Наибольшее нормальное напряжение при растяжении бруса действует
Внутренние усилия при растяжении-сжатии.
Осевое (центральное) растяжение или сжатие прямого бруса вызывается внешними силами, вектор равнодействующей которых совпадает с осью бруса. При растяжении или сжатии в поперечных сечениях бруса возникают только продольные силы N. Продольная сила N в некотором сечении равна алгебраической сумме проекции на ось стержня всех внешних сил, действующих по одну сторону от рассматриваемого сечения. По правилу знаков продольной силы N принято считать, что от растягивающих внешних нагрузок возникают положительные продольные силы N, а от сжимающих — продольные силы N отрицательны (рис. 5).
Чтобы выявить участки стержня или его сечения, где продольная сила имеет наибольшее значение, строят эпюру продольных сил, применяя метод сечений, подробно рассмотренный в статье:
Анализ внутренних силовых факторов в статистически определимых системах
Ещё настоятельно рекомендую взглянуть на статью:
Расчёт статистически определимого бруса
Если разберёте теорию в данной статье и задачи по ссылкам, то станете гуру в теме «Растяжение-сжатие» =)
Напряжения при растяжении-сжатии.
Определенная методом сечений продольная сила N, является равнодействующей внутренних усилий распределенных по поперечному сечению стержня (рис. 2, б). Исходя из определения напряжений, согласно выражению (1), можно записать для продольной силы:
где σ — нормальное напряжение в произвольной точке поперечного сечения стержня.
Чтобы определить нормальные напряжения в любой точке бруса необходимо знать закон их распределения по поперечному сечению бруса. Экспериментальные исследования показывают: если нанести на поверхность стержня ряд взаимно перпендикулярных линий, то после приложения внешней растягивающей нагрузки поперечные линии не искривляются и остаются параллельными друг другу (рис.6, а). Об этом явлении говорит гипотеза плоских сечений (гипотеза Бернулли): сечения, плоские до деформации, остаются плоскими и после деформации.
Так как все продольные волокна стержня деформируются одинаково, то и напряжения в поперечном сечении одинаковы, а эпюра напряжений σ по высоте поперечного сечения стержня выглядит, как показано на рис.6, б. Видно, что напряжения равномерно распределены по поперечному сечению стержня, т.е. во всех точках сечения σ = const. Выражение для определения величины напряжения имеет вид:
Таким образом, нормальные напряжения, возникающие в поперечных сечениях растянутого или сжатого бруса, равны отношению продольной силы к площади его поперечного сечения. Нормальные напряжения принято считать положительными при растяжении и отрицательными при сжатии.
Деформации при растяжении-сжатии.
Рассмотрим деформации, возникающие при растяжении (сжатии) стержня (рис.6, а). Под действием силы F брус удлиняется на некоторую величину Δl называемую абсолютным удлинением, или абсолютной продольной деформацией, которая численно равна разности длины бруса после деформации l1 и его длины до деформации l
Отношение абсолютной продольной деформации бруса Δl к его первоначальной длине l называют относительным удлинением, или относительной продольной деформацией:
При растяжении продольная деформация положительна, а при сжатии – отрицательна. Для большинства конструкционных материалов на стадии упругой деформации выполняется закон Гука (4), устанавливающий линейную зависимость между напряжениями и деформациями:
где модуль продольной упругости Е, называемый еще модулем упругости первого рода является коэффициентом пропорциональности, между напряжениями и деформациями. Он характеризует жесткость материала при растяжении или сжатии (табл. 1).
Таблица 1
Модуль продольной упругости для различных материалов
Абсолютная поперечная деформация бруса равна разности размеров поперечного сечения после и до деформации:
Соответственно, относительную поперечную деформацию определяют по формуле:
При растяжении размеры поперечного сечения бруса уменьшаются, и ε’ имеет отрицательное значение. Опытом установлено, что в пределах действия закона Гука при растяжении бруса поперечная деформация прямо пропорциональна продольной. Отношение поперечной деформации ε’ к продольной деформации ε называется коэффициентом поперечной деформации, или коэффициентом Пуассона μ:
Экспериментально установлено, что на упругой стадии нагружения любого материала значение μ = const и для различных материалов значения коэффициента Пуассона находятся в пределах от 0 до 0,5 (табл. 2).
