Нагрузка бруса на сжатие растяжение
НЕСУЩАЯ СПОСОБНОСТЬ СТЕРЖНЕВОГО БРУСА
В предыдущей статье приводил описание нового стенового материала — стержневого бруса
Технологическая схема
Технологическая схема
Технологическая схема
При оформлении документов на патентование стержневого бруса столкнулся с проблемой нетривиальности расчетов несущей способности соединений на вклеенных стержнях.
Обращения к литературе и дипломированным специалистам готовых решений не дало, пришлось обращаться к СП и строительной механике. Здесь привожу расчет несущей способности стержневого бруса , возможно, заинтересованным читателям будет любопытно, а кто-то сможет меня поправить.
Данные для расчета:
Стержневой брус 150Х215Х6000мм, состоящий из двух крайних элементов (досок) сечением 25Х150 мм и пяти средних 33Х150 мм на вклеенных березовых стержнях Ø 25 мм поперечно сплачиваемым поверхностям, профиль в виде трапецеидального венцового профиля высотой 30 мм (Фиг. 3 отм. 5). Стержневой брус является строительным изделием, состоящим из длинномерных досок, сплоченных по пластям на поперечно вклеенные стержни из ТЛПД (под углом 90° из антисептированной сухой березы 1 сорта) на эпоксидной композиции: смола ЭД-20 высшего сорта — 100 в.ч., пластификатор МГФ9 — 25 в.ч., отвердитель ПЭПА — 12 в.ч., наполнитель древесная мука — 15 в.ч. Изделие предлагается использовать в качестве брусьев стен для возведения несущих и ограждающих конструкций малоэтажных деревянных зданий. Соединение на вклеенных стержнях рассчитывается как неподатливое соединение (п.8.5 СП 64.13330.2017), работающее на растяжение и выдергивание, изгиб стержня и смятие древесины сплачиваемых досок.
Нагрузки и воздействия.
Изделие при использовании в качестве брусьев стен испытывает следующие постоянные и временные нагрузки:
1. На растяжение поперек соединенным пластям от предварительно сжатых элементов, составляющих изделие, при этом соединение работает на растяжение вдоль волокон материала стержня и на сопротивление клеевого шва. Ввиду незначительных растягивающих воздействий, Fсж 0,08-0,12 кг/см2, данные нагрузки не учитываются;
2. На сжатие в вертикальной плоскости от веса частей здания, приходящейся на конструкцию стен. Данные напряжения не создают сдвигов в элементах изделия, так как каждый элемент опирается кромками на такие же элементы верхнего и нижнего бруса. Расчетная нагрузка берется как 300 тн — вес 3-х этажного здания 12Х12 м без учета основания, 125 тн — максимально возможный вес, приходящийся на брус нижнего венца с учетом самонесущих стен:
N = 125тн / (21,5см*1200см) = 4,8 кгс/см2.
При этом расчетное сопротивление древесины элементов изделия на сжатие поперек волокон составляет 2,7 МПа или 27,5 кгс/см2 (таб. 3 п. 3 СП 64.13330), следовательно, работа изделия в качестве брусьев несущих стен не может вызвать деформации в соединениях элементов брусьев;
3. Брусья, расположенные над проемами в конструкциях стен, работают как сжато-изгибаемая балка с защемленными концами, длина проемов может достигать 5,7 метров. При этом вклеенные стержни работают как нагельные соединения — на изгиб стержня и смятие древесины досок, составляющих изделие, предотвращая их сдвиг. Скалывание древесины досок изделия не учитывается при условии соблюдения требований к расстановке нагелей, так как прочность соединений определяется несущей способностью нагелей (стержней) (таб. 18 примечание 5 СП 64.13330). Расчетная изгибающая нагрузка определяется аналоговым методом, как предельная равномерно распределенная вертикальная нагрузка для балки из массива древесины сосны и ели 2 сорта, сечением 220Х220 мм;
