Напряжения и деформации при растяжении сжатии прямого бруса
Растяжение или сжатие прямого бруса – это вид нагружения, при котором в поперечном сечении бруса возникает только продольная сила. Если продольная сила направлена от сечения, то брус – растянут. В противном случае он будет сжат. Растяжение считается положительной деформацией, а сжатие – отрицательной. Если на различные участки бруса действуют разные по величине и направлению силы, то они будут находиться в различном напряженном состоянии. Напряжения в участках бруса оценивают по эпюрам напряжений.
Эпюра продольной силы в прямом брусе – это график распределения продольной силы вдоль его оси (рис. 4).
Рис. 4 Эпюра продольных сил в прямом брусе
Ось эпюры параллельна продольной оси бруса. Если на разных участках бруса действуют различные силы, то в пределах каждого участка их величина остается неизменной, а при переходе к следующему участку изменяется: противоположно направленные силы вычитаются, однонаправленные – складываются. Правильность построения эпюры проверяется по наличию скачка сил в месте приложения внешней силы. На эпюре проставляют значения реакции N = Fi – Fi+1 . При построении эпюры сил в закрепленном стержне используют принцип смягчения граничных условий: в точках тела, удаленных от мест приложения нагрузки, модуль внутренних сил мало зависит от способа закрепления.
При построении эпюр напряжений стержень разбивают на участки, в пределах которых силы неизменны по величине, а в пределах каждого участка учитывают изменение площади поперечного сечения. Таким образом, эпюра напряжений в общем не соответствует эпюре приложенных сил (рис. 5).
При этом используют гипотезу плоских сечений: поперечное сечение бруса, плоское и перпендикулярное оси, после деформации остается плоским и перпендикулярным оси.
Рис. 5 Эпюры сил и напряжений в прямом ступенчатом брусе
При растяжении и сжатии в сечении действуют только нормальные напряжения, величина которых прямо пропорциональна действующей силе N и обратно пропорциональна площади поперечного сечения Р.
По величине напряжений, действующих в теле, осуществляют расчет на прочность, под которой понимают способность тела сопротивляться разрушению по действием внешних сил.
Используется два метода расчета на прочность: проектный и поверочный. В первом случае определяют:
— предельные размеры детали по площади поперечного сечения Р = N /σ;
— выбирают материал детали по пределу прочности σ = N / Р.
При поверочном расчете проверяют выполнение условия: σ = N / Р < [σ], где [σ] – предел прочности – максимальные напряжения, которые данный материал выдерживает без разрушения.
Закон Гука
До тех пор, пока напряжения в теле не превышают предела пропорциональности, между напряжением и деформацией имеет место линейная зависимость, представляющая собой закон Гука:
σ = Еε, (1)
где Е – модуль продольной упругости (модуль Юнга);
ε – относительная деформация.
Поскольку σ =N / F, а ε = Δl / l, то из выражения (1) следует, что:
Δl = N l / E F (2)
Произведение E F представляет собой жесткость поперечного сечения при растяжении.
В общем случае стержня переменного сечения (рис. 6) выражение (2) может быть представлено в интегральной форме:
P
Рис. 6 Растяжение стержня переменного сечения
Закон Пуассона
Опытным путем установлено, что при простом растяжении-сжатии отношение величины поперечной деформации продольной есть величина постоянная для данного материала. Это отношение, взятое по модулю, представляет собой коэффициент Пуассона:
где ε’ и ε – поперечная и продольная деформации (соответственно).
Коэффициент Пуассона изменяется в пределах от 0 для пробки до 0,5 для каучука и наряду с модулем Юнга является одной из важнейших механических характеристик материалов.
Изгиб прямого бруса
Деформация изгиба характеризуется тем, что геометрическая ось бруса (стержня) искривляется под действием поперечной (изгибающей) нагрузки (рис. 7). Изгибающая нагрузка делится на сосредоточенные силу Р [H] и момент М [Hм], распределенные силу q [Н/м] и момент m [Н.м/м]. Брус или стержень, работающий на изгиб, называют балкой, а ее изогнутую ось – упругой линией. Наибольшая изгибная деформация балки называется прогибом У.
