Перемещение при осевом растяжении
При центральном растяжении и сжатии прямого стержня поперечные сечения, оставаясь плоскими, получают осевые перемещения и (см. рис. 3.7). Они считаются положительными, если их направление совпадает с положительным направлением оси Ох.
Рассмотрим осевые перемещения двух произвольных сечений, отстоящих на расстоянии Ах друг от друга (рис. 3.11). После приложения нагрузки эти сечения получают перемещения соответственно ии и + А и. Длина отрезка Ах после деформации составляет Ах1 = Ах + (и + А и) — и = Ах + А и, а величина удлинения равна Ах, — Ах = Аи.
Рис. З.п
Относительная продольная деформация волокон стержня в сечении х представляет собой предел отношения удлинения А и к первоначальной длине Ах при стремлении последней к нулю:
Проинтегрировав это соотношение в пределах от 0 до х, получим формулу для определения осевого перемещения произвольного сечения:
Обозначив в начальном сечении х = 0 и(0) = и0, получим, что постоянная интегрирования С равна и0. В результате имеем
Учитывая, что на основании (3.6) и (3.5) линейная деформация равна
получим следующую формулу:
Величина ЕЕ называется жесткостью стержня при растяжении и сжатии.
Формула (3.11) позволяет установить характер изменения и(х). Для частного случая, когда жесткость EF и продольная сила N являются постоянными величинами, осевые перемещения изменяются по линейному закону:
На участке, где EF = const, а N является линейной функцией, осевые перемещения изменяются по закону квадратной параболы.
Если начальное сечение х = 0 закреплено, то и0 = 0. Из соотношения (3.10) следует, что в сечении, где е равно нулю (N = 0), и(х) может иметь экстремум.
Удлинение или укорочение стержня длиной / (см. рис. 3.7) равно разности осевых перемещений его концов х = 0 и х = /: А/ = и([) — и(). Согласно формуле (3.11) получим
Для частного случая ЕЕ = const и N = const получим
Для стержня с постоянной жесткостью ЕЕ и линейным законом изменения продольной силы N при определении Д/ удобно использовать геометрический смысл определенного интеграла и привести формулу (3.12) к следующему виду:
где Qn — площадь эпюры N на участке от 0 до /.
Пример 3.2. Для стержня ступенчато-постоянного сечения (рис. 3.12, а) построим эпюры N, о и и. В расчетах примем Е= 1 • 105 МПа.
Рис. 3.12
В данном примере вычисление значений N но производим в характерных сечениях, начиная со свободного конца. При этом мысленно отбрасывается часть стержня, содержащая закрепленное сечение.
Участок 0,8
Сечение х = 2 м, N = 0, о = 0.
Сечение х = 0,8 м, N = 20 • 1,2 = 24 кН (растяжение),
о = = 1,2 кН/см2 = -12 МПа.
Участок 0
Сечение х = 0,8 м, N= 24 — 40 = —16 кН (сжатие), о = —у = -2 кН/см2 = -20 МПа.
Сечение x =0, N — — 16 кН, о = —20 МПа.
Опорная реакция в месте закрепления равна R = 16 кН. Ее направление показано на рис. 3.12, а.
В соответствии с соотношением (3.1) продольная сила и нормальные напряжения в пределах первого участка являются постоянными по величине, а в пределах второго участка изменяются по линейному закону. Эпюры N и с приведены на рис. 3.12, б, в.
Определим величины удлинений (укорочений) участков стержня:
Величина А/ всего стержня равна
В целом стержень укорачивается. Определим величины осевых перемещений характерных сечений:
Все сечения перемещаются в отрицательном направлении оси Ох. В пределах первого участка и(х) изменяется по линейному закону, а в пределах второго участка — по закону квадратной параболы. В сечении вблизи свободного конца касательная к эпюре и параллельна оси стержня, поскольку в этом сечении N= 0. Эпюра и приведена на рис. 3.12, г.
Пример 3.3. Для стержневой системы, состоящей из жесткой балки АВ, поддерживаемой тремя стальными стержнями указанного сечения (рис. 3.13), определим усилия и напряжения в стержнях и величины их удлинений. В расчетах примем Е= 2,1 • 105 МПа.
Для определения усилий Nx, N2 и N3 в стержнях системы используем три уравнения равновесия:
Рис. 3.13
Все три стержня испытывают растяжение. Определим напряжения в стержнях и величины их удлинений.
Стержни CD и DE (_||_63х63х4)
где /j = /2 = V22 + 22 = 2,83 м и /3 = 2 м — длины стержней.