Таблица 2
Коэффициент Пуассона.
Абсолютное удлинение стержня Δl прямо пропорционально продольной силе N:
Данной формулой можно пользоваться для вычисления абсолютного удлинения участка стержня длиной l при условии, что в пределах этого участка значение продольной силы постоянно. В случае, когда продольная сила N изменяется в пределах участка стержня, Δl определяют интегрированием в пределах этого участка:
Произведение (Е·А) называют жесткостью сечения стержня при растяжении (сжатии).
Механические свойства материалов.
Основными механическими свойствами материалов при их деформации являются прочность, пластичность, хрупкость, упругость и твердость.
Прочность — способность материала сопротивляться воздействию внешних сил, не разрушаясь и без появления остаточных деформаций.
Пластичность – свойство материала выдерживать без разрушения большие остаточные деформации. Неисчезающие после снятия внешних нагрузок деформации называются пластическими.
Хрупкость – свойство материала разрушаться при очень малых остаточных деформациях (например, чугун, бетон, стекло).
Идеальная упругость – свойство материала (тела) полностью восстанавливать свою форму и размеры после устранения причин, вызвавших деформацию.
Твердость – свойство материала сопротивляться проникновению в него других тел.
Рассмотрим диаграмму растяжения стержня из малоуглеродистой стали. Пусть круглый стержень длинной l0 и начальным постоянным поперечным сечением площади A0 статически растягивается с обоих торцов силой F.
Диаграмма сжатия стержня имеет вид (рис. 10, а)
где Δl = l — l0 абсолютное удлинение стержня; ε = Δl / l0 — относительное продольное удлинение стержня; σ = F / A0 — нормальное напряжение; E — модуль Юнга; σп — предел пропорциональности; σуп — предел упругости; σт — предел текучести; σв — предел прочности (временное сопротивление); εост — остаточная деформация после снятия внешних нагрузок. Для материалов, не имеющих ярко выраженную площадку текучести, вводят условный предел текучести σ0,2 — напряжение, при котором достигается 0,2% остаточной деформации. При достижении предела прочности в центре стержня возникает локальное утончение его диаметра («шейка»). Дальнейшее абсолютное удлинение стержня идет в зоне шейки ( зона местной текучести). При достижении напряжением предела текучести σт глянцевая поверхность стержня становится немного матовой – на его поверхности появляются микротрещины (линии Людерса-Чернова), направленные под углом 45° к оси стержня.
Расчеты на прочность и жесткость при растяжении и сжатии.
Опасным сечением при растяжении и сжатии называется поперечное сечение бруса, в котором возникает максимальное нормальное напряжение. Допускаемые напряжения вычисляются по формуле:
где σпред — предельное напряжение (σпред = σт — для пластических материалов и σпред = σв — для хрупких материалов); [n] — коэффициент запаса прочности. Для пластических материалов [n] = [nт] = 1,2 … 2,5; для хрупких материалов [n] = [nв] = 2 … 5, а для древесины [n] = 8 ÷ 12.
Расчеты на прочность при растяжении и сжатии.
Целью расчета любой конструкции является использование полученных результатов для оценки пригодности этой конструкции к эксплуатации при минимальном расходе материала, что находит отражение в методах расчета на прочность и жесткость.
Условие прочности стержня при его растяжении (сжатии):
При проектном расчете определяется площадь опасного сечения стержня:
При определении допускаемой нагрузки рассчитывается допускаемая нормальная сила:
Расчет на жесткость при растяжении и сжатии.
Работоспособность стержня определяется его предельной деформацией [ l ]. Абсолютное удлинение стержня должно удовлетворять условию:
Часто дополнительно делают расчет на жесткость отдельных участков стержня.
Следующая важная статья теории:
Изгиб балки
Источник
Напряженное состояние в точке характеризуется совокупностью нормальных 
и касательных 
напряжений, возникающих на произвольно расположенных площадях, проходящих через эту точку.