Рис. 7 Схема действия изгибающих нагрузок на балку
Изгиб делится на прямой, происходящий под влиянием нагрузки, плоскость действия которой проходит через центральную ось балки и одну из главных центральных осей инерции поперечного сечения, и косой, когда плоскость действия нагрузки проходит через геометрическую ось балки, но не совпадает ни с одной из главных центральных осей инерции поперечного сечения (рис. 8).
В процессе изгиба ближайшие к нагрузке волокна балки оказываются сжатыми, а наиболее удаленные – растянутыми. Граница между сжатыми и растянутыми волокнами представляет собой слой, который искривляется не растягиваясь и не сжимаясь. Этот слой называется нейтральным. Линия пересечения нейтрального слоя с плоскостью поперечного сечения называется нулевой или нейтральной линией.
Балки закрепляют несколькими способами, от которых зависит жесткость заделки и количество реакций в опорах (рис. 9).
а б в
Рис. 8 Прямой (а) и (б) и косой (в) изгиб балки
R R
H H
M M
a б
R R
M H
в г
R
д
Рис. 9 Виды закрепления балок:
— жесткая неподвижная заделка (а) и (б)
— жесткая подвижная заделка (в)
— шарнирная неподвижная опора (г)
— шарнирная подвижная опора (д)
Источник
Растяжение или сжатие прямого бруса – это вид нагружения, при котором в поперечном сечении бруса возникает только продольная сила. Если продольная сила направлена от сечения, то брус – растянут. В противном случае он будет сжат. Растяжение считается положительной деформацией, а сжатие – отрицательной. Если на различные участки бруса действуют разные по величине и направлению силы, то они будут находиться в различном напряженном состоянии. Напряжения в участках бруса оценивают по эпюрам напряжений.
Эпюра продольной силы в прямом брусе – это график распределения продольной силы вдоль его оси (рис. 4).
Рис. 4 Эпюра продольных сил в прямом брусе
Ось эпюры параллельна продольной оси бруса. Если на разных участках бруса действуют различные силы, то в пределах каждого участка их величина остается неизменной, а при переходе к следующему участку изменяется: противоположно направленные силы вычитаются, однонаправленные – складываются. Правильность построения эпюры проверяется по наличию скачка сил в месте приложения внешней силы. На эпюре проставляют значения реакции N = Fi – Fi+1 . При построении эпюры сил в закрепленном стержне используют принцип смягчения граничных условий: в точках тела, удаленных от мест приложения нагрузки, модуль внутренних сил мало зависит от способа закрепления.
При построении эпюр напряжений стержень разбивают на участки, в пределах которых силы неизменны по величине, а в пределах каждого участка учитывают изменение площади поперечного сечения. Таким образом, эпюра напряжений в общем не соответствует эпюре приложенных сил (рис. 5).
При этом используют гипотезу плоских сечений: поперечное сечение бруса, плоское и перпендикулярное оси, после деформации остается плоским и перпендикулярным оси.
Рис. 5 Эпюры сил и напряжений в прямом ступенчатом брусе
При растяжении и сжатии в сечении действуют только нормальные напряжения, величина которых прямо пропорциональна действующей силе N и обратно пропорциональна площади поперечного сечения Р.
По величине напряжений, действующих в теле, осуществляют расчет на прочность, под которой понимают способность тела сопротивляться разрушению по действием внешних сил.
Используется два метода расчета на прочность: проектный и поверочный. В первом случае определяют:
— предельные размеры детали по площади поперечного сечения Р = N /σ;
— выбирают материал детали по пределу прочности σ = N / Р.
При поверочном расчете проверяют выполнение условия: σ = N / Р < [σ], где [σ] – предел прочности – максимальные напряжения, которые данный материал выдерживает без разрушения.
Закон Гука
До тех пор, пока напряжения в теле не превышают предела пропорциональности, между напряжением и деформацией имеет место линейная зависимость, представляющая собой закон Гука:
σ = Еε, (1)
где Е – модуль продольной упругости (модуль Юнга);
ε – относительная деформация.
Поскольку σ =N / F, а ε = Δl / l, то из выражения (1) следует, что:
Δl = N l / E F (2)
Произведение E F представляет собой жесткость поперечного сечения при растяжении.