Источник
Деформации продольные и поперечные. Коэффициент поперечной деформации (коэффициент Пуассона). Закон Гука. Модуль упругости.
При действии растягивающих сил по оси бруса длина его увеличивается, а поперечные размеры уменьшаются. При действии сжимающих усилий происходит обратное явление. На рис. 6 показан брус, растягиваемый двумя силами Р. В результате растяжения брус удлинился на величину Δl, которая называется абсолютным удлинением,и получим абсолютное поперечное сужение Δа.
Отношение величины абсолютного удлинения и укорочения к первоначальной длине или ширине бруса называется относительной деформацией. В данном случае относительная деформация называется продольной деформацией, а — относительной поперечной деформацией. Отношение относительной поперечной деформации к относительной продольной деформации называется коэффициентом Пуассона: (3.1)
Коэффициент Пуассона для каждого материала как упругая константа определяется опытным путем и находится в пределах: ; для стали .
В пределах упругих деформаций установлено, что нормальное напряжение прямо пропорционально относительной продольной деформации. Эта зависимость называется законом Гука:
, (3.2)
где Е — коэффициент пропорциональности, называемый модулем нормальной упругости.
Если мы в формулу закона Гука подставим выражение и , тo получим формулу для определения удлинения или укорочения при растяжении и сжатии:
, (3.3)
где произведение ЕF называется жесткостью при растяжении, сжатии.
Модуль упругости — общее название нескольких физических величин, характеризующих способность твёрдого тела(материала, вещества) упруго деформироваться (то есть не постоянно) при приложении к нему силы. В области упругой деформации модуль упругости тела в общем случае зависит от напряжения и определяется производной (градиентом) зависимости напряжения от деформации, то есть тангенсом угла наклона начального линейного участка диаграммы напряжений-деформаций:
{displaystyle E {stackrel {text{def}}{=}} {frac {dsigma }{dvarepsilon }}}
где:
· E — модуль упругости;
· {displaystyle sigma } — напряжение, вызываемое в образце действующей силой (равно силе, делённой на площадь приложения силы);
· {displaystyle varepsilon } — упругая деформация образца, вызванная напряжением (равна отношению изменения размера образца после деформации к его первоначальному размеру).
Определение осевых перемещений поперечных сечений. Жесткость при растяжении и сжатии.
Растяжениемилисжатиемназывают такой вид деформации бруса (стержня), при котором в его поперечных сечениях возникает только продольная сила N.
Продольной силойв поперечном сечении бруса называется равнодействующая внутренних нормальных сил , возникающих в этом сечении.
При сжатии сравнительно длинного и тонкого бруса прямолинейная форма его равновесия может оказаться неустойчивой.
жесткость сечения бруса при растяжении (сжатии) — Произведение модуля продольной упругости иплощади поперечного сечения. Характеризует жесткость бруса при растяжении (сжатии).
3. Диаграммы растяжения и ее характерные параметры: пределы пропорциональности, упругости, текучести, прочности. Истинная диаграмма растяжения.
Диаграмма растяжения
Диаграмма растяжения показывает зависимость удлинения образца от продольной растягивающей силы.
Ее построение является промежуточным этапом в процессе определения механических характеристик материалов (в основном металлов).
Диаграмму растяжения материалов получают экспериментально, при испытаниях образцов на растяжение.
Для этого образцы стандартных размеров закрепляют в специальных испытательных машинах и растягивают до их полного разрушения (разрыва). При этом специальные приборы фиксируют зависимость абсолютного удлинения образца от прикладываемой к нему продольной растягивающей нагрузки и самописец вычерчивает кривую характерную для данного материала.
Диаграмму ~ условно делят на четыре области:
I – зона упругости. Здесь материал подчиняется закону Гука.
II – зона общей текучести. Здесь происходит существенное удлинение образца без заметного увеличения нагрузки. Кривая АВ называется площадкой текучести.
III – зона упрочнения. Здесь удлинение образца сопровождается возрастанием нагрузки, но неизмеримо более медленным, чем на упругом участке.
Процесс предварительного деформирования называют наклепом.
IV – зона местной текучести (зона разрушения). Здесь начинает появляться место сужения – шейка.
На диаграмме растяжения отмечают характерные напряжения:
– предел пропорциональности – напряжение, до которого выполняется закон Гука;
– предел упругости – наибольшее напряжение, до которого материал не получает остаточной деформации;
– предел текучести – напряжение, при котором происходит рост деформации без заметного увеличения нагрузки.
– предел прочности – отношение максимальной силы, которую способен выдержать образец, к его начальной площади поперечного сечения.
