений. Нормальная сила в сечении бруса является равнодействующей нормальных напряжений, действующих в плоскости поперечного сечения

N = ∑F (5.1).

Величина продольных сил в разных сечениях бруса неодинакова. График, показывающий изменение величины продольных сил в сечении бруса по его длине, называется эпюрой продольных сил.

Закон распределения напряжений может быть определен из эксперимента. Установлено, что если на стержень нанести прямоугольную сетку, то после приложения продольной нагрузки вид сетки не изменится, она по-прежнему останется прямоугольной, а все линии прямыми. Поэтому можно сделать вывод о равномерном по сечению распределении продольных деформаций, а на основании закона Гука (σ = Eε) и нормальных напряжений S = const. Тогда N = S· F , откуда получим формулу для определения нормальных напряжений в поперечном сечении при растяжении

σ = МПа (5.2)

A – площадь около рассматриваемого участка бруса;

N– равнодействующая внутренних сил в пределах этой площадки (согласно метода сечений).

Для обеспечения прочности стержня должно выполняться условие прочности — конструкция будет прочной, если максимальное напряжение ни в одной точке нагруженной конструкции не превышает допускаемой величины, определяемой свойствами данного материала и условиями работы конструкции, то есть

σ ≤ [σ ], τ ≤ [τ] (5.3)

При деформации бруса меняется его длина на и поперечный размер – на . Эти величины зависят и от начальных размеров бруса.

Поэтому рассматривают

– продольная деформация; (5.4)

– поперечная деформация. (5.5)

Экспериментально показано, что , где μ = 0, …, 0,5 – коэффициент Пуассона. Примеры: μ=0 – пробка, μ=0,5 – резина, – сталь.

В пределах упругой деформации выполняется закон Гука: , где E – модуль упругости, или модуль Юнга.

Порядок выполнения работы

1. Разбиваем брус на участки, ограниченные точками приложения сил (нумерацию участков ведем от незакрепленного конца);

2. Используя метод сечений, определяем величину продольных сил в сечении каждого участка: N = ∑F ;

3. Выбираем масштаб и строим эпюру продольных сил, т.е. под изображением бруса (или рядом) проводим прямую, параллельную его оси, и от этой прямой проводим перпендикулярные отрезки, соответствующие в выбранном масштабе продольным силам (положительное значение откладываем вверх (или вправо), отрицательное – вниз (или влево).

4. Определяем общее перемещение бруса и строим эпюру перемещений δ поперечных сечений.

5. Ответить на контрольные вопросы.

Контрольные вопросы

1. Что называется стержнем?

2. Какой вид нагружения стержня называются осевым растяжением (сжатием)?

3. Как вычисляется значение продольной силы в произвольном поперечном сечении стержня?

4. Что такое эпюра продольных сил и как она строится?

5. Как распределены нормальные напряжения в поперечных сечениях центрально-растянутого или центрально-сжатого стержня, и по какой формуле они определяются?

6. Что называется удлинением стержня (абсолютной продольной деформацией)? Что такое относительная продольная деформация? Каковы размерности абсолютной и относительной продольных деформаций?

7. Что называется модулем упругости Е? Как влияет величина Е на деформации стержня?

8. Сформулируйте закон Гука. Напишите формулы для абсолютной и относительной продольных деформаций стержня.

9. Что происходит с поперечными размерами стержня при его растяжении (сжатии)?

10. Что такое коэффициент Пуассона? В каких пределах он изменяется?

11. С какой целью проводятся механические испытания материалов? Какие напряжения являются опасными для пластичных и хрупких материалов?

Пример выполнения

Построить эпюры продольных сил и нормальных напряжений для нагруженного стального бруса (рис. 5.1). Определить удлинение (укорочение) бруса, если E

Рис.5.1

Дано: F = 2 kH, F = 5 kH, F = 2 kH, A = 2 см , А , l = 100 мм, l = 50 мм, l = 200 мм,

l = 150 мм.