Пусть брус нагружен осевой силой F (рис. 2.8, а). Определим усилие и напряжение в наклонном сечении.
Рассечем брус наклонной плоскостью под углом 
к нормальному сечению (
– площадь поперечного сечения, 
– площадь сечения, наклоненного под углом
) и рассмотрим равновесие отсеченной части (рис. 2.8, б):
Рис. 2.8
где R – равнодействующая внутренних сил в наклонной плоскости.
Разложив R по двум направлениям, получим 
где 
Так как 
, то нормальное 
и касательное 
напряжения в наклонном сечении определяются соответственно но формулам
(2.20)
где 
– нормальные напряжения в нормальном сечении.
Проанализируем выражения (2.20).
Сформулируем закон суммы нормальных напряжений:
Тогда
(2.21)
Сумма нормальных напряжений, действующих на двух взаимно перпендикулярных площадках, есть величина постоянная, равная нормальному напряжению.
Аналогично устанавливается закон парности касательных напряжений:
(2.22)
Касательные напряжения, действующие на двух взаимно перпендикулярных площадках, равны по абсолютной величине и противоположно направлены.
Испытание материалов на растяжение (сжатие) осуществляется с целью определения механических характеристик следующих свойств материала: упругости, пластичности, прочности и твердости. Характеристиками упругости являются предел упругости и модуль упругости; характеристиками пластичности – предел текучести и относительное остаточное удлинение; характеристикой прочности является предел прочности. Механические свойства материалов определяются в лабораториях механических испытаний на разрывных машинах по образцам, изготовленным из исследуемого материала. Графическое представление зависимости между действующей силой F и удлинением 
называется диаграммой растяжения или сжатия образца 
. Поскольку исследуется не конкретный образец, а материал, то принято по результатам испытаний ряда образцов строить диаграмму материала в относительных величинах. С этой целью усилия F относят к первоначальной площади , а абсолютное удлинение 
– к первоначальной длине образца 
. Получается диаграмма материала 
.
Пластичные материалы разрушаются при больших остаточных деформациях. К таким материалам можно отнести, например, мягкую углеродистую сталь, медь, алюминий. Хрупкие материалы разрушаются при малых остаточных деформациях. К хрупким материалам можно отнести закаленную сталь, чугун, стекло, бетон, камень и др. Хрупкие материалы разрушаются главным образом в результате нарушения сопротивления отрыву частиц, пластичные материалы – вследствие нарушения сопротивления сдвигу. В ряде случаев хрупкие материалы могут находиться в пластичном состоянии, и наоборот.
Рис. 2.9
Диаграмма растяжения малоуглеродистой стали (пластичного материала) показана на рис. 2.9. Рассмотрим характерные точки и участки диаграммы.
Точка 1 – конец прямолинейного участка, участок 0–1 называется участком прямолинейной зависимости между нормальным напряжением и относительным удлинением, что отражает закон Гука 
Точка 1 соответствует пределу пропорциональности: 
, где 
– нагрузка, соответствующая проделу пропорциональности. Несколько выше точки 1 находится точка
, соответствующая пределу упругости ау, т.е. наибольшему напряжению, при котором в материале еще нет остаточных деформаций:
, где
– нагрузка, соответствующая пределу упругости.
Относительная деформация, соответствующая пределу упругости (весьма близкая к пределу пропорциональности), для малоуглеродистой стали примерно достигает 0,1%.
За точкой 
возникают заметные остаточные деформации. В точке 2 диаграммы материал переходит в область пластичности – наступает явление текучести материала. Участок 2–3 параллелен оси абсцисс (площадка текучести). Для данной площадки характерен рост деформации при постоянном напряжении. Напряжение, соответствующее участку 2–3, называется пределом текучести:
где 
– усилие, соответствующее пределу текучести.
От точки 3 до точки 4 наблюдается упрочение материала. В районе точки 4 происходит местное сужение образца – появляется так называемая шейка. Отношение 
называется пределом прочности.
Участку 4–5 соответствует быстрое уменьшение сечения образца в зоне шейки. В точке 5происходит разрыв образца при разрушающей нагрузке 
Если разрушившийся образец сложить и определить его длину после разрушения, то можно определить остаточное удлинение образца (остаточную деформацию)
где 
– длина рабочей части образца после разрушения; 
исходная длина рабочей части образца.
