Напряженное состояние бруса при растяжении
Напряженное состояние в точке характеризуется совокупностью нормальных 
и касательных 
напряжений, возникающих на произвольно расположенных площадях, проходящих через эту точку.
Пусть брус нагружен осевой силой F (рис. 2.8, а). Определим усилие и напряжение в наклонном сечении.
Рассечем брус наклонной плоскостью под углом 
к нормальному сечению (
– площадь поперечного сечения, 
– площадь сечения, наклоненного под углом
) и рассмотрим равновесие отсеченной части (рис. 2.8, б):
Рис. 2.8
где R – равнодействующая внутренних сил в наклонной плоскости.
Разложив R по двум направлениям, получим 
где 
Так как 
, то нормальное 
и касательное 
напряжения в наклонном сечении определяются соответственно но формулам
(2.20)
где 
– нормальные напряжения в нормальном сечении.
Проанализируем выражения (2.20).
Сформулируем закон суммы нормальных напряжений:
Тогда
(2.21)
Сумма нормальных напряжений, действующих на двух взаимно перпендикулярных площадках, есть величина постоянная, равная нормальному напряжению.
Аналогично устанавливается закон парности касательных напряжений:
(2.22)
Касательные напряжения, действующие на двух взаимно перпендикулярных площадках, равны по абсолютной величине и противоположно направлены.
Испытание материалов на растяжение (сжатие) осуществляется с целью определения механических характеристик следующих свойств материала: упругости, пластичности, прочности и твердости. Характеристиками упругости являются предел упругости и модуль упругости; характеристиками пластичности – предел текучести и относительное остаточное удлинение; характеристикой прочности является предел прочности. Механические свойства материалов определяются в лабораториях механических испытаний на разрывных машинах по образцам, изготовленным из исследуемого материала. Графическое представление зависимости между действующей силой F и удлинением 
называется диаграммой растяжения или сжатия образца 
. Поскольку исследуется не конкретный образец, а материал, то принято по результатам испытаний ряда образцов строить диаграмму материала в относительных величинах. С этой целью усилия F относят к первоначальной площади 
, а абсолютное удлинение 
– к первоначальной длине образца 
. Получается диаграмма материала 
.
Пластичные материалы разрушаются при больших остаточных деформациях. К таким материалам можно отнести, например, мягкую углеродистую сталь, медь, алюминий. Хрупкие материалы разрушаются при малых остаточных деформациях. К хрупким материалам можно отнести закаленную сталь, чугун, стекло, бетон, камень и др. Хрупкие материалы разрушаются главным образом в результате нарушения сопротивления отрыву частиц, пластичные материалы – вследствие нарушения сопротивления сдвигу. В ряде случаев хрупкие материалы могут находиться в пластичном состоянии, и наоборот.
Рис. 2.9
Диаграмма растяжения малоуглеродистой стали (пластичного материала) показана на рис. 2.9. Рассмотрим характерные точки и участки диаграммы.
Точка 1 – конец прямолинейного участка, участок 0–1 называется участком прямолинейной зависимости между нормальным напряжением и относительным удлинением, что отражает закон Гука 
Точка 1 соответствует пределу пропорциональности: 
, где 
– нагрузка, соответствующая проделу пропорциональности. Несколько выше точки 1 находится точка
, соответствующая пределу упругости ау, т.е. наибольшему напряжению, при котором в материале еще нет остаточных деформаций:
, где
– нагрузка, соответствующая пределу упругости.
Относительная деформация, соответствующая пределу упругости (весьма близкая к пределу пропорциональности), для малоуглеродистой стали примерно достигает 0,1%.
За точкой 
возникают заметные остаточные деформации. В точке 2 диаграммы материал переходит в область пластичности – наступает явление текучести материала. Участок 2–3 параллелен оси абсцисс (площадка текучести). Для данной площадки характерен рост деформации при постоянном напряжении. Напряжение, соответствующее участку 2–3, называется пределом текучести:
где 
– усилие, соответствующее пределу текучести.
От точки 3 до точки 4 наблюдается упрочение материала. В районе точки 4 происходит местное сужение образца – появляется так называемая шейка. Отношение 
называется пределом прочности.