В общем случае стержня переменного сечения (рис. 6) выражение (2) может быть представлено в интегральной форме:
P
Рис. 6 Растяжение стержня переменного сечения
Закон Пуассона
Опытным путем установлено, что при простом растяжении-сжатии отношение величины поперечной деформации продольной есть величина постоянная для данного материала. Это отношение, взятое по модулю, представляет собой коэффициент Пуассона:
где ε’ и ε – поперечная и продольная деформации (соответственно).
Коэффициент Пуассона изменяется в пределах от 0 для пробки до 0,5 для каучука и наряду с модулем Юнга является одной из важнейших механических характеристик материалов.
Источник
Внутренние усилия при растяжении-сжатии.
Осевое (центральное) растяжение или сжатие прямого бруса вызывается внешними силами, вектор равнодействующей которых совпадает с осью бруса. При растяжении или сжатии в поперечных сечениях бруса возникают только продольные силы N. Продольная сила N в некотором сечении равна алгебраической сумме проекции на ось стержня всех внешних сил, действующих по одну сторону от рассматриваемого сечения. По правилу знаков продольной силы N принято считать, что от растягивающих внешних нагрузок возникают положительные продольные силы N, а от сжимающих — продольные силы N отрицательны (рис. 5).
Чтобы выявить участки стержня или его сечения, где продольная сила имеет наибольшее значение, строят эпюру продольных сил, применяя метод сечений, подробно рассмотренный в статье:
Анализ внутренних силовых факторов в статистически определимых системах
Ещё настоятельно рекомендую взглянуть на статью:
Расчёт статистически определимого бруса
Если разберёте теорию в данной статье и задачи по ссылкам, то станете гуру в теме «Растяжение-сжатие» =)
Напряжения при растяжении-сжатии.
Определенная методом сечений продольная сила N, является равнодействующей внутренних усилий распределенных по поперечному сечению стержня (рис. 2, б). Исходя из определения напряжений, согласно выражению (1), можно записать для продольной силы:
где σ — нормальное напряжение в произвольной точке поперечного сечения стержня.
Чтобы определить нормальные напряжения в любой точке бруса необходимо знать закон их распределения по поперечному сечению бруса. Экспериментальные исследования показывают: если нанести на поверхность стержня ряд взаимно перпендикулярных линий, то после приложения внешней растягивающей нагрузки поперечные линии не искривляются и остаются параллельными друг другу (рис.6, а). Об этом явлении говорит гипотеза плоских сечений (гипотеза Бернулли): сечения, плоские до деформации, остаются плоскими и после деформации.
Так как все продольные волокна стержня деформируются одинаково, то и напряжения в поперечном сечении одинаковы, а эпюра напряжений σ по высоте поперечного сечения стержня выглядит, как показано на рис.6, б. Видно, что напряжения равномерно распределены по поперечному сечению стержня, т.е. во всех точках сечения σ = const. Выражение для определения величины напряжения имеет вид:
Таким образом, нормальные напряжения, возникающие в поперечных сечениях растянутого или сжатого бруса, равны отношению продольной силы к площади его поперечного сечения. Нормальные напряжения принято считать положительными при растяжении и отрицательными при сжатии.
Деформации при растяжении-сжатии.
Рассмотрим деформации, возникающие при растяжении (сжатии) стержня (рис.6, а). Под действием силы F брус удлиняется на некоторую величину Δl называемую абсолютным удлинением, или абсолютной продольной деформацией, которая численно равна разности длины бруса после деформации l1 и его длины до деформации l
Отношение абсолютной продольной деформации бруса Δl к его первоначальной длине l называют относительным удлинением, или относительной продольной деформацией:
При растяжении продольная деформация положительна, а при сжатии – отрицательна. Для большинства конструкционных материалов на стадии упругой деформации выполняется закон Гука (4), устанавливающий линейную зависимость между напряжениями и деформациями:
где модуль продольной упругости Е, называемый еще модулем упругости первого рода является коэффициентом пропорциональности, между напряжениями и деформациями. Он характеризует жесткость материала при растяжении или сжатии (табл. 1).