Условно материал считается пластичным, если 
, и хрупким, если 
При механических испытаниях материала также определяется модуль упругости по участку прямой пропорциональной зависимости диаграммы. Таким образом, в результате механических испытаний материалов получают механические характеристики 
Большинство материалов не имеет явно выраженной площадки текучести, поэтому определяют технический предел текучести по величине остаточной деформации. Техническим пределом текучести принято считать такое напряжение, при котором остаточная деформация 
, или когда 
. Предел текучести при растяжении обозначается 
, а предел текучести при сжатии – 
Источник
При растяжении (сжатии) бруса в его поперечных сечениях возникают только нормальные напряжения. Равнодействующая соответствующих элементарных сил σz dA — продольная сила N — может быть найдена с помощью метода сечений. Для того чтобы иметь возможность определить нормальные напряжения при известном значении продольной силы, необходимо установить закон их распределения по поперечному сечению бруса.
Эта задача решается на основе гипотезы плоских сечении (гипотезы Я. Бернулли), которая гласит: сечения бруса, плоские и нормальные к его оси до деформации, остаются плоскими и нормальными к оси и при деформации.
При растяжении бруса (изготовленного, например, для большей наглядности опыта из резины), на поверхности которого нанесена система продольных и поперечных рисок, можно убедиться, что риски остаются прямолинейными и взаимно перпендикулярными, изменяются лишь расстояния: между поперечными рисками несколько увеличиваются, а между продольными — уменьшаются.
Описанный опыт можно рассматривать как подтверждение гипотезы плоских сечений; при этом предполагают, что внутри бруса деформации имеют тот же характер, что и на его поверхности.
Представим себе, что брус состоит из бесконечно большого числа продольных элементов, имеющих бесконечно малые («точечные») поперечные сечения. Эти элементы здесь и в дальнейшем будем условно называть волокнами.
Из гипотезы Бернулли следует, что все волокна в рассматриваемом случае деформируются одинаково. При однородном материале равным деформациям соответствуют одинаковые напряжения. Таким образом, приходим к заключению, что при растяжении (сжатии) бруса нормальные напряжения распределены по его поперечному сечению равномерно. Подчеркнем, что распределение напряжений не зависит от формы поперечного сечения.
Для определения нормальных напряжений используем выражение . Вынося σz (постоянная величина!) за знак интеграла, получаем:
.= σzA,
где А – площадь поперечного сечения бруса.
Для нормальных напряжений принимают то же правило знаков, что и для продольных сил, т. е. при растяжении считают напряжения положительными.
Фактически распределение напряжений в сечениях бруса, примыкающих к месту приложения внешних сил, зависит от способа приложения нагрузки и может быть неравномерным. Экспериментальные и теоретические исследования показывают, что это нарушение равномерности распределения напряжений носит местный характер. В сечениях бруса, отстоящих от места нагружения на расстоянии, примерно равном наибольшему из поперечных размеров бруса, распределение напряжений можно считать практически равномерным.
Рассмотренное положение является частным случаем принципа Сен-Венана, который можно сформулировать следующим образом: распределение напряжений существенно зависит от способа приложения внешних сил лишь вблизи места нагружения.
В частях, достаточно удаленных от места приложения сил, распределение напряжений практически зависит только от статического эквивалента этих сил, а не от способа их приложения.
Таким образом, применяя принцип Сен-Венана и отвлекаясь от вопроса о местных напряжениях, имеем возможность (как в этой, так и в последующих лекциях курса) не интересоваться конкретными способами приложения внешних сил. В местах резкого изменения формы и размеров поперечного сечения бруса также возникают местные напряжения. Это явление называют концентрацией напряжений, которую в этой лекции учитывать не будем.
В тех случаях, когда нормальные напряжения в различных поперечных сечениях бруса неодинаковы, целесообразно показывать закон их изменения по длине бруса в виде графика — эпюры нормальных напряжений.