Решение. Определяем продольные силы и строим их эпюру:

N = — F = — 2kH;

N = — F + F = -2 + 5 = 3 kH;

N = — F + F = 3 kH;

N = — F + F + F = -2 +5 + 2 = 5 kH

Определяем величину нормальных напряжений и строим их эпюру:

Используя видоизмененный закон Гука, определяем удлинение бруса:

Практическая работа № 6

Построение эпюр продольных сил – это решение статически определимой задачи. Производится для выявления картины нагрузки упругого тела. Вернее, уточнения ее схематизации.

Необходимо для определения наиболее напряженного, так называемого «опасного» сечения. Затем методами сопромата (сопротивления материалов) проводится анализ с прогнозированием перемещений элементов конструкции.

Но всему свое время. Сначала немного о терминах.

Основные понятия

Брусом (балкой) называют тело, вытянутое вдоль оси. То есть длина преобладает над шириной и высотой.

Если имеются только осевые (продольные) силы, то объект подвергается растяжению/сжатию. В этом случае в материале возникают только нормальные поперечному сечению силы противодействия и тело считают стержнем.

Статическая определимость подразумевает достаточность схемы для установления внутренних усилий противодействия. Участок – часть балки с неизменным сечением и характерной нагрузкой.

Правила построения учитывают знаки усилий. Растягивающие принимают положительными, сжимающие – отрицательными.

В системе СИ силы измеряются в ньютонах (Н). Длины в метрах (м).

Что такое эпюра продольных сил

Показывает, какой силой (в нашем предположении нормальной) загружен каждый участок. По всей длине стержня. Иначе говоря, эпюра – наглядное графическое изображение изменения нагрузки по всей длине конструкции.

Как построить эпюру продольных сил

Используется метод сечений. Балка виртуально рассекается на каждом участке и ищется противодействующая N. Ведь задача статическая. 

Сопротивление рассчитывается по формуле:

где:

• Fl – действующие на участке l силы (Н);

• ql – распределенные нагрузки (Н/м).

Порядок построения:

1. Рисуется схема балки и механизмов закрепления;

2. Производится разделение на участки;

3. Для каждого рассчитывается N с учетом знаков. Если у балки есть незакрепленный конец, то начинать удобнее именно с него. В противном случае считается реакция опор. И оптимальнее выбирать сечение с меньшим количеством действующих факторов:

Нетрудно заметить, что последнее уравнение дает еще и реакцию опоры;

4. Параллельно оси стержня намечается база эпюры. Положительные значения масштабировано проставляются выше, отрицательные – ниже. Эпюру наглядно совмещать с расчетной схемой. Итоговый результат и промежуточные сечения показаны на рис. 1.

Рис. 1. Эпюра продольных сил

Рассмотрим случай:

F1 = 5 (кН);

F2 = 3 (кН);

F3 = 6 (кН).

Вычислим:

Проверить эпюру можно по скачкам: изменения происходят в точках приложения сил на их величину.

Пример построения эпюр и решения задач

Построить эпюру сил для следующего случая (рис. 2):

Рис. 2

Дано:

Решение.

Разбиение на участке вполне очевидно. Найдем сопротивление на выделенных:

Распределенная нагрузка зависит от длины, на которой приложена. Поскольку нарастает линейно, значение N2 будет постепенно увеличиваться/уменьшаться в зависимости от знака q.

Эпюра такого вида усилия представляет собой прямоугольный треугольник с катетами l3 и ql3 (в масштабе). Поскольку распределение линейно.

По полученным данным строим эпюру (рис. 3).

Рис. 3

Заключение

Приведенный алгоритм является предварительным этапом в расчете модели на прочность. «Слабое» место находится уже с учетом площади поперечного сечения.

В сети имеются онлайн сервисы для помощи в расчетах при вычерчивании. Но стоит ли ими пользоваться, если процедура настолько проста? Если не запутаться в знаках, конечно. Это самая распространенная ошибка.

Растяжение (сжатие) — деформация, вызванная силами или системами сил, равнодействующая которых или сами силы приложены в центре тяжести сечения и перпендикулярны сечению.

