Осевое растяжение сжатие эпюры продольной силы
Построение эпюр продольных сил – это решение статически определимой задачи. Производится для выявления картины нагрузки упругого тела. Вернее, уточнения ее схематизации.
Необходимо для определения наиболее напряженного, так называемого «опасного» сечения. Затем методами сопромата (сопротивления материалов) проводится анализ с прогнозированием перемещений элементов конструкции.
Но всему свое время. Сначала немного о терминах.
Основные понятия
Брусом (балкой) называют тело, вытянутое вдоль оси. То есть длина преобладает над шириной и высотой.
Если имеются только осевые (продольные) силы, то объект подвергается растяжению/сжатию. В этом случае в материале возникают только нормальные поперечному сечению силы противодействия и тело считают стержнем.
Статическая определимость подразумевает достаточность схемы для установления внутренних усилий противодействия. Участок – часть балки с неизменным сечением и характерной нагрузкой.
Правила построения учитывают знаки усилий. Растягивающие принимают положительными, сжимающие – отрицательными.
В системе СИ силы измеряются в ньютонах (Н). Длины в метрах (м).
Что такое эпюра продольных сил
Показывает, какой силой (в нашем предположении нормальной) загружен каждый участок. По всей длине стержня. Иначе говоря, эпюра – наглядное графическое изображение изменения нагрузки по всей длине конструкции.
Как построить эпюру продольных сил
Используется метод сечений. Балка виртуально рассекается на каждом участке и ищется противодействующая N. Ведь задача статическая.
Сопротивление рассчитывается по формуле:
где:
Fl – действующие на участке l силы (Н);
ql – распределенные нагрузки (Н/м).
Порядок построения:
1. Рисуется схема балки и механизмов закрепления;
2. Производится разделение на участки;
3. Для каждого рассчитывается N с учетом знаков. Если у балки есть незакрепленный конец, то начинать удобнее именно с него. В противном случае считается реакция опор. И оптимальнее выбирать сечение с меньшим количеством действующих факторов:
Нетрудно заметить, что последнее уравнение дает еще и реакцию опоры;
4. Параллельно оси стержня намечается база эпюры. Положительные значения масштабировано проставляются выше, отрицательные – ниже. Эпюру наглядно совмещать с расчетной схемой. Итоговый результат и промежуточные сечения показаны на рис. 1.
Рис. 1. Эпюра продольных сил
Рассмотрим случай:
F1 = 5 (кН);
F2 = 3 (кН);
F3 = 6 (кН).
Вычислим:
Проверить эпюру можно по скачкам: изменения происходят в точках приложения сил на их величину.
Пример построения эпюр и решения задач
Построить эпюру сил для следующего случая (рис. 2):
Рис. 2
Дано:
Решение.
Разбиение на участке вполне очевидно. Найдем сопротивление на выделенных:
Распределенная нагрузка зависит от длины, на которой приложена. Поскольку нарастает линейно, значение N2 будет постепенно увеличиваться/уменьшаться в зависимости от знака q.
Эпюра такого вида усилия представляет собой прямоугольный треугольник с катетами l3 и ql3 (в масштабе). Поскольку распределение линейно.
По полученным данным строим эпюру (рис. 3).
Рис. 3
Заключение
Приведенный алгоритм является предварительным этапом в расчете модели на прочность. «Слабое» место находится уже с учетом площади поперечного сечения.
В сети имеются онлайн сервисы для помощи в расчетах при вычерчивании. Но стоит ли ими пользоваться, если процедура настолько проста? Если не запутаться в знаках, конечно. Это самая распространенная ошибка.
Источник
ПРОДОЛЬНАЯ СИЛА
Осевым (центральным) растяжением (сжатием) называется такой вид деформации бруса, при котором внутренние силы в его поперечных сечениях приводятся к одной равнодействующей силе N, направленной вдоль оси z (см. рис. 1.16, г). Эта сила, как указывалось в параграфе 1.5, называется продольной, или нормальной, поскольку она перпендикулярна (нормальна) поперечному сечению.
Осевое растяжение и сжатие часто встречаются в строительной практике. Растяжение, например, возникает в тросе любого подъемника (рис. 2.1, а), на сжатие под действием собственного веса при отсутствии ветровой нагрузки работают сооружения башенного типа (рис. 2.1, б).
Рис. 2.1
Тонкий и длинный прямой брус, работающий на растяжение или сжатие, обычно называют стержнем‘. Вертикально стоящий брус, предназначенный для восприятия сжимающей нагрузки [1]
от вышележащих конструкций, называется колонной, или стойкой (рис. 2.2).