4. Воздействия от касательных нагрузок, в местах примыкания балок междуэтажных перекрытий, крепящимся к стеновому брусу на шурупах при помощи металлических кронштейнов или на врубках, и между перекрытий от веса, например, навесного фасада. Касательные нагрузки направлены поперек несущей стене, при этом вклеенные стержни препятствуют выворачиванию элементов брусьев стен наружу и внутрь конструкции, работая на выдергивание и растяжение или продавливание и сжатие, а также на сдвиг клеевого шва, а доски, составляющие брусья, испытывают воздействия на скалывание вдоль волокон древесины. Предотвращение скалыванию достигается соблюдением минимальных расстояний осей устанавливаемых стержней до торцов, кромок, продольных осей сплачиваемых досок и осей соседних стержней, что увеличивает расчетные площади скалывания, аналогично нагельным соединениям по п.3. При такой работе соединений, сжатие (продавливание) стержня не учитывается, так как расчетное сопротивление сжатию вдоль волокон древесины стержня превышает расчетное сопротивление растяжению вдоль волокон более, чем в 2 раза (таб.3 СП 64.13330.2017). Расчетная касательная нагрузка определяется аналоговым методом, через расчетную несущую способность вертикально установленного дубового нагеля в два венца стены Ø 25 мм на 1 м длины бруса, длиной заделки нагеля равной 270 мм;
5. Жесткость и устойчивость конструкций стен, выполненных из стержневого бруса, обеспечивается за счет профиля шип-паз сопряжённых брусьев по их длине и минимальным размером профиля 25Х25 мм, а также за счет угловых соединений брусьев стен. Плотность контакта брусьев стен через поверхность профиля с учетом направления касательных нагрузок от веса здания и конструкции стен (по п.4) создают воздействия на скалывание вдоль волокон древесины, составляющей стенки профиля брусьев;
6. Прочие нагрузки (ветровая, снеговая, монтажная, транспортно-погрузочная, ослабления при пожаре и температурно-влажностные изменения) учтены через коэффициенты условий работы и введение дополнительного коэффициента запаса, Кз = 1,3.
Расчет несущей способности нагельного соединения под углом к волокнам при сдвиговых нагрузках, в соответствии с п.3 Нагрузки и воздействия (п.8.13 СП 64.13330.2017):
3.1 На смятие средних элементов на 1 шов сплачивания.
Для симметричных соединений:
Т см ср (КН) = 0,45 * с * d * Кα , где:
Кα — коэф., учитывающий угол установки стержней (нагелей), при 90° Кα = 0,7 (таб.19 СП 64. 13330);
с — толщина средних эл-тов, см;
d — диаметр стержня, см.
Для стержня Ø 20мм и толщине ср.эл-тов 33 мм:
Т см ср = 0,45*3,3*2*0,7 = 2,079КН или 212 кгс
Для стержня Ø 25мм и толщине ср.эл-тов 33 мм:
Т см ср = 0,45*3,3*2,5*0,7 = 2,599КН или 265 кгс
Для несимметричных соединений:
Смятие во всех элементах равной толщины (для брусьев, используемых в качестве балок, с толщиной элементов 45мм, при 45° Кα=0,9 ), Тсм (КН).
Т см (КН) = 0,3 * с * d * Кα
Для стержня Ø 25мм и толщине эл-тов 45 мм:
Тсм = 0,3*4,5*2,5*0,9 = 3,04КН или 310 кгс
3.2 На смятие крайних элементов на 1 шов сплачивания.
Т см кр (КН) = 0,75 * а * d * Кα, где:
а — толщина крайних эл-тов, см.
Для стержня Ø 20мм и толщине кр.эл-тов 25 мм:
Т см кр (КН) = 0,75*2,5*2*0,7 = 2,625КН или 267 кгс
Для стержня Ø 25мм и толщине кр.эл-тов 25 мм:
Т см кр (КН) = 0,75*2,5*2,5*0,7 = 3,281КН или 334 кгс
3.3 На изгиб на 1 шов сплачивания.
Т изг (КН) = 0,55 * d² + 0,025 * а² <= 0,8 * d²
T изг * √Кα * mп, где:
√Кα — квадратный корень из коэф. угла установки нагеля к волокнам сплоченной древесины;
mп = 1,1 / 1,3 — коэф. пересчета прочности древесины дуба к березе (таб.5 СП 64.13330.2017).