Участку 4–5 соответствует быстрое уменьшение сечения образца в зоне шейки. В точке 5происходит разрыв образца при разрушающей нагрузке 
Если разрушившийся образец сложить и определить его длину после разрушения, то можно определить остаточное удлинение образца (остаточную деформацию)
где 
– длина рабочей части образца после разрушения; 
исходная длина рабочей части образца.
Условно материал считается пластичным, если 
, и хрупким, если 
При механических испытаниях материала также определяется модуль упругости по участку прямой пропорциональной зависимости диаграммы. Таким образом, в результате механических испытаний материалов получают механические характеристики 
Большинство материалов не имеет явно выраженной площадки текучести, поэтому определяют технический предел текучести по величине остаточной деформации. Техническим пределом текучести принято считать такое напряжение, при котором остаточная деформация 
, или когда 
. Предел текучести при растяжении обозначается 
, а предел текучести при сжатии – 
Источник
В начале курса при первом знакомстве с понятием «напряжение» было подчеркнуто, что нельзя говорить о напряжении в данной точке тела, не указывая положения площадки, на которой оно возникает. Действительно, через точку можно провести бесчисленное множество различно ориентированных площадок, и, конечно, в общем случае нет никаких оснований предполагать, что возникающие на них напряжения одинаковы.
Совокупность нормальных и касательных напряжений, возникающих на всем бесчисленном множестве площадок, которые можно провести через данную точку, характеризует напряженное состояние в этой точке.
Исследовать напряженное состояние в данной точке — это значит получить зависимости, позволяющие определить напряжения, возникающие в любой проведенной через нее площадке. Для решения этой задачи надо знать напряжения по любым трем взаимно перпендикулярным площадкам, проведенным через исследуемую точку (доказательства этого положения не приводим). Эти площадки и возникающие на них напряжения (они, повторяем, должны быть известны) называют исходными.
При исследовании напряженного состояния в различных точках прямого бруса в любом случае его нагружения исходными являются напряжения, возникающие на площадках, соответствующих поперечному и двум продольным сечениям, проходящим через рассматриваемую точку. При растяжении (сжатии) прямого бруса в поперечных сечениях возникают только нормальные напряжения, определяемые по формуле:
σz=N/A (2.5.1)
Индекс z показывает, что это напряжение возникает на площадке, нормаль к которой параллельна оси z . В продольных сечениях нет ни нормальных, ни касательных напряжений.
Отсутствие нормальных напряжений в продольных сечениях является следствием того, что при растяжении (сжатии) нет взаимного надавливания волокон бруса. В отсутствии касательных напряжений легко убедиться, рассекая брус продольной плоскостью и рассматривая условие равновесия одной из его отсеченных частей,
Для исследования напряженного состояния мысленно вырежем вокруг произвольной точки бруса бесконечно малый параллелепипед (рис. 2.5.3, а). В дальнейшем такие элементарные параллелепипеды будем называть элементами или частицами.
Рисунок 2.5.3
В рассматриваемом случае совершенно безразлично, где именно вырезать эту частицу, так как напряженное состояние всех точек бруса одинаково — однородное напряженное состояние.
Для того чтобы выделенный элемент находился в равновесии, следует приложить к его граням внутренние силы, заменяющие действие отброшенных частей тела (бруса) на оставленную. Обращаем внимание, что здесь мы поступаем в полном соответствии с требованиями метода сечений, но если ранее при определении продольных сил было достаточно рассечь брус плоскостью, совпадающей с интересующим нас поперечным сечением, то новая задача — исследование напряженного состояния — потребовала иного применения этого метода: элемент вырезан шестью сечениями.
Выделенный элемент (модель напряженной точки) изображен отдельно на рис. 2.5.3,6. На его гранях, совпадающих с плоскостями поперечного сечения бруса, возникают нормальные напряжения, остальные четыре грани от напряжений свободны.
Источник
Содержание:
- Проверка прочности и определение необходимых размеров бруса при растяжении (сжатии)
Проверка прочности и определение необходимых размеров бруса при растяжении (сжатии)
- Испытание на прочность и определение Требуемые размеры луча Напряжение (при сжатии) В предыдущем параграфе рассматривался вопрос о распределении напряжения и деформации балки под действием продольных сил. Однако проблема того, как назначить размеры стержня для надежного и постоянного сопротивления заданной нагрузке, не была решена. Это одна из основных проблем
материального сопротивления. В условиях массового строительства возникает проблема экономии строительных материалов, чтобы полностью гарантировать долговечность конструкции. Если указаны размеры стержня, проблема определения грузоподъемности стержня, то есть стержня, может выдержать его длительную работу без каких-либо опасных изменений.