При растяжении (сжатии) в каждом сечении стержня действует только один внутренний силовой фактор — продольная сила N.

Продольная сила представляет собой равнодействующую внутренних нормальных напряжений, возникающих в поперечном сечении стержня, численно равную алгебраической сумме проекций на продольную ось всех внешних сил, приложенных по одну сторону от рассматриваемого сечения, т.е.

При растяжении продольную силу принято считать положительной, а при сжатии — отрицательной (рис. 1.3).

Рисунок 1.3

Внешние нагрузки, действующие на стержень могут быть сосредоточенными и распределенными. Сосредоточенные нагрузки передают свое действие через относительно небольшие участки стержня. Распределенные нагрузки действуют на все сечения стержня (силы веса, инерции — объемные нагрузки), либо на достаточно большие участки стержня (силы трения — поверхностные нагрузки).

Интенсивность распределенной нагрузки — нагрузка, приходящаяся на единицу длины стержня (выражается в Н/м):

.

При учете собственного веса стержня определяется интенсивность распределенной нагрузки от собственного веса (вес единицы длины стержня) (Н/м):

q = G/l = Fl/l = F,

где G — вес стержня; F — площадь поперечного сечения стержня; l — длина стержня; — удельный вес материала стержня.

Задача 1.1. Для стержня, рисунок 1.4, построить эпюру продольных сил.

1. В данной задаче не обязательно определять реакцию в заделке, так как, рассматривая нагрузки от свободного конца стержня, можно определить во всех сечениях продольную силу. Продольная сила, полученная для крайнего левого сечения стержня (т.е. для заделки), и будет представлять собой реакцию в заделке.

Однако для контроля правильности расчета продольных сил полезно в начале определить реакцию R из условия равновесия т. е. сумма проекций всех сил на продольную ось стержня должка быть равна нулю:

=R-3P+2P-P=0 R=2P.

Рисунок 1.4

Полученный знак плюс для реакции свидетельствует о правильности выбранного направления вектора R. Если бы реакция получалась отрицательной, то следовало бы изменить направление вектора R на противоположное.

2. Разбиваем стержень на три участка. Проводим произвольные сечения, задаем координату сечения на каждом участке (рис.1.4, а). В данной задаче на каждом участке начало координат взято в крайнем правом сечении участка.

Задание координаты сечения на участке однозначно определяет, с какой стороны от сечения суммировать внешние силы при определении внутреннего силового фактора. Если начало координат находится справа, то рассматриваются все внешние нагрузки, лежащие справа от сечения, и наоборот.

Составляем уравнения для продольной силы по участкам.

I участок: пределы изменения координаты сечения 0х1a. Мысленно отбрасываем часть стержня слева от сечения. Согласно определению, продольная сила равна сумме всех внешних нагрузок, лежащих по одну сторону (справа) от сечения. Справа от сечения имеется только одна сила, которая действует на данное сечение, вызывая сжатие левой от сечения части стержня, поэтому (рис.1.4, б)

N = -P.

II участок: 0х2a. Продольная сила в сечении равна сумме всех внешних сил, действующих справа от сечения. Справа от сечения действуют сила P, вызывая сжатие, и сила 2P, вызывая растяжение оставшейся левой части стержня, поэтому (рис. 1.4, в)

N = -P + 2P = P.

III участок: 0х3a. Рассуждая аналогично, получим (рис. 1.4, г)

N=-P+2P-3P=-2P.

Продольная сила N в заделке совпала по величине и направлению с реакцией Д (знак минус для N на III участке говорит о том, что на этом участке действует сжимающая сила), причем рассмотрение внешних сил справа от сечения позволяет определить продольную силу в каждом сечении, не определяя реакцию в заделке.

4. По полученным уравнениям строим эпюру продольных сил. Так как на каждом участке продольная сила — величина постоянная, то графики продольных сил — прямые, параллельные координатной оси х. Откладываем в произвольном масштабе значения N на каждом участке и строим эпюру (рис.1.4, д).