Для стержня Ø 20 мм:
Т изг (КН) = 0,55*2²+0,025*2,5² =2,356 КН <= 3,2 КН
T изг * √Кα * mп = 2,356 КН * √0,7 *1,1/1,3 = 1,69КН или 172 кгс {displaystyle {sqrt {quad }}}
Для стержня Ø 25 мм:
Т изг = 0,55*2,5²+0,025*2,5² = 3,593 КН <= 5 КН
T изг * √Кα* mп = 3,593 КН * √0,7 *1,1/1,3 =2,54КН или 259 кгс
Для стержня Ø 25 мм и угла установки 45°:
T изг * √Кα* mп = 3,593 КН * √0,9 *1,1/1,3 = 2,88 КН или 293 кгс
Расчет несущей способности соединения (п.8.16 СП 13330):
Трнс см = Тмин*Nш* mдл* Πmi из условия смятия и скалывания древесины;
Трнс изг = Тмин*Nш* √mдл* Π√mi из условия изгиба стержня, где:
Трнс = Расчетная несущая способность нагельного соединения; см — смятие и раскалывание, изг — изгиб;
Тмин — минимальная несущая способность на 1 шов сплачивания;
Nш — количество швов в соединении;
mдл (коэф. длительной прочности, режим нагружения Б) = 0,53;
Коэффициенты условий работы:
Πmi = mв* mт* mа* mс.с., где:
mв (коэф. условий эксплуатации, класс условий эксплуатации 3, таб. 7.4 СП 382.1325800) = 0,85;
mт (коэф. температуры эксплуатации, до 50°С) = 0,9;
mа (коэф. пропитки антипиренами) = 0,9 для древесины стержня и 1 для древесины элементов;
mс.с. (коэф. срока службы, не менее 100 лет, таб.7.5 СП 382.1325800) = 0,8 для изгиба, сжатия и смятия; 0,7 — для растяжения и скалывания вдоль волокон.
Минимальной расчетной несущей способностью 1-го шва соединения является сопротивление изгибу.
Расчетная несущая способность одного березового стержня Ø 20 мм:
Трнс (20мм) = 172 кгс * 6 швов * √0,53 * √0,85 * √0,9 * √0,9 * √0,8=
=172*6*0,728*0,9219*0,9487*0,9487*0,8944 = 557 кгс (1)
Расчетная несущая способность одного березового стержня Ø 25 мм:
Трнс (25мм) = 259 кгс * 6 швов * √0,53 * √0,85 * √0,9 * √0,9 * √0,8 = =259*6*0,728*0,9219*0,9487*0,9487*0,8944 = 839 кгс (2)
Расчетная несущая способность одного березового стержня Ø 25 мм для балки из 4-х элементов:
Трнс (25мм, α=45°, 4 элемента, сечение элементов 45Х150 мм) =
= 293 кгс* 3 шва*√0,53*√0,85*√0,9*√1*√0,8 = 500 кгс (3)
Расчетная несущая способность древесины раскалыванию поперек волокон под воздействием нагельного соединения зависит от площади скалывания и, при соблюдении минимальных расстояний центров стержней до кромок и торцов элементов, а также до ближайших центров стержней, установленных поперек элементов (в два ряда), несущая способность соединения определяется прочностью стержня.
Продолжение в следующей статье…
Источник
Внутренние усилия при растяжении-сжатии.
Осевое (центральное) растяжение или сжатие прямого бруса вызывается внешними силами, вектор равнодействующей которых совпадает с осью бруса. При растяжении или сжатии в поперечных сечениях бруса возникают только продольные силы N. Продольная сила N в некотором сечении равна алгебраической сумме проекции на ось стержня всех внешних сил, действующих по одну сторону от рассматриваемого сечения. По правилу знаков продольной силы N принято считать, что от растягивающих внешних нагрузок возникают положительные продольные силы N, а от сжимающих — продольные силы N отрицательны (рис. 5).
Чтобы выявить участки стержня или его сечения, где продольная сила имеет наибольшее значение, строят эпюру продольных сил, применяя метод сечений, подробно рассмотренный в статье:
Анализ внутренних силовых факторов в статистически определимых системах
Ещё настоятельно рекомендую взглянуть на статью:
Расчёт статистически определимого бруса
Если разберёте теорию в данной статье и задачи по ссылкам, то станете гуру в теме «Растяжение-сжатие» =)
Напряжения при растяжении-сжатии.
Определенная методом сечений продольная сила N, является равнодействующей внутренних усилий распределенных по поперечному сечению стержня (рис. 2, б). Исходя из определения напряжений, согласно выражению (1), можно записать для продольной силы:
где σ — нормальное напряжение в произвольной точке поперечного сечения стержня.
Чтобы определить нормальные напряжения в любой точке бруса необходимо знать закон их распределения по поперечному сечению бруса. Экспериментальные исследования показывают: если нанести на поверхность стержня ряд взаимно перпендикулярных линий, то после приложения внешней растягивающей нагрузки поперечные линии не искривляются и остаются параллельными друг другу (рис.6, а). Об этом явлении говорит гипотеза плоских сечений (гипотеза Бернулли): сечения, плоские до деформации, остаются плоскими и после деформации.