Для решения этих вопросов должны быть выполнены специальные расчеты. Есть три способа решения этих
Людмила Фирмаль
проблем. 2) Расчет допустимого напряжения, 3) Расчет предельного состояния. Все три метода имеют одинаковую цель — обеспечение прочности, долговечности и структуры. Первый метод включает определение минимальной нагрузки, которая сломает конструкцию, чтобы сравнить эту нагрузку с оценкой для строящейся конструкции. Второй метод широко использовался в строительном бизнесе до
недавнего времени и в настоящее время применяется частично, особенно в машиностроении. Согласно этому способу размеры конструктивных элементов назначаются во всех секциях таким образом, чтобы напряжение, вызванное нагрузкой, не превышало определенного допуска третьего способа, причем «младший» вступил в недавнюю жизнь Это было В настоящее время это основной метод, используемый для проектирования советских сооружений. Значение будет описано ниже. Давайте кратко рассмотрим все три метода. 721
- Способ разрушения груза «В качестве условия для прочности этого метода расчета максимальная нагрузка на конструкцию не должна превышать определенную допустимую нагрузку [P]. , (2,35) Коэффициент безопасности n принимается на основе многих соображений, таких как те, которые подробно обсуждаются в методе расчета допустимого напряжения. Рис 71А Тем не менее) Rgunit описание в списках 0L б Рис 72А Упрощенная иллюстрация растяжения (сжатия), как показано на рисунке, для определения разрушающей нагрузки в конструкции, изготовленной из материала с высокой пластичностью и относительно небольшим отверждением.
71, область текучести расширяется до бесконечности. В этом случае при центральном растяжении или сжатии сила разрыва определяется уравнением Praz = J QjdF = aTF. (2.36) F В случае хрупкого материала, необходимо взять предел прочности на разрыв Р раз = aBF вместо предела текучести. (2.37) В статически неопределенной системе пластического материала появление текучести только одного из наиболее нагруженных элементов все же не приводит к отказу системы. Например, стержень, как показано на рисунке. 72, а, появление текучести на сайте а не разрушено.
Чтобы завершить это Самоуничтожение требует текучести, которая распространяется на обе части стержня. В этом случае разрывная нагрузка (рис. 72, б),
Людмила Фирмаль
равная сумме внутренних продольных сил в двух частях стержня, определяется равенством. Рис .73d Rraz = 2gat. Кроме того, труднее определить разрушающую нагрузку, о которой идет речь, как показано на рисунке. 73, где бесконечно жесткий стержень удерживается тремя стержнями. Здесь сила Праз определяется по состоянию потока по меньшей мере двух стержней. Следовательно, если стержень AB менее нагружен, а два других стержня CD и EC являются текучими, то Prae Точно так же, предполагая, что текучесть появляется в двух стержнях AB и EC или стержнях AB и CD, можно сделать еще два уравнения. Из трех найденных значений силы в
расчет вводится наименьшая сила, которая считается разрушительной. 2. В методе допустимого напряжения максимальное напряжение в стержне не должно превышать так называемое допустимое напряжение, которое выражается как 1А. Например, условием прочности на растяжение является «,» «= -A- <I». — (2.38) г нетто Предполагая, что эффективное напряжение равно допустимому напряжению, N G1 RG —— = M- нетто Из этого уравнения можно определить требуемую площадь для данной силы или, наоборот, допустимую силу для данной площади поперечного сечения. 74допускаемые напряжения равны опасному напряжению АОП,
деленному на коэффициент безопасности р, [а] =. (2,39) • I Для хрупких материалов предел прочности при растяжении AOP = AB считается опасным напряжением. Для пластических материалов предел текучести AOP = при После появления пластической деформации становится ясно, что коэффициент запаса должен быть больше, чем P2, поскольку стержень еще не разрушен. Необходимость введения коэффициента безопасности объясняется следующими обстоятельствами: a) диапазон значений, определенный из опыта работы с этим материалом или AB. б) Рабочая нагрузка может быть