Как видно из эпюры, в каждом сечении, в котором к стержню приложена сосредоточенная сила, продольная сила меняется скачком. Таким образом, на эпюре N в сечении, где приложена сосредоточенная сила, должен быть скачок на значение этой силы. В данной задач на эпюре имеем четыре скачка N, каждый скачок соответствует сосредоточенной силе.

Эпюры принято штриховать прямыми линиями, перпендикулярными продольной оси х. Каждая ордината эпюры в принятом масштабе дает значение продольной силы в поперечном сечении бруса с данной координатой. На эпюре иногда указываются знаки продольных сил (плюс — для положительных, минус- для отрицательных сил).

Эпюра показывает, что брус под действием внешних сил на I и Ш участках испытывает сжатие, на II — растяжение с усилиями, известными из расчета.

Задача 1.2. Построить эпюру N для стержня, нагруженного сосредоточенной и распределенной нагрузками (рис.1.5), если известны величины a, b, c, P1 = P, P2 = 3P, q = P/b

Рисунок 1.5

• 1. Разбиваем стержень на три участка, проводим произвольные сечения на каждом участке, задаем координаты этих сечений.
• 2. Определяем уравнения для N по участкам, рассматривая внешние нагрузки вниз от сечения:

I участок: 0х1a; N =P1=P;

II участок: 0х2b; N = P1+ qX2 = P + P/b X2;

III участок: 0х3c; N = P1+ qb- P2= P + P/b b — 3P = -P.

3. Строим эпюру N по полученным уравнениям.

На II участке функция N от х представляет собой линейную зависимость, график которой есть наклонная прямая. Строим график по двум крайним значениям в начале и в конце участка:

при х2=0 N = P;

при х2=b N = P + P/b * b = 2P.

Соединяя эти точки примой, получим график искомой линейной зависимости.

Как видно из эпюры, при действии на стержень распределенной осевой нагрузки продольная сила на участке, на котором такая нагрузка приложена, меняется непрерывно. Если интенсивность нагрузки на участке постоянная (q = const), то на эпюре будет наклонная прямая. На участках, где нет распределенной нагрузки, на эпюре — прямые, параллельные оси х. Эпюра показывает, что участки I н II испытывают растяжение, участок III — сжатие, наиболее нагруженным является сечение с координатой x2=b.

В этом сечении действует растягивающее усилие, равное 2P. На эпюре три скачка, один соответствует реакции в заделке, второй — силе P2, третий — силе P1.

Задача 1.3. Построить эпюру N для стержня (рис. 1.6) с учетом собственного веса, если заданы a, , F, P = 10 Fa.

Рисунок 1.6

• 1. Разбиваем стержень на три участка.
• 2. Определяем N по участкам.

I участок: 0х1a.

Продольное усилие в произвольном сечении на I участке равно сумме всех сил, лежащих вниз от сечения. Но вниз от сечения действует только вес вышележащей части стержня, который равен произведению удельного веса на объем нижележащей части: 2Fх1. Определяем значение N в начале и в конце участка: при х1=0 N=, при х1=a N=2Fa.

II участок: 0х2a.

Продольное усилие в произвольном сечении II участка равно весу I участка плюс вес вышележащей части стержня II участка:

N = 2Fa + FX2.

Определяем значения N в начале и в конце участка:

при х2=0 N = 2Fa;

при х2=a N = 3Fa.

III участок: 0 х3 а. Продольное усилие в произвольном сечении III участка равно сумме весов I и II участков, внешней силе и весу нижележащей части III участка:

N = 2Fa + Fa — P+ Fх3 = — 7Fа + Fх3.

Определяем значения N в начале и в конце участка:

при х3=0 N = —7Fa;

при х3=a N = —6Fa.

3. Строим эпюру N. На всех участках это наклонные прямые, причем наклон прямых (коэффициент при х) определяется площадью сечения и удельным весом материала стержня. Наиболее нагруженным является сечение х3=0, оно испытывает сжатие с усилием 7Fa.