Так как все продольные волокна стержня деформируются одинаково, то и напряжения в поперечном сечении одинаковы, а эпюра напряжений σ по высоте поперечного сечения стержня выглядит, как показано на рис.6, б. Видно, что напряжения равномерно распределены по поперечному сечению стержня, т.е. во всех точках сечения σ = const. Выражение для определения величины напряжения имеет вид:
Таким образом, нормальные напряжения, возникающие в поперечных сечениях растянутого или сжатого бруса, равны отношению продольной силы к площади его поперечного сечения. Нормальные напряжения принято считать положительными при растяжении и отрицательными при сжатии.
Деформации при растяжении-сжатии.
Рассмотрим деформации, возникающие при растяжении (сжатии) стержня (рис.6, а). Под действием силы F брус удлиняется на некоторую величину Δl называемую абсолютным удлинением, или абсолютной продольной деформацией, которая численно равна разности длины бруса после деформации l1 и его длины до деформации l
Отношение абсолютной продольной деформации бруса Δl к его первоначальной длине l называют относительным удлинением, или относительной продольной деформацией:
При растяжении продольная деформация положительна, а при сжатии – отрицательна. Для большинства конструкционных материалов на стадии упругой деформации выполняется закон Гука (4), устанавливающий линейную зависимость между напряжениями и деформациями:
где модуль продольной упругости Е, называемый еще модулем упругости первого рода является коэффициентом пропорциональности, между напряжениями и деформациями. Он характеризует жесткость материала при растяжении или сжатии (табл. 1).
Таблица 1
Модуль продольной упругости для различных материалов
Абсолютная поперечная деформация бруса равна разности размеров поперечного сечения после и до деформации:
Соответственно, относительную поперечную деформацию определяют по формуле:
При растяжении размеры поперечного сечения бруса уменьшаются, и ε’ имеет отрицательное значение. Опытом установлено, что в пределах действия закона Гука при растяжении бруса поперечная деформация прямо пропорциональна продольной. Отношение поперечной деформации ε’ к продольной деформации ε называется коэффициентом поперечной деформации, или коэффициентом Пуассона μ:
Экспериментально установлено, что на упругой стадии нагружения любого материала значение μ = const и для различных материалов значения коэффициента Пуассона находятся в пределах от 0 до 0,5 (табл. 2).
Таблица 2
Коэффициент Пуассона.
Абсолютное удлинение стержня Δl прямо пропорционально продольной силе N:
Данной формулой можно пользоваться для вычисления абсолютного удлинения участка стержня длиной l при условии, что в пределах этого участка значение продольной силы постоянно. В случае, когда продольная сила N изменяется в пределах участка стержня, Δl определяют интегрированием в пределах этого участка:
Произведение (Е·А) называют жесткостью сечения стержня при растяжении (сжатии).
Механические свойства материалов.
Основными механическими свойствами материалов при их деформации являются прочность, пластичность, хрупкость, упругость и твердость.
Прочность — способность материала сопротивляться воздействию внешних сил, не разрушаясь и без появления остаточных деформаций.
Пластичность – свойство материала выдерживать без разрушения большие остаточные деформации. Неисчезающие после снятия внешних нагрузок деформации называются пластическими.
Хрупкость – свойство материала разрушаться при очень малых остаточных деформациях (например, чугун, бетон, стекло).
Идеальная упругость – свойство материала (тела) полностью восстанавливать свою форму и размеры после устранения причин, вызвавших деформацию.
Твердость – свойство материала сопротивляться проникновению в него других тел.
Рассмотрим диаграмму растяжения стержня из малоуглеродистой стали. Пусть круглый стержень длинной l0 и начальным постоянным поперечным сечением площади A0 статически растягивается с обоих торцов силой F.
Диаграмма сжатия стержня имеет вид (рис. 10, а)
где Δl = l — l0 абсолютное удлинение стержня; ε = Δl / l0 — относительное продольное удлинение стержня; σ = F / A0 — нормальное напряжение; E — модуль Юнга; σп — предел пропорциональности; σуп — предел упругости; σт — предел текучести; σв — предел прочности (временное сопротивление); εост — остаточная деформация после снятия внешних нагрузок. Для материалов, не имеющих ярко выраженную площадку текучести, вводят условный предел текучести σ0,2 — напряжение, при котором достигается 0,2% остаточной деформации. При достижении предела прочности в центре стержня возникает локальное утончение его диаметра («шейка»). Дальнейшее абсолютное удлинение стержня идет в зоне шейки ( зона местной текучести). При достижении напряжением предела текучести σт глянцевая поверхность стержня становится немного матовой – на его поверхности появляются микротрещины (линии Людерса-Чернова), направленные под углом 45° к оси стержня.