точно определена Допустимое напряжение устанавливается руководящим органом, указанным в технических характеристиках и стандартах проектирования, которые имеют силу закона и обязательны для всех инженеров и техников. В дополнение к вышеизложенным соображениям, при определении факторов безопасности и, следовательно, допустимого напряжения необходимо учитывать множество других факторов: Качество и степень однородности материала. Например, в случае стали коэффициент запаса предполагается равным примерно 1,5, в частности, -3. Для натурального камня материал очень неоднороден, а соотношение запасов составляет -10. 2. Долговечность и значимость конструкции
или машины. Например, если постоянный мост со сроком службы 50-70 лет и временный мост со сроком службы 3-5 лет изготовлены из одной и той же стали, то, конечно, в последнем случае соотношение будет равно 3. уровень. Точность расчета повышается за счет развития технологий, качества изготовления материалов и точности обработки деталей. Следовательно, с течением времени коэффициент безопасности уменьшается, а допустимое напряжение увеличивается. Например, допустимое напряжение низкоуглеродистой стали в Японии постоянно увеличивается. 753 метод предельного состояния Принимая во внимание один фактор в учете, сложно принять множество факторов, которые могут быть выявлены в разных комбинациях для разных структур. В целях более гибкого учета влияния различных факторов был предложен новый метод расчета
предельного состояния. Предельное состояние — это состояние конструкции, в которой оно останавливается для удовлетворения эксплуатационных требований. В норме различают три типа предельных состояний. В первом предельном состоянии несущая способность конструкции истощается. Все конфигурации рассчитываются в этом предельном состоянии. Второе предельное состояние — это состояние, в котором структурой трудно манипулировать из-за больших общих деформаций. В третьем критическом состоянии происходит чрезмерная локальная деформация (например, трещины образуются в железобетонных
конструкциях). Рассмотрим первый расчет предельного состояния более подробно. Испытание на прочность проводится по формуле 4 <R, (2,40) Где N — расчетная сила, создаваемая нагрузкой на элемент конструкции и определяемая по формуле N = N yit + N2P2 + N3P3 +. .., (2-41) где N! 3 — усилия от различных типов нагрузок, определенных в правиле, установленных норм (нормативная мощность); n it p2, PW — случайное отклонение от стандартных нагрузок Геометрические свойства F-сечения (под напряжением и сжимающим сечением); 7? -Расчет сопротивления материала, R = R «кило, (2.42) где R н-
нормативное сопротивление материала (в предел текучести или предел прочности при растяжении AB); 76 & <1- Случайное отклонение от стандартного сопротивления (например, сталь k = 0,94-0,85; бетон k = 0,6; древесина k = 0,34-0,9. Для пластика Где & 0D-коэффициент однородности, принятый для различных пластиков, AOD = 0,64-0,8; kac-коэффициент долговременного сопротивления, учитывающий снижение АБ вследствие длительного воздействия нагрузки. Он берется, когда & DS = 0,7 (SWAM) -? 0,3 (плексиглас, винипласт); t <D- отклонение от проектных размеров (в пределах допуска), разность проектной схемы от фактической конструкции, риск или риск AB в любой точке конструкции и (это Коэффициент составляет 0,94-1,0. Метод предельных условий подробно описан в ходе конструкций и мостов.
Смотрите также:
- Учебник по сопротивлению материалов: сопромату
Источник
Любое напряженное состояние в точке может быть приведено к трем главным напряжениям в этой точке, действующим на трех взаимно перпендикулярных площадках, а в частных случаях одно или два главных напряжения могут быть равны нулю. Поэтому любое напряженное состояние можно классифицировать по главным напряжениям как одноосное (рис. 2.40, й), плоское (двухосное) (рис. 2.40, б) и объемное (трехосное) (рис. 2.40, в). Наиболее часто встречаются на практике двухосные и одноосные напряженные состояния.
Рис. 2.40
Рассмотрим двухосное (плоское) напряженное состояние. Пусть 
, тогда, решая определитель (2.86), получим
(2.87)
где 
– одно из главных напряжений.
В данном случае площадка, перпендикулярная оси г, – главная, две другие перпендикулярны данной и перпендикулярны между собой.
Для определения положения двух других главных площадок, параллельных оси 2, нет необходимости решать все уравнения (2.85). Воспользуемся одним из них, например первым: 
Рис. 2.41
В данном случае 
. Поскольку 
, получаем
(2.88)
где 
– угол между осью х и нормалью одной из главных площадок, параллельных оси 2 (рис. 2.41).