Дата добавления: 2018-10-15; просмотров: 2824 | Нарушение авторских прав | Изречения для студентов
Читайте также:
Рекомендуемый контект:
Поиск на сайте:
© 2015-2021 lektsii.org — Контакты — Последнее добавление
Источник
Внутренние усилия при растяжении-сжатии.
Осевое (центральное) растяжение или сжатие прямого бруса вызывается внешними силами, вектор равнодействующей которых совпадает с осью бруса. При растяжении или сжатии в поперечных сечениях бруса возникают только продольные силы N. Продольная сила N в некотором сечении равна алгебраической сумме проекции на ось стержня всех внешних сил, действующих по одну сторону от рассматриваемого сечения. По правилу знаков продольной силы N принято считать, что от растягивающих внешних нагрузок возникают положительные продольные силы N, а от сжимающих — продольные силы N отрицательны (рис. 5).
Чтобы выявить участки стержня или его сечения, где продольная сила имеет наибольшее значение, строят эпюру продольных сил, применяя метод сечений, подробно рассмотренный в статье:
Анализ внутренних силовых факторов в статистически определимых системах
Ещё настоятельно рекомендую взглянуть на статью:
Расчёт статистически определимого бруса
Если разберёте теорию в данной статье и задачи по ссылкам, то станете гуру в теме «Растяжение-сжатие» =)
Напряжения при растяжении-сжатии.
Определенная методом сечений продольная сила N, является равнодействующей внутренних усилий распределенных по поперечному сечению стержня (рис. 2, б). Исходя из определения напряжений, согласно выражению (1), можно записать для продольной силы:
где σ — нормальное напряжение в произвольной точке поперечного сечения стержня.
Чтобы определить нормальные напряжения в любой точке бруса необходимо знать закон их распределения по поперечному сечению бруса. Экспериментальные исследования показывают: если нанести на поверхность стержня ряд взаимно перпендикулярных линий, то после приложения внешней растягивающей нагрузки поперечные линии не искривляются и остаются параллельными друг другу (рис.6, а). Об этом явлении говорит гипотеза плоских сечений (гипотеза Бернулли): сечения, плоские до деформации, остаются плоскими и после деформации.
Так как все продольные волокна стержня деформируются одинаково, то и напряжения в поперечном сечении одинаковы, а эпюра напряжений σ по высоте поперечного сечения стержня выглядит, как показано на рис.6, б. Видно, что напряжения равномерно распределены по поперечному сечению стержня, т.е. во всех точках сечения σ = const. Выражение для определения величины напряжения имеет вид:
Таким образом, нормальные напряжения, возникающие в поперечных сечениях растянутого или сжатого бруса, равны отношению продольной силы к площади его поперечного сечения. Нормальные напряжения принято считать положительными при растяжении и отрицательными при сжатии.
Деформации при растяжении-сжатии.
Рассмотрим деформации, возникающие при растяжении (сжатии) стержня (рис.6, а). Под действием силы F брус удлиняется на некоторую величину Δl называемую абсолютным удлинением, или абсолютной продольной деформацией, которая численно равна разности длины бруса после деформации l1 и его длины до деформации l
Отношение абсолютной продольной деформации бруса Δl к его первоначальной длине l называют относительным удлинением, или относительной продольной деформацией:
При растяжении продольная деформация положительна, а при сжатии – отрицательна. Для большинства конструкционных материалов на стадии упругой деформации выполняется закон Гука (4), устанавливающий линейную зависимость между напряжениями и деформациями:
где модуль продольной упругости Е, называемый еще модулем упругости первого рода является коэффициентом пропорциональности, между напряжениями и деформациями. Он характеризует жесткость материала при растяжении или сжатии (табл. 1).
Таблица 1
Модуль продольной упругости для различных материалов
Абсолютная поперечная деформация бруса равна разности размеров поперечного сечения после и до деформации:
Соответственно, относительную поперечную деформацию определяют по формуле:
При растяжении размеры поперечного сечения бруса уменьшаются, и ε’ имеет отрицательное значение. Опытом установлено, что в пределах действия закона Гука при растяжении бруса поперечная деформация прямо пропорциональна продольной. Отношение поперечной деформации ε’ к продольной деформации ε называется коэффициентом поперечной деформации, или коэффициентом Пуассона μ:
Экспериментально установлено, что на упругой стадии нагружения любого материала значение μ = const и для различных материалов значения коэффициента Пуассона находятся в пределах от 0 до 0,5 (табл. 2).
Таблица 2
Коэффициент Пуассона.