Рис. 2.2
Продольную силу определяют методом сечений. Брус рассекают воображаемой плоскостью, перпендикулярной его оси, мысленно отбрасывают одну из образовавшихся частей, а ее действие на оставшуюся часть заменяют неизвестной силой N (рис. 2.3). После этого составляют единственное уравнение равновесия оставшейся части ^Z = 0, из которого и определяют значение N.
Рис. 2.3
Правило знаков. Силу N принято считать положительной при растяжении, т.е. когда она направлена от сечения (см. рис. 2.3). При сжатии, наоборот, продольная сила отрицательна и направлена к сечению.
Если направление продольной силы неизвестно, то во избежание ошибки в знаке ее условно принимают положительной, полагая, что брус растянут. Знак «плюс» при решении уравнения равновесия подтвердит сделанное предположение, знак «минус» укажет на ошибочность выбранного направления, и в действительности брус не растянут, а сжат.
В тех случаях, когда значения продольной силы в различных сечениях бруса неодинаковы, строят эпюру продольной силы, которая представляет собой график изменения силы N по длине бруса. Эпюра необходима для расчета бруса на прочность. Она позволяет быстро находить опасные сечения, т.е. сечения, где продольная сила достигает наибольших абсолютных значений. Рассмотрим порядок построения такой эпюры.
Пример 2.1. Определить значения продольной силы на всех участках бруса, нагруженного силами Fx — 60 кН, F2 — 40 кН, = 90 кН (рис. 2.4, а), и построить эпюру продольной силы.
Решение. Брус имеет три участка. Их границами являются сечения, где приложены внешние силы. Расчет защемленного бруса целесообразно начинать со свободного конца, так как при этом отпадает необходимость в предварительном определении реакции заделки. Пользуясь методом сечений, мысленно разрежем брус по сечению 1—1 верхнего участка и отбросим нижнюю часть, заменяя ее действие на оставшуюся верхнюю неизвестной продольной силой N (рис. 2.4, б).
Рис. 2.4
Следуя рекомендации, предположим, что эта сила направлена от сечения (рассматриваемый участок растянут), и, руководствуясь правилом знаков статики, составим уравнение равновесия верхней части:
откуда
Продольная сила получилась отрицательной, следовательно, ее первоначальное направление выбрано неправильно и участок работает не на растяжение, а на сжатие. Заметим, что полученное значение продольной силы справедливо на всем протяжении верхнего участка, поскольку в любом его поперечном сечении удовлетворяется записанное уравнение равновесия.
Путем аналогичных рассуждений в сечении 2—2 (рис. 2.4, в) получим:
т.е. средний участок тоже сжат.
Далее формально следовало бы составить уравнение равновесия и для третьего участка, но, анализируя выражения усилий 7V, и N2, замечаем, что продольная сила в поперечном сечении прямого бруса численно равна алгебраической сумме проекций на его ось всех внешних сил, приложенных с одной стороны (в данном случае — сверху) от рассматриваемого сечения.
Сформулированный вывод имеет большое практическое значение. Он позволяет определять продольную силу, не прибегая каждый раз к изображению отсеченной части бруса и составлению уравнений равновесия. При этом необходимо руководствоваться введенным выше правилом знаков силы N («плюс» — при растяжении, «минус» — при сжатии).
С учетом изложенного в сечении 3—3 (рис. 2.4, г):
или
Сила положительна, поэтому нижний участок растянут.
Вычислив значения продольной силы на каждом участке, покажем ее графическое изменение по длине бруса. Для этого проведем параллельно оси бруса так называемую базисную линию (ось эпюры) и отложим перпендикулярно ей в выбранном масштабе найденные числовые значения силы ЛЧрис. 2.4, д): положительные — вправо, отрицательные — влево (для горизонтально расположенного бруса соответственно вверх и вниз). Соединим полученные точки прямыми, параллельными базисной линии, и укажем алгебраические знаки. Построенную таким образом эпюру заштрихуем линиями, перпендикулярными оси. По этим линиям можно судить о значении продольной силы в соответствующих поперечных сечениях бруса.
Графическое оформление эпюры должно отвечать требованиям Р 50- 77—88 и ГОСТ 2.303—68*. Ось эпюры следует выполнять сплошной основной линией толщиной s — 0,5—1,4 мм, саму эпюру — сплошной линией толщиной 2s. Линии штриховки и выносные должны быть тонкими, ТОЛЩИНОЙ ОТ 5/3 ДО 5/2.