Источник
Определение нормальной силы
Центральное растяжение (сжатие) – одно из наиболее простых видов нагружения. Методом сечений в поперечном сечении бруса обнаруживается только один внутренний силовой фактор – нормальная сила. Ее вектор перпендикулярен к поперечному сечению и направлен вдоль продольной оси бруса. Брус, работающий на растяжение-сжатие, принято называть стержнем.
Согласно методу сечений величина и направление продольной силы определяются из уравнения равновесия, составленного для отсеченной части бруса:
(2.9)
Таким образом, продольная (нормальная) сила о произвольном сечении бруса численно равна алгебраической сулеме проекций па продольную ось всех внешних (активных и реактивных) сил, приложенных к отсеченной части.
В общем случае
(2.10)
где 
– интенсивность нагрузки, распределенной вдоль оси бруса на участке от 0 до 
.
Продольная сила 
считается положительной, если она вызывает растяжение, т.е. направлена от сечения. В поперечном сечении бруса она является равнодействующей внутренних нормальных сил, возникающих в этом сечении.
График функции 
называется эпюрой нормальных сил. Из выражения (2.10) следует, что
(2.11)
т.е. интенсивность распределенной нагрузки в каждом сечении равна по величине и знаку тангенсу угла наклона касательной к эпюре 
в соответствующей рассматриваемому сечению точке эпюры.
Нормальные напряжения и деформации
При растяжении (сжатии) бруса в поперечных сечениях возникают только нормальные напряжения. Чтобы задача определения по известным N А имела единственное решение, необходимо установить закон распределения σ(x) по сечению. Для этого используется гипотеза плоских сечений (гипотеза Бернулли): сечения бруса, плоские и нормальные к его оси до деформации, остаются плоскими и нормальными к его оси и при деформации. Поперечные сечения лишь перемещаются вдоль оси, оставаясь параллельными друг другу.
Допустим, брус состоит из бесконечно большого числа продольных волокон. Из гипотезы Бернулли следует, что все волокна деформируются одинаково. Поскольку, согласно закону Гука, равным деформациям соответствуют равные напряжения, то при растяжении (сжатии) бруса нормальные напряжения равномерно распределяются по поперечному сечению, т.е.
;.
Как известно,
. Так как
, то 
. Отсюда
(2.12)
Положительными считаются направления 
, соответствующие растяжению.
В сечениях бруса, примыкающих к месту приложения внешних сил и к закреплениям, распределение напряжений зависит
Рис. 2.7
от способа приложения нагрузки и может быть неравномерным. Поэтому гипотеза плоских сечений в этих местах неверна.
Рассмотрим однородное напряженное состояние бруса, когда напряжения не изменяются по длине (рис. 2.7).
Изменение линейных размеров 
называется абсолютным удлинением; отношение 
– относительным удлинением или линейной деформацией.
В случае неоднородного напряженного состояния линейная деформация определяется выражением 
, где 
– приращение отрезка 
.
Между линейными деформациями 
и вызывающими их напряжениями 
существует связь, обусловленная упругими свойствами материала. Эта связь определяется законом Гука:
(2.13)
где Е – модуль упругости материала.
Рассмотрим выражение
. Согласно формуле (2.13) получим
; поскольку
Отсюда изменение длины всего бруса
(2.14)
Произведение НА называется жесткостью бруса при растяжении (сжатии).
Если законы изменения N и А различны для отдельных участков бруса, то
(2.15)
где 
– число участков.
В частном случае, когда N и А постоянны по длине бруса, получаем формулу Гука в виде
(2.16)
Итак, перемещение i-го сечения с координатой х относительно неподвижного сечения
(2.17)
Аналогично можно записать
(2.18)
где 
– перемещение начального сечения относительно заделки.
Пусть сечение бруса (см. рис. 2.7) имеет форму прямоугольника со сторонами а и b, тогда при растяжении бруса периметр его уменьшится. Величина 
характеризует относительное изменение периметра поперечного сечения и называется поперечной деформацией. Если сечение круглое, то 
. Отношение поперечной деформации к линейной величине постоянно для данного материала и называется коэффициентом Пуассона:
(2.19)
Для стали и большинства металлических материалов 
. В общем случае 
.
Источник