Расчеты на прочность и жесткость при растяжении и сжатии.
Опасным сечением при растяжении и сжатии называется поперечное сечение бруса, в котором возникает максимальное нормальное напряжение. Допускаемые напряжения вычисляются по формуле:
где σпред — предельное напряжение (σпред = σт — для пластических материалов и σпред = σв — для хрупких материалов); [n] — коэффициент запаса прочности. Для пластических материалов [n] = [nт] = 1,2 … 2,5; для хрупких материалов [n] = [nв] = 2 … 5, а для древесины [n] = 8 ÷ 12.
Расчеты на прочность при растяжении и сжатии.
Целью расчета любой конструкции является использование полученных результатов для оценки пригодности этой конструкции к эксплуатации при минимальном расходе материала, что находит отражение в методах расчета на прочность и жесткость.
Условие прочности стержня при его растяжении (сжатии):
При проектном расчете определяется площадь опасного сечения стержня:
При определении допускаемой нагрузки рассчитывается допускаемая нормальная сила:
Расчет на жесткость при растяжении и сжатии.
Работоспособность стержня определяется его предельной деформацией [ l ]. Абсолютное удлинение стержня должно удовлетворять условию:
Часто дополнительно делают расчет на жесткость отдельных участков стержня.
Следующая важная статья теории:
Изгиб балки
Источник
Геометрических характеристик плоских сечений
Министерство образования и науки Российской Федерации
Федеральное агентство по образованию
Саратовский государственный технический университет
Методические указания
к выполнению контрольной работы 1
по курсу «Сопротивление материалов» для студентов
специальностей 151001.65, 240801.65, 260601.65
Одобрено
редакционно-издательским советом
Саратовского государственного
технического университета
Саратов 2009
ОБЩИЕ ПОЛОЖЕНИЯ
В элементах конструкций при действии внешних сил возникают внутренние силы упругости. При осевом растяжении (сжатии) стержня в его сечениях возникают только продольные силы N. Для их вычисления применяется метод сечений. Растягивающие продольные силы принято считать положительными, а сжимающие – отрицательными. Мерой внутренних сил является напряжение, оно характеризует интенсивность внутренних сил в точках сечения. При осевом растяжении (сжатии) стержня в его поперечных сечениях действуют только нормальные напряжения s. Знак s определяется знаком N. При растяжении стержня его длина увеличивается, а поперечные размеры уменьшаются. При сжатии – наоборот. В результате изменения длины стержня его сечения совершают линейные перемещения d вдоль продольной оси Z.
В задаче 1 проводится вычисление продольных усилий, нормальных напряжений в поперечных сечениях стержня, определение перемещений сечений стержня, а также построение соответствующих эпюр. Так как основной задачей расчета конструкции является обеспечение ее прочности в условиях эксплуатации, то также определяется коэффициент запаса прочности.
Стержни и стержневые системы, в которых внутренние усилия могут быть определены при помощи уравнений равновесия статики, называются статически определимыми. Стержни и системы, внутренние усилия в которых нельзя определить при помощи одних лишь уравнений статики, называются статически неопределимыми. Для их расчета необходимо рассмотреть систему в деформированном состоянии и составить дополнительные уравнения, связывающие перемещения элементов системы, Раскрытие статической неопределимости системы показано в задаче 2.
При центральном растяжении-сжатии и при чистом сдвиге прочность и жесткость стержня зависит от простейшей геометрической характеристики – площади поперечного сечения А. При других видах деформации, например, кручение и изгиб, прочность и жесткость стержня определяются не только площадью поперечного сечения стержня, но и формой сечения. Поэтому для расчета на прочность и жесткость в этих случаях приходится использовать более сложные геометрические характеристики сечений: статические моменты – Sx и Sy; моменты инерции: осевые Jx и Jy, центробежный Jxy, полярный Jp; моменты сопротивления: осевые Wx и Wy, полярный Wp. В задаче 3 определяются геометрические характеристики плоского сечения стержня, состоящего из двух прокатных профилей.