При рассмотрении построенной эпюры видно, что в сечениях, где приложены сосредоточенные внешние силы (на границах участков), внутренняя сила меняется скачкообразно, причем размер скачка равен соответствующей внешней силе. Так, скачок на уровне заделки характеризует значение реакции (V— 70 кН). Положительный знак на нижнем участке эпюры свидетельствует о том, что реакция направлена вниз (от опорного сечения).
Пример 2.2. Исследовать, как влияет на работу бруса перенос внешней силы по линии ее действия.
Решение. На рис. 2.5, а внешняя сила приложена к свободному концу и растягивает весь брус: в любом поперечном сечении возникает продольная сила N — /»(рис. 2.5, б). Если перенести силу Fпо оси в точку К (рис. 2.5, в), то равновесие бруса не нарушится, реакция заделки не изменится, но растянутой окажется только верхняя часть (рис. 2.5, г). Если внешнюю силу приложить к закрепленному концу бруса, то она не вызовет растяжения вообще (рис. 2.5, д).
Рис. 2.5
Таким образом, перенос силы по линии ее действия существенно меняет характер работы бруса. Следовательно, понятие точки приложения силы, которое не имеет конкретного смысла для абсолютно твердого тела (в статике), при определении внутренних сил в деформируемом теле приобретает первостепенное значение.
Источник
Внутренние усилия при растяжении-сжатии.
Осевое (центральное) растяжение или сжатие прямого бруса вызывается внешними силами, вектор равнодействующей которых совпадает с осью бруса. При растяжении или сжатии в поперечных сечениях бруса возникают только продольные силы N. Продольная сила N в некотором сечении равна алгебраической сумме проекции на ось стержня всех внешних сил, действующих по одну сторону от рассматриваемого сечения. По правилу знаков продольной силы N принято считать, что от растягивающих внешних нагрузок возникают положительные продольные силы N, а от сжимающих — продольные силы N отрицательны (рис. 5).
Чтобы выявить участки стержня или его сечения, где продольная сила имеет наибольшее значение, строят эпюру продольных сил, применяя метод сечений, подробно рассмотренный в статье:
Анализ внутренних силовых факторов в статистически определимых системах
Ещё настоятельно рекомендую взглянуть на статью:
Расчёт статистически определимого бруса
Если разберёте теорию в данной статье и задачи по ссылкам, то станете гуру в теме «Растяжение-сжатие» =)
Напряжения при растяжении-сжатии.
Определенная методом сечений продольная сила N, является равнодействующей внутренних усилий распределенных по поперечному сечению стержня (рис. 2, б). Исходя из определения напряжений, согласно выражению (1), можно записать для продольной силы:
где σ — нормальное напряжение в произвольной точке поперечного сечения стержня.
Чтобы определить нормальные напряжения в любой точке бруса необходимо знать закон их распределения по поперечному сечению бруса. Экспериментальные исследования показывают: если нанести на поверхность стержня ряд взаимно перпендикулярных линий, то после приложения внешней растягивающей нагрузки поперечные линии не искривляются и остаются параллельными друг другу (рис.6, а). Об этом явлении говорит гипотеза плоских сечений (гипотеза Бернулли): сечения, плоские до деформации, остаются плоскими и после деформации.
Так как все продольные волокна стержня деформируются одинаково, то и напряжения в поперечном сечении одинаковы, а эпюра напряжений σ по высоте поперечного сечения стержня выглядит, как показано на рис.6, б. Видно, что напряжения равномерно распределены по поперечному сечению стержня, т.е. во всех точках сечения σ = const. Выражение для определения величины напряжения имеет вид:
Таким образом, нормальные напряжения, возникающие в поперечных сечениях растянутого или сжатого бруса, равны отношению продольной силы к площади его поперечного сечения. Нормальные напряжения принято считать положительными при растяжении и отрицательными при сжатии.
Деформации при растяжении-сжатии.
Рассмотрим деформации, возникающие при растяжении (сжатии) стержня (рис.6, а). Под действием силы F брус удлиняется на некоторую величину Δl называемую абсолютным удлинением, или абсолютной продольной деформацией, которая численно равна разности длины бруса после деформации l1 и его длины до деформации l
Отношение абсолютной продольной деформации бруса Δl к его первоначальной длине l называют относительным удлинением, или относительной продольной деформацией:
При растяжении продольная деформация положительна, а при сжатии – отрицательна. Для большинства конструкционных материалов на стадии упругой деформации выполняется закон Гука (4), устанавливающий линейную зависимость между напряжениями и деформациями:
где модуль продольной упругости Е, называемый еще модулем упругости первого рода является коэффициентом пропорциональности, между напряжениями и деформациями. Он характеризует жесткость материала при растяжении или сжатии (табл. 1).