Абсолютное удлинение стержня Δl прямо пропорционально продольной силе N:
Данной формулой можно пользоваться для вычисления абсолютного удлинения участка стержня длиной l при условии, что в пределах этого участка значение продольной силы постоянно. В случае, когда продольная сила N изменяется в пределах участка стержня, Δl определяют интегрированием в пределах этого участка:
Произведение (Е·А) называют жесткостью сечения стержня при растяжении (сжатии).
Механические свойства материалов.
Основными механическими свойствами материалов при их деформации являются прочность, пластичность, хрупкость, упругость и твердость.
Прочность — способность материала сопротивляться воздействию внешних сил, не разрушаясь и без появления остаточных деформаций.
Пластичность – свойство материала выдерживать без разрушения большие остаточные деформации. Неисчезающие после снятия внешних нагрузок деформации называются пластическими.
Хрупкость – свойство материала разрушаться при очень малых остаточных деформациях (например, чугун, бетон, стекло).
Идеальная упругость – свойство материала (тела) полностью восстанавливать свою форму и размеры после устранения причин, вызвавших деформацию.
Твердость – свойство материала сопротивляться проникновению в него других тел.
Рассмотрим диаграмму растяжения стержня из малоуглеродистой стали. Пусть круглый стержень длинной l0 и начальным постоянным поперечным сечением площади A0 статически растягивается с обоих торцов силой F.
Диаграмма сжатия стержня имеет вид (рис. 10, а)
где Δl = l — l0 абсолютное удлинение стержня; ε = Δl / l0 — относительное продольное удлинение стержня; σ = F / A0 — нормальное напряжение; E — модуль Юнга; σп — предел пропорциональности; σуп — предел упругости; σт — предел текучести; σв — предел прочности (временное сопротивление); εост — остаточная деформация после снятия внешних нагрузок. Для материалов, не имеющих ярко выраженную площадку текучести, вводят условный предел текучести σ0,2 — напряжение, при котором достигается 0,2% остаточной деформации. При достижении предела прочности в центре стержня возникает локальное утончение его диаметра («шейка»). Дальнейшее абсолютное удлинение стержня идет в зоне шейки ( зона местной текучести). При достижении напряжением предела текучести σт глянцевая поверхность стержня становится немного матовой – на его поверхности появляются микротрещины (линии Людерса-Чернова), направленные под углом 45° к оси стержня.
Расчеты на прочность и жесткость при растяжении и сжатии.
Опасным сечением при растяжении и сжатии называется поперечное сечение бруса, в котором возникает максимальное нормальное напряжение. Допускаемые напряжения вычисляются по формуле:
где σпред — предельное напряжение (σпред = σт — для пластических материалов и σпред = σв — для хрупких материалов); [n] — коэффициент запаса прочности. Для пластических материалов [n] = [nт] = 1,2 … 2,5; для хрупких материалов [n] = [nв] = 2 … 5, а для древесины [n] = 8 ÷ 12.
Расчеты на прочность при растяжении и сжатии.
Целью расчета любой конструкции является использование полученных результатов для оценки пригодности этой конструкции к эксплуатации при минимальном расходе материала, что находит отражение в методах расчета на прочность и жесткость.
Условие прочности стержня при его растяжении (сжатии):
При проектном расчете определяется площадь опасного сечения стержня:
При определении допускаемой нагрузки рассчитывается допускаемая нормальная сила:
Расчет на жесткость при растяжении и сжатии.
Работоспособность стержня определяется его предельной деформацией [ l ]. Абсолютное удлинение стержня должно удовлетворять условию:
Часто дополнительно делают расчет на жесткость отдельных участков стержня.
Следующая важная статья теории:
Изгиб балки
Источник
Напряжения и деформации. Коэффициент Пуассона. Закон Гука
Осевое растяжение (рис. 2.1, а) и сжатие (рис. 2.1, б) возникают под действием сил, направленных вдоль оси бруса (стержня). При растяжении (сжатии) в поперечном сечении бруса возникает только одно внутреннее усилие — продольная сила N. На растяжение (сжатие) работают канаты, стержни ферм и т.п. Растяжение (сжатие) могут вызвать сосредоточенные силы и продольная распределенная нагрузка (рис. 2.2). Здесь q — интенсивность продольной распределенной нагрузки, сила, приходящаяся на единицу длины, Н/м, кН/м.
Рис. 2.1. Осевое растяжение (а) и сжатие (б)
Рис. 2.2. Элемент, работающий на растяжение
Изобразим стержень, который подвергается центральному растяжению (рис. 2.3). Для определения внутренних сил применим метод сечений. В произвольном сечении стержня покажем внутренние усилия, которые при данном виде нагружения будут совпадать с направлением нормальных напряжений.