Предположим, что прямой брус подвергается одновременному воздействию растягивающей силы, изгибающего и крутящего моментов. В поперечном сечении бруса возникнут нормальные напряжения от осевой силы 
, нормальные напряжения от изгиба , касательные напряжения от перерезывающей силы Q, касательные напряжения от крутящего момента 
(рис. 2.42).
Нормальные напряжения складываются алгебраически, касательные – геометрически. Таким образом, в точках нормального сечения в общем случае после суммирования возникнут суммарные нормальные и касательные напряжения. Направим ось х вдоль оси бруса и ось у – по направлению равнодействующей касательных напряжений (рис. 2.43). Учитывая, что в расчетной точке не равны нулю только и 
, решая определитель (2.86), получим
(2.89)
Рис. 2.42
Рис. 2.43
Из формулы (2.89) следует, что при наличии
одно из главных напряжений больше нуля, а другое меньше нуля. Тогда
(2.90)
Угол а между осью х и нормалью к первой главной площадке определяется формулой (2.88).
Максимальное значение касательных напряжений в брусе
(2.91)
Значение
возникает на площадке, параллельной вектору
и делящей пополам прямой угол между первой и тре тьей главными площадками.
При центральном растяжении (сжатии) в нормальных сечениях бруса возникают одни нормальные напряжения σ. Условие прочности в данном случае имеет вид 
Здесь допускаемое напряжение 
вполне определяется механическими испытаниями материала на растяжение (сжатие) и условиями работы детали.
Если в рассматриваемом сечении имеются одни касательные напряжения
(чистый сдвиг), то условия прочности запишутся так: 
где 
определяется механическими испытаниями материала на сдвиг (срез) и условиями работы детали.
Оценку прочности детали, находящейся в сложном напряженном состоянии, когда в данной точке на данной площадке одновременно действуют σ и х, произвести на основании эксперимента затруднительно. Для такой оценки прочности деталей служат теории прочности, которые строятся на основе различных критериев прочности. Критерий прочности устанавливается на основании гипотез возникновения текучести материала или его разрушения. Каждому критерию прочности соответствует своя теория прочности.
Предельным будем называть предельное состояние, при котором происходит качественное изменение свойств материала. Предельное напряженное состояние наиболее полно изучено экспериментально для простейшего случая – одноосного растяжения. Поэтому целесообразно сравнивать исследуемое сложное напряженное состояние с одноосным растяжением, устанавливая их эквивалентность. Эквивалентное напряжение
– напряжение, которое следует создать в одноосно растянутом образце, чтобы его напряженное состояние стало равноопасным с исследуемым.
Существует много теорий прочности. Рассмотрим некоторые из них.
Теория наибольших касательных напряжений (теория Кулона). Согласно этой теории сложное напряженное состояние эквивалентно простому – растяжению, если максимальное значение касательных напряжений в случае сложного напряженного состояния равно максимальному значению касательных напряжений простого напряженного состояния.
При сложном напряженном состоянии
(2.92)
При простом напряженном состоянии (одноосном растяжении образца)
(2.93)
Условие равнопрочности элемента и образца из одного и того же материала получим, приравнивая выражения (2.92) и (2.93):
Условие прочности здесь имеет вид
(2.94)
Допускаемые напряжения определяются как отношение предельных напряжений
к запасу прочности
:
Для бруса выражение (2.94) с учетом условия (2.86) можно записать в виде
(2.95)
Рассматриваемая теория (называемая часто третьей) устанавливает условия начала текучести, а не разрушения. Следовательно, данная теория должна применяться для пластичных материалов. Опадает хорошие результаты при одинаковых пределах текучести материала при растяжении и сжатии.
Теория Мора. Если материал неодинаково работает на растяжение и сжатие, более удобно применять теорию Мора, согласно которой
где 
(
– допускаемое напряжение при растяжении,
– допускаемое напряжение при сжатии).
Возможны частные случаи: если 
, то получим теорию Кулона; если 
, то можно принять 
.
Тогда
. Такой подход применяется для хрупких материалов.
Энергетическая теория. Согласно этой теории объемное и одноосное напряженные состояния будут равноопасными при равенстве энергий изменения формы. Условие прочности в этом случае имеет вид
Эта теория дает хорошие результаты для пластичных материалов, одинаково работающих на растяжение и сжатие. Она хороша еще тем, что учитывает
Расчетные выражения для бруса по этой теории 
Источник