Положение нейтральной оси при внецентренном растяжении

Ранее мы изучали случай простого (центрального) растяжения и сжатия, когда внешние силы прикладывались в центре тяжести поперечных сечений.

Однако в практике встречаются случаи внецентренного приложения растягивающей или сжимающей нагрузки, как показано на рис. 7.11.

Рис. 7.11. Внецентренное сжатие стержня

Здесь величина е — эксцентриситет нагрузки. Сжатие стержней может вызвать потерю устойчивости, анализ которой необходимо также делать и при расчетах на прочность, однако ограничимся пока рассмотрением элементов конструкций, которые не подвержены потере устойчивости. Это стержни большой жесткости или массивные стержни.

Пусть оси х и у — главные центральные оси инерции сечения. Приведем внешние силы Г к центру тяжести сечения. Для этого на краях стержня в точках на оси стержня, проходящих через точку О, мысленно приложим осевые противоположно направленные силы Г. Тогда силы, векторы которых зачеркнуты одной косой чертой, дадут момент в плоскости под углом к главным осям. А это значит, что вне-центренное растяжение (сжатие) приводится к центральному растяжению (сжатию) и косому изгибу. Найдем внутренние силовые факторы в сечении а—а (см. рис. 7.11), для чего используем метод сечений. Рассмотрим равновесие отсеченной нижней части стержня. После приведения силы Т7к центру тяжести сечения получим следующие внутренние силовые факторы: Nz = -Р — продольная сжимающая сила; Мх = Ру/г и Му = Рхг — изгибающие моменты, где уР ихг—координаты точки приложения силы Р.

Выведем рабочие формулы для расчета на прочность массивных стержней при вненентренном растяжении (сжатии) (рис. 7.12).

Рис. 7.12. Приложение внеценгренной нагрузки к стержню: а — расчетная схема; б — равновесие части стержня

Найдем внутренние силовые факторы в произвольном сечении, находящемся на расстоянии I от свободного края, для чего используем метод сечений. Рассмотрев равновесие оставленной части стержня (рис. 7.12, б), можно увидеть, что он испытывает растяжение совместно с двумя изгибами:

ЛД =-Р ; Мх = /г/г/2 ; Му =-РЬ/2 .

Если бы сила /’лежала в одной из главных плоскостей, то она вызвала бы сжатие с прямым изгибом.

Для определения напряжения в любой точке поперечного сечения необходимо использовать ранее выведенные формулы для сжатия (растяжения) и простого плоского изгиба, а также иметь в виду справедливость принципа независимости действия сил.

Например, в точке А сечения (см. рис. 7.12, б) все три внутренних силовых фактора вызовут напряжения одного знака, поэтому должны суммироваться:

=-М,/А-Мх^х-Му^у = -Р/А-[(РИ/2)/ІУх]-[(РЬ/2)/1?г]

ИЛИ

а =-Р/_РхРх/ _Ругу/ =_/г

У

+ +

/ Г / I

к /у / х;

,(7.10)

и г* — так называемые радиусы инерции по

перечного сечения.

Как и при косом изгибе, найдем опасные точки в сечении, для чего прежде всего найдем положение нейтральной линии.

Условие для нейтральной линии можно записать в виде о = 0. Координаты точек нейтральной линии — х0, >>0. После подстановки в формулу (7.10) получим

Но У/Л Ф 0, тогда

• (7.П)
• 1 + хгхо/2 + урУу = 0 . іу Л2

Это и есть уравнение нейтральной линии, представляющей собой уравнение прямой в отрезках (т.е. линии, не проходящей через начало координат).

Определим положение нейтральной линии. Полагая в (7.11) *о = 0, у0 = получим отрезок ау и, полагая х0 = ах, = 0, получим отрезок ах:

(7.12)

Полученные отрезки ах и ау представляют собой отрезки, отсекаемые нейтральной линией на координатных осях. Таким образом, нейтральная линия проходит за центром тяжести сечения от точки приложения силы.

Части сечения, расположенные по разные стороны от нейтральной линии, испытывают напряжения разного знака. Если провести прямые линии, параллельные нейтральной оси и так, чтобы они касались контура поперечного сечения, то мы найдем опасные точки. Напряжения в этих точках можно определить, используя формулу (7.10), если подставить сюда координаты найденных опасных точек.

Максимальное напряжение, необходимое для составления условия прочности для материала, одинаково работающего на растяжение и сжатие, получится при подстановке в (7.10) координат наиболее удаленной от нейтральной оси опасной точки.

Если материал хрупкий, то расчет ведется как по наибольшим растягивающим напряжениям, так и по наибольшим сжимающим напряжениям.

В том случае, когда сила Е приложена центрально, нейтральная линия находится в бесконечности и напряжения в поперечном сечении распределены равномерно. По мере того как точка приложения силы удаляется от центра тяжести, нейтральная линия приближается к центру тяжести. Из сказанного следует, что нейтральная ось может находиться за контуром поперечного сечения. Этот вывод полезен при расчетах конструкций, плохо работающих на растяжение, например кирпичных, каменных или бетонных колонн. Желательно, чтобы эти конструкции вообще не испытывали растягивающих напряжений. Это требование можно выполнить, если нейтральная линия в крайнем случае только касается контура поперечного сечения.

На рис. 7.13, а показаны различные положения нейтральных линий и соответствующие им точки приложения силы Т. Если же непрерывно «перемещать» по контуру нейтральную линию, то получится непрерывная линия вокруг центра тяжести поперечного сечения, определяющая геометрическое место точек приложения силы Р. Эта линия ограничивает некоторую зону, которая называется ядром сечения.

Таким образом, получается, что приложенные силы в точке ядра сечения не вызывают появления в поперечном сечении напряжений различных знаков. Если поперечное сечение стержня имеет контур с внутренними углами или отрицательную кривизну, то для определения точек ядра сечения надо обходить эти места, как показано на рис. 7.13, а.

Рис. 7.13. Определение ядра сечения

Для определения точек ядра сечения можно воспользоваться формулами (7.12). Рассмотрим, например, как определить ядро сечения для случая прямоугольного поперечного сечения (рис. 7.14).

С

I

і

1

I

Рис. 7.14. Определение ядра сечения для случая прямоугольного

поперечного сечения

• 2. Повернем нейтральную ось в положение II—II, т.е.
• 1. Проведем нейтральную ось по контуру в положение 1-І, тогда:

= оо

В этом случае:

При переходе из положения 1—1 в положение II—II нейтральная ось вращается в вершине прямоугольника, в это время точка приложения сосредоточенной силы перемещается по прямой 1-2. Аналогично находят другие точки ядра сечения.

Контрольные вопросы

• 1. Какой вид изгиба называется косым?
• 2. В чем отличие косого изгиба от прямого?
• 3. Как найти положение нейтральной линии сечения при косом изгибе?
• 4. Определение нормальных напряжений при косом изгибе.
• 5. Как определяются максимальные напряжения при изгибе с растяжением (сжатием)? Как найти опасную точку сечения?
• 6. Проходит ли нейтральная линия сечения через его центр тяжести при изгибе с растяжением (сжатием)?
• 7. Что такое внецентренное растяжение (сжатие)?
• 8. Положение нейтральной оси при внецентренном растяжении (сжатии).
• 9. Как найти опасные точки (точку) при внецентренном растяжении?
• 10. Как записываются условия прочности при изгибе с растяжением (сжатием)?
• 11. Что такое ядро сечения? Показать построение ядра сечения на примере прямоугольного сечения.