Рис. 2.3. Дефрмации при осевом растяжении (а) и равнодействующая внутренних сил (б): / — исходное состояние; 2 — деформационное состояние
Равнодействующая внутренних усилий будет состоять только из продольной составляющей:
Она будет приложена в центре тяжести сечения стержня, который совпадает с продольной осью.
При расчетах по методу сечений будем всегда продольную силу направлять наружу. Если N > 0, то она направлена верно, а если получается, что jV
Составим уравнение равновесия отсеченной части:
Из гипотезы плоских сечений, высказанной голландским ученым Д. Бернулли, следует, что в пределах действия закона Гука плоские поперечные сечения стержня смещаются при растяжении параллельно начальным положениям, оставаясь плоскими (рис. 2.3, б). Это возможно лишь в случае, если нормальные напряжения во всех точках сечения одинаковы, т.е. О = const. Отсюда следует:
Под действием осевых растягивающих сил стержень постоянного сечения площадью А удлиняется на величину
где /j и /0 — длины стержня в деформированном и начальном состояниях;
А/ — абсолютное или полное удлинение.
Относительное удлинение
При растяжении и сжатии возникает также и поперечная деформация стержня
где и а — ширина стержня в деформированном и первоначальном состояниях; А а — абсолютная поперечная деформация.
Относительная поперечная деформация
Знак (-) показывает, что при растяжении поперечные размеры стержня уменьшаются.
Коэффициент Пуассона. Отношение поперечной деформации к продольной при растяжении (сжатии), взятое по абсолютной величине, называют коэффициентом Пуассона:
Значение V для всех материалов находится в пределах 0
Закон Гука. Для подавляющего большинства конструкционных материалов с достаточной для практики точностью можно считать, что в известных пределах нагружения между продольной деформацией и соответствующим (действующим в ее направлении) нормальным напряжением существует пропорциональная (линейная) зависимость. Эта зависимость носит название закона Гука и записывается в виде
где Е — коэффициент пропорциональности, именуемый модулем упругости первого рода (модуль Юнга).
По физическому смыслу модуль упругости — напряжение, которое вызывает деформацию ? = 1 (удлинение стержня, равное первоначальной длине).
Для статей по данным экспериментов Е = (2…2,2)105 МПа для ста-
N А/
леи. Учитывая, что О = —, ? = —, закон Гука для растянутого стержня можно записать
где X] =— — коэффициент податливости стержня, показывающий уд-
is • А
линение (укорочение) стержня, вызываемое растягивающей силой F= 1 Н.
Произведение ЕА называют жесткостью сечения стержня при растяжении (сжатии). Для стержней переменного (ступенчатого) сечения удлинения определяют по участкам (ступеням) и результаты суммируют алгебраически:
где i — номер участка (i = 1, 2,…,«).
При расчете упругих перемещений стержня от нескольких сил часто применяют принцип независимости действия сил: перемещение стержня от действия группы сил может быть получено как сумма перемещений от действия каждой силы в отдельности.
Пример 2.1. Определить полное удлинение стержня (рис. 2.4).
Решение
Рис. 2.4. Определение внутренних сил и построение их эпюры
Определим с помощью метода сечений значения продольной силы на каждом участке. Для этого сделаем три сечения. Рассмотрим равновесие отсеченных частей:
Изобразим графически распределение продольных сил по длине стержня. График изменения продольных сил по длине стержня называется эпюрой. Каждая ордината эпюры равна значению N в данном сечении. Эпюру строят на линии, проведенной параллельно оси стержня. Подставив найденные значения N, N2, N3 в формулу, определим общее удлинение стержня
Пример 2.2. Определить величину напряжения О. возникающего в поперечном сечении, абсолютное удлинение Д/ и относительное укорочение ? стального стержня диаметром d = 40 мм, длиной / = 1,5 м, растягиваемого силой F = 100 кН, если Е = 2,1 • 105 Н/мм2 (рис. 2.5).
Рис. 2.5. К примеру 2.2
Решение
Площадь сечения
Напряжение
Абсолютное удлинение
Относительное удлинение
Пример 2.3. Стальная штанга длиной / = 8 м и площадью сечения А = 8 см2 под действием растягивающей нагрузки получила абсолютное удлинение А/ = 5,7 мм. Определить величину нагрузки F и напряжения G, если известно, что модуль упругости материала тяги Е = 2,МО5 МПа (рис. 2.6).
Решение
Относительное удлинение
Величина напряжения
Величина нагрузки
Рис. 2.6. К примеру 2.3
Источник