РАСЧЕТ СТУПЕНЧАТОГО БРУСА НА РАСТЯЖЕНИЕ–СЖАТИЕ
Для ступенчатого стального бруса (рис. 1, а), выполненного из стали марки Ст. 3, имеющей предел текучести sТ = 240 МПа, модуль Юнга
E = 2×105 MПа, требуется:
1. Построить по длине бруса эпюры продольных сил N, нормальных напряжений s и перемещений поперечных сечений d.
2. Вычислить коэффициент запаса прочности бруса n.
Проведем ось z, совпадающую с осью бруса. Направление оси выбираем произвольно. Брус жестко защемлен верхним концом в опоре, в которой возникает опорная реакция R. Направление вектора реакции выбираем произвольно. Величину опорной реакции найдем из уравнения равновесия статики:
∑ FZ = 0; R – F1 + F2 = 0; R = F1 — F2 == 24 кН.
Разделим брус на силовые участки. Границами участков являются поперечные сечения бруса, проходящие через точки приложения внешних нагрузок и сечения, в которых изменяется площадь поперечного сечения бруса. Точки пересечения оси бруса и граничных сечений обозначим буквами B, C, D, K. Получим 3 участка бруса.
Используем метод сечений. На каждом участке проводим сечения I-I,
II-II, III-III. При этом одну из частей бруса (более сложную) мысленно отбрасываем и к плоскости сечения оставшейся части бруса прикладываем вектор продольной силы N в направлении внешней нормали к сечению. Рассматриваем равновесие оставшейся части бруса (рис. 2).
Уравнения равновесия статики на каждом участке запишутся:
на первом участке BC (рис. 2, а) ∑ FZ = 0; R – N1 = 0; N1 = R = 24 кН;
на втором участке CD (рис. 2, б) ∑ FZ = 0; R – N2 = 0; N2 = R = 24 кН;
на третьем участке DK (рис. 2, в) ∑ FZ = 0; N3 + F2 = 0; N3 = — F2 = — 42 кН.
Проведем вертикальную линию (рис. 1, б), параллельную оси y и отложим от нее в выбранном масштабе на каждом участке вдоль этой линии положительные значения продольной силы вправо, а отрицательные влево. Получим эпюру продольных сил N (рис. 1, б).
Определим нормальные напряжения σ, МПа, на каждом участке бруса по формуле
где N, Н – продольная сила на данном участке; А, м2 – площадь поперечного сечения данного участка.
На первом участке BC
На втором участке CD
На третьем участке DK
Проведем вертикальную линию (рис. 1, в), параллельную оси y и отложим в выбранном масштабе на каждом участке вдоль этой линии положительные значения нормальных напряжений вправо, а отрицательные влево. Получим эпюру нормальных напряжений σ.
Найдем удлинения ∆ℓ, м, участков бруса по формуле
,
где N, Н – продольная сила на данном участке; ℓ, м — длина данного участка; Е, МПа – модуль Юнга материала бруса на данном участке; А, см2 – площадь поперечного сечения данного участка.
На первом участке ВС
.
На втором участке CD
.
На третьем участке DK
.
Определим перемещения сечений бруса, проходящих через границы участков. Перемещение сечения, проходящего через точку В равно нулю, так как в жесткой заделке нет перемещений, т. е. δВ = 0.
Между точками B и C находится первый участок. Перемещение сечения C будет равно δC = δВ + ∆ℓ1 = 0 + 0,72 · 10-4 = 0,72 · 10-4 м.
Между точками C и D находится второй участок. Перемещение сечения D будет равно δD = δC + ∆ℓ2 = 0,72 · 10-4 + 0,8 · 10-4 = 1,52 · 10-4 м.
Между точками D и K находится третий участок. Перемещение сечения D будет равно δK = δD + ∆ℓ3 = 1,52 · 1,8 · 10-4 = -1,28 · 10-4 м.
Отложим в выбранном масштабе на граничных сечениях положительные значения перемещений сечений вправо, а отрицательные влево. Получим эпюру перемещений сечений бруса δ (рис. 1, г).