Таблица 1
Модуль продольной упругости для различных материалов
Абсолютная поперечная деформация бруса равна разности размеров поперечного сечения после и до деформации:
Соответственно, относительную поперечную деформацию определяют по формуле:
При растяжении размеры поперечного сечения бруса уменьшаются, и ε’ имеет отрицательное значение. Опытом установлено, что в пределах действия закона Гука при растяжении бруса поперечная деформация прямо пропорциональна продольной. Отношение поперечной деформации ε’ к продольной деформации ε называется коэффициентом поперечной деформации, или коэффициентом Пуассона μ:
Экспериментально установлено, что на упругой стадии нагружения любого материала значение μ = const и для различных материалов значения коэффициента Пуассона находятся в пределах от 0 до 0,5 (табл. 2).
Таблица 2
Коэффициент Пуассона.
Абсолютное удлинение стержня Δl прямо пропорционально продольной силе N:
Данной формулой можно пользоваться для вычисления абсолютного удлинения участка стержня длиной l при условии, что в пределах этого участка значение продольной силы постоянно. В случае, когда продольная сила N изменяется в пределах участка стержня, Δl определяют интегрированием в пределах этого участка:
Произведение (Е·А) называют жесткостью сечения стержня при растяжении (сжатии).
Механические свойства материалов.
Основными механическими свойствами материалов при их деформации являются прочность, пластичность, хрупкость, упругость и твердость.
Прочность — способность материала сопротивляться воздействию внешних сил, не разрушаясь и без появления остаточных деформаций.
Пластичность – свойство материала выдерживать без разрушения большие остаточные деформации. Неисчезающие после снятия внешних нагрузок деформации называются пластическими.
Хрупкость – свойство материала разрушаться при очень малых остаточных деформациях (например, чугун, бетон, стекло).
Идеальная упругость – свойство материала (тела) полностью восстанавливать свою форму и размеры после устранения причин, вызвавших деформацию.
Твердость – свойство материала сопротивляться проникновению в него других тел.
Рассмотрим диаграмму растяжения стержня из малоуглеродистой стали. Пусть круглый стержень длинной l0 и начальным постоянным поперечным сечением площади A0 статически растягивается с обоих торцов силой F.
Диаграмма сжатия стержня имеет вид (рис. 10, а)
где Δl = l — l0 абсолютное удлинение стержня; ε = Δl / l0 — относительное продольное удлинение стержня; σ = F / A0 — нормальное напряжение; E — модуль Юнга; σп — предел пропорциональности; σуп — предел упругости; σт — предел текучести; σв — предел прочности (временное сопротивление); εост — остаточная деформация после снятия внешних нагрузок. Для материалов, не имеющих ярко выраженную площадку текучести, вводят условный предел текучести σ0,2 — напряжение, при котором достигается 0,2% остаточной деформации. При достижении предела прочности в центре стержня возникает локальное утончение его диаметра («шейка»). Дальнейшее абсолютное удлинение стержня идет в зоне шейки ( зона местной текучести). При достижении напряжением предела текучести σт глянцевая поверхность стержня становится немного матовой – на его поверхности появляются микротрещины (линии Людерса-Чернова), направленные под углом 45° к оси стержня.
Расчеты на прочность и жесткость при растяжении и сжатии.
Опасным сечением при растяжении и сжатии называется поперечное сечение бруса, в котором возникает максимальное нормальное напряжение. Допускаемые напряжения вычисляются по формуле:
где σпред — предельное напряжение (σпред = σт — для пластических материалов и σпред = σв — для хрупких материалов); [n] — коэффициент запаса прочности. Для пластических материалов [n] = [nт] = 1,2 … 2,5; для хрупких материалов [n] = [nв] = 2 … 5, а для древесины [n] = 8 ÷ 12.
Расчеты на прочность при растяжении и сжатии.
Целью расчета любой конструкции является использование полученных результатов для оценки пригодности этой конструкции к эксплуатации при минимальном расходе материала, что находит отражение в методах расчета на прочность и жесткость.
Условие прочности стержня при его растяжении (сжатии):
При проектном расчете определяется площадь опасного сечения стержня:
При определении допускаемой нагрузки рассчитывается допускаемая нормальная сила:
Расчет на жесткость при растяжении и сжатии.
Работоспособность стержня определяется его предельной деформацией [ l ]. Абсолютное удлинение стержня должно удовлетворять условию:
Часто дополнительно делают расчет на жесткость отдельных участков стержня.
Следующая важная статья теории:
Изгиб балки
Источник