Таблица 1
Модуль продольной упругости для различных материалов
Абсолютная поперечная деформация бруса равна разности размеров поперечного сечения после и до деформации:
Соответственно, относительную поперечную деформацию определяют по формуле:
При растяжении размеры поперечного сечения бруса уменьшаются, и ε’ имеет отрицательное значение. Опытом установлено, что в пределах действия закона Гука при растяжении бруса поперечная деформация прямо пропорциональна продольной. Отношение поперечной деформации ε’ к продольной деформации ε называется коэффициентом поперечной деформации, или коэффициентом Пуассона μ:
Экспериментально установлено, что на упругой стадии нагружения любого материала значение μ = const и для различных материалов значения коэффициента Пуассона находятся в пределах от 0 до 0,5 (табл. 2).
Таблица 2
Коэффициент Пуассона.
Абсолютное удлинение стержня Δl прямо пропорционально продольной силе N:
Данной формулой можно пользоваться для вычисления абсолютного удлинения участка стержня длиной l при условии, что в пределах этого участка значение продольной силы постоянно. В случае, когда продольная сила N изменяется в пределах участка стержня, Δl определяют интегрированием в пределах этого участка:
Произведение (Е·А) называют жесткостью сечения стержня при растяжении (сжатии).
Механические свойства материалов.
Основными механическими свойствами материалов при их деформации являются прочность, пластичность, хрупкость, упругость и твердость.
Прочность — способность материала сопротивляться воздействию внешних сил, не разрушаясь и без появления остаточных деформаций.
Пластичность – свойство материала выдерживать без разрушения большие остаточные деформации. Неисчезающие после снятия внешних нагрузок деформации называются пластическими.
Хрупкость – свойство материала разрушаться при очень малых остаточных деформациях (например, чугун, бетон, стекло).
Идеальная упругость – свойство материала (тела) полностью восстанавливать свою форму и размеры после устранения причин, вызвавших деформацию.
Твердость – свойство материала сопротивляться проникновению в него других тел.
Рассмотрим диаграмму растяжения стержня из малоуглеродистой стали. Пусть круглый стержень длинной l0 и начальным постоянным поперечным сечением площади A0 статически растягивается с обоих торцов силой F.
Диаграмма сжатия стержня имеет вид (рис. 10, а)
где Δl = l — l0 абсолютное удлинение стержня; ε = Δl / l0 — относительное продольное удлинение стержня; σ = F / A0 — нормальное напряжение; E — модуль Юнга; σп — предел пропорциональности; σуп — предел упругости; σт — предел текучести; σв — предел прочности (временное сопротивление); εост — остаточная деформация после снятия внешних нагрузок. Для материалов, не имеющих ярко выраженную площадку текучести, вводят условный предел текучести σ0,2 — напряжение, при котором достигается 0,2% остаточной деформации. При достижении предела прочности в центре стержня возникает локальное утончение его диаметра («шейка»). Дальнейшее абсолютное удлинение стержня идет в зоне шейки ( зона местной текучести). При достижении напряжением предела текучести σт глянцевая поверхность стержня становится немного матовой – на его поверхности появляются микротрещины (линии Людерса-Чернова), направленные под углом 45° к оси стержня.
Расчеты на прочность и жесткость при растяжении и сжатии.
Опасным сечением при растяжении и сжатии называется поперечное сечение бруса, в котором возникает максимальное нормальное напряжение. Допускаемые напряжения вычисляются по формуле:
где σпред — предельное напряжение (σпред = σт — для пластических материалов и σпред = σв — для хрупких материалов); [n] — коэффициент запаса прочности. Для пластических материалов [n] = [nт] = 1,2 … 2,5; для хрупких материалов [n] = [nв] = 2 … 5, а для древесины [n] = 8 ÷ 12.
Расчеты на прочность при растяжении и сжатии.
Целью расчета любой конструкции является использование полученных результатов для оценки пригодности этой конструкции к эксплуатации при минимальном расходе материала, что находит отражение в методах расчета на прочность и жесткость.
Условие прочности стержня при его растяжении (сжатии):
При проектном расчете определяется площадь опасного сечения стержня:
При определении допускаемой нагрузки рассчитывается допускаемая нормальная сила:
Расчет на жесткость при растяжении и сжатии.
Работоспособность стержня определяется его предельной деформацией [ l ]. Абсолютное удлинение стержня должно удовлетворять условию:
Часто дополнительно делают расчет на жесткость отдельных участков стержня.
Следующая важная статья теории:
Изгиб балки
Источник