Найдем коэффициент запаса прочности бруса по формуле
РАСЧЕТ СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМОЙ
СТЕРЖНЕВОЙ СИСТЕМЫ
Абсолютно жесткий брус (рис. 3) закреплен с помощью шарнирно-неподвижной опоры и двух стержней и нагружен силой Q. Требуется:
1. найти усилия и напряжения в стержнях, выразив их через силу Q;
2. из расчета по допускаемым напряжениям найти допускаемую нагрузку [Q], приравняв большее из напряжений в двух стержнях допускаемому напряжению [σ] = 160 МПа;
3. из расчета по допускаемым нагрузкам найти предельную грузоподъемность системы и допускаемую нагрузку QДОП, если предел текучести σТ = 240 МПа и запас прочности n = 1,5;
4. сравнить величины [Q] и QДОП, полученные при расчете по допускаемым напряжениям и допускаемым нагрузкам.
Рис. 4 Рис. 5
(1)
Составлять уравнения и не имеет смысла, так как в них войдут не интересующие нас реакции опоры О (R3, R4). Таким образом, мы убеждаемся еще раз, что задача статически неопределима (в единственное уравнение статики (1) входят две неизвестные силы N1 и N2; нагрузку Q в этом уравнении считаем заданной).
Для составления дополнительного уравнения рассмотрим деформацию системы. Под действием нагрузки Q абсолютно жесткий брус CD, оставаясь прямым, повернется вокруг шарнира О и займет положение C1D1 (рис.6). Точка В опишет дугу, которую вследствие малости угла С1ОС заменим хордой ВВ1. Величина ВВ1 представляет собой удлинение второго стержня = ВВ1. Так как упругие деформации малы по сравнению с длинами стержней, то считают, что угол между абсолютно жестким брусом CD и ВК не изменился, то есть . Из рис. 3 следует, что a = 45°. При этом стержни 1 и 2 удлиняются соответственно на величины и .
Рис. 6
Удлинение стержня 1 () получаем на чертеже, опустив перпендикуляр ВМ из точки В на КВ1 (положение стержня 1 после деформации).
Из прямоугольного треугольника ВВ1М (рис.6) следует, что
(2)
На основании закона Гука (отрезок МВ1) и (отрезок ВВ1). При составлении этих выражений следует соблюдать соответствие направления нормальных сил N1 и N2 деформациям стержней 1 и 2. В данном случае стержни 1 и 2 растягиваются и силы N1 и N2 – растягивающие.
Условие совместности деформаций (2) перепишется так
(3)
Из рис. 3 видно, что — длина стержня 1; ℓ 2 = в – длина стержня 2. Тогда выражение (3) получает вид
(4)
Так как a = 45°, то получаем: N1 = N2. Решая совместно уравнения (1) и (4), получаем
N1 = N2 = 0,488 · Q.
После определения усилий N1 и N2 находим величины нормальных напряжений s1 и s2 в стержнях 1 и 2:
Определим допускаемую силу [Q]. из расчета по допускаемым напряжениям. Так как s2 > s1, то состояние второго стержня более опасно. Поэтому для определения допускаемой силы [Q]. следует приравнять напряжение во втором стержне s2 допускаемому напряжению [s] = 160 МПа.
(кН/м2)
244 [Q]. = 160 · 103 ; [Q]. = кН.
Допускаемая нагрузка [Q]. = 655,74 кН.
Определим допускаемую силу QДОП. из расчета по допускаемым нагрузкам. Напряжение во втором стержне оказалось больше, чем в первом, то есть s2 > s1. При увеличении силы Q напряжение во втором стержне достигнет предела текучести раньше, чем в первом. Когда это произойдет, напряжение во втором стержне не будет некоторое время увеличиваться, система станет как бы статически определимой, нагруженной силой Q и усилием во втором стержне
.
При дальнейшем увеличении силы напряжение в первом стержне также достигнет предела текучести. Усилие в этом стержне будет равно
Запишем уравнение равновесия статики для такого состояния системы
где sТ = 240 МПа – предел текучести материала.
Из этого уравнения находим предельную грузоподъемность системы
кН.
Допускаемая нагрузка QДОП определится так
кН,
где n = 1,5 – коэффициент запаса прочности.
Сравнивая полученные результаты, видим, что допускаемая нагрузка QДОП, определенная из расчета по допускаемым нагрузкам, больше допускаемой нагрузки [Q], из расчета по допускаемым напряжениям в
раза.
Способ расчета по допускаемым нагрузкам для статически неопределимых систем позволяет вскрыть дополнительные резервы прочности, повысить несущую способность системы и указывает на возможность более экономного расходования материала.
Рассмотрим пример на определение геометрических характеристик плоского сечения. Сечение (рис. 7) состоит из швеллера № 30 и равнополочного уголка 100х100х10. Требуется:
1. Определить положение центра тяжести поперечного сечения.
2. Найти осевые и центробежный моменты инерции относительно случайных осей (XC и YC), проходящих через центр тяжести.
3. Определить положение главных центральных осей u и v.
4. Найти моменты инерции относительно главных центральных осей.
5. Вычертить сечение в масштабе 1 : 2 и указать на нем все размеры в числах и все оси.
Выпишем из таблиц сортамента все данные, необходимые для расчёта, и схематично зарисуем профили элементов сечения (рис. 8).
Швеллер № 30 по ГОСТ 8240-89. Площадь А = 40,50 см2. Моменты инерции относительно собственных центральных осей: Jх = 5810,0 см4,
Jу = 387,0 см4, Jху=0. Так как одна из осей является осью симметрии, то оси будут главными и центробежный момент относительно них равен нулю. Центр тяжести расположен на расстоянии z0 = 2,52 см от стенки швеллера.
Уголок равнополочный 100х100х10 по ГОСТ 8509-86. Площадь
А = 19,24 см2. Моменты инерции Jх = Jу = 178,95 см4, см4, см4. Расстояние от центра тяжести уголка до наружных граней полок z0 = 2,83 см. Угол между осями Х и Х0 равен 45º. Для дальнейшего расчёта понадобится величина центробежного момента инерции уголка Jху. Её можно вычислить по формуле
Так как для равнополочного уголка 45º, то sin 2 = sin 90º = 1.
Знак центробежного момента инерции уголка выбирается в соответствии с рис. 9. При положениях уголка (рис.9, а) и (рис.9, б) центробежный момент инерции отрицательный, а при положениях уголка (рис.9, в) и (рис.9, г) центробежный момент инерции положительный.
Прежде чем приступить к дальнейшему расчёту, необходимо с соблюдением масштаба (в задании задачи – это масштаб 1:2) начертить сечение,
(рис.Так как сечение состоит из 2 элементов, пронумерованных цифрами I, II, необходимо ввести соответствующие индексы в обозначении центров тяжестей (01, 02), центральных осей x1, y1, x2, y2 и соответствующих моментов инерции. Из рис. 10 видно, что центральные оси швеллера x1 и y1 соответствуют осям y и x швеллера на рис. 8. Соответственно поменяются местами осевые моменты инерции швеллера.
Определим координаты центра тяжести сечения относительно вспомогательных осей x и y (рис. 10). Оси удобно провести так, чтобы все сечение располагалось в первом квадрате. Найдём координаты центров тяжести элементов в системе осей x и y. Из рис. 10 видно, что О1(15;2,52), О2(22,17;3,48). Координаты центра тяжести сечения находятся по формулам:
;
.
В масштабе наносим точку С с координатами Хс=17,31 и Ус=2,82 см на расчётную схему и проводим через т. С оси xс и yс, параллельные осям x и y. Находим координаты центров тяжестей О1 и О2 элементов в полученной системе координат xсСyс.
Пользуясь формулами связи между координатами точки относительно параллельных осей координат, получим:
см;
см;
см;
см.
Для проверки правильности нахождения координат центра тяжести сечения найдём статистические моменты всего сечения относительно центральных осей xс и yс. Известно, что статические моменты сечения относительно центральных осей должны быть равны нулю:
см3;
см3.
Близкие к нулю значения Sx и Sy показывают, что координаты центра тяжести сечения найдены правильно. Отличие их от нуля – накопленная погрешность вычисления.
Определим осевые и центробежный моменты инерции сечения относительно произвольных центральных осей xсyс. Используем формулы зависимостей между моментами инерции относительно параллельных осей:
;
;.
Определим направление главных центральных осей u и v. Тангенс угла наклона главных центральных осей u и v к произвольным центральным осям xс и yс определяется по формуле
.
По найденному значению тангенса с помощью таблиц или калькулятора находим значение угла , откуда . Положительный угол откладывается от оси xс против хода часовой стрелки и определяет положение одной из главных центральных осей – u. Вторая главная центральная ось – v перпендикулярна оси u.
Покажем на расчётной схеме (рис. 10) положение главных центральных осей u и v.
Для проверки правильности определения положения главных центральных осей найдём центробежный момент инерции относительно этих осей u и v по формуле:
.
Центробежный момент инерции относительно главных осей должен быть равным нулю. Полученная близкая к нулю величина JUV показывает, что положение главных осей определено достаточно